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  • 数学建模优化模型
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    2020-07-09 16:33:01

    1.数学规划模型

    线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划

    2.微分方程组模型

    阻滞增长模型、SARS传播模型。

    3.图论与网络优化模型

    最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。

    4.概率模型

    决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov链模型。

    5.组合优化经典问题

    • 多维背包问题(MKP) n n n个物品,对物品 i i i,价值为 p i p_i pi,体积为 w i w_i wi背包容量为 W W W。如何选取物品装入背包,使背包中物品的总价值最大。多维背包问题的应用:资源分配、货物装载和存储分配。
    • 二维指派问题(QAP):常以机器布局问题为例, n n n台机器要布置在 n n n个地方,机器 i i i k k k之间的物流量为 f i k f_{ik} fik,位置 j j j l l l之间的距离为 d j l d_{jl} djl,如何布置使费用最小。二维指派问题在实际中的应用有:校园建筑物的布局、医院科室的安排、成
      组技术中加工中心的组成问题。
    • 车辆路径问题(也称车辆计划):已知 n n n个客户的位置坐标和货物需求,在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下,每辆车都从起点出发,完成若干客户点的运送任务后再回到起点,要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。
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    千次阅读 多人点赞 2022-03-09 21:51:29
    全文共8090个字,码字总结不易,老铁们来个三连:点赞、关注、评论作者:[左手の明天] 原创不易,转载请联系作者并... 这些问题都是“最优化问题”,也是数学建模中的典型问题,解决最优化问题的数学方法就是“最优化..

    全文共8090个字,码字总结不易,老铁们来个三连:点赞、关注、评论
    作者:[左手の明天]
     原创不易,转载请联系作者并注明出处
    版权声明:本文为博主原创文章,遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议,转载请附上原文出处链接和本声明。

    “优化”是生活中经常使用的词:坐出租车时希望司机不绕弯路、走优化路线;逛超市时考虑各种优惠活动,希望获得最大优惠;企业推出新产品要综合考虑成本与市场吸引力,对资金进行优化配置,等等。 这些问题都是“最优化问题”,也是数学建模中的典型问题,解决最优化问题的数学方法就是“最优化方法”。

    最优化方法的出发点是系统思维,最优化方法的基本思路是在一定的约束条件下,保证各方面资源的合理分配, 最大限度地提升系统某一性能或系统整体性能,最终实现最理想结果。运用最优化方法建立并求解数学模型,主要包括以下步骤:

    (1)明确目标,分析问题背景,确定约束条件,搜集全面的客观数据和信息;
    (2)建立数学模型,构建变量之间的数学关系,设立目标函数;
    (3)分析数学模型,综合选择最适合该模型的优化方法;
    (4)求解模型,通常借助计算机和数学分析软件完成;
    (5)对最优解进行检验和实施。

    目录

    数学规划的一般模型

    MATLAB 求解优化问题的主要函数

    模型及基本函数

    优化函数的输入变量

    优化函数的输出变量

    无约束最优化问题

    数学描述

    解析解法和图解法

    数值解法

    全局最优解和局部最优解

    带约束最优化问题

    线性规划问题

    情况一

    情况二

    二次规划问题

    非线性规划问题

    定义

    求解算法1:间接法

    求解算法2:直接法

    求解算法3:最速下降法(steepest descent method)

    Matlab求解步骤

    示例

    0-1规划问题

    钢管的订购与运输问题

    问题

    问题1的基本模型和解法

    总费用最小的优化问题

    基本模型:二次规划

    Floyd算法求解步骤 

    最优化方法在数学建模中的应用 

    梯度下降法

    惩罚函数法

    遗传算法

    蚁群算法


    数学规划的一般模型

    其中,x~决策变量;f(x)~目标函数;gi(x)≤0~约束条件


    MATLAB 求解优化问题的主要函数

    模型及基本函数

    优化函数的输入变量

    优化函数的输出变量


    无约束最优化问题

    数学描述

    解析解法和图解法

     举例:用解析和图解法求解下列方程

    <<syms t; 
    y=exp(-3*t)*sin(4*t+2)+4*exp(-0.5*t)*cos(2*t)-0.5;
    ezplot(y,[0 4])
    y1=diff(y);
    ezplot(y1,[0 4])
    t0=solve(y1)
    y2=diff(y1);
    b=subs(y2,t,t0)

