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  • 矢量分析 关于∇一些矢量恒等式速记法

    千次阅读 多人点赞 2020-04-13 13:56:50
    最近在学电磁场与电磁波,那几个有∇\nabla∇的矢量恒等式真的够呛啊… 在B站上看到的矢量分析视频, 该大神UP的理解简直到位… ∇\nabla∇看成是有矢量性和微分性的东东 ∇⋅(∇×A)=0\nabla\cdot(\nabla\times\...

    前言

    20200413
    最近在学电磁场与电磁波,那几个有\nabla的矢量恒等式真的够呛啊…
    在B站上看到的矢量分析视频, 该大神UP的理解简直到位…

    \nabla看成是有矢量性微分性的东东

    公式基础

    先回忆几个公式
    A×(B×C)=B(AC)(AB)C\mathbf{A\times (B\times C)=B(A\cdot C)-(A\cdot B)C}
    为了好记可以写成
    A×(B×C)+(AB)C=B(AC)\mathbf{A\times (B\times C)+(A\cdot B)C=B(A\cdot C)}
    记忆方法:左边都是ABC,左边的括号中,一个是BC,一个是AB,那剩下的一个括号肯定就是AC咯

    混合积:
    A(B×C)=C(A×B)=B(C×A)\mathbf{A\cdot (B\times C)}=\mathbf{C\cdot (A\times B)}=\mathbf{B\cdot (C\times A)}

    列举出有关\nabla的恒等式

    排列组合看看有哪些公式:

    首先需要明确维度的问题

    \nabla是梯度, 一般作用于标量升维为矢量

    \nabla\cdot是散度, 一般作用于矢量降维为标量

    ×\nabla\times是散度, 一般作用于矢量既不升维为矩阵也不降维为标量,保持原来的矢量状态

    对于2个\nabla作用于一个矢量函数的

    最前面 一般没有
    \nabla\cdot (×A)\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A}) (A)\nabla\cdot(\nabla\cdot\mathbf{A})(A)\nabla\cdot(\nabla\mathbf{A})
    ×\nabla\times ×ψ\nabla\times\nabla\psi ×ψ\nabla\times\nabla\cdot\psi××ψ\nabla\times\nabla\times\psi
    ×\nabla\times ××A\nabla\times\nabla\times \mathbf{A} ×A\nabla\times\nabla\cdot \mathbf{A}×A\nabla\times\nabla \mathbf{A}
    \nabla A=2A\nabla\nabla\cdot\mathbf{A}=\nabla^2\mathbf{A} A\nabla\nabla\mathbf{A}×A\nabla\nabla\times\mathbf{A}

    对于1个\nabla作用于两个矢量函数的

    (A×B)\nabla\cdot(\mathbf{A\times B})
    ×(A×B)\nabla\times(\mathbf{A\times B})
    (AB)\nabla(\mathbf{A\cdot B})
    (ψϕ)\nabla(\psi\phi)

    推导开始

    只体现矢量性

    在接下来的式子中,\nabla只体现矢量性,因为式子中只存在一个矢量函数,除了它没别的能微分了,所以只有矢量性

    1. (×A)=0\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})=0

    由于\nabla和自己垂直的\nabla(即×A\nabla\times\mathbf{A})点乘, 结果一定为0

    2. ×ψ=0\nabla\times\nabla\psi=0

    由于\nabla和自己叉乘,结果一定为0

    3. ××A=AA\nabla\times\nabla\times \mathbf{A}=\nabla\nabla\cdot\mathbf{A}-\nabla\cdot\nabla\mathbf{A}

    因为A×(B×C)=B(AC)(AB)C\mathbf{A\times (B\times C)=B(A\cdot C)-(A\cdot B)C}
    (注意这里把C都放在最后,并且向量和标量相乘时不要用点号,直接"隐形乘法")
    对比一下公式,会得到
    ×(×A)=(A)(A)\nabla\times(\nabla\times \mathbf{A})=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{A})-\nabla\cdot(\nabla\mathbf{A})
    因为\nabla看成矢量, 矢量的点乘, 数乘所以括号可以随意拆随意加(实际上得到的公式如果不按加括号的来算,大家可能都不会算hhh)
    然后\nabla的叉乘××A\nabla\times\nabla\times \mathbf{A},可以在后面加括号的原因是,:
    如果先算前面,这时你会发现到底应该是(×)×A(\nabla\times\nabla)\times \mathbf{A}还是×(×A)\nabla\times(\nabla\times\mathbf{A}), 撇开这个,最重要的是×\nabla\times\nabla肯定为0啊,因为自己叉乘自己,所以式子没有意义, 那就默认是在后面加括号了,更加肯定我们的想法.

