LaTex数学公式

1.使用

类型	使用方法
文内公式	$…$
单行公式	$$…$$

2.符号

2.1 一般数学符号

直接输入

类型	名称	类型	名称
+	加	-	减
*	乘	/	除
%	求余	()	小括号
[]	中括号	{}	大括号

2.2 基本符号

名称	用法	显示	名称	用法	显示
乘	\times	$$\times$$	大于等于	\geqq	$$\geqq$$
除	\div	$$÷$$	约等于	\approx	$$\approx$$
小于等于	\leq或\le	$$\le$$	远远小于	\ll	$$\ll$$
小于等于	\leqq	$$\leqq$$	远远大于	\gg	$$\gg$$
大于等于	\geq或\ge	$$\ge$$	不等于	\ne	$$\ne$$
正负	\pm	$$\pm$$	负正	\mp	$$\mp$$

2.3 特殊符号

名称	用法	用例	显示
根号	\sqrt	\sqrt{a}或\sqrt[b]{a}	$$\sqrt{a}或\sqrt[b]{a}$$
同余	\pmod或\bmod	\pmod{m}或a \bmod b	$$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)或a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b$$
拔	\bar	\bar{x}	$$\bar{x}$$
无限	\infty	\infty	$$\infty$$
点	\dot	\dot{x}	$$\dot{x}$$
点	\cdot	\cdot	$$\cdot$$
三个点	\cdots	\cdots	$$\cdots$$
竖式三个点	\vdots	\vdots	$$⋮$$
斜式三个点	\ddots	\ddots	$$\ddots$$
分数线	\frac	\frac{b}{a}	$$\frac{b}{a}$$
上标	^	x^y	$$x^y$$
下标	_	x_y	$$x_y$$
二次型系数	\dbinom	\dbinom{n}{m}	$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)$$

名称	用法	显示
上划线	\overline{ab}	$$\overline{ab}$$
下划线	\underline{ab}	$$\underline{ab}$$
上括号	\overbrace{1+2+\cdots+100}	$$\overbrace{1+2+\cdots +100}$$
下括号	\underbrace{a+b+\cdots+n}	$$\underbrace{a+b+\cdots +n}$$
求和	\sum_{x=1}^N x	$$\sum _{x=1}^{N}x$$
求积	\prod_{i=1}^N x_i	$$\prod _{i=1}^N{x}_i$$
极限	\lim_{n \to \infty}x_n	$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$$
积分	\int_{a}^{b} \ln x, dx	$${\int }_a^b\ln xdx$$
双重积分	\iint_{a}^{b} , dx,dy	$${\iint }_a^{b}dxdy$$

2.4 集合

用法	显示	用法	显示	用法	显示
\forall	$$\forall$$	\cap	$$\cap$$	\sqsupseteq	$$⊒$$
\in	$$\in$$	\sqsubset	$$⊏$$	\bigcup	$$\bigcup$$
\subseteq	$$\subseteq$$	\sqcup	$$\bigsqcup$$	\not\in	$$\notin$$
\cup	$$\cup$$	\varnothing	$$\varnothing$$	\notin	$$\notin$$
\sqsupset	$$⊐$$	\subset	$$\subset$$	\biguplus	$$⨄$$
\exists	$$\exists$$	\bigcap	$$\bigcap$$	\sqcap	$$\sqcap$$
\ni	$$\ni$$	\sqsubseteq	$$⊑$$	\emptyset	$$\varnothing$$
\supset	$$\supset$$	\bigsqcup	$$⨆$$	\supseteq	$$\supseteq$$

2.5 几何

名称	用法	显示	名称	用法	显示
菱形	\Diamond	$$◊$$	角名	\angle	$$\angle$$
正方形	\Box	$$\square$$	角度	^{\omicron}	$${}^o$$
三角形	\Delta	$$\Delta$$	垂直	\perp 或 \bot	$$\perp$$
三角形	\triangle	$$△$$	圆形	\circ	$$⨀$$

2.6 箭头

合理运用\right \left \up \down+其他

用法	显示	用法	显示	用法	显示
\leftarrow	$$\leftarrow$$	\gets	$$\leftarrow$$	\rightarrow	$$\to$$
\to	$$\to$$	\leftrightarrow	$$\leftrightarrow$$	\longleftarrow	$$⟵$$
\longrightarrow	$$⟶$$	\mapsto	$$\mapsto$$	\longmapsto	$$⟼$$
\hookrightarrow	$$\hookrightarrow$$	\hookleftarrow	$$\hookleftarrow$$	\nearrow	$$\nearrow$$
\searrow	$$\searrow$$	\swarrow	$$\swarrow$$	\nwarrow	$$\nwarrow$$
\uparrow	$$\uparrow$$	\downarrow	$$\downarrow$$	\updownarrow	$$\updownarrow$$
\uparrow	$$\uparrow$$	\downarrow	$$\downarrow$$	\updownarrow	$$\updownarrow$$
\rightharpoonup	$$\rightharpoonup$$	\rightharpoondown	$$\rightharpoondown$$	\leftharpoonup	$$\leftharpoonup$$
\upharpoonleft	$$\upharpoonleft$$	\upharpoonright	$$\upharpoonright$$	\downharpoonleft	$$\downharpoonleft$$
\leftharpoondown	$$\leftharpoondown$$	\downharpoonright	$$\downharpoonright$$
\Leftarrow	$$\Leftarrow$$	\Rightarrow	$$\Rightarrow$$	\Leftrightarrow	$$\iff$$
\Longleftarrow	$$⟸$$	\Longrightarrow	$$⟹$$	\Longleftrightarrow (或 \iff)	$$⟺(或⟺)$$
\Uparrow	$$\Uparrow$$	\Downarrow	$$\Downarrow$$	\Updownarrow	$$\Updownarrow$$

2.7 括号

可以使用 \left和\right来对括号进行修饰
可以使用 ·\big, \Big, \bigg, \Bigg 控制括号的大小
( ) | | [ ]直接输入，{ }前加\ ，角括号\langle ，双竖线\|，向下取整\lfloor，向上取整\lceil

名称	用法	显示	名称	用法	显示
普通	( \frac{a}{b} )	$$(\frac{a}{b})$$	单竖线	\left | \frac{a}{b} \right |	$$\left
圆括号	\left( \frac{a}{b} \right)	$$\left(\frac{a}{b}\right)$$	双竖线	\left \	\frac{a}{b} \right \
方括号	\left[ \frac{a}{b} \right]	$$\left[\frac{a}{b}\right]$$	向下取整	\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor	$$\lfloor \frac{a}{b}\rfloor$$
花括号	\left{ \frac{a}{b} \right}	$$\left\{\frac{a}{b}\right\}$$	向上取整	\left \lceil \frac{a}{b} \right \rceil	$$\lceil \frac{a}{b}\rceil$$
角括号	\left \langle \frac{a}{b} \right \rangle	$$⟨\frac{a}{b}⟩$$

