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  • MATLAB 最优化算法合集

    2020-05-06 23:41:54
    matlab最优化程序包括:无约束一维极值问题、进退法、黄金分割法、斐波那契法、牛顿法基本牛顿法、全局牛顿法、割线法、抛物线法、三次插值法、可接受搜索法、Goidstein法、Wolfe Powell法、单纯形搜索法、Powell法...
  • 离散最优化算法.pdf

    2019-05-11 14:19:10
    离散最优化算法.pdf
  • 数值最优化算法与理论(第2版)》较为系统地介绍最优化领域中比较成熟的基本理论与方法。基本理论包括最优化问题解的必要条件和充分条件以及各种算法的收敛性理论。介绍的算法有:无约束问题的最速下降法、Newton法、拟...
  • 重庆大学出版社 图论与网络最优化算法 龚劬 课后习题参考答案
  • 最优化算法——常见优化算法分类及总结

    万次阅读 多人点赞 2018-10-27 12:54:53
    之前做特征选择,实现过基于群智能算法进行最优化的搜索,看过一些群智能优化算法的论文,在此做一下总结。 最优化问题  在生活或者工作中存在各种各样的最优化问题,比如每个企业和个人都要考虑的一个问题“在...

    之前做特征选择,实现过基于群智能算法进行最优化的搜索,看过一些群智能优化算法的论文,在此做一下总结。

    最优化问题

      在生活或者工作中存在各种各样的最优化问题,比如每个企业和个人都要考虑的一个问题“在一定成本下,如何使利润最大化”等。最优化方法是一种数学方法,它是研究在给定约束之下如何寻求某些因素(的量),以使某一(或某些)指标达到最优的一些学科的总称。

      工程设计中最优化问题(optimalization problem)的一般提法是要选择一组参数(变量),在满足一系列有关的限制条件(约束)下,使设计指标(目标)达到最优值。因此,最优化问题通常可以表示为数学规划形式的问题。进行工程优化设计时,应将工程设计问题用上述形式表示成数学问题,再用最优化的方法求解。这项工作就是建立优化设计的数学模型。

    optimalization

      
      最优化问题分为函数优化问题和组合优化问题两大类,其中函数优化的对象是一定区间的连续变量,而组合优化的对象则是解空间中的离散状态。其中典型的组合优化问题有旅行商(Traveling salesman problem,TSP)问题、加工调度问题(Scheduling problem,如Flow-shop,Job-shop)、0-1背包问题(Knapsack problem)、装箱问题(Bin packing problem)、图着色问题(Graph coloring problem)、聚类问题(Clustering problem)等。

    最优化算法

    根据自己对最优化的理解,采用最优化算法解决实际问题主要分为下列两步:

    • 建立数学模型。对可行方案进行编码(变量),约束条件以及目标函数的构造。
    • 最优值的搜索策略。在可行解(约束条件下)搜索最优解的方法,有穷举、随机和启发式搜索方法。

    最优化算法有三要素:变量(Decision Variable)、约束条件(Constraints)和目标函数(Objective function)。最优化算法,其实就是一种搜索过程或规则,它是基于某种思想和机制,通过一定的途径或规则来得到满足用户要求的问题的解。

    优化问题相关算法有如下分类:

    优化算法

    精确算法(绝对最优解)

    精确算法包括线性规划、动态规划、整数规划和分支定界法等运筹学中的传统算法,其算法计算复杂性一般很大,只适合于求解小规模问题,在工程中往往不实用。

    启发式算法(近似算法)

      启发式方法指人在解决问题时所采取的一种根据经验规则进行发现的方法。其特点是在解决问题时,利用过去的经验,选择已经行之有效的方法,而不是系统地、以确定的步骤去寻求答案。

    领域搜索算法。从任一解出发,对其领域的不断搜索和当前解的替换来实现优化。根据搜索行为,它又可分为局部搜索法和指导性搜索法。

    • 局部领域搜索法(也称爬山法)。以局部优化策略在当前解的领域中贪婪搜索,如只接受优于当前解的状态作为下一当前解的爬山法;接受当前邻域中的最好解作为下一当前解的最陡下降法等。

    • 指导性搜索法。利用一些指导规则来指导整个解空间中优良解的探索,如SA、GA、EP、ES和TS等.

