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  • 线性代数笔记
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    2020-04-05 02:00:16

    Miao-A-SongHao-Linear-Algebra-Notes


    bilibili 宋浩老师 “惊叹号” 系列 《线性代数》网课 笔记及时间点目录
    Github项目地址:https://github.com/cy69855522/Miao-A-SongHao-Linear-Algebra-Notes

    💡 前言

    • 我发现吧,线代没记笔记真不行。
    • 浩浩学习,天天向上。数学网课推荐🤭宋浩老师免费视频~~~ 此笔记与其线代网课相对应
    • 如有遗漏或错误欢迎评论~ 欢迎补充完善Github项目⛄~
    • PC端推荐使用【Ctrl】+【F】进行关键字定位

    ⚗ 线性代数

    文章目录

    ☄ P1 二阶三阶行列式

    ⌚ 02:48 二阶行列式划线计算

    • 行列式一定是方的

    ⌚ 15:00 三阶行列式划线计算

    • 主对角线:╲
    • 副对角线:╱

    ⌚ 22:29 N阶行列式预备知识

    • 排列:1,2,……,n组成的一个有序数组叫n级排列,中间不能缺数
      • 3级排列:123,132,213,231,312,321
    • 逆序:大数排在小数前面
    • 逆序数:逆序的总数
    • 奇/偶排列:逆序数为奇/偶
    • 标准排列:123……N
    • 对换:交换排列中的两个数
      • 做一次对换,排列奇偶性改变

    ⌚ 24:21 名场面:宋浩点名田莎莎等

    ☄ P2 n阶行列式

    ⌚ 00:55 N阶行列式计算

    • 按行展开:
      • 行标取标准排列
      • 列标取排列的所有可能,从不同行不同列取出n个元素相乘
      • 共有N!项
      • 每一项的符号由列标排列的奇偶性决定,偶正奇负

    ⌚ 20:50 下三角行列式

    • 右上方三角形区域元素全部为0
    • 下三角行列式 = 主对角线元素相乘

    ⌚ 23:14 上三角行列式

    • 左下方三角形区域元素全部为0
    • 上三角行列式 = 主对角线元素相乘

    ⌚ 24:40 对角线行列式

    • 只有主对角线上有数

    ⌚ 25:30 副对角线行列式

    • 副对角线行列式 = (-1)^(n(n-1)/2) * 副对角线元素相乘

    ⌚ 31:00 三角行列式总结

    在这里插入图片描述

    ⌚ 31:09 行列式三种定义

    • 1.按行展开,符号由列标排列决定
    • 2.按列展开,符号由行标排列决定
    • 3.胡乱展开,符号由行标排列逆序数和列标排列逆序数之和决定 (-1)^(N(i1,i2,……,iN)+N(j1,j2,……,jN)), i:行标,j:列标

    ☄ P3 行列式的性质

    • 行列式对行成立的性质对列也成立

    ⌚ 00:25 性质一 转置

    • 转置:把行按列写
    • 行列式转置后值不变
    • 行列式转置的转置等于本身

    ⌚ 11:48 性质二 两行互换

    • 行列式两行互换,值变号

    ⌚ 20:38 性质三 两行相同

    • 行列式两行相同,等于0

    ⌚ 23:10 性质四 行公因子k

    • 行列式某行都乘以k,等于用k乘以这个行列式。即行列式某一行有公因子k,可往外提一次
    • 若行列式所有元素都有公因子k,k外提N次

    ⌚ 28:05 性质五 两行成比例

    • 行列式两行成比例,则行列式值为0
    • 某一行全为0,则行列式为0

    ⌚ 34:20 性质六 和分解

    • 若行列式某一行元素都可以表示为两项和,则行列式等于两个行列式相加
      | 1+2 2+3 |   | 1 2 |   | 2 3 |
      | 3   3   | = | 3 3 | + | 3 3 |
      | 4   6   |   | 4 6 |   | 4 6 |
      

    ⌚ 43:36 性质七 行叠加

    • 某一行乘以一个数加到另一行上去,行列式值不变

    ⌚ 51:12 行列式值计算通用法

    • 将行列式化为上三角行列式,连乘对角线元素
      • 利用性质七将左下角元素从左到右从上到下消为0

    ☄ P4 行列式按行展开

    ⌚ 04:36 余子式

    • 在行列式中选中某个元素,去掉所在行列,剩余的元素构成的行列式叫这个元素的余子式M_ij,M代表余子式,i代表选中元素的行标,j列标,ij从1开始

    ⌚ 07:42 代数余子式

    • 在余子式前面加上符号(-1)^(i+j)