    ××A=×(×A)=A2A=AA=(A)(A)\nabla\times\nabla\times \mathbf{A}=\nabla\times(\nabla\times\mathbf{A})=\nabla\nabla\cdot\mathbf{A}-\nabla^2\mathbf{A}=\nabla\nabla\cdot\mathbf{A}-\nabla\cdot\nabla\mathbf{A}=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{A})-\nabla\cdot(\nabla\mathbf{A})

    体现矢量性和微分性----中心思想=A+B\nabla=\nabla_A+\nabla_B

    下面的式子关于多个矢量函数,所以微分性就体现出来了,具体体现在对A\mathbf{A}做微分的同时,也要对B\mathbf{B}做微分, 也即=A+B\nabla=\nabla_A+\nabla_B

    1. (ψϕ)=ψϕ+ψϕ\nabla(\psi\phi)=\psi\nabla\phi+\psi\nabla\phi

    这个很简单呀
    (ψϕ)=(ψ+ϕ)(ψϕ)\nabla(\psi\phi)=(\nabla_\psi+\nabla_\phi)(\psi\phi)
    =ψ(ϕψ)+ϕ(ψϕ)=\nabla_\psi(\phi\psi)+\nabla_\phi(\psi\phi)
    =ϕψψ+ψϕϕ=\phi\nabla_\psi\psi+\psi\nabla_\phi\phi
    =ϕψ+ψϕ=\phi\nabla\psi+\psi\nabla\phi

    完成

    再看个不复杂的

    2. (A×B)=B(×A)A(×B)\nabla\cdot(\mathbf{A\times B})=\mathbf{B}\cdot(\nabla\times \mathbf{A)-A}\cdot(\nabla\times \mathbf{B})

    注意到这不就是混合积嘛, A(B×C)=C(A×B)=B(C×A)\mathbf{A\cdot (B\times C)}=\mathbf{C\cdot (A\times B)}=\mathbf{B\cdot (C\times A)}

    但是按理说只会有一项B×A\mathbf{B}\cdot\nabla\times \mathbf{A}呀,怎么会多出一项A×B-\mathbf{A}\cdot\nabla\times \mathbf{B}呢?
    原因就是在\nabla的微分性, 对两个矢量函数都要微分
    B×A\mathbf{B}\cdot\nabla\times \mathbf{A}A\mathbf{A}微分了,还应该加上对B\mathbf{B}微分的一项
    因此,根据轮换, 应该得到A(B×)\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\nabla)
    到这里, 你傻眼了, B×\mathbf{B}\times\nabla是什么
    实际上又回到矢量性了, 因为从B×\mathbf{B}\times\nabla的角度看, 只有一个矢量函数B\mathbf{B}
    因此, 看成矢量的话, B×=×B\mathbf{B}\times\nabla=-\nabla\times\mathbf{B}
    所以, 搞定
    =A+B\nabla=\nabla_A+\nabla_B看待的话,就是如下推导

    (A×B)=(A+B)(A×B)\nabla\cdot(\mathbf{A\times B})=(\nabla_A+\nabla_B)\cdot(\mathbf{A\times B})
    =A(A×B)+B(A×B)=\nabla_A\cdot(\mathbf{A\times B})+\nabla_B\cdot(\mathbf{A\times B})
    =BA×A+A(B×B)=\mathbf{B}\cdot\nabla_A\times \mathbf{A}+\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\nabla_B)
    =BA×AA(B×B)=\mathbf{B}\cdot\nabla_A\times \mathbf{A}-\mathbf{A}\cdot(\nabla_B\times\mathbf{B})
    =B×AA(×B)=\mathbf{B}\cdot\nabla\times \mathbf{A}-\mathbf{A}\cdot(\nabla\times\mathbf{B})





    \

    3. ×(A×B)=A(B)B(A)+(B)A(A)B\nabla\times(\mathbf{A\times B})=\mathbf{A}(\nabla\cdot\mathbf{B)}-\mathbf{B}(\nabla\cdot\mathbf{A})+(\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{A}-(\mathbf{A}\cdot\nabla)\mathbf{B}