    数值解法

     命令形式1:

    x=fminsearch(fun,x0)   %简单形式
    
    [x,f,flag,out]=fminsearch(fun,x0,opt,p1,p2,…) %一般形式

    功能:与fsolve()中的参数控制形式类似。

    注:若函数时多元的,要表达成向量的形式。

    命令形式2:

    x=fminunc(fun,x0)   %简单形式
    
    [x,f,flag,out]=fminunc(fun,x0,opt,p1,p2,…) %一般形式

    功能:与fsolve()中的参数控制形式类似。

    举例:

    >>f=inline('(x(1)^2-2*x(1))*exp(-x(1)^2-x(2)^2-x(1)*x(2))','x');
    x0=[0,0];
    ff=optimset;ff.Display='iter';
    x=fminsearch(f,x0,ff)
    
    >>x=fminunc(f,x0,ff)
    

    全局最优解和局部最优解

    一元函数极小

    X=fminbnd(fun,x1,x2)

    多元无约束极小

    X=fminunc(fun,x0) (牛顿法)
    X=fminsearch(fun,x0)

    举例1:(初值的影响力)设目标函数为

     试观察不同的初值得出的最小值。

    >> f=inline('exp(-2*t)*cos(10*t)+exp(-3*(t+2))*sin(2*t)','t');
    t0=1;[t1,f1]=fminsearch(f,t0)
    
    t1=0.92275390625000,f1=-0.15473299821860
    
    >> t0=0.1;[t2,f2]=fminsearch(f,t0)
    
    t2=0.29445312500000,f2=-0.54362463738706
    
    
    >> syms t; 
    y=exp(-2*t)*cos(10*t)+exp(-3*(t+2))*sin(2*t);
    ezplot(y,[0,2.5]); axis([0 2.5 -0.6 1])

    举例2:对边长为3米的正方形铁板,在四个角剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽,问如何剪法使水槽的容积最大?

    建立模型: 

    设剪去的正方形的边长为x,,则水槽的容积为:

    建立无约束优化模型为:

    模型求解:

    先编写M文件如下:

    function f=myfun(x)
    f=-(3-2*x).^2*x;

    调用fminbnd:

    [x,fval]=fminbnd(@myfun,0,1.5)

    运算结果为:

    x = 0.5000,fyal =2.0000.

    即剪掉的正方形的边长为0.5米时水槽的容积最大,最大容积为2立方米。


    带约束最优化问题

    线性规划问题

    目标函数:

     约束条件:

    情况一

    目标函数:

    其中,C为价值向量

    约束条件:

     其中,b为资源向量;X为决策变量向量

    其中:

     

    命令形式1:

    [X,lag,how]=lp(C,A,b,v1,v2,x0)

    功能:

    • C,A,b的意义如矩阵表示里参数;
    • v1,v2表示决策变量的上界和下界(其维数可以小于X,但表示前几个分量的上下界);
    • x0表示初始值;X时输出最优解;
    • lag是lagrange乘子,维数等于约束条件的个数,非零的向量是起作用的约束条件;
    • how给出错误信息:infeasible(无可行解),unbounded(无界解),ok(求解成功).

     举例:

    >> c=[13,-1,5];
    A=[-1,-1,0;0,1,1];
    b=[-7,10];
    v0=[2,0,0];
    [X,lag,how]=lp(c,A,b,v0)
    

    情况二

    目标函数:

     约束条件:

    命令形式2:  

    [X,f,flag,c]=linprog(C,A,b,Aeq,Beq,xm,xM,x0,opt)

    功能:各个参数的解释如前,若各个约束条件不存在,则用空矩阵来代替。

    • x: 解
    • f: 最优值
    • flag:大于零表示求解成功,否则求解出问题
    • c:求解信息
    • x0:搜索点的初值
    • opt:最优化控制项

    举例1:

    >> c=[-2,-1,-4,-3,-1];
     A=[0 2 1 4 2;3 4 5 -1 -1];
     b=[54,62];
     Ae=[];Be=[];
     xm=[0,0,3.32,0.678,2.57];
     ff=optimset;
     ff.LargeScale='off';
     ff.TolX=1e-15;
     ff.Display='iter';
     [X,f,flag,c]=linprog(c,A,b,Ae,Be,xm,[],[],ff)
    

    举例2:某车间生产A和B两种产品,为了生产A和B,所需的原料分别为2个和3个单位,所需的工时分别为4个和2个单位。现在可以应用的原料为100个单位,工时为120个单位。每生产一台A和B分别可获得利润6元和4元。应当生产A和B各多少台能获得最大利润?