3.方程表示

名称	用法	显示
条件定义	f(n) = \begin\{cases\} \frac{a}{n},&n>0 \\ n,&n=0 \\ n+b, & n<0 \end{cases}	$$f(n)=\{\begin{array}{ll}\frac{a}{n},& n>0\\ n,& n=0\\ n+b,& n<0\end{array}$$
多行等式	f(x)=\begin{cases} & (m+n)^2 \\ & m^2+2mn+n^2 \\ <br />\end{cases}	$$f(x)=\{\begin{array}{ll}& (m+n{)}^2\\ & m^2+2mn+n^2\end{array}$$
求和	f(x)= \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots	$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots$$

4.矩阵

列使用 ＆ 符号，新行以双反斜杠\\。

名称	用法	显示
矩阵1	\begin{bmatrix} a & \cdots & b \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ c & \cdots & d \end{bmatrix}	$$\left[\begin{array}{ccc}a& \cdots & b\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ c& \cdots & d\end{array}\right]$$
矩阵2	\begin{Bmatrix} a & b \\ c & d\end{Bmatrix}	$$\left\{\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right\}$$
矩阵3	\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}	$$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$

一、希腊字母

反斜杠+希腊字母的英文拼写（标准的英文拼写，而不是拼音！）

1、小写希腊字母

☕️语法

\delta,\lambda

🌾效果

$$\delta ,\lambda$$

2、大写希腊字母

☕️语法

	\Delta,\Lambda \\
	\Alpha,\Beta \\
	\phi,\varphi \\
	\epsilon,\varepsilon \\

解释：
（1）将拼写的首字母大写就可以写成大写字母了。
（2）最后\\是换行的意思，但并不是标准的语法，也不是全部的编译器均支持。
（3）Alpha和Beta显示效果和拉丁字母A和B显示效果一致。
（4）有些字母存在变体。“\varphi”就是variant的变体。

🌾效果

$$\begin{gathered} \Delta ,\Lambda \\ \mathrm{A},\mathrm{B} \\ \varphi ,\phi \\ ϵ,\epsilon \end{gathered}$$

3、全部希腊字母表

放在这里供大家查阅。

二、上下标

用上标^和下划线_表示。

1、上下标是一个字符

☕️语法

	a^2,a_1

🌾效果

$$a^2,a_1$$

2、上下标多于一个字符

各种运算符和命令产生的格式效果都只对其后面大括号内的各字符有效（若其内只有一个字符则可省略大括号）

☕️语法

	x^{y+z},p_{ij}

🌾效果

$$x^{y+z},p_{ij}$$

3、不同的英文字母

​ 英文字母只有在表示变量（或者单一字符的函数名称，如f(x)）时才可使用斜体，

其余情况都应使用罗马体（直立体）。

（1）i表示变量

比如我们现在有x(1)、x(2)…x(n)，想要表示其中任意一个元素，可以写x_i。

这里的x是一个变量，所以它就是一个斜体的i。i表示1,2,3…n。

☕️语法

	x_i

🌾效果
$$x_i$$

（2）i表示输入

表示输入和输出：

x(i) i表示”输入“（input）之意，为普通文本。

☕️语法

	x_{\rm i} \\
或
	x_{\text i}

注：
	\rm(roman 罗马体)
	\text(文本)

🌾效果：
$$\begin{gathered} x_{\mathrm{i}} \\ {x}_{\text{i}} \end{gathered}$$

（3）补充

text与roman的区别。

<1> text支持空格的显示，roman不支持。

<2> 没有大括号的时候，text只对紧跟其后的第一个字母起作用，而roman对后面的都起作用。

• text

☕️语法

<1>	\text{A B} \\
<2>	\text A B

🌾效果
$$\begin{gathered} \text{A B} \\ \text{A}B \end{gathered}$$

<1> 可以看到，用text，A与B之间的空格会显示。

<2> A是直立体，B是斜体。

• roman

☕️语法

<1>	\rm{A B} \\
<2> \rm A B 

🌾效果
$$\begin{gathered} \mathrm{A}\mathrm{B} \\ \mathrm{A}\mathrm{B} \end{gathered}$$

<1> 可以看到，rm输出的A与B之间空格并没有显示。

<2> rm会把后面所有字母都变成直立体。

注：
	\rm是缩略写法，完整写法是 \mathrm
	如果用roman想只对第一个字母起作用（只让第一个字母变成直立体），那么可以这样写：{\rm A} B 

$$\mathrm{A}B$$

（4）常量字母

对于一些常量而不是变量的字母。（用直立体）

如

e : 自然对数的底数，为常量

i , j : 虚数单位，为常量

☕️语法

	\text{e},\text{i},\text{j}

🌾效果
$$\text{e},\text{i},\text{j}$$

三、分式与根式

1、分式

（1）单个字符

☕️语法

\frac{分子}{分母} 或 \frac 分子 分母

如：
	\frac{1}{2}  \\
	或
	\frac 1 2

🌾效果
$$\begin{gathered} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{gathered}$$

注： 
	（1） \frac(fraction,分数)
	（2） 单个字符不加括号也可以，如上面的1/2

（2）多个字符

☕️语法

\frac{分子}{分母}

如：
\frac{1}{x+y}

🌾效果
$$\frac{1}{x+y}$$

注：多个字符需要加上大括号！

（3）嵌套分式

☕️语法

\frac{\frac 1 x +1}{y+1}

🌾效果
$$\frac{\frac{1}{x}+1}{y+1}$$

补充

我们可以看到，这样写分子的1/x比较小。

我们可以将x变大一点。

☕️语法

\frac{\dfrac 1 x+1}{y+1}

🌾效果
$$\frac{\frac{1}{x}+1}{y+1}$$

注：\dfrac(display-style)

2、根式

（1）二次方根

☕️语法

\sqrt 2 \\
\sqrt {x+y}

🌾效果
$$\begin{gathered} \sqrt{2} \\ \sqrt{x+y} \end{gathered}$$

注：
	（1）\sqrt(square root,平方根)
	（2）根号下有多个字符需要用大括号括起来

（2）多次方根

☕️语法

将次方用中括号括起来

\sqrt[3]x \\
\sqrt[3]{x+y}

🌾效果
$$\begin{gathered} \sqrt[3]{x} \\ \sqrt[3]{x+y} \end{gathered}$$

四、普通运算符

1、加减

☕️语法

+和-

3+5 \\
7-2

🌾效果
$$\begin{gathered} 3+5 \\ 7-2 \end{gathered}$$

2、乘除

☕️语法

叉乘用\times，点乘用\cdot

除法用\div

如：
	2 \times 3 \\
	x \cdot  y  \\
	5 \div 2

🌾效果
$$\begin{gathered} 2\times 3 \\ x\cdot y \\ 5÷2 \end{gathered}$$

注：
	（1）cdot (center)
	（2）div  (divide)

3、正负号（负正号）

☕️语法

如
	\pm 3 \\
	\mp x

🌾效果
$$\begin{gathered} \pm 3 \\ \mp x \end{gathered}$$

注：
	（1）\pm (plus-minus)
	（2）\mp (minus-plus)

4、大于（大于等于）

☕️语法

大于用>

大于等于用\ge

如
	5 > 2 \\
	{a+b} > c \\
	x \ge y \\
	{a+b} \ge {c+d} 

🌾效果
$$\begin{gathered} 5>2 \\ a+b>c \\ x\ge y \\ a+b\ge c+d \end{gathered}$$

注：\ge (greater than or equal，大于等于)