    由于
    A×(B×C)=B(AC)C(AB)\mathbf{A\times (B\times C)=B(A\cdot C)-C(A\cdot B)}
    同理
    ×(A×B)=(A+B)×(A×B)\nabla\times(\mathbf{A\times B})=(\nabla_A+\nabla_B)\times(\mathbf{A\times B})
    =A×(A×B)+B×(A×B)=\nabla_A\times(\mathbf{A\times B})+\nabla_B\times(\mathbf{A\times B})
    =A(AB)B(AA)+A(BB)B(BA)=\mathbf{A}(\nabla_A\cdot\mathbf{B})-\mathbf{B}(\nabla_A\cdot\mathbf{A})+\mathbf{A}(\nabla_B\cdot\mathbf{B})-\mathbf{B}(\nabla_B\cdot\mathbf{A})
    注意到项A(AB)\mathbf{A}(\nabla_A\cdot\mathbf{B})B(BA)-\mathbf{B}(\nabla_B\cdot\mathbf{A}), 实际上只是公式的位置反了,A\nabla_A应该是在A\mathbf{A}的前面, 并且把A\nabla_A看成矢量的话, 点乘可以交换顺序, 因此
    A(AB)=(BA)A\mathbf{A}(\nabla_A\cdot\mathbf{B})=(\mathbf{B}\cdot\nabla_A)\mathbf{A},
    B(BA)=(AB)B\mathbf{B}(\nabla_B\cdot\mathbf{A})=(\mathbf{A}\cdot\nabla_B)\mathbf{B}
    =(BA)AB(AA)+A(BB)(AB)B=(\mathbf{B}\cdot\nabla_A)\mathbf{A}-\mathbf{B}(\nabla_A\cdot\mathbf{A})+\mathbf{A}(\nabla_B\cdot\mathbf{B})-(\mathbf{A}\cdot\nabla_B)\mathbf{B}
    =A(BB)B(AA)+(AB)BB(BA)=\mathbf{A}(\nabla_B\cdot\mathbf{B})-\mathbf{B}(\nabla_A\cdot\mathbf{A})+(\mathbf{A}\cdot\nabla_B)\mathbf{B}-\mathbf{B}(\nabla_B\cdot\mathbf{A})
    完成





    \

    4. (AB)=(B)A+(A)B+B×(×A)+A×(×B)\nabla(\mathbf{A\cdot B})=(\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{A}+(\mathbf{A}\cdot\nabla)\mathbf{B}+\mathbf{B}\times(\nabla\times\mathbf{A})+\mathbf{A}\times(\nabla\times\mathbf{B})

    还是用这个公式A×(B×C)=B(AC)C(AB)\mathbf{A\times (B\times C)=B(A\cdot C)-C(A\cdot B)}
    只不过交换一下位置
    B(AC)=C(AB)+A×(B×C)\mathbf{B(A\cdot C)=C(A\cdot B)+A\times (B\times C)}


    (AB)=(A+B)(AB)\nabla(\mathbf{A\cdot B})=(\nabla_A+\nabla_B)(\mathbf{A\cdot B})

    我们要让被微分的放到最后, 才能使得一些运算合理, 因为对A微分,相当于B是常数, 要放前面较合理
    =A(BA)+B(AB)=\nabla_A(\mathbf{B\cdot A})+\nabla_B(\mathbf{A\cdot B})
    =A(BA)+B×(A×A)+B(AB)+A×(B×B)=\mathbf{A}(\mathbf{B}\cdot\nabla_A)+\mathbf{B}\times(\nabla_A\times\mathbf{A})+\mathbf{B}(\mathbf{A}\cdot\nabla_B)+\mathbf{A}\times(\nabla_B\times\mathbf{B})
    交换\nabla的位置
    =(BA)A+B×(A×A)+(AB)B+A×(B×B)=(\mathbf{B}\cdot\nabla_A)\mathbf{A}+\mathbf{B}\times(\nabla_A\times\mathbf{A})+(\mathbf{A}\cdot\nabla_B)\mathbf{B}+\mathbf{A}\times(\nabla_B\times\mathbf{B})
    交换2 3项之间的位置
    =(BA)A+(AB)B+B×(A×A)+A×(B×B)=(\mathbf{B}\cdot\nabla_A)\mathbf{A}+(\mathbf{A}\cdot\nabla_B)\mathbf{B}+\mathbf{B}\times(\nabla_A\times\mathbf{A})+\mathbf{A}\times(\nabla_B\times\mathbf{B})
    完成