    分析:

     模型建立:

    设生产A产品x1 台,生产B产品 x2台

     模型求解:

    f=[-6,-4]';
    A=[2 3;4 2];
    B=[100;120];
    Ae=[];
    Be=[];
    xm=[0,0];
    ff=optimset;
    ff.LargeScale='off'; % 不用大规模问题求解
    ff.TolX=1e-15;
    ff.TolFun=1e-20; 
    ff.TolCon=1e-20;
    ff.Display='iter';
    [x,f_opt,key,c]=linprog(f,A,B,Ae,Be,xm,[],[],ff)

    举例3:(任务分配问题)某车间有甲、乙两台机床,可用于加工三种工件。假定这两台车床的可用台时数分别为 800 和 900,三种工件的数量分别为 400、600 和 500,且已知用三种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。问怎样分配车床的加工任务,才能既满足加工工件的要求,又使加工费用最低?

    模型建立:

    设在甲车床上加工工件 1、2、3 的数量分别为 x1、x2、x3,在乙车床上加工工件 1、2、3 的数量分别为 x4、x5、x6。可建立以下线性规划模型:

    模型求解:

    f = [13 9 10 11 12 8];
    A = [0.4 1.1 1 0 0 0
    0 0 0 0.5 1.2 1.3];b = [800; 900];
    Aeq=[1 0 0 1 0 0
    0 1 0 0 1 0
    0 0 1 0 0 1];
    beq=[400 600 500];
    vlb = zeros(6,1);
    vub=[];
    [x,fval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)

    举例4:某厂每日 8 小时的产量不低于 1800 件。为了进行质量控制,计划聘请两种不同水平的检验员。一级检验员的标准为:速度 25 件/小时,正确率 98%,计时工资 4 元/小时;二级检验员的标准为:速度 15 小时/件,正确率 95%,计时工资 3 元/小时。检验员每错检一次,工厂要损失 2 元。为使总检验费用最省,该工厂应聘一级、二级检验员各几名?

    模型建立:

    设需要一级和二级检验员的人数分别为 x1、x2 人,则应付检验员的工资为:

     因检验员错检而造成的损失为:

    故目标函数为:

    约束条件为:

     

     线性规划模型:

     

     模型求解:

    c = [40;36];
    A=[-5 -3];
    b=[-45];
    Aeq=[];
    beq=[];
    vlb = zeros(2,1);
    vub=[9;15];
    %调用 linprog 函数:
    [x,fval] = linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)

    结果:

    x =
    9.0000
    0.0000
    fval =360

    即只需聘用 9 个一级检验员。

    二次规划问题

    目标函数:

    约束条件: 

    命令形式:

     [X,f,flag,c]=quadprog(H,C,A,b,Aeq,Beq,xm,xM,x0,opt)

    功能:

    各个参数的解释如前,若各个约束条件不存在,则用空矩阵来代替。

    举例:

     

    >> c=[-2,-1,-4,-3,-1];
      A=[0 2 1 4 2;3 4 5 -1 -1];
      b=[54,62];
      Ae=[];Be=[];
      xm=[0,0,3.32,0.678,2.57];
      ff=optimset;
      ff.LargeScale='off';
      ff.TolX=1e-15;
      ff.Display='iter';
      [X,f,flag,c]=linprog(c,A,b,Ae,Be,xm,[],[],ff)
    

    非线性规划问题

    定义

    如果目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数时的最优化问题就叫做非线性规划问题.

    一般形式:

     其中

     

     是定义在 En 上的实值函数,简记:

     

    其它情况:

    求目标函数的最大值或约束条件为小于等于零的情况,都可通过取其相反数化为上述一般形式.