    个体启发(寻找相对最优)

    特点:每次输出的是相同的。从一个解开始,寻找最优,易陷入局部最优。

    爬山算法

    算法思想:从当前的节点开始,和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的,那么返回当前节点,作为最大值(即山峰最高点);反之就用最高的邻居节点替换当前节点,从而实现向山峰的高处攀爬的目的。

    其实就是,在初始值的附近,找到最大的一个。

    • 优点

      • 容易理解,容易实现,具有较强的通用性;
      • 局部开发能力强,收敛速度很快
    • 缺点

      • 全局开发能力弱,只能搜索到局部最优解;
      • 搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

    禁忌算法(Tabu Search,TS)

    基本思想:基于爬山算法的改进,标记已经解得的局部最优解或求解过程,并在进一步的迭代中避开这些局部最优解或求解过程。局部搜索的缺点在于,太过于对某一局部区域以及其邻域的搜索,导致一叶障目。为了找到全局最优解,禁忌搜索就是对于找到的一部分局部最优解,有意识地避开它,从而或得更多的搜索区域

    • 特点:

      • 避免在搜索过程中的循环
      • 只进不退的原则,通过禁忌表实现
      • 不以局部最优作为停止准则
      • 邻域选优的规则模拟了人类的记忆功能
    • 禁忌表:用于防止搜索出现循环

      • 记录前若干步走过的点、方向或目标值,禁止返回
      • 表是动态更新的
      • 表的长度称为Tabu-Size
    • 禁忌表的主要指标(两项指标)

      • 禁忌对象:禁忌表中被禁的那些变化元素
      • 禁忌长度:禁忌的步数
    • 禁忌对象(三种变化)

      • 以状态本身或者状态的变化作为禁忌对象
      • 以状态分量以及分量的变化作为禁忌对象
      • 采用类似的等高线做法,以目标值变化作为禁忌对象
    • 禁忌长度:可以是一个固定的常数(T=c),也可以是动态变化的,可按照某种规则或公式在区间内变化。

      • 禁忌长度过短,一旦陷入局部最优点,出现循环无法跳出;
      • 禁忌长度过长,候选解全部被禁忌,造成计算时间较大,也可能造成计算无法继续下去。

    参考:

    1. 禁忌搜索算法(Tabu Search)
    2. 禁忌搜索算法详解

    贪婪算法

    从问题的某一个初始解出发逐步逼近给定的目标,以尽可能快的地求得更好的解。当达到算法中的某一步不能再继续前进时,算法停止。

    基本都要先排序,从排序的开始那个依次判断,符合就留下不符合就去掉。

    模拟退火(simulated annealing,SA)

    模拟退火算法作为局部搜索算法的扩展,在每一次修改模型的过程中,随机产生一个新的状态模型,然后以一定的概率选择邻域中能量值大的状态.这种接受新模型的方式使其成为一种全局最优算法,并得到理论证明和实际应用的验证.SA虽然在寻优能力上不容置疑,但它是以严密的退火计划为保证的,具体地讲,就是足够高的初始温度、缓慢的退火速度、大量的迭代次数及同一温度下足够的扰动次数。

    用兔子的故事来说:兔子喝醉了。他随机地跳了很长时间。这期间,它可能走向高处,也可能踏入平地。但是,他渐渐清醒了并朝他踏过的最高方向跳去。这就是模拟退火。

    其实就是,先用初始值进行随机更新,记录每次更新的值,最后取历史记录中最大的值。

    参考:模拟退火算法

    群体智能(全局最优)

    类别:

    • 粒子群算法(PSO)
    • 蚁群算法(ACO)
    • 人工蜂群算法(ABC)
    • 人工鱼群算法(AFSA)
    • 混洗蛙跳算法(SFLA)
    • 烟花算法(FWA)
    • 细菌觅食优化(BFO)
    • 萤火虫算法(FA)

    特点:

    • 全局寻优
    • 每次的解都不同
    • 时间较长

    智能计算包括:

    • 进化算法(EC),如遗传算法。
    • 模糊逻辑
    • 群智能(SI)算法
    • 人工免疫系统(AIS)
    • 人工神经网络(ANN)

    参考:

    1. 最优化问题及其分类
    2. 遗传算法
    3. 《MATLAB神经网络30个案例分析》的13个案例中的GA优化SVM参数
    4. 手把手教你实现SVM算法(一)
    5. 遗传算法学习笔记(一):常用的选择策略
    6. 粒子群算法介绍(讲解的很清晰,将PSO的算法原理、算法特点以及参数的设置)
    7. 群体智能简介ppt(粒子群和人工蚁群优化)
    8. 优化算法分类

     

    原文出处:http://dingby.site/2018/04/07/%E6%9C%80%E4%BC%98%E5%8C%96%E7%AE%97%E6%B3%95%E2%80%94%E2%80%94%E5%B8%B8%E8%A7%81%E4%BC%98%E5%8C%96%E7%AE%97%E6%B3%95%E5%88%86%E7%B1%BB%E5%8F%8A%E6%80%BB%E7%BB%93/

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  • 数值最优化算法与理论习题解答,部分答案有,部分没有
  • 清华大学-最优化理论与算法课件
  • 最优化理论与算法习题解答
  • 最优化算法总结

    万次阅读 多人点赞 2018-08-22 21:53:05
    本文为SIGAI 2018/8/22最优化算法总结的直播笔记。 目录 总结图片: 1、精确求解(公式求解) 2 数值优化算法 2.1 梯度下降法 2.1.1 动量项 2.1.2 自适应学习率法  AdaGrad  RMSProp  AdaDelta  ...

    本文为SIGAI 2018/8/22最优化算法总结的直播笔记。

    目录

    总结图片:

    1、精确求解(公式求解)

    2 数值优化算法

    2.1 梯度下降法

    2.1.1 动量项

    2.1.2 自适应学习率法

             AdaGrad

             RMSProp

             AdaDelta

             Adam

             随机梯度下降

    2.2 牛顿法

    3 分治法

    3.1 坐标下降法

    3.2 SMO算法

    3.3 分阶段优化法


    总结图片:

    1、精确求解(公式求解)

    一共分为三种:费马定理→拉格朗日乘数法→KKT条件

    2 数值优化算法

    2.1 梯度下降法

    有两种调整方法——加入动量项自适应学习率法

    2.1.1 动量项

    动量项展开后(累计了之前所有的梯度):

    2.1.2 自适应学习率法

    AdaGrad

    RMSProp

    AdaDelta

    前两种方法还都用了人工的学习率α,替换掉了人工学习率α后:

    Adam

    随机梯度下降

    2.2 牛顿法

    3 分治法

    将一个大问题分解成子问题求解,最后将子问题拼接起来

    3.1 坐标下降法

    3.2 SMO算法

    (下图中C是惩罚因子)

    3.3 分阶段优化法

    上图中:先固定β,优化f;再固定f,优化β

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  • 最优化理论与算法习题解答
  • 最优化算法概述以及常见分类

    千次阅读 2020-07-10 09:57:58
    1 最优化问题概述 通俗的来说,最优化问题就是在一定的条件约束下,使得效果最好。最优化问题是一种数学问题,是研究在给定的约束之下如何求得某些因素的量,来使得某一指标达到最优的学科。 工程设计中最优化问题...

    1 最优化问题概述

    通俗的来说,最优化问题就是在一定的条件约束下,使得效果最好。最优化问题是一种数学问题,是研究在给定的约束之下如何求得某些因素的量,来使得某一指标达到最优的学科。

    工程设计中最优化问题的一般说法是:选择一组参数,在满足一系列有关的限制条件的情况下,使得目标值达到最优。在进行工程设计的时候,将工程设计问题表示成数学问题,再用最优化的方法进行求解。

    对于一组可以用列向量X表示的变量,数学模型我们可以描述为:

    最优化问题可以分为函数优化问题和组合优化问题两大类。函数优化问题的对象是一定区间的连续变量,解决的是连续性问题;组合优化的对象解空间是离散状态,也就是解决的是离散问题。典型的组合优化问题有旅行商(Traveling salesman problem,TSP)问题、加工调度问题(Scheduling problem,如Flow-shop,Job-shop)、0-1背包问题(Knapsack problem)、装箱问题(Bin packing problem)、图着色问题(Graph coloring problem)、聚类问题(Clustering problem)等。

    2 最优化算法

    采用最优化算法解决实际问题主要分为两个大的步骤:

    1. 建立数学模型:对可行方案进行编码,约束条件以及目标函数的构造。
    2. 最优值得搜索策略:在约束条件下,在可行解里面搜索最优解的方法有穷举法,随机搜索以及启发式搜索算法。

    最优化算法,其实就是一种搜索过程或规则,它是基于某种思想和机制,通过一定的途径或规则来得到满足用户要求的问题的解。

    优化问题相关算法分类如下:

     

    精确算法计算复杂性一般很大,只适合于求解小规模问题,在工程中往往不实用。

    启发式算法:一个基于直观或经验构造的算法,在可接受的时间和空间开销下给出待解决组合优化问题每一个实例的一个可行解,该可行解与最优解的偏离程度一般不能被预计。

    元启发式算法(MetaHeuristic Algorigthm)是启发式算法的改进,它是随机算法与局部搜索算法相结合的产物。

    个体启发:寻找相对最优

    群体智能:寻找全局最优


     

    参考:

    [1] https://blog.csdn.net/qq997843911/article/details/83445318

    [2] https://baike.baidu.com/item/%E5%85%83%E5%90%AF%E5%8F%91%E5%BC%8F%E7%AE%97%E6%B3%95/335967?fr=aladdin

     

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  • 机器学习中的最优化算法总结

    千次阅读 2019-03-26 08:37:27
    导言 对于几乎所有机器学习算法,无论是有监督学习、无监督学习,...在这篇文章中,小编将对机器学习中所使用的优化算法做一个全面的总结,并理清它们直接的脉络关系,帮你从全局的高度来理解这一部分知识。 ...

    https://www.toutiao.com/a6672189997212238348/

     

    导言

    对于几乎所有机器学习算法,无论是有监督学习、无监督学习,还是强化学习,最后一般都归结为求解最优化问题。因此,最优化方法在机器学习算法的推导与实现中占据中心地位。在这篇文章中,小编将对机器学习中所使用的优化算法做一个全面的总结,并理清它们直接的脉络关系,帮你从全局的高度来理解这一部分知识。

    机器学习要求解的数学模型

    几乎所有的机器学习算法最后都归结为求一个目标函数的极值,即最优化问题,例如对于有监督学习,我们要找到一个最佳的映射函数f (x),使得对训练样本的损失函数最小化(最小化经验风险或结构风险):

    机器学习中的最优化算法总结

     

    在这里,N为训练样本数,L是对单个样本的损失函数,w是要求解的模型参数,是映射函数的参数,xi为样本的特征向量,yi为样本的标签值。

    或是找到一个最优的概率密度函数p(x),使得对训练样本的对数似然函数极大化(最大似然估计):

    机器学习中的最优化算法总结

     

    在这里,θ是要求解的模型参数,是概率密度函数的参数。

    对于无监督学习,以聚类算法为例,算法要是的每个类的样本离类中心的距离之和最小化:

    机器学习中的最优化算法总结

     

    在这里k为类型数,x为样本向量,μi为类中心向量,Si为第i个类的样本集合。

    对于强化学习,我们要找到一个最优的策略,即状态s到动作a的映射函数(确定性策略,对于非确定性策略,是执行每个动作的概率):

    机器学习中的最优化算法总结

     

    使得任意给定一个状态,执行这个策略函数所确定的动作a之后,得到的累计回报最大化:

    机器学习中的最优化算法总结

     

    这里使用的是状态价值函数。

    总体来看,机器学习的核心目标是给出一个模型(一般是映射函数),然后定义对这个模型好坏的评价函数(目标函数),求解目标函数的极大值或者极小值,以确定模型的参数,从而得到我们想要的模型。在这三个关键步骤中,前两个是机器学习要研究的问题,建立数学模型。第三个问题是纯数学问题,即最优化方法,为本文所讲述的核心。

    最优化算法的分类

    对于形式和特点各异的机器学习算法优化目标函数,我们找到了适合它们的各种求解算法。除了极少数问题可以用暴力搜索来得到最优解之外,我们将机器学习中使用的优化算法分成两种类型(不考虑随机优化算法如模拟退火、遗传算法等,对于这些算法,我们后面会专门有文章进行介绍):

    • 公式解
    • 数值优化

    前者给出一个最优化问题精确的公式解,也称为解析解,一般是理论结果。后者是在要给出极值点的精确计算公式非常困难的情况下,用数值计算方法近似求解得到最优点。除此之外,还有其他一些求解思想,如分治法,动态规划等。我们在后面单独列出。一个好的优化算法需要满足:

    • 能正确的找到各种情况下的极值点
    • 速度快

    下图给出了这些算法的分类与它们之间的关系:

    机器学习中的最优化算法总结

     

    接下来我们将按照这张图来展开进行讲解。

    费马定理

    对于一个可导函数,寻找其极值的统一做法是寻找导数为0的点,即费马定理。微积分中的这一定理指出,对于可导函数,在极值点处导数必定为0:

    机器学习中的最优化算法总结

     

    对于多元函数,则是梯度为0:

    机器学习中的最优化算法总结

     

    导数为0的点称为驻点。需要注意的是,导数为0只是函数取得极值的必要条件而不是充分条件,它只是疑似极值点。是不是极值,是极大值还是极小值,还需要看更高阶导数。对于一元函数,假设x是驻点:

    • 如果f''(x)>0,则在该点处去极小值
    • 如果f''(x)<0,则在该点处去极大值
    • 如果f''(x)>=0,还要看更高阶导数

    对于多元函数,假设x是驻点:

    • 如果Hessian矩阵正定,函数在该点有极小值
    • 如果Hessian矩阵负定,函数在该点有极大值
    • 如果Hessian矩阵不定,还需要看更(此处误)

    在导数为0的点处,函数可能不取极值,这称为鞍点,下图是鞍点的一个例子(来自SIGAI云端实验室):

    机器学习中的最优化算法总结

     

    除鞍点外,最优化算法可能还会遇到另外一个问题:局部极值问题,即一个驻点是极值点,但不是全局极值。如果我们对最优化问题加以限定,可以有效的避免这两种问题。典型的是凸优化,它要求优化变量的可行域是凸集,目标函数是凸函数。

    虽然驻点只是函数取得极值的必要条件而不是充分条件,但如果我们找到了驻点,再判断和筛选它们是不是极值点,比之前要容易多了。无论是理论结果,还是数值优化算法,一般都以找驻点作为找极值点的目标。对于一元函数,先求导数,然后解导数为0的方程即可找到所有驻点。对于多元函数,对各个自变量求偏导数,令它们为0,解方程组,即可达到所有驻点。这都是微积分中所讲授的基础方法。幸运的是,在机器学习中,很多目标函数都是可导的,因此我们可以使用这套方法。

    拉格朗日乘数法

    费马定理给出的不带约束条件下的函数极值的必要条件。对于一些实际应用问题,一般还带有等式或者不等式约束条件。对于带等式约束的极值问题,经典的解决方案是拉格朗日乘数法。

    对于如下问题:

    机器学习中的最优化算法总结

     

    构造拉格朗日乘子函数:

    机器学习中的最优化算法总结

     

    在最优点处对x和乘子变量λi的导数都必须为0:

    机器学习中的最优化算法总结

     

    解这个方程即可得到最优解。对拉格朗日乘数法更详细的讲解可以阅读任何一本高等数学教材。机器学习中用到拉格朗日乘数法的地方有:

    • 主成分分析
    • 线性判别分析
    • 流形学习中的拉普拉斯特征映射
    • 隐马尔可夫模型

    KKT条件

    KKT条件是拉格朗日乘数法的推广,用于求解既带有等式约束,又带有不等式约束的函数极值。对于如下优化问题:

    机器学习中的最优化算法总结

     

    和拉格朗日对偶的做法类似,KKT条件构如下乘子函数:

    机器学习中的最优化算法总结

     

    λ和μ称为KKT乘子。在最优解处x*应该满足如下条件:

    机器学习中的最优化算法总结

     

    等式约束hj (x*)=0和不等式约束gk (x*)<=0是本身应该满足的约束,▽xL(x*)=0和之前的拉格朗日乘数法一样。唯一多了关于gi (x)的条件:

    机器学习中的最优化算法总结

     

    KKT条件只是取得极值的必要条件而不是充分条件。在机器学习中用到KKT条件的地方有:

    • 支持向量机(SVM)