    ⌚ 09:38 降阶:行列式按某一行/列展开

    • 行列式的值 = 某一行所有元素乘以自己的代数余子式的积之和,列同理

    ⌚ 16:50 异乘变零定理

    • 某行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和为零

    ⌚ 27:17 拉普拉斯定理

    • k阶子式:任取k行k列,交叉处构成的行列式为k阶子式
    • k阶子式的余子式:除去选中行列,其余行列形成的子式为k阶子式的余子式
    • k阶子式的代数余子式:多个符号(-1)^所有行标与列标之和

    ⌚ 30:17 拉普拉斯展开定理

    • 取定k行,由k行元素组成的所有k阶子式与其代数余子式乘积之和 = 行列式值

    ⌚ 38:30 同阶行列式相乘

    • 同阶行列式相乘的值 = 两个行列式做矩阵乘法后得到的行列式的值

    ☄ P5 行列式的计算(一)

    ⌚ 14:33 纯数字行列式计算

    • 将行列式化为上三角行列式,连乘对角线元素

    ⌚ 21:50 已知行列式求余子式之和

    • 构造新行列式

    ⌚ 30:06 对角线为x,其余为a的行列式计算技巧

    ☄ P6 行列式的计算(二)

    ⌚ 00:00 行列式计算基础思路

    • 1.化成上三角
    • 2.把某行/列尽可能多得化成0,然后展开

    ⌚ 01:05 三叉形行列式

    • 加边法:在顶上加一行1,左边多出的一列(除第一行)为0,行列式值不变

    ⌚ 17:42 范德蒙德行列式

    ⌚ 40:42 反对称行列式

    • a_ij = -a_ji
    • 主对角线全为0
    • 上下位置对应成相反数
    • 奇数阶,行列式值 D = 0

    ⌚ 43:12 对称行列式

    • a_ij = a_ji
    • 主对角线无要求
    • 上下位置对应相等

    ☄ P7 克莱姆法则

    ⌚ 00:05 解方程组

    • n个方程,n个未知量
    • D ≠ 0
    • x_j = D_j / D,D为方程组系数构成的行列式,D_j代表把方程组值用于替换D的第j列得到的行列式,x_j代表解
      在这里插入图片描述

    ⌚ 09:11 解齐次线性方程组

    • n个方程,n个未知量
    • 齐次:方程组值都为0,即无常数
    • 齐次方程,至少有零解
    • 若 D ≠ 0,只有零解;若 D = 0 <=> 有非零解
      在这里插入图片描述

    ☄ P8 矩阵概念

    ⌚ 22:20 矩阵和行列式比较

    • 矩阵可以是不方的
    • 零矩阵:元素都是0的矩阵为零矩阵(有形状)
    • 负矩阵:A的负矩阵为-A,所有元素取相反数
    • 方阵:行数 = 列数
    • 单位阵E:对角线上为1,其余元素为0,一定为方阵
    • 同型矩阵:形状相同
    • 矩阵相等:同型且值对应相等
      • 零矩阵不一定相等
    • 方阵的主对角线:╲,次对角线:╱,不是方阵则没有

    ☄ P9 矩阵运算(一)

    ⌚ 00:00 名场面:宋浩免费赠送自制知识卡片

    ⌚ 02:50 矩阵加减法

    • 只有同型矩阵才能相加减
    • 对应元素相加减

    ⌚ 07:53 矩阵数乘运算

    • 用k乘以矩阵,相当于把k乘以矩阵所有元素
      • 矩阵所有元素均有公因子,公因子外提一次(行列式是n次)

    ⌚ 13:58 矩阵乘法

    • 前提:左矩阵列数 = 右矩阵行数
    • 结果矩阵的行数 = 左矩阵行数,列数 = 右矩阵列数
    • 结果矩阵第i行第j列的值 = 左矩阵第i行与右矩阵第j列对应元素乘积之和
    • 宋氏七字:中间相等,取两头
    • AB 一般≠ BA AB有意义,BA不一定有意义。若AB = BA,则称A,B可交换
    • 左乘:在矩阵左边乘上一个矩阵,右乘同理
    • AB = 0 ≠> A=0 或 B=0
    • AB = AC,A≠0 ≠> B=C
    • 与零矩阵左/右乘:零矩阵与任何矩阵相乘都为零矩阵
    • 与单位阵左/右乘:AE = A, EA = A,此时E的形状可能不同
    • (AB)C = A(BC),AB顺序不可变
    • (A + B)C = AC + BC,AB顺序不可变
    • k(AB) = (kA)B = A(kB),AB顺序不可变