     

    其中X为n维变元向量,G(X)与Ceq(X)均为非线性函数组成的向量,其它变量的含义与线性规划、二次规划中相同.

    求解算法1:间接法

    在非线性最优化问题当中,如果目标函数能以解析函数表示,可行域由不等式约束确定,则可以利用目标函数和可行域的已知性质,在理论上推导出目标函数为最优值的必要条件,这种方法就称为间接法(也称为解析法) 。 一般要用到目标函数的导数。

    求解算法2:直接法

    直接法是一种数值方法。这种方法的基本思想是迭代,通过迭代产生一个点序列{ X(k) },使之逐步接近最优点。 只用到目标函数。 如黄金分割法、Fibonacci、随机搜索法。

    迭代法一般步骤

     注意:数值求解最优化问题的计算效率取决于确定搜索方向P (k)和步长的效率。

    求解算法3:最速下降法(steepest descent method)

    由法国数学家Cauchy于1847年首先提出。在每次迭代中,沿最速下降方向(负梯度方向)进行搜索,每步沿负梯度方向取最优步长,因此这种方法称为最优梯度法。

    特点:

    方法简单,只以一阶梯度的信息确定下一步的搜索方向,收敛速度慢; 越是接近极值点,收敛越慢; 它是其它许多无约束、有约束最优化方法的基础。 该法一般用于最优化开始的几步搜索。

    最速下降法算法:

    Matlab求解步骤

    用Matlab求解上述问题,基本步骤分三步:

    1. 首先建立M文件fun.m,定义目标函数F(X):

    function f=fun(X); 
    f=F(X);

     3. 建立主程序.非线性规划求解的函数是fmincon,命令的基本格式如下:       

    (1) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b)    
    
    (2) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq)    
    
    (3) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b, Aeq,beq,VLB,VUB)          
    
    (4) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’)
    
    (5) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’,options)
    
    (6) [x,fval]= fmincon(...)
    
    (7) [x,fval,exitflag]= fmincon(...)  
    
    (8) [x,fval,exitflag,output]= fmincon(...)

    输入参数的几点说明:

    模型中如果没有A,b,Aeq,beq,VLB,VUB的限制,则以空矩阵[ ]作为参数传入;

    nonlcon:如果包含非线性等式或不等式约束,则将这些函数编写一个Matlab函数

    nonlcon就是定义这些函数的程序文件名;

    不等式约束  G(x)<=0

    等式约束     Ceq(x)=0.

    如果nonlcon=‘mycon’ ; 则myfun.m定义如下

    function [G,Ceq] = mycon(x)
    
    G= ... % 计算非线性不等式约束在点x处的函数值
    
    Ceq= ... %计算机非线性等式约束在点x处的函数值 

    示例

    例子1:

    2个不等式约束, 2个等式约束 3个决策变量x1,x2,x3 如果nonlcon以‘test’作为参数值,则程序test.m如下

    function [G,Ceq]=test(x)
    G(1)=x(1)*x(1)+x(2)*x(2)+x(3)*x(3)-100
    G(2)=60-x(1)*x(1)+10*x(3)*x(3)
    Ceq(1)=x(1)+x(2)*x(2)+x(3)- 80
    Ceq(2)=x(1)^3+x(2)*x(2)+x(3)- 80
    

    注意:

    [1] fmincon函数提供了大型优化算法和中型优化算法。默认时,若在fun函数中提供了梯度(options参数的GradObj设置为’on’),并且只有上下界存在或只有等式约束,fmincon函数将选择大型算法。当既有等式约束又有梯度约束时,使用中型算法。

    [2] fmincon函数可能会给出局部最优解,这与初值X0的选取有关。

    例子2:

     1.先建立M文件 fun.m,定义目标函数:

    function f=fun(x);
    
    f=exp(x(1)) *(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);

     2.再建立M文件mycon.m定义非线性约束:

    function [g,ceq]=mycon(x)
    
    g=[1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10];
    
    ceq=[];

    3.主程序为:

    x0=[-1;1];
    A=[];b=[];
    Aeq=[1 1];
    beq=0; 
    vlb=[];
    vub=[];
    [x,fval]=fmincon('fun4',x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,'mycon')