    数值优化算法

    前面讲述的三种方法在理论推导、某些可以得到方程组的求根公式的情况(如线性函数,正态分布的最大似然估计)中可以使用,但对绝大多数函数来说,梯度等于0的方程组是没法直接解出来的,如方程里面含有指数函数、对数函数之类的超越函数。对于这种无法直接求解的方程组,我们只能采用近似的算法来求解,即数值优化算法。这些数值优化算法一般都利用了目标函数的导数信息,如一阶导数和二阶导数。如果采用一阶导数,则称为一阶优化算法。如果使用了二阶导数,则称为二阶优化算法。

    工程上实现时通常采用的是迭代法,它从一个初始点x0开始,反复使用某种规则从xk移动到下一个点xk+1,构造这样一个数列,直到收敛到梯度为0的点处。即有下面的极限成立:

    机器学习中的最优化算法总结

     

    这些规则一般会利用一阶导数信息即梯度;或者二阶导数信息即Hessian矩阵。这样迭代法的核心是得到这样的由上一个点确定下一个点的迭代公式:

    机器学习中的最优化算法总结

     

    梯度下降法

    梯度下降法沿着梯度的反方向进行搜索,利用了函数的一阶导数信息。梯度下降法的迭代公式为:

    机器学习中的最优化算法总结

     

    根据函数的一阶泰勒展开,在负梯度方向,函数值是下降的。只要学习率设置的足够小,并且没有到达梯度为0的点处,每次迭代时函数值一定会下降。需要设置学习率为一个非常小的正数的原因是要保证迭代之后的xk+1位于迭代之前的值xk的邻域内,从而可以忽略泰勒展开中的高次项,保证迭代时函数值下降。

    梯度下降法及其变种在机器学习中应用广泛,尤其是在深度学习中。

    动量项

    为了加快梯度下降法的收敛速度,减少震荡,引入了动量项。动量项累积了之前迭代时的梯度值,加上此项之后的参数更新公式为:

    机器学习中的最优化算法总结

     

    其中Vt+1是动量项,它取代了之前的梯度项。动量项的计算公式为:

    机器学习中的最优化算法总结

     

    它是上一时刻的动量项与本次梯度值的加权平均值,其中α是学习率,μ是动量项系数。如果按照时间t进行展开,则第t次迭代时使用了从1到t次迭代时的所有梯度值,且老的梯度值安μt的系数指数级衰减:

    机器学习中的最优化算法总结

     

    动量项累积了之前迭代时的梯度值,使得本次迭代时沿着之前的惯性方向向前走。

    AdaGrad算法

    AdaGrad算法是梯度下降法最直接的改进。梯度下降法依赖于人工设定的学习率,如果设置过小,收敛太慢,而如果设置太大,可能导致算法那不收敛,为这个学习率设置一个合适的值非常困难。

    AdaGrad算法根据前几轮迭代时的历史梯度值动态调整学习率,且优化变量向量X的每一个分量xi都有自己的学习率。参数更新公式为:

    机器学习中的最优化算法总结

     

    其中α是学习因子,gt是第t次迭代时参数的梯度向量,ε是一个很小的正数,为了避免除0操作,下标i表示向量的分量。和标准梯度下降法唯一不同的是多了分母中的这一项,它累积了到本次迭代为止梯度的历史值信息用于生成梯度下降的系数值。根据上式,历史导数值的绝对值越大分量学习率越小,反之越大。虽然实现了自适应学习率,但这种算法还是存在问题:需要人工设置一个全局的学习率α,随着时间的累积,上式中的分母会越来越大,导致学习率趋向于0,参数无法有效更新。

    RMSProp算法

    RMSProp算法是对AdaGrad的改进,避免了长期累积梯度值所导致的学习率趋向于0的问题。具体做法是由梯度值构造一个向量RMS,初始化为0,按照衰减系数累积了历史的梯度平方值。更新公式为:

    机器学习中的最优化算法总结

     

    AdaGrad直接累加所有历史梯度的平方和,而这里将历史梯度平方值按照δt衰减之后再累加。参数更新公式为:

    机器学习中的最优化算法总结

     

    其中δ是人工设定的参数,与AdaGrad一样,这里也需要人工指定的全局学习率α。

    AdaDelta算法

    AdaDelta算法也是对AdaGrad的改进,避免了长期累积梯度值所导致的学习率趋向于0的问题,另外,还去掉了对人工设置的全局学习率的依赖。假设要优化的参数为x,梯度下降法第t次迭代时计算出来的参数梯度值为gt。算法首先初始化如下两个向量为0向量:

    机器学习中的最优化算法总结

     

    其中E[g2]是梯度平方(对每个分量分别平分)的累计值,更新公式为:

    机器学习中的最优化算法总结

     

    在这里g2是向量每个元素分别计算平方,后面所有的计算公式都是对向量的每个分量进行。接下来计算如下RMS量:

    机器学习中的最优化算法总结

     

    这也是一个向量,计算时分别对向量的每个分量进行。然后计算参数的更新值:

    机器学习中的最优化算法总结

     

    RMS[Δx]t-1的计算公式和这个类似。这个更新值同样通过梯度来构造,只不过学习率是通过梯度的历史值确定的。更新公式为:

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    参数更新的迭代公式为:

    机器学习中的最优化算法总结

     

    Adam算法

    Adam算法整合了自适应学习率与动量项。算法用梯度构造了两个向量m和v,前者为动量项,后者累积了梯度的平方和,用于构造自适应学习率。它们的初始值为0,更新公式为:

    机器学习中的最优化算法总结

     

    其中β1,β2是人工指定的参数,i为向量的分量下标。依靠这两个值构造参数的更新值,参数的更新公式为:

    机器学习中的最优化算法总结

     

    在这里,m类似于动量项,用v来构造学习率。

    随机梯度下降法

    假设训练样本集有N个样本,有监督学习算法训练时优化的目标是这个数据集上的平均损失函数:

    机器学习中的最优化算法总结

     

    其中L(w,xi,yi )是对单个训练样本(xi,yi )的损失函数,w是需要学习的参数,r(w)是正则化项,λ是正则化项的权重。在训练样本数很大时,如果训练时每次迭代都用所有样本,计算成本太高,作为改进可以在每次迭代时选取一批样本,将损失函数定义在这些样本上。

    批量随机梯度下降法在每次迭代中使用上面目标函数的随机逼近值,即只使用M《N个随机选择的样本来近似计算损失函数。在每次迭代时要优化的目标函数变为:

    机器学习中的最优化算法总结

     

    随机梯度下降法在概率意义下收敛。

    牛顿法

    牛顿法是二阶优化技术,利用了函数的一阶和二阶导数信息,直接寻找梯度为0的点。牛顿法的迭代公式为:

    机器学习中的最优化算法总结

     

    其中H为Hessian矩阵,g为梯度向量。牛顿法不能保证每次迭代时函数值下降,也不能保证收敛到极小值点。在实现时,也需要设置学习率,原因和梯度下降法相同,是为了能够忽略泰勒展开中的高阶项。学习率的设置通常采用直线搜索(line search)技术。

    在实现时,一般不直接求Hessian矩阵的逆矩阵,而是求解下面的线性方程组:

    机器学习中的最优化算法总结

     

    其解d称为牛顿方向。迭代终止的判定依据是梯度值充分接近于0,或者达到最大指定迭代次数。

    牛顿法比梯度下降法有更快的收敛速度,但每次迭代时需要计算Hessian矩阵,并求解一个线性方程组,运算量大。另外,如果Hessian矩阵不可逆,则这种方法失效。

    牛顿法在logistic回归,AdaBoost算法等机器学习算法中有实际应用。

    拟牛顿法

    牛顿法在每次迭代时需要计算出Hessian矩阵,并且求解一个以该矩阵为系数矩阵的线性方程组,Hessian矩阵可能不可逆。为此提出了一些改进的方法,典型的代表是拟牛顿法。拟牛顿法的思路是不计算目标函数的Hessian矩阵然后求逆矩阵,而是通过其他手段得到一个近似Hessian矩阵逆的矩阵。具体做法是构造一个近似Hessian矩阵或其逆矩阵的正定对称矩阵,用该矩阵进行牛顿法的迭代。

    所有这些主要的数值优化算法都可以在SIGAI云端实验室上免费完成实验:

    www.sigai.cn

    通过构造目标函数,指定优化算法的参数与初始化迭代值,可以可视化的显示出算法的运行过程,并对不同参数时的求解结果进行比较。

    机器学习中的最优化算法总结

     