    ☄ P10 矩阵运算(二)

    ⌚ 00:00 矩阵幂运算

    • A^0 = E
    • A^k1 · A^k2 = A^(k1+k2)
    • (A^k1)^K2 = A^k1k2
    • (AB)^k 一般≠ A^k · B^k
      • (AB)^2 = ABAB ≠ A^2 · B^2 = AABB
    • (A + B)^2 = A^2 + BA + AB + B^2 ≠ A^2 + 2AB + B^2
      • (A - B)^2 ≠ A^2 - 2AB + B^2
    • (A + E)^2 = A^2 + 2AE + E^2
    • A^k需满足A为方阵

    ⌚ 23:49 矩阵转置

    • A^T代表A的转置,把行按列写
    • (A^T)^T = A
    • (A + B)^T = A^T + B^T
    • (kA)^T = kA^T
    • (AB)^T = B^T · A^T

    ☄ P11 特殊矩阵

    • 数量矩阵:主对角线元素全部相等,其余元素为0
    • 对角形矩阵:对角线上有值,其余为0
      • 对角线矩阵可以表示为diag(a1, a2, ……, an),a1~n为对角线上的元素
    • 三角矩阵
    • 对称矩阵
      • 对于对称矩阵A,A^T = A
      • A,B对称,AB对称 <=> A,B可交换
    • 反对称矩阵
      • 主对角线元素全部为0

    ☄ P12 逆矩阵(一)

    ⌚ 03:04 方阵的行列式

    ⌚ 12:54 方阵的行列式的性质

    • |A^T| = |A|
    • |kA| = k^n · |A|
    • |AB| = |A| · |B|

    ⌚ 24:28 伴随矩阵

    • 只有方阵才有伴随矩阵
    • 伴随矩阵A^*:求所有元素的代数余子式,按行求的代数余子式按列放,构成矩阵
    • AA^* = A^*A = |A|E
    • |AA^*| = ||A|E|
      • |A|·|A^*| = |A|^n
      • |A^*| = |A|^(n-1)

    ☄ P13 逆矩阵(二)

    • 逆矩阵:设A为n阶方阵,存在同阶方阵B,使得AB=BA=E,则A的逆矩阵A^-1 = B
      • 未必所有方阵均可逆,比如零矩阵
      • 如果方阵可逆,逆矩阵唯一

    ⌚ 10:58 方阵可逆条件

    • 若矩阵满足|A| ≠ 0,则其非奇异,非退化,满秩
    • A可逆 <=> |A| ≠ 0,A^-1 = 1/|A| · A^*
    • 若A、B都为n阶方阵,|A| ≠ 0 且 (AB = E 或 BA = E),则A^-1 = B

    ⌚ 21:16 求逆矩阵方法

    • 1.伴随矩阵法
    • 2.初等变换法(一般用这个)

    ⌚ 47:33 解矩阵方程常见错误总结

    • 1.注意提的方向
    • 2.矩阵不能减一个数字,需要补一个E
    • 3.永远不要把矩阵放在分母上
    • 4.一定要先判断矩阵可逆,再用逆矩阵

    ⌚ 54:42 逆矩阵性质

    • A可逆,则A^-1可逆,且(A^-1)^-1 = A
    • A,B均可逆,则AB可逆,(AB)^-1 = B^-1 A^-1
    • A可逆,则
      • A^T可逆
      • (A^T)^-1 = (A^-1)^T
      • 若 k ≠ 0,(kA)^-1 = A^-1/k
    • 若A可逆,|A^-1| = |A|^-1
    • 若A可逆,A^*也可逆,(A^*)^-1 = A/|A|

    ⌚ 66:58 伴随矩阵A^*小专题

    • 1.求代数余子式,按行求,按列放
    • 2.AA^* = A^*A = |A|E
    • 3.|A^*| = |A|^(n-1)
    • 4.A^-1 = A^*/|A|, A^* = |A|A^-1
    • 5.(A^*)^* = |A|