    4.运算结果为:

    x = -1.2250    1.2250        
    
    fval = 1.8951

    0-1规划问题

    数学描述:自变量的取值只能为0或1

    matlab解:

    X=bintprog(f,A,B,Aeq,Beq)

    小规模问题可以穷举

    举例:求解下面的0-1线性规划问题

     

    f=[-3,2,-5]; A=[1 2 -1; 1 4 1; 1 1 0; 0 4 1]; 
    B=[2;4;5;6];
    x=bintprog(f,A,B,[],[])'

    钢管的订购与运输问题

    要铺设一条A1→A2 →……→ A15的输送天然气的主管道,如图一所示(见下页)。经筛选后可以生产这种主管道钢管的钢厂有 。图中粗线表示铁路,单细线表示公路,双细线表示要铺设的管道(假设沿管道或者原来有公路,或者建有施工公路),圆圈表示火车站,每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程(单位km)。

    为方便计,1km主管道钢管称为1单位钢管。一个钢厂如果承担制造这种钢管,至少需要生产
    500个单位。钢厂Si在指定期限内能生产该钢管的最大数量为Si个单位,钢管出厂销价1单位钢管为pi万元,如下表:

     1单位钢管的铁路运价如下表:

     

    1000km以上每增加1至100km运价增加5万元。公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元(不足
    整公里部分按整公里计算)。钢管可由铁路、公路运往铺设地点(不只是运到点A1,A2,……,A15 ,而是管道全线)。

    问题

    (1)制定钢管的订购和运输计划,使总费用最小.
    (2)分析对购运计划和总费用影响:哪个钢厂钢管销价的变化影响最大;哪个钢厂钢管产量上限的变化影响最大?
    (3)讨论管道为树形图的情形

    问题1的基本模型和解法

    总费用最小的优化问题

     

    基本模型:二次规划

    Floyd算法求解步骤 

     Floyd算法过程描述如下:

    • 1、 首先S以边集M初始化,得到所有的直接连通代价;
    • 2、 依次考虑第k个结点,对于S中的每一个S[i][j],判断是否满足:S[i][j]>S[i][k]+S[k][j],如果满足则用S[i][k]+S[k][j]代替S[i][j],此为第k步;
    • 3、 k循环取遍所有结点,算法结束时,S为最终解。

     


    最优化方法在数学建模中的应用 

    梯度下降法

    梯度下降法是经典的最优化方法之一[4],其核心思想是高等数学中的导数理论。 梯度下降法实现最优化的原理是,每次迭代更新目标函数时,都以该变量导数(即梯度)的反方向作为更新参数的方向,最终解一定会收敛于最优解。 这个原理类似于走下坡路时,总是沿着最陡峭的方向向下走,最后就一定会走到坡底。梯度下降法的实现简单, 但是求解计算时间长,因此基于梯度下降法发展了很多改进算法,包括随机梯度下降法、小批量梯度下降法等,能够有效改善计算成本高的问题。

    惩罚函数法

    惩罚函数法,指的是引入惩罚因子和惩罚函数的最优化方法[5]。 具体来说,惩罚函数的思想是:将最优化问题中的约束条件视为围墙,而迭代更新的解视为在围墙内运动的粒子,一旦粒子靠近围墙,对应的惩罚因子数值就会增大,导致惩罚函数值增大,反之,粒子远离围墙时,惩罚函数值就减小。 建立了这种惩罚机制后,在每次迭代过程中,模型为了“避免被惩罚”,逐渐趋近于约束边界,从而找到了最优解。惩罚函数法对模型的训练虽然“简单粗暴”,但是原理直观、实现门槛低,是实际工程中备受青睐的最
    优化方法。

    遗传算法

    不同于梯度下降法和惩罚函数法,遗传算法并非依据导数理论提出的算法[6],而是一种模拟生物在自然届中进化规律的一种智能算法。 自然界的生物进化遵循适者生存和优胜劣汰,即能够适应环境变化或基因变异的个体才能够参与到进化。 遗传算法的优化原理与之类似:每一次迭代时,通过计算各个个体的适应度,从中随机地选择两个个体作为父母,繁殖后代,同时诱发子代的染色体变异,重复迭代,当出现最大适应度的子代时,即认为获得了最优解,循环结束。与梯度下降法、惩罚函数法相比,遗传算法以生物进化为原型,收敛性较好,在计算精度要求时,具有计算时间少、鲁棒性高的优势。