    总结

    这些只是一个用于记忆的小技巧, 不要太深究里面的数学严谨性, 算是一种比较深刻的理解把, 就像一些直觉虽然不严谨, 但是它的的确确能得到结果. 希望能帮到大家.
    这些推导看起来实际上真的很无聊, 但是自己动笔推一边过后, 就会记得非常非常清楚

    注意:上述的骚操作只对提及的公式有效,其他公式不能保证

    后记

    PS:这是作者的第一篇blog, 排版属实丑,见谅见谅
    这是我在学Einstein求和约定时学到的, 有机会再总结一下那个UP的Einstein求和约定吧, 超强的东西

    最后附上参考的链接

    参考文献

    https://www.bilibili.com/video/BV1VW41127Dd?p=7

    展开全文
  • 张量分析初步和矢量恒等式

    千次阅读 2017-10-09 11:45:04
    这是一个人纯矢量的问题了,这种小问题怎么可能难得了我,一看 ( ∇ × v ) × v \left( {\nabla \times {\bf{v}}} \right) \times {\bf{v}} ,嘿嘿,二话不说我们先来个二重外积公式化简一下: ( ∇ × v ) × v...

    此文献给今天生日的跌跤dalao,祝哈耶普哥PhD~
    ——————————————

    问题引入

    整个国庆假期基本上都是在做作业,流体力学作业从中秋节那天做到今天,让人不由自主得怒P一图:
    这里写图片描述
    中秋节那天做了一道有意思的问题(实际上就是第一题科科),请教了同宿舍的凝聚态物理清本dalao后,稍微掌握了一点点张量分析的技巧,强大的符号艺术工具。问题是这样的,证明:dvdt=vt+(×v)×v+12(v2),实际上由全微分公式可以容易得到dvdt=vt+(v)v,所以实际上我们只需要证明:

    (v)v=(×v)×v+12(v2),

    这是一个人纯矢量的问题了,这种小问题怎么可能难得了我,一看(×v)×v,嘿嘿,二话不说我们先来个二重外积公式化简一下:
    (×v)×v=(v)v(vv),

    好像好厉害的样子啊,不过(vv)是什么东西?【待会下面我们会讲到这里二重外积公式是不适用的】,ε=(´ο`*)))那从(v2)找找突破口吧,
    (v2)=v2xi=v2vvxi=2vvxi=2vv,

    样子是有那么点像了,但是v的话,这怎么处理,矢量的梯度的话,岂不是变得更复杂了。

    矢量分析初步

    • (符号艺术1)爱因斯坦求和约定:对于一个表达式中的某项,如果一个指标重复出现两次,那么就将该项在该指标下遍历求和,该指标成为哑变量。给一个例子,如3i=1aibi=aibi,这是一种简化的写法。
    • (符号艺术2)克罗内克符号:δij表示,如果i=j,那么δij=1,否则为0,克罗内克符号起到了一种神奇的换下标的功能,比如:δijajk=aik,从它的爱因斯坦求和约定展开后轻松看出。【简单地说就是如果和δ相乘的量有相同的,比如这里的j,那么将重复的量j换为δ的另一个下标】
    • (符号艺术3)置换符号:在行列式学习的时候,我们知道有:
      det=j1,j2,...,jn(1)τ(j1,j2,...,jn)a1j1a2j2...anjn,

      其中的(1)τ(j1,j2,...,jn)我们就称为置换符号,由于矢量运算一般是三维的,我们常用erst来表示,我们可以用erst=12(rs)(st)(tr)来定义,也可以如下标准定义:
      erst=1,1,0,便

      有了这三个表述之后,我们可以稍微搞点事情,考虑三阶行列式:
      a11a21a31a12a22a32a13a23a33=eijkai1aj2ak3=eijka1ia2ja3k,

      简单地可以证明(列换序)有:
      a1ra2ra3ra1sa2sa3sa1ta2ta3t=ersteijkai1aj2ak3,

      进一步地,行换序得到一般形式有:
      aorapraqraosapsaqsaotaptaqt=eopqersteijkai1aj2ak3,

      现在我们根据上式导出一个关键公式:
      δorδprδqrδosδpsδqsδotδptδqt=eopqersteijkδi1δj2δk3=eopqerste123=eopqerst,

      o=r立马有如下关键公式(联系克罗内克符号和置换符号):
      erpqerst=δrrδprδqrδrsδpsδqsδrtδptδqt=1δprδqr0δpsδqs0δptδqt=δpsδqtδqsδpt,