5、小于（小于等于）

☕️语法

小于用<

小于等于用\le

如
	3<5  \\
	{a+b}<c \\
	x \le y \\
	{a+b} \le {c+d}

🌾效果
$$\begin{gathered} 3<5 \\ a+b<c \\ x\le y \\ a+b\le c+d \end{gathered}$$

注：\le (less than or equal，小于等于)

6、远大于与远小于

☕️语法

远大于用\gg，远小于用\ll

如
	x \gg y \\
	a \ll b 

🌾效果
$$\begin{gathered} x\gg y \\ a\ll b \end{gathered}$$

7、不等于

☕️语法

不等于用\ne

如
	a \ne b \\
	{x+y} \ne z

🌾效果
$$\begin{gathered} a\ne b \\ x+y\ne z \end{gathered}$$

注：\ne (not equal ，不等于)

8、约等于

☕️语法

约等于用\approx

如
	x \approx y

🌾效果
$$x\approx y$$

注：\approx (approximate，约等于)

9、恒等于

☕️语法

恒等于用\equiv

如
	x \equiv y

🌾效果
$$x\equiv y$$

注：\equiv (equivalent ，恒等的)

10、交集与并集

☕️语法

交集用\cap

并集用 \cup

如
	a \cap b=c \\
	c \cup d=e

🌾效果
$$\begin{gathered} a\cap b=c \\ c\cup d=e \end{gathered}$$

11、属于不属于

☕️语法

属于用\in

不属于用\notin

如
	a \in b \\
	c \notin d

🌾效果
$$\begin{gathered} a\in b \\ c\notin d \end{gathered}$$

12、子集与真子集

☕️语法

子集用\subseteq

真子集用\subsetneqq

如
	a \subseteq b \\
	c \subsetneqq

🌾效果
$$\begin{gathered} a\subseteq b \\ c⫋b \end{gathered}$$

13、空集

☕️语法

空集用\varnothing

如
	a \in \varnothing

🌾效果
$$a\in \varnothing$$

14、任意和存在（不存在）

☕️语法

任意用\forall

存在用\exists

不存在用\nexists

如
	\forall x \\
	\exists y \\
	\nexists z

🌾效果
$$\begin{gathered} \forall x \\ \exists y \\ \nexists z \end{gathered}$$

15、因为所以

☕️语法

因为用\because

所以用\therefore

如
	\because a>b \\
	\therefore c<d

🌾效果
$$\begin{gathered} \because a>b \\ \therefore c<d \end{gathered}$$

16、数集

☕️语法

实数集用\mathbb R或者\R

\mathbb R \\
\R \\
\Q \\
\N \\
\Z \\
\Z_ \\

🌾效果
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \Q at position 22: …bb R \\ \R \\ \̲Q̲ ̲\\ \N \\ \Z \\ …

注
	（1）\mathbb (blackboard bold)
	（2）\加上后面字母的形式只适用于数集

17、花体字母

☕️语法

傅里叶变换中的f用\mathcal

\mathal \\
\mathscr

🌾效果
$$\begin{gathered} \mathcal{F} \\ \mathcal{F} \end{gathered}$$

注：
	（1）\mathcal (calligraphy 书法)
	（2）\mathscr (script 手迹)

18、省略号

☕️语法

横向省略号用\cdots

垂直省略号用\vdots

斜向省略号用\ddots

\cdots \\
\vdots \\
\ddots

🌾效果
$$\begin{gathered} \cdots \\ ⋮ \\ \ddots \end{gathered}$$

注
	（1）cdots (横向省略号)
	（2）vdots (vertial 垂直的省略号)

19、无穷

☕️语法

无穷用\infty

\infty

🌾效果
$$\infty$$

注：infty (infinity 无穷)

20、偏微分微元符号

☕️语法

微元符号用\partial

\partial

🌾效果
$$\partial$$

21、三角函数

☕️语法

\sin x ,\sec x ,\cosh x \\
\cos x ,\tan x 

🌾效果
$$\begin{gathered} \sin x,\sec x,\cosh x \\ \cos x,\tan x \end{gathered}$$

22、对数

☕️语法

\log_2 x,\ln x,\lg x

🌾效果
$${\log }_{2}x,\ln x,\lg x$$

23、极限

☕️语法

极限用_lim

最大用\max，最小用\min

如
	\lim_{x \to 0} \frac {x}{\sin x} \\
	\lim \limits_{x \to 0} \frac {x}{\sin x} \\
	\max x,\min x

🌾效果
$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{\sin x} \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{\sin x} \\ \max x,\min x \end{gathered}$$

注：有的编辑器显示x—>0的时候，不会显示在下方，而是角标位置。
    我们可以用“\limits”来强制将它显示在下方。

24、其他符号

☕️语法

\nabla \\
\propto \\
\degree \\

🌾效果
$$\begin{gathered} \nabla \\ \propto \\ ° \end{gathered}$$

注
	（1）\propto (proportional to 正比于)
	（2）\degree (度)

25、小细节

上面的lim、sin等都用的是直体的符号。这就说明，运算符名称超过一个字母时应该用直立体。

比如我们这里要写一个均方误差的表达式，直接输入会发现是斜体。

MSE(x)

如图
$$MSE(x)$$

规范的来说，”MSE“应该是直体！

所以我们应该假如\text限定，将MSE改成直立体。

\text{MSE}(x)

如图
$$\text{MSE}(x)$$

五、大型运算符

1、求和与求积

☕️语法

求和用\sum

求积用\prod

如
	\sum ,\prod \\
	\sum_i,\sum_{i=0}^N \\
	\frac{\sum_{i=1}^N x_i}{\prod_{i=1}^N x_i} \\
	\frac{\sum \limits_{i=1}^N x_i}{\prod \limits_{i=1}^N x_i}

🌾效果
$$\begin{gathered} \sum ,\prod \\ \sum _i,\sum _{i=0}^N \\ \frac{{\sum }_{i=1}^N{x}_i}{{\prod }_{i=1}^N{x}_i} \\ \frac{\sum _{i=1}^N{x}_i}{\prod _{i=1}^N{x}_i} \end{gathered}$$

注： \prod (product 乘积)

2、积分

☕️语法

积分用\int

双重积分用\iint

三重积分用\iiint

回路积分用\oint

双重回路积分用\oiint

如
	\int, \iint, \iiint \\
	\oint, \oiint \\
	\int_{-\infty}^0 f(x)\,\text dx

🌾效果
$$\begin{gathered} \int ,\iint ,\iiint \\ \oint ,\iint \\ {\int }_{-\infty }^{0}f(x)\text{d}x \end{gathered}$$