    蚁群算法

    与遗传算法类似,蚁群算法也是受启发于生物的一种最优化方法[7]。 生物科学家发现蚂蚁经过的路上都会有一种特殊物质,并且蚁群中的蚂蚁对该物质高度敏感,由于该物质浓度越高,代表着路途长度越短,想要走“捷径”的蚁群们都会选择浓度较高的道路行走,“捷径”经过的蚂蚁越多,特殊物质的浓度就越高,物质浓度积累到一定程度,所有蚂蚁都会被吸引到最佳捷径上来,都能以最快速度找到食物了。 蚁群算法解决最优化问题,就是利用了其分布计算和信息正反馈的特点。

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  • 数学建模
  • 在(4)部分中包含以下模型: 排队论 神经网络 时间序列ARMA 投影寻踪综合评价 图论Dijkstra模型 图论floyd算法
  • 2、优化模型 3、评价模型 数学建模的十大常用算法 预测模型:神经网络预测、灰色预测、拟合插值预测(线性回归)、时间序列预测、马尔科夫链预测、微分方程预测、Logistic 模型等等。 应用领域:人口预测、水资源...

    学习网址:数学建模竞赛常考三大模型及十大算法

    目   录

    三大模型

    1、预测模型

    2、优化模型

    3、评价模型

    数学建模的十大常用算法


    三大模型

    1、预测模型

    预测模型:神经网络预测、灰色预测拟合插值预测(线性回归)、时间序列预测、马尔科夫链预测、微分方程预测、Logistic 模型等等。

    应用领域:人口预测、水资源污染增长预测、病毒蔓延预测、竞赛获胜概率预测、月收入预测、销量预测、经济发展情况预测等在工业、农业、商业等经济领域,以及环境、社会和军事等领域中都有广泛的应用。

    预测模型:难度中等。

    拟合插值预测:基础简单、容易理解。

    • 拟合算法:matlab拟合工具箱、准确...
    • 插值算法:短期预测、完善补全数据、插值函数、拉格朗日插值法、三次样条插值法...

    神经网络预测:现代优化算法、考验编程能力。

    人口预测:灰色预测、Logistic 模型...

    2、优化模型

    优化模型:规划模型(目标规划、线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划)、图论模型、排队论模型、神经网络模型、现代优化算法(遗传算法、模拟退火算法、蚁群算法、禁忌搜索算法)等等。

    应用领域:快递员派送快递的最短路径问题、水资源调度优化问题、高速路口收费站问题、军事行动避空侦察的时机和路线选择、物流选址问题、商区布局规划等各个领域。

    优化模型:偏难。

    切割木料、地板,使损耗最低、利润最高。

    自然水管道铺设问题:图论模型(迪杰斯特拉算法 Dijkstra、克鲁斯卡尔算法 Kruskal)

    3、评价模型

    评价模型:模糊综合评价法、层次分析法、聚类分析法、主成分分析评价法、灰色综合评价法、人工神经网络评价法等等。

    应用领域:某区域水资源评价、水利工程项目风险评价、城市发展程度评价、足球教练评价、篮球队评价、水生态评价、大坝安全评价、边坡稳定性评价。

    预测模型:偏简单。

    数学建模的十大常用算法

        

    遗传算法、模拟退火算法

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  • 数学建模中我们经常遇到的一种问题是给定一些条件,目标是求得基于单或者多自变量的某个条件之的最优结果。 一、线性规划模型 给定多个条件,求某一个线性方程的最大值。(对与这种问题,我们一般采用的是最普通的...