    对于这些初步只是做个总结:

    • 克罗内克符号和置换符号的关系:erpqerst=δpsδqtδqsδpt
    • 克罗内克符号的换下标作用: δijajk=aik

    矢量恒等式

    下面我们回到(v)v=(×v)×v+12(v2)的证明,

    (×v)×v=(eklmik2lv3m)×v=eklmik2lv3meabciav2bia=ik10=eklmekbcv2b2lv3meabcekbc=(δlbδmcδmbδlc)v2b2lv3m=δlbδmcv2b2lv3mδmbδlcv2b2lv3m=v2b2bv3cv2b2cv3b=(v)v12cv2b=(v)v12(v2)

    于是乎命题得证,有人可能还不过瘾,那么我们顺便来秒杀二重外积公式吧,即证明:(A×B)×C=(AC)B(BC)A,同样利用张量分析:

    (A×B)×C=(eklmikAlBm)etijitCi=(δilδjmδjlδim)AlBmCi.........=AiBjCiAjBiCi................=(AC)B(BC)A

    上面推导中①到②是需要A,B,C之间可交换的,而最开始(×v)×v=(v)v(vv)这个操作并不科学,这是因为xabxba,其中xaax
    这告诉我们公式不是乱套用的,尤其是整天给我逼逼CNN的大佬们,不懂其数学原理是后患无穷的。

    展开全文
  • 因此,我们使用纵向和横向Ward-Green-Takahashi(WGT)身份以及运动学上的约束,以改善这种情况并揭示轴向顶点的新颖特征:其中,横向元素的Ward身份 顶点,它补充并揭示了先前为其纵向部分中的组件确定的身份。...
  • 假设一阶常微分方程组有下给出 其中矢量 为状态变量 构成的向量,即 ,常称为系统的状态向量,n称为系统的阶次,而 为任意函数数,t为时间变量,这样就可以采用数值方法求解常微分方程组了。另外任意高阶微分方程都...

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    假设一阶常微分方程组有下式给出

    其中矢量

    为状态变量
    构成的向量,即
    ,常称为系统的状态向量,n称为系统的阶次,而
    为任意函数数,t为时间变量,这样就可以采用数值方法求解常微分方程组了。另外任意高阶微分方程都可以通过变量替换变成一阶微分方程组,这里不再赘述.

    求解常微分方程组的数值方法是多种多样的,如常用的Euler法、Runge-Kutta方法、Adams线性多步法、Gear法等。

    1. 欧拉法
      时刻系统状态向量的值为
      ,若选择计算步长h,则可以写出在
      时刻系统状态向量的值为

      这样,用迭代的方法可以由给定的初值问题逐步求出在所选择的时间段t∈[0,T]内各个时刻
      处的原问题数值解。提高数值解精度的一种显然的方法是减小步长h的值。然而,并不能无限制地减小h的值,这主要有两条原因:

      (1)减慢计算速度.因为对选定的求解时间而言,减小步长就意味着增加在这个时间段内的计算点数目,故计算速度减慢;
      (2)增加累积误差因为不论选择多小的步长,所得出的数值解都将有个舍入误差,减小计算步长则将增加计算的次数,从而使得整个计算过程的舍入误差的叠加和传递次数增多,产生较大的累积误差。
    2. 四阶龙格库塔法(Runge-Kutta)

    3. Adams算法

    matlab常微分方程求解器

    ode求解器ww2.mathworks.cn

    求解非刚性微分方程 ,ode45,ode23,ode15s,ode223等等,用啊基本类似,以ode45为例说明.