注
	标准积分式表达：dx前面的d应该用直立体，所以要加上\text限定。且dx与前面f(x)有一定距离，加上“\,”即可。

补充

“,”（反斜杠加逗号）

“\ ”（反斜杠加空格）

“\quad ”（反斜杠加quad加空格）

“\qquad”（反斜杠加qquad加空格）

a\,a \\
a\ a \\
a\quad a \\
a\qquad a

如图
$$\begin{gathered} aa \\ aa \\ aa \\ aa \end{gathered}$$

六、标注符号

1、向量

☕️语法

向量用\vec（小箭头）

更多字符要用\overrightarrow来表示

如
	\vec x \\
	\overrightarrow {AB} \\

🌾效果
$$\begin{gathered} \vec{x} \\ \overrightarrow{AB} \end{gathered}$$

注
	（1）\vec (vector 向量) 但它只支持比较小的箭头。
	（2）多字符用\overrightarrow。

2、平均值

☕️语法

平均值要用\bar

更多字符要用overline

如
	\bar x \\
	\overline {AB}

🌾效果
$$\begin{gathered} \bar{x} \\ \overline{AB} \end{gathered}$$

3、箭头

:☕️语法

左箭头用\leftarrow，双线箭头用\Leftarrow，长箭头用\longleftarrow。

右箭头用\rightarrow，双线箭头用\Rightarrow，长箭头用\longrightarrow。

左右双箭头用\Leftrightarrow

如
	\leftarrow, \Leftarrow ,\longleftarrow \\
	\rightarrow, \Rightarrow, \longrightarrow \\
	\Leftrightarrow \\
	

🌾效果
$$\begin{gathered} \leftarrow ,\Leftarrow ,⟵ \\ \to ,\Rightarrow ,⟶ \\ \iff \end{gathered}$$

完整的箭头命令可以参考这张表：

4、括号与定界符

☕️语法

小括号直接用()。

中括号直接用[]。

大括号因为被LaTeX占用了，所以要用反斜杠来转义一下，即\{\}。

左向上取整用\lceil，右上取整用\rceil。

左向下取整用\lfloor，右向下取整用\rfloor。

绝对值用||

(), [] \\
\{\}  \\
\lceil ,\rceil \\
\lfloor ,\rfloor \\
||

🌾效果
( ) , [ ] { } ⌈ , ⌉ ⌊ , ⌋ ∣ ∣ (),[] \\ \{\} \\ \lceil, \rceil \\ \lfloor ,\rfloor \\ || (),[]{}⌈,⌉⌊,⌋∣∣

补充1

这样输入的括号和定界符的大小是固定的。比如我们有一些比较高的式子：

(0,\frac 1 a]

我们看到效果是括号很小：
$$(0,\frac{1}{a}]$$

我们可以在括号前面加上\left和\right这样的限定。

\left(0,\frac 1 a \right]

看一下效果：
$$\left(0,\frac{1}{a}\right]$$

补充2

求偏导时的竖线直接输入会很小：

\frac{\partial f}{\partial x}|_{x=0}

$$\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{x=0}$$

此时如果想把竖线变长，可是按照刚才的写法，这可以相当于是右括号，在竖线前面写上\right，但没有左括号和它配对，那怎么办？

我们可以虚构一个左括号。

在式子的最左侧写上\left.

即：

\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{x=0}

$${\frac{\partial f}{\partial x}|}_{x=0}$$

七、多行公式

之前我们一直在用双反斜杠\\来进行换行，但其实这是不规范的写法。

不是全部的编辑器都支持这样输入。

在进行LateX排版的时候，这种写法可能就不支持了。

☕️语法

如
	\begin{align}
	a=b+c+d \\
	=e+f
	\end{align}

🌾效果
$$
\begin{align}

a=b+c+d \
=e+f

\end{align}
$$

注
	（1）\begin{align} （对齐）
	（2）\begin与\end构成了多行环境。
	（3）在中间输入式子，期间可以换行，用双反斜杠\\，但这是默认右对齐的。
	（4）若想让等于号对齐，需要在等于号之前输入&符号。

让等于号对齐：

	\begin{align}
	a&=b+c+d \\
	&=e+f
	\end{align}

效果：
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ a&=b+c+d \\ …

补充

类似的还有大括号。

比如我们先来写一个分段函数：

f(x)=
\begin{cases}
	\sin x,-π\le x \le π \\
	0,\text{其他}
\end{cases}

$$f(x)=\{\begin{array}{l}\sin x,-\pi \le x\le \pi \\ 0,\text{其他}\end{array}$$

现在想让条件对齐，可以在条件前面分别加上&符号。

即：

f(x)=
\begin{cases}
	\sin x,& -π\le x \le π \\
	0,& \text{其他}
\end{cases}

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\sin x,& -\pi \le x\le \pi \\ 0,& \text{其他}\end{array}$$

八、矩阵

1、matrix

☕️语法

\begin{matrix}矩阵

\begin{matrix}
	a & b & \cdots & c \\
	\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
	e & f & \cdots & g
\end{matrix}

🌾效果
$$\begin{array}{cccc}a& b& \cdots & c\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ e& f& \cdots & g\end{array}$$

2、bmatrix

☕️语法

\begin{bmatrix}矩阵（bracket 方括号）

\begin{bmatrix}
	a & b & \cdots & c \\
	\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
	e & f & \cdots & g
\end{bmatrix}

🌾效果
$$\left[\begin{array}{cccc}a& b& \cdots & c\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ e& f& \cdots & g\end{array}\right]$$

3、pmatrix

☕️语法

\begin{pmatrix}矩阵（parenthesis 圆括号）

\begin{pmatrix}
	a & b & \cdots & c \\
	\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
	e & f & \cdots & g
\end{pmatrix}

🌾效果
$$\left(\begin{array}{cccc}a& b& \cdots & c\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ e& f& \cdots & g\end{array}\right)$$

4、vmatrix

☕️语法

\begin{vmatrix}矩阵（vertical bar 竖向短线）

\begin{vmatrix}
	a & b & \cdots & c \\
	\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
	e & f & \cdots & g
\end{vmatrix}

🌾效果
$$\left|\begin{array}{cccc}a& b& \cdots & c\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ e& f& \cdots & g\end{array}\right|$$

补充

矩阵字母一般会用加粗的罗马体来表示。

比如矩阵A会用\bf A来表示。

就像这样：
$$\mathbf{A}$$

同样地，转置符号也应该是罗马体来表示，即\bf B^{\rm T}

就像这样：
$${\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}$$

注： \bf (bold face 粗体)
    \bf也是偷懒写法，标准写法是\mathbf。

九、实战演练

1、第一题

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{\text{e}}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$

步骤：

（1）先写乘法前半截，是个分数。用\frac{}{}的形式。

（2）分数的分子是1，分母是根号乘以一个符号，即\sqrt{2 \pi} \sigma。

（3）再写后半截，是一个指数形式。e是一个常量，需要用到直体，即\text e。

（4）指数是一个分数，负号写前边，后边用\frac{}{}的形式。

（5）分数的分子是(x-\mu)^2，分母是2\sigma^2。

f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}{\text e}^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}

这样指数比较小，我们可以改成exp，就会让指数大一点。

f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp \left[ {-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \right]

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp \left[-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right]$$

2、第二题

$$\underset{N\to \infty }{\lim }P\left\{\left|\frac{I\left({\alpha }_i\right)}{N}-H(s)\right|<\epsilon \right\}=1$$