    数学建模中我们经常遇到的一种问题是给定一些条件,目标是求得基于单或者多自变量的某个条件之的最优结果。

    一、线性规划模型
    给定多个条件,求某一个线性方程的最大值。(对与这种问题,我们一般采用的是最普通的图像法,在坐标系中标出我们需要的条件范围,采用直线逼近求最顶点的距离和对应的冲量)。

    二、非线性规划
    球的是某一个非线性方程的最大值,凸优化的思想也是来源于次,目标可能是局部最优而非全局最优了。

    三、0-1规划
    0-1规划中,所有未知量的取值只能是0或1,应用于任务分配场景。

    以上三种都可以直接用Matlab工具箱直接解决。

    目标规划模型
    线性规划模型只能解决一组线性约束条件下的最大或最小值的问题。目标规划模型用来解决多目标优化的模型。

    思路:
    1.用评价模型的思想,各项加权转化为单目标优化
    2.用不同的优先等级,分为前后数次单目标优化
    3.有效解法,可以参考20年省赛题定向越野,其中就只需要我们得到一个可行解即可,可以采用模拟退火算法获得局部近似最优解啊。

    matlab多目标优化直接法:

    [x,fval]= fgoalattain('fun',x0,goal,weight)           
    [x,fval]= fgoalattain('fun',x0,goal,weight,A,b)           
    [x,fval]= fgoalattain('fun',x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq)           
    [x,fval]= fgoalattain('fun',x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)
    ———————————————
    function F=Fun(x); 
     
    F(1)=-100*x(1)-90*x(2)-80*x(2)-70*x(4); 
     
    F(2)=3*x(2)+2*x(4);
    
    a=[-1 -1  0  0    
       0  0  -1 -1    
       3  0   2  0    
       0  3   0  2]; 
    b=[-30 -30 120 48]'; 
    c1=[-100 -90 -80 -70]; 
    c2=[0 3 0 2]; 
    [x1,g1]=linprog(c1,a,b,[],[],zeros(4,1))  %求第一个目标函数的目标值 
    [x2,g2]=linprog(c2,a,b,[],[],zeros(4,1))  %求第二个目标函数的目标值 
    g3=[g1;g2]  %目标goal的值 
    [x,fval]=fgoalattain('Fun',rand(4,1),g3,abs(g3),a,b,[],[],zeros(4 ,1)) 
    %这里权重weight=目标goal的绝对值
    原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89488932```
    这个其实也是给权重的一种思想
    
    **动态规划**
    
    动态规划是规划模型里面较难的一个。可如此做
    动态规划的应用范围:
    1.方法计数(如TSP问题总共有多少条路经,有多少种方法取k个值达到sum2.求最大值最小值(如TSP问题最长或最短路径)
    3.求存在性(如是否存在必胜策略,以及是否能求的特定的sum等。)
    因此,动态规划从底层逻辑上来看更像是一种高级算法的思想。
    
    算法步骤:
    1,确定状态(两个核心:1最后一步 2化成子问题)
    2转移方程
    3开始和边界条件
    4计算顺序
    
    1.1 最后一步:
    图论里有一种很厉害的思想:如果我这一条路线是最短的,那么去掉最后一步的前n-1跳的路线也是最短的。
    
    1.2思想就是根据最后一步有多少种情况,然后分别推演,把优化问题扔给上一步。比如付钱模型,怎么样付钱使得我的硬币最少,那么在最少的方法中。我除了最后一枚硬币,前面的数量应该也是最少的。
    
    转化为:假入最后一枚的面值(lujing)有n条,那么模型可以写为
    f(n)=min{f(x-n1)+n1,f((x-n2)+n2,f(x-n3)+n3};
    
    
    2.初始条件f(0)=0;边界条件算当f(Y<0)时怎么做,另外,f(Y)无解时,置+无穷
    
    
    详见https://blog.csdn.net/sinat_19594515/article/details/102738781?ops_request_misc=%257B%2522request%255Fid%2522%253A%2522163012761716780366559677%2522%252C%2522scm%2522%253A%252220140713.130102334..%2522%257D&request_id=163012761716780366559677&biz_id=0&utm_medium=distribute.pc_search_result.none-task-blog-2~all~top_positive~default-2-102738781.pc_search_result_control_group&utm_term=%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92&spm=1018.2226.3001.4187
    动态规划更像是递归得反推。
    
    
    小结:
    所有规划模型说白了,就是给他简化为单目标优化。动态规划一般应用于图论问题,在这种规划模型中只是有应用场景。
    
    
    
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  • 数学建模之常见的优化模型

    万次阅读 多人点赞 2020-07-24 16:40:55
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  • 数学建模】最优化模型

    万次阅读 多人点赞 2020-07-25 21:52:36
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空空如也

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数学建模优化模型

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