    可信域牛顿法

    标准牛顿法可能不会收敛到一个最优解,也不能保证函数值会按照迭代序列递减。解决这个问题可以通过调整牛顿方向的步长来实现,目前常用的方法有两种:直线搜索和可信区域法。可信域牛顿法是截断牛顿法的一个变种,用于求解带界限约束的最优化问题。在可信域牛顿法的每一步迭代中,有一个迭代序列xk,一个可信域的大小Δk,以及一个二次目标函数:

    机器学习中的最优化算法总结

     

    这个式子可以通过泰勒展开得到,忽略二次以上的项,这是对函数下降值:

    机器学习中的最优化算法总结

     

    的近似。算法寻找一个sk,在满足约束条件||S||<=Δk下近似最小化qk(S)。接下来检查如下比值以更新wk和Δk:

    机器学习中的最优化算法总结

     

    这是函数值的实际减少量和二次近似模型预测方向导致的函数减少量的比值。根据之前的计算结果,再动态调整可信域的大小。

    可信域牛顿法在logistic回归,线性支持向量的求解时有实际的应用,具体可以阅读liblinear开源库。

    分治法

    分治法是一种算法设计思想,它将一个大的问题分解成子问题进行求解。根据子问题解构造出整个问题的解。在最优化方法中,具体做法是每次迭代时只调整优化向量的一部分分量,其他的分量固定住不动。

    坐标下降法

    坐标下降法的基本思想是每次对一个变量进行优化,这是一种分治法。假设要求解的优化问题为;

    机器学习中的最优化算法总结

     

    坐标下降法求解流程为每次选择一个分量xi进行优化,将其他分量固定住不动,这样将一个多元函数的极值问题转换为一元函数的极值问题。如果要求解的问题规模很大,这种做法能有效的加快速度。

    坐标下降法在logistic回归,线性支持向量的求解时有实际的应用,具体可以阅读liblinear开源库。

    SMO算法

    SMO算法也是一种分治法,用于求解支持向量机的对偶问题。加上松弛变量和核函数后的对偶问题为:

    机器学习中的最优化算法总结

     

    SMO算法的核心思想是每次在优化变量中挑出两个分量αi 和 αj进行优化,让其他分量固定,这样能保证满足等式约束条件。之所以要选择两个变量进行优化而不是选择一个变量,是因为这里有等式约束,如果只调整一个变量的值,将会破坏等式约束。

    假设选取的两个分量为αi 和 αj,其他分量都固定即当成常数。对这两个变量的目标函数是一个二元二次函数。这个问题还带有等式和不等式约束条件。对这个子问题可以直接求得公式解,就是某一区间内的一元二次函数的极值。

    分阶段优化

    分阶段优化的做法是在每次迭代时,先固定住优化变量X一部分分量a不动,对另外一部分变量b进行优化;然后再固定住b不动,对b进行优化。如此反复,直至收敛到最优解处。

    AdaBoost算法是这种方法的典型代表。AdaBoost算法在训练时采用了指数损失函数:

    机器学习中的最优化算法总结

     

    由于强分类器是多个弱分类器的加权和,代入上面的损失函数中,得到算法训练时要优化的目标函数为:

    机器学习中的最优化算法总结

     

    这里将指数损伤函数拆成了两部分,已有的强分类器Fj−1,以及当前弱分类器f对训练样本的损失函数,前者在之前的迭代中已经求出,因此可以看成常数。这样目标函数可以简化为:

    机器学习中的最优化算法总结

     

    其中:

    机器学习中的最优化算法总结

     

    这个问题可以分两步求解,首先将弱分类器权重β看成常数,得到最优的弱分类器f。得到弱分类器之后,再优化它的权重系数β。

    动态规划算法

    动态规划也是一种求解思想,它将一个问题分解成子问题求解,如果整个问题的某个解是最优的,则这个解的任意一部分也是子问题的最优解。这样通过求解子问题,得到最优解,逐步扩展,最后得到整个问题的最优解。

    隐马尔可夫模型的解码算法(维特比算法),强化学习中的动态规划算法是这类方法的典型代表,此类算法一般是离散变量的优化,而且是组合优化问题。前面讲述的基于导数的优化算法都无法使用。动态规划算法能高效的求解此类问题,其基础是贝尔曼最优化原理。一旦写成了递归形式的最优化方程,就可以构造算法进行求解。

    本文版权归《SIGAI》,转载请自行联系。

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