步骤：

（1）先写极限，即\lim。

（2）强制极限条件显示在lim下方，即\limits。

（3）极限条件是N到无穷。即N\to \infty。

（4） P乘以花括号（自适应大小），花括号写法\left\{ \right\}。

（5）花括号里面绝对值（自适应大小）是拉长的，\left| \right|

（6）绝对值里面，第一个是分数，用\frac{}{}，分子是I()，小括号也要自适应。

（7）括号里面是\alpha _i，分母是N。第二个是H(s)。

（8）绝对值出来之后是< \varepsilon。

\lim \limits_{N\to \infty}P \left \{\left | \frac{I\left(\alpha_i \right)}{N}-H(s) \right |< \varepsilon \right\}=1

3、第三题

$$x(n)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }X\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\omega }\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\omega n}\mathrm{d}\omega$$

步骤

（1）最左边是一个分式，\frac{1}{2\pi}

（2）右边是一个积分，上下限是-π到π。即\int_{-\pi}^{\pi}

（3）被积函数由三部分组成。第一个是大写的X，即X。

（4）第二个第三个是指数函数，底数是常量e，是直立体，即\rm e。

（5）指数j是虚数单位，也是直立体，即\rm j。

（6）第二个指数是带上标的，所以小括号要有一个自适应，即\left( \right)。

x(n)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X\left( {\rm e}^{{\rm j}\omega} \right) {\rm e}^{{\rm j}\omega n}\, {\rm d}\omega

前言

若想学习Markdown，请参见我的其他博客：Markdown详细教程+技巧总结 。
若想学习LaTeX，请参见我的其他博客：LaTeX详细教程+技巧总结 。

若使用LaTeX编译器编写LaTeX数学公式，需要在导言区引用数学公式的宏包，代码为\usepackage{amsmath}；若要修改公式的字体，还需要引用宏包\usepackage{amsfonts}。

若使用Markdown编写LaTeX数学公式，CSDN支持LaTeX数学公式，但有些本地编辑器可能不支持LaTeX数学公式，Typroa可以更改设置支持，VS Code可以通过安装扩展的方式支持。

本篇博客内容包含前言，注意事项，插入公式，注释，编号，转义字符，换行与对齐，字体，空格，上下标，括号，大括号和行标，分式，开方，对数，省略号，最值，方程组和分段函数，累加和累乘，矢量，积分，极限，导数与偏导，矩阵，表格，希腊字母，运算符，黑板粗体（空心字母），戴帽符号，特殊符号，等等。

1. 官方文档（英文）：
   传送门：官方文档
   网址：http://www.ctex.org/documents/packages/math/index.htm
2. 中文文档：
   传送门：中文教程
   网址：https://www.latexlive.com/help
3. 技巧：使用在线LaTeX公式编辑器，来生成LaTeX公式代码，然后复制到LaTeX编辑器（或Markdown编辑器）中，并在两边加上$或$$即可。
   在线LaTeX公式编辑器网址：https://www.latexlive.com/
4. 插入公式
   左对齐公式（行中公式）：$数学公式$
   居中公式（独立公式）：$$数学公式$$
   注意：使用$行中公式时，数学公式与$连接处不要有空格，否则公式不会显示；使用$$居中公式时，数学公式与$$连接处可以有空格。即$ 数学公式 $ 不显示公式。
5. 注释：%为单行注释。
6. 细节请参照下文。

注意事项

1. 使用$，即行中公式时，数学公式与$连接处不要有空格，否则公式不会显示。即$ 数学公式 $ 不显示公式。
2. 使用$$，即居中公式时，数学公式与$$连接处可以有空格。
3. 使用$$时，上方要空一行。
4. =不要单独打一行，否则可能会出错。
5. + - * / = ( ) | , . '等符号直接在$或$$之间输入即可识别。

插入公式

左对齐公式（行中公式）：$数学公式$
居中公式（独立公式）：$$数学公式$$

注意： 注意事项请参照目录章节中的注意事项子章节。

左对齐例子：$x+y=z$
$x+y=z$

居中对齐例子：$$x+y=z$$
$$x+y=z$$

注释

%为单行注释。

例子：

$$
%第一个极限
\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n(n+1)}
\quad %空一格
and %英文单词and
\quad %空一格
%第2个极限
\lim_{x\leftarrow{example} \infty} \frac{1}{n(n+1)}
$$

显示：
$$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n(n+1)}and\underset{x\leftarrow example\infty }{\lim }\frac{1}{n(n+1)}$$

编号

Markdown编辑器

在公式末尾使用\tag{编号}来实现公式手动编号，大括号内的内容可以自定义。

例子：

$$
x+y=z
\tag{1}
$$

显示：
$$x+y=z\text{\hspace{1em}(1)}$$

LaTeX编辑器

包含自动编号和手动编号两种方式。
详情请参见我的另一篇博客LaTeX详细教程中的公式编号章节。
此处简单介绍使用方法。

自动编号
使用\begin{equation}和\end{equation}进行公式输入，要同时使用，且编号不能够修改。

例子：

\begin{equation}
a^2+b^2=c^2
\end{equation}

显示：

手动编号
在公式末尾使用\tag{编号}来实现公式手动编号，大括号内的内容可以自定义。需要使用\usepackage{amsmath}宏包，不能写在$或$$中，会报错。

例子：

\begin{equation}
a^2+b^2=c^2
\tag{2}
\end{equation}

显示：

转义字符

在公式中输入_或^等符号时，会产生上下标功能，若想输入符号本身则需要转义字符\，写法为\+字符，示例如下：

例子：

$$
% \ 为转义字符
home\_name=honor
$$

显示：
$$home\_name=honor$$

换行与对齐

换行

使用\\进行换行，最后一行的\\可写可不写。

例子：

$$
f(x)=2x+1 \\
=2+1 \\
=3
$$

显示：
$$\begin{gathered} f(x)=2x+1 \\ =2+1 \\ =3 \end{gathered}$$

对齐

使用\begin{aligned}进行对齐，&表示对齐位置，一般都在=前面。

例子：

\begin{aligned}
f(x)&=2x+1 \\
&=2+1 \\
&=3
\end{aligned}

显示：

$$\begin{array}{rl}f(x)& =2x+1\\ & =2+1\\ & =3\end{array}$$

字体

若要对公式的某一部分字符进行字体转换，可以用 \字体{需转换的字符} 命令，其中 \字体 部分可以参照下表选择合适的字体。一般情况下，公式默认为意大利体，直体为罗马体 \rm。一般里面一层大括号可省略。

注意：在LaTeX编辑器中，修改公式字体时，需要引入宏包\usepackage{amsmath}和\usepackage{amsfonts}，且在公式中输入。

输入	说明	显示
\mathit 或 \it	斜体（默认，意大利体）	$D$
\mathrm 或 \rm	罗马体	$\mathrm{D}$
\mathbf 或 \bf	粗体	$\mathbf{D}$
\mathbb	黑板粗体	$\mathbb{D}$
\mathsf 或 \sf	等线体	$\mathsf{D}$
\mathcal	花体	$\mathcal{D}$
\mathscr	手写体	$\mathcal{D}$
\mathtt	打字机体	$\mathtt{D}$
\mathfrak	哥特体	$\mathfrak{D}$
\boldsymbol	黑体	$\mathbf{D}$