    98d472946a1b0614fe8c45648f01a957.png

    语法

    [

    说明示例
    [t,y] = ode45(odefun,tspan,y0)(其中 tspan = [t0 tf])求微分方程组 y′=f(t,y) 从 t0 到 tf 的积分,初始条件为 y0。解数组 y 中的每一行都与列向量 t 中返回的值相对应。

    所有 MATLAB® ODE 求解器都可以解算 y′=f(t,y) 形式的方程组,或涉及质量矩阵 M(t,y)y′=f(t,y) 的问题。求解器都使用类似的语法。ode23s 求解器只能解算质量矩阵为常量的问题。ode15s 和 ode23t 可以解算具有奇异质量矩阵的问题,称为微分代数方程 (DAE)。使用 odeset 的 Mass 选项指定质量矩阵。

    ode45 是一个通用型 ODE 求解器,是您解算大多数问题时的首选。但是,对于刚性问题或需要较高准确性的问题,其他 ODE 求解器可能更适合。有关详细信息,请参阅选择 ODE 求解器。

    [t,y] = ode45(odefun,tspan,y0,options) 还使用由 options(使用 odeset 函数创建的参数)定义的积分设置。例如,使用 AbsTol 和 RelTol 选项指定绝对误差容限和相对误差容限,或者使用 Mass 选项提供质量矩阵。

    [t,y,te,ye,ie] = ode45(odefun,tspan,y0,options) 还求 (t,y) 的函数(称为事件函数)在何处为零。在输出中,te 是事件的时间,ye 是事件发生时的解,ie 是触发的事件的索引。

    对于每个事件函数,应指定积分是否在零点处终止以及过零方向是否重要。为此,请将 'Events' 属性设置为函数(例如 myEventFcn 或 @myEventFcn),并创建一个对应的函数:[value,isterminal,direction] = myEventFcn(t,y)。有关详细信息,请参阅 ODE 事件位置。

    sol = ode45(___) 返回一个结构体,您可以将该结构体与 deval 结合使用来计算区间 [t0 tf] 中任意点位置的解。您可以使用上述语法中的任何输入参数组合。

    举例

    [t,y] = ode45(@vdp1,[0 20],[2; 0]);
    % Plot the solutions for $y_1$ and $y_2$ against |t|.
    plot(t,y(:,1),'-o',t,y(:,2),'-o')
    title('Solution of van der Pol Equation (mu = 1) with ODE45');
    xlabel('Time t');
    ylabel('Solution y');
    legend('y_1','y_2')
    
    function dydt = vdp1(t,y)
    %VDP1  Evaluate the van der Pol ODEs for mu = 1
    dydt = [y(2); (1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];
    
    
    

    7ab6987941e331050c3cd131d0e43523.png
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  • eg1:任意欧式空间或欧式空间的子集都是流形,只要取恒等映射就ok啦; eg2:任何和某个欧式空间同胚的拓扑空间一定是流形,比如三维球面挖去一点是一个二维拓扑流形,同胚映射如图: 图源 尤承业《基础拓扑学讲义》...

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    何不学微几?

    目录

    • 微分流形的几个基本概念
    • 切空间(上)

    微分流形的几个基本概念

    首先,最重要的,我们引入拓扑流形和微分流形的概念。

    Def 1:如果Hausdorff空间

    【注1】满足
    一个
    的邻域
    与欧式空间
    中的某个开集
    同胚,我们就称
    是一个
    维(拓扑)流形(manifold)。
    Remark:
    a.【注1】Hausdorff空间指的是满足T2公理(
    中任意不同两点都有不交的邻域)的拓扑空间;

    b.其实更严格一点,这里应该称之为实流形(real manifold),而与
    有这种类似关系的则称之为复流形(complex manifold);

    c.定义中某点
    的邻域
    的一个映射
    配合
    形成的二元组
    称为流形
    的一个坐标卡,易知,一个流行上有很多个坐标卡(有时也称为坐标系),至于为啥叫这个名字,你看下面这条就知道了(嘿嘿~

    d.指定
    上的一个坐标卡
    ,我们就称
    映射到的那个
    中相应点的坐标为流形
    的坐标。
    注意,流形本身是没有坐标的概念的,我们这里是引入
    才给出定义的,这与
    中本身就有的自然坐标不同。

    我们知道,在同一点

    处是可能有很多不同的坐标卡的,那么下面建立流形间可微映射的概念就可能会出现一个问题,即一个点可能在包含它的一个坐标卡
    下是可微的,而在另一个坐标卡下就不可微了,这是不能容许的。

    所以我们就想着给坐标卡划定一个范围,即砍掉那些可能导致混乱的坐标卡,只留下那些“相容”的坐标卡,具体操作如下:

    Def 2:满足以下两种情形之一的两个坐标卡

    称为是
    相容的:

    (i)