例子：
$$A+\mathbb{BC}+D$$

显示：
$$A+\mathbb{B}\mathbb{C}+D$$

空格

\quad：空一格
\qquad：空两格

例子：
$$x \quad y \qquad z$$

显示：
$$xyz$$

上下标

^表示上标， _ 表示下标。如果上下标的内容多于一个字符，需要用 {}将这些内容括成一个整体。上下标可以嵌套，也可以同时使用。

例子：
$$x^{y^z_w}=(1+{\rm e}^x)^{-2xy^w}$$

显示：
$$x^{y_w^z}=(1+{\mathrm{e}}^x{)}^{-2x{y}^w}$$

上下标同时使用例子：
$$f(x) = x_1^2 + {x}_{2}^{2}$$

显示：
$$f(x)=x_1^2+x_2^2$$

括号

()、[]、|表示符号本身，使用 \{\} 来表示 {}。当要显示大号的括号或分隔符时，要用 \left 和 \right 命令，如$\left(表达式\right)$，大号的括号详见下一节）。

一些特殊的括号：

特殊括号	输入	显示
尖括号	$\langle表达式\rangle$	$⟨表达式⟩$
向上取整	$\lceil表达式\rceil$	$\lceil 表达式\rceil$
向下取整	$\lfloor表达式\rfloor$	$\lfloor 表达式\rfloor$
大括号	$\lbrace表达式\rbrace$	{ 表 达 式 } \lbrace表达式\rbrace {表达式}

例子：
$$f(x,y,z) = 3y^2z \left( 3+\frac{7x+5}{1+y^2} \right)$$

显示：
$$f(x,y,z)=3y^{2}z\left(3+\frac{7x+5}{1+y^2}\right)$$

大括号

方法1
使用 \left和 \right来创建自动匹配高度的括号，包含 (圆括号)、[方括号]、|绝对值|。

例子：

$$
f\left(
   \left[
     \frac{
       1+\left\{x,y\right\}
     }{
       \left(
          \frac{x}{y}+\frac{y}{x}
       \right)
       \left(u+1\right)
     }+a
   \right]^{3/2}
\right)
$$

显示：
f ( [ 1 + { x , y } ( x y + y x ) ( u + 1 ) + a ] 3 / 2 ) f\left( \left[ \frac{ 1+\left\{x,y\right\} }{ \left( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right) \left(u+1\right) }+a \right]^{3/2} \right) f⎝⎜⎛​⎣⎡​(yx​+xy​)(u+1)1+{x,y}​+a⎦⎤​3/2⎠⎟⎞​

有时候要用\left.或\right.进行匹配而不显示本身。

例子：
$$\left. \frac{ {\rm d}u}{ {\rm d}x} \right| _{x=0}$$

显示：
$${\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}|}_{x=0}$$

方法2
使用\big和\bigg来创建逐级变大的括号，包含 (圆括号)、[方括号]、|绝对值|。

例子：

$$\bigg( \big( ( ) \big) \bigg)$$
$$\bigg[ \big[ [ ] \big] \bigg]$$
$$\bigg| \big| | | \big| \bigg|$$

显示：
$$\left(\right(()\left)\right)$$
$$\left[\right[[]\left]\right]$$
$$\left|\right|||\left|\right|$$

分式

通常使用 \frac {分子} {分母} 命令产生一个分式，分式可嵌套。
便捷情况可直接输入 \frac ab来快速生成一个 $\frac{a}{b}$。
如果分式很复杂，亦可使用 分子 \over 分母 命令，此时分式仅有一层。

例子：
$$\frac{a-1}{b-1} \quad and \quad {a+1\over b+1}$$

显示：
$$\frac{a-1}{b-1}and\frac{a+1}{b+1}$$

根式

\sqrt [根指数] {被开方数}

注意：缺省根指数时为2

例子：
$$\sqrt{2} \quad and \quad \sqrt[n]{x+y}$$

显示：
$$\sqrt{2}and\sqrt[n]{x+y}$$

对数

\log_{对数底数}{表达式}

表达式的大括号可省略

显示：
${\log }_{x+y}(z+1)$

省略号

数学公式中常见的省略号有两种，\ldots 表示与文本底线对齐的横向省略号 $\dots$，\cdots 表示与文本中线对齐的横向省略号 $\cdots$，\vdots表示纵向省略号 $⋮$，\ddots表示斜向省略号 $\ddots$。

例子：
$$f(x_1,x_2,\underbrace{\ldots}_{\rm ldots} ,x_n) = x_1^2 + x_2^2 + \underbrace{\cdots}_{\rm cdots} + x_n^2$$

显示：
$$f(x_1,x_2,\underset{\mathrm{l}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{s}}{\underbrace{\dots }},x_n)=x_1^2+x_2^2+\underset{\mathrm{c}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{s}}{\underbrace{\cdots }}+x_n^2$$

最值

\max_{下标表达式}{最值表达式}表示最大值，\min_{下标表达式}{最值表达式}表达最小值。
例子：
$$||x||_\infty=\max_{1\leq i\leq n}{|x_i|}$$

显示：
$$||x|{|}_{\infty }=\underset{1\le i\le n}{\max }|x_i|$$

方程组和分段函数

方程组

方程组有2种方式，分别是\begin{aligned}和\begin{cases}方式，&表示对齐位置，推荐使用\begin{cases}方式，使用方法如下：

\begin{aligned}方式：可以使方程组根据=对齐

$$
\left\{
\begin{aligned}
a+b&=2 \\
a-b&=4 \\
\end{aligned}
\right.
$$

显示：
$$\{\begin{array}{rl}a+b& =2\\ a-b& =4\end{array}$$

\begin{cases}方式（推荐）：简便，但无法根据=对齐

$$
\begin{cases}
a+b=2 \\
a-b=4 \\
\end{cases}
$$

显示：
$$\{\begin{array}{l}a+b=2\\ a-b=4\end{array}$$

分段函数

分段函数可以通过\begin{cases}方式实现，不同的是方程式和条件之间要用&符号隔开。

例子：

$$
y =
\begin{cases}
\sin(x)       & x<0 \\
x^2 + 2x +4   & 0 \leq x < 1 \\
x^3           & x \geq 1 \\
\end{cases}
$$

显示：
$$y=\{\begin{array}{ll}\sin (x)& x<0\\ x^2+2x+4& 0\le x<1\\ x^3& x\ge 1\end{array}$$

累加和累乘

使用 \sum_{下标表达式}^{上标表达式}{累加表达式}来输入一个累加。
与之类似，使用 \prod \bigcup \bigcap来分别输入累乘、并集和交集。
此类符号在行内显示时上下标表达式将会移至右上角和右下角。

例子：
$$\sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2} \quad and \quad \prod_{i=1}^n \frac{1}{i^2} \quad and \quad \bigcup_{i=1}^{2} R$$

显示：
$$\sum _{i=1}^n\frac{1}{i^2}and\prod _{i=1}^n\frac{1}{i^2}and\bigcup _{i=1}^{2}R$$

矢量

使用 \vec{矢量}来自动产生一个矢量。
也可以使用 \overrightarrow等命令自定义字母上方的符号。

例子：
$$\vec{a} \cdot \vec{b}=0\$$

显示：
$$\vec{a}\cdot \vec{b}=0$$

例子：
$$\overleftarrow{xy} \quad and \quad \overleftrightarrow{xy} \quad and \quad \overrightarrow{xy}$$

显示：
$$\overleftarrow{xy}and\overleftrightarrow{xy}and\overrightarrow{xy}$$

极限

\lim_{变量 \to 表达式} 表达式
如有需求，可以更改 \to 符号至任意符号。

例子：
$$\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n(n+1)} \quad and \quad \lim_{x\leftarrow{example} \infty} \frac{1}{n(n+1)}$$

显示：
$$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n(n+1)}and\underset{x\leftarrow example\infty }{\lim }\frac{1}{n(n+1)}$$

导数

导数
${\rm d}x$或${\text d}x$或$\text{d}x$

$\mathrm{d}x$或$\text{d}x$或$\text{d}x$

偏导
$\frac{\partial y}{\partial x}$

$\frac{\partial y}{\partial x}$

梯度
$\nabla f(x)$

$\nabla f(x)$

积分

\int_积分下限^积分上限 {被积表达式}

例子：
$$\int_0^1 {x^2} \,{\rm d}x$$

显示：
$${\int }_0^1{x}^2\mathrm{d}x$$

矩阵

基础矩阵

使用\begin{matrix}…\end{matrix} 这样的形式来表示矩阵，在\begin 与\end 之间加入矩阵中的元素即可。矩阵的行之间使用\\ 分隔，\\表示换行，列之间使用& 分隔，&表示对齐位置。

例子：

$$
\begin{matrix}
1 & x & x^2 \\
1 & y & y^2 \\
1 & z & z^2 \\
\end{matrix}
$$

显示：
$$\begin{array}{ccc}1& x& x^2\\ 1& y& y^2\\ 1& z& z^2\end{array}$$

带括号的矩阵

使用\left 与\right 表示括号

如果要对矩阵加括号，可以像上文中提到的一样，使用\left 与\right 配合表示括号符号。

例子：

$$
\left[
\begin{matrix}
1 & x & x^2 \\
1 & y & y^2 \\
1 & z & z^2 \\
\end{matrix}
\right]
$$

显示：
$$\left[\begin{array}{ccc}1& x& x^2\\ 1& y& y^2\\ 1& z& z^2\end{array}\right]$$

使用特殊的matrix

带括号的矩阵也可以使用特殊的matrix 。即替换\begin{matrix}…\end{matrix} 中matrix 为pmatrix ，bmatrix ，Bmatrix ，vmatrix , Vmatrix 。

1. pmatrix：$\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\\ \end{pmatrix}$
   $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$
2. bmatrix：$\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\\ \end{bmatrix}$
   $\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$
3. Bmatrix：$\begin{Bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\\ \end{Bmatrix}$
   $\left\{\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right\}$
4. vmatrix：$\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\\ \end{vmatrix}$
   $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right|$
5. Vmatrix：$\begin{Vmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\\ \end{Vmatrix}$
   $\Vert \begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\Vert$

行列式

方法已经在上一节带括号的矩阵中有所介绍，此处只写一个例子。

例子1：使用\left 与\right 表示括号

$$
\left|
\begin{matrix}
1 & x & x^2 \\
1 & y & y^2 \\
1 & z & z^2 \\
\end{matrix}
\right|
$$

显示：
$$\left|\begin{array}{ccc}1& x& x^2\\ 1& y& y^2\\ 1& z& z^2\end{array}\right|$$

例子2：使用特殊的matrix

$$
\begin{vmatrix}
1 & x & x^2 \\
1 & y & y^2 \\
1 & z & z^2 \\
\end{vmatrix}
$$

显示：
$$\left|\begin{array}{ccc}1& x& x^2\\ 1& y& y^2\\ 1& z& z^2\end{array}\right|$$

元素省略的矩阵

可以使用\cdots ：$\cdots$，\ddots：$\ddots$ ，\vdots：$⋮$ ，来省略矩阵中的元素。

例子：

$$
\begin{pmatrix}
1&a_1&a_1^2&\cdots&a_1^n\\
1&a_2&a_2^2&\cdots&a_2^n\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
1&a_m&a_m^2&\cdots&a_m^n\\
\end{pmatrix}
$$

显示：
$$\left(\begin{array}{ccccc}1& a_1& a_1^2& \cdots & a_1^n\\ 1& a_2& a_2^2& \cdots & a_2^n\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& a_m& a_m^2& \cdots & a_m^n\end{array}\right)$$

增广矩阵

增广矩阵需要使用前面的表格中使用到的\begin{array} ... \end{array} 来实现。

例子：

$$
\left[  \begin{array}  {c c | c} %这里的c表示数组中元素对其方式：c居中、r右对齐、l左对齐，竖线表示2、3列间插入竖线
1 & 2 & 3 \\
\hline %插入横线，如果去掉\hline就是增广矩阵
4 & 5 & 6
\end{array}  \right]
$$

显示：
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right]$$

表格

使用\begin{array}{列样式}…\end{array} 这样的形式来创建表格，列样式可以是clr 表示居中，左，右对齐，还可以使用| 表示一条竖线。表格中各行使用\\ 分隔，各列使用& 分隔。使用\hline 在本行前加入一条直线。

例子：

$$
\begin{array}{c|lcr}
n & \text{Left} & \text{Center} & \text{Right} \\
\hline
1 & 0.24 & 1 & 125 \\
2 & -1 & 189 & -8 \\
3 & -20 & 2000 & 1+10i \\
\end{array}
$$

显示：
$$\begin{array}{clcr}n& \text{Left}& \text{Center}& \text{Right}\\ 1& 0.24& 1& 125\\ 2& -1& 189& -8\\ 3& -20& 2000& 1+10i\end{array}$$

希腊字母

输入 \小写希腊字母英文全称和\首字母大写希腊字母英文全称来分别输入小写和大写希腊字母。
对于大写希腊字母与现有字母相同的，直接输入大写字母即可。

输入	显示	输入	显示
$\alpha$	$\alpha$	$A$	$A$
$\beta$	$\beta$	$B$	$B$
$\gamma$	$\gamma$	$\Gamma$	$\Gamma$
$\delta$	$\delta$	$\Delta$	$\Delta$
$\epsilon$	$ϵ$	$E$	$E$
$\zeta$	$\zeta$	$Z$	$Z$
$\eta$	$\eta$	$H$	$H$
$\theta$	$\theta$	$\Theta$	$\Theta$
$\iota$	$\iota$	$I$	$I$
$\kappa$	$\kappa$	$K$	$K$
$\lambda$	$\lambda$	$\Lambda$	$\Lambda$
$\nu$	$\nu$	$N$	$N$
$\mu$	$\mu$	$M$	$M$
$\xi$	$\xi$	$\Xi$	$\Xi$
$o$	$o$	$O$	$O$
$\pi$	$\pi$	$\Pi$	$\Pi$
$\rho$	$\rho$	$P$	$P$
$\sigma$	$\sigma$	$\Sigma$	$\Sigma$
$\tau$	$\tau$	$T$	$T$
$\upsilon$	$\upsilon$	$\Upsilon$	${\rm Y}$
$\phi$	$\varphi$	$\Phi$	$\Phi$
$\chi$	$\chi$	$X$	$X$
$\psi$	$\psi$	$\Psi$	$\Psi$
$\omega$	$\omega$	$\Omega$	$\Omega$