    (ii)
    ,但
    Remark
    a.这里相容性的理解还要感谢评论区的帮助哈;
    b.关于欧式空间之间映射可微性的定义可见下面的Pre 1和Pre 2,顺序有些错乱,不过感觉还是放在下面好一点;
    c.我们给出一张图来帮助大家理解:

    a63ccfab37da6f92847ce569cc68dcf8.png
    图源 陈省身《微分几何讲义》

    举几个例子巩固下刚才学到的吧!

    eg1:任意欧式空间或欧式空间的子集都是流形,只要取恒等映射就ok啦;

    eg2:任何和某个欧式空间同胚的拓扑空间一定是流形,比如三维球面挖去一点是一个二维拓扑流形,同胚映射如图:

    9ee38acc116b9fe139635fa72ac27bdc.png
    图源 尤承业《基础拓扑学讲义》
    Remark:只是和欧氏空间的子集同胚不行,是我一开始想当然了(捂脸,多谢大佬 @王筝 指正啦~

    eg3:

    维单位球面
    是一个
    维的流形。
    proof:我们这里只是简单地来看一下
    的情形,其他的貌似就是
    维的分成
    块就行了,具体操作类似。

    首先我们对每个
    中的点指定邻域
    和同胚映射(如果你并不知道我为什么要这么做可能你还需要再看看拓扑流形的定义)如下:

    图示如下

    2381c3f8b0dff9b93846235875af0946.png
    Remark:
    a.后面我们就可以看到,实际上
    还可以形成一个微分流形(以以上四个开集和对应的映射为微分结构);

    b.用基本群可以证明
    与任意欧式空间不同胚(没学代拓的我只能装个某字母了。。。以后学会了再来看看要不要补充一波吧)。

    eg4:

    维射影空间
    是一个
    维流形。
    Remark:为了避免主次颠倒,这里就不展开叙述了,大家如果有兴趣可以随便找一本现代微分几何的教材,上面应该都有介绍,或者我们后面放到一个外篇里具体讨论也可以。

    eg5:Mobius带和Klein瓶都是二维流形。(具体见 尤承业《基础拓扑学讲义》P88)

    微分流形实际上就是在拓扑流形上附上某种结构(我们称之为微分结构),使得流形间可微映射的概念能够得以建立。

    那我就要问你另一个问题啦,你知道我们为啥要引入流形这个概念吗?

    其实除了它用处广之外还有一个原因。

    那就是它简单啊!(雾)

    简单在哪呢?

    简单就简单在他和欧式空间的这种奇妙的关系导致了它很多时候流形的问题都可以转换到欧式空间上来解决,很多概念也可以依赖于欧式空间上相应的概念来建立。

    其实(实)流形本就是欧式空间的推广啊!

    So?

    So我们就来用欧式空间间映射可微的概念来定义流形间的可微映射吧!

    首先我们来做三个准备工作。

    Pre 1:如果定义在开集

    上的映射
    直到
    阶的偏导数(总共有
    个)都存在且连续,我们就称它是
    阶可微的,记作
    的。
    Remark:特别地,连续函数记作是
    的,任意阶可微的函数记作是
    (光滑)的,解析函数【注2】记作是
    的。

    【注2】若

    的一个邻域
    ,使得
    能在其中表示为收敛的幂级数形式,那么我们就称
    是解析的。

    Pre 2:映射

    可以看作m个n元函数,如果这m个n元函数都
    ,那么我们就称
    的。

    下面这个概念可能比较拗口,但是其实也是很自然的。

    Pre 3:

    维流形
    上的一个坐标卡集
    称为是
    上的一个
    微分结构,如果他满足以下三个条件:

    a.

    构成
    的一个开覆盖;

    b.

    中任两坐标卡
    相容;

    c.

    是极大的【注3】。
    Remark:
    a.【注3】指所有和
    中某个坐标卡相容的坐标卡一定本身就在
    中;

    b.同理我们可以也可以定义
    的微分结构;

    c.其实微分结构真的不是微分的结构,他和微分的关系只是在于后面流形间可微映射的定义要用到它;
    d.微分结构不唯一。

    Def 3:指定了

    微分结构的拓扑流形称为一个
    微分流形(differentiable manifold)
    Remark
    a.同理我们也能定义光滑流形和解析流形;
    b.属于给定微分结构的坐标卡我们称为微分流形
    容许的坐标卡。