黑板粗体（空心字母）

空心字母属于一种字体，官方名称为黑板粗体，仅对大写字母起作用。若使用LaTeX编辑器，使用前需要在导言区引入宏包\usepackage{amsfonts}，并在公式中修改字体。

使用$\mathbb{字母}$即可使用空心字母，下方示例仅展示3个字母（M，R，L），其它字母同理。

大写字母	公式语言
$\mathbb{M}$	$\mathbb{M}$
$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$
$\mathbb{L}$	$\mathbb{L}$
…	…

运算符

对于加减除，对应键盘上便可打出来，但是对于乘法，键盘上没有这个符号，所以我们应该输入 \times 来显示一个 $\times$ 号。

普通字符在数学公式中含义一样，除了 # $ % & ~ _ { } 若要在数学环境中表示这些符号# $ % & _ { }，需要分别表示为\# \$ \% \& \_ \{ \}，即在个字符前加上转义字符 \ 。

关系运算符

关系运算符	公式语言	集合运算符	公式语言	对数运算符	公式语言
$\pm$	$\pm$	$\varnothing$	$\emptyset$	$\log$	$\log$
$\times$	$\times$	$\in$	$\in$	$\lg$	$\lg$
$÷$	$\div$	$\notin$	$\notin$	$\ln$	$\ln$
$\mid$	$\mid$	$\subset$	$\subset$
$\nmid$	$\nmid$	$\supset$	$\supset$
$\cdot$	$\cdot$	$\subseteq$	$\subseteq$
$\circ$	$\circ$	$\supseteq$	$\supseteq$
$\ast$	$\ast$	$\cap$	$\cap$(可加前缀big)
$\odot$	$\odot$(可加前缀big)	$\cup$	$\cup$(可加前缀big)
$\otimes$	$\otimes$(可加前缀big)	$\vee$	$\vee$(可加前缀big)
$\oplus$	$\oplus$(可加前缀big)
$\le$	$\leq$ 或 $\le$	$\wedge$	$\wedge$(可加前缀big)
$\ge$	$\geq$ 或 $\ge$	$\uplus$	$\uplus$(可加前缀big)
$\ne$	$\neq$ 或 $\ne$	$\bigsqcup$	$\sqcup$(可加前缀big)
$\sim$	$\sim$
$\backsim$	$\backsim$
$\simeq$	$\simeq$
$\cong$	$\cong$
$\approx$	$\approx$
$\equiv$	$\equiv$
$\ll$	$\ll$
$\gg$	$\gg$
$\sum$	$\sum$
$\prod$	$\prod$
$\coprod$	$\coprod$
$\prec$	$\prec$
$⪯$	$\preceq$
$\succ$	$\succ$
$⪰$	$\succeq$
$+,-,\ast ,/,<,>,=$	$+, -, *, /, <, >, =$

其中，部分公式添加前缀big可以放大，删掉big前缀即为正常大小。
例如，$\odot$为$\odot$，$\bigodot$为$⨀$。

三角运算符

三角运算符	公式语言	微积分运算符	公式语言	逻辑运算符	公式语言
$\perp$	$\bot$	$\prime$	$\prime$	$\because$	$\because$
$\angle$	$\angle$	$\int$	$\int$	$\therefore$	$\therefore$
$30^{\circ }$	$30^\circ$	$\iint$	$\iint$	$\forall$	$\forall$
$\sin$	$\sin$	$\iiint$	$\iiint$	$\exists$	$\exists$
$\cos$	$\cos$	$\oint$	$\oint$	$\ne$	$\not=$
$\tan$	$\tan$	$\lim$	$\lim$	$\ngtr$	$\not>$
$\cot$	$\cot$	$\infty$	$\infty$	$\not\subset$	$\not\subset$
$\sec$	$\sec$	$\nabla$	$\nabla$	$\neg$	$\neg$
$\csc$	$\csc$
$△$	$\bigtriangleup$
$▽$	$\bigtriangledown$
$◃$	$\triangleleft$
$▹$	$\triangleright$

箭头运算符

箭头符号	公式语言
$\uparrow$	$\uparrow$
$\downarrow$	$\downarrow$
$\updownarrow$	$\updownarrow$
$\Uparrow$	$\Uparrow$
$\Downarrow$	$\Downarrow$
$\Updownarrow$	$\Updownarrow$
$\to$	$\rightarrow$ 或 $\to$
$\leftarrow$	$\leftarrow$ 或 $\gets$
$\leftrightarrow$	$\leftrightarrow$
$\Rightarrow$	$\Rightarrow$
$\Leftarrow$	$\Leftarrow$
$\iff$	$\Leftrightarrow$
$⟶$	$\longrightarrow$
$⟵$	$\longleftarrow$
$⟹$	$\Longrightarrow$ 或 $\implies$
$⟸$	$\Longleftarrow$
$⟺$	$\Longleftrightarrow$
$\rightharpoonup$	$\rightharpoonup$
$\leftharpoonup$	$\leftharpoonup$
$\rightharpoondown$	$\rightharpoondown$
$\leftharpoondown$	$\leftharpoondown$
$\swarrow$	$\swarrow$
$\nearrow$	$\nearrow$
$\nwarrow$	$\nwarrow$
$\searrow$	$\searrow$
$\mapsto$	$\mapsto$
$⟼$	$\longmapsto$

离散数学符号

符号	公式	名称
$\neg$	$\neg$	非
$\wedge$	$\wedge$	合取，且
$\vee$	$\vee$	析取，或
$\to$	$\rightarrow$	充分条件
$\leftarrow$	$\leftarrow$	必要条件
$\leftrightarrow$	$\leftrightarrow$	充要条件

戴帽符号（各种帽子）

戴帽符号	公式语言
$\hat{A}$	$\hat{A}$
$\hat{A}$	$\widehat{A}$
$\check{A}$	$\check{A}$
$\check{A}$	$\widecheck{A}$
$\breve{A}$	$\breve{A}$
$\tilde{A}$	$\tilde{A}$
$\tilde{A}$	$\widetilde{A}$
$\overline{A}$	$\overline{A}$
$\underline{A}$	$\underline{A}$
$\overleftarrow{A}$	$\overleftarrow{A}$
$\overrightarrow{A}$	$\overrightarrow{A}$
$\overbrace{A}$	$\overbrace{A}$
$\underbrace{A}$	$\underbrace{A}$
$\stackrel{a}{b}$	$\overset{a}{b}$
$\underset{a}{b}$	$\underset{a}{b}$

特殊符号

上述内容仅包含一些常用公式及符号，一些不常用的符号可以查找官方文档获取，此处提供一个比较全的LaTeX符号博客：链接，供大家参考。

下方展示一些不常用特殊符号：

无穷大符号：$\infty$
$\infty$

领结符号：$\bowtie$
$\bowtie$

帽：$\hat x$
$\hat{x}$

范数：$\ell_p$
${\ell }_p$

箭头备注：$\xrightarrow{f}$
$\stackrel{f}{\to }$

上备注：$\overset{def}{=}$
$\stackrel{def}{=}$

下备注：$\underset{x\in S\subseteq X}{max}$
$\underset{x\in S\subseteq X}{\max }$

And so on.