    下面我们着手引入流形间可微映射的概念。

    Def 4:我们称两个流形之间的连续映射

    (也就是

    阶可微),如果分别存在
    的容许坐标卡
    ,使得
    的。
    Remark:这里实际上就是用欧式空间中的可微来定义流形间的可微了,下面这张图可以让大家的理解更直观些,表示符号稍有不同,不过我相信大家也都能看懂

    62ca05ef981d56fe1b61fdc02b76e638.png
    图源 梁灿彬《微分几何与广义相对论入门》

    随后我们再来补上几个例子。

    切空间(上)

    首先,陪域为

    的映射称为函数(嘻嘻嘻 一声)。

    其实所谓空间上的一个函数无非就是在这个空间的每一点处指定一个实数值,可以理解为物理中的标量场,所谓一个

    维矢量场也无非就是
    个标量场的叠加。

    本节的目的是用线性的观点来讨论流形上某点的光滑函数,即建立某点处的“光滑函数线性空间“,然后再用它来引入切空间的概念。(开讲前某字母要装到位>3<)

    Def 5:所谓m维微分流形

    在点
    处的一个光滑函数
    ,就是一个在
    的一个邻域
    的函数,记
    上所有在
    处光滑的函数组成的集合为
    Remark:图示如下

    b587fc9c9ce83372ddb34c1f967578b4.png
    图源 沃兹基《虾桦滴》

    可是

    并不是线性空间呢(*
    +~+*)~@。

    哼!那窝们就来收拾收拾这个不听话的喵!

    我们在

    上定义如下的等价关系:

    的一个开邻域
    ,使得
    ,要验证它是等价关系。。。。awl(懒)l,
    的等价类记作

    现在记

    ,并在
    上定义加法与数乘运算(结果的定义域定为
    ,也就是)如下:

    ,可以证明这两个运算well-defined,并且
    形成一个线性空间。
    Remark:
    (证明我不会~)

    这么重要的概念怎么能不给它起个萌萌的名字呢?

    就叫它函数芽(germ)吧!

    这里的操作怎么这么眼熟啊,貌似实分析

    空间也是这样干的?

    不管怎么样,我们完成了上面的使命,下面就要来搞一搞切空间(Tangent Space)

    Def 6:若

    的,并且
    ,我们就称它是过
    点的一个参数曲线。
    Remark
    a.注意这里的参数曲线是映射不是映射的像!
    b.其实定义域不用一定是
    这样,但是这种形式使我们方便讨论了,并且它也是和一般形式的参数曲线等价滴;

    c.所有过点
    的参数曲线构成的集合记作

    d.给定
    点的一个光滑函数
    ,我们定义如下运算:
    ,这里值得注意的一点是,这个运算是well-defined的,因为它只关乎到
    也就是
    点处的取值,图示如下

    d06e91e70432069390754f23bf4a291a.png
    图源 陈省身《微分几何讲义》

    Prop 1

    a.

    b.

    Remark
    a.即
    运算对于后一个位置是线性的;

    b.
    的线性子空间。

    下面这个定理是我们遇到的第一个需要稍微花点力气来看的结论,我们就把它作为本篇笔记的结尾吧,剩下的我们下次再谈。

    首先为了简单起见,我们对

    和包含
    的容许坐标卡引入一个记号:
    ,是一个
    元函数。

    Th 1:

    proof:任取
    ,我们把
    的第i个元素
    记作
    ,那么就有

    那么就有

    这里最后一个
    并不是那么显然,其理解的关键之处在于
    ,即这里的
    是任取的,这就保证了函数
    的任意性,从而可以让
    取到任意值,从而保证了其系数
    一定为

    最后一段书上是这么说的,但其实我还是没理解。。。。(蠢哭
    Remark:这个定理旨在告诉我们,

    我想你需要下面这两个推论。

    Cor 1

    a.

    b.

    c.

    .
    proof:前两个不用多说,我们来看看第三个吧,实际上:

    于是

    Remark
    a.证明中的第三个
    用到了Th 1;

    b.证明中的第第五个
    其实我也不太确定。

    Cor 2:对于任一微分流形

    proof:这个证明有点复杂,我们暂且略过。

    OK,那我们先就结束到这,之后再补充几个微分流形的例子上去,也欢迎大家推荐。

    啊对,这次我们抄的是陈老的《微分几何讲义》哈。

    不要问我今天为什么这么兴奋,我又喝那家店的咖啡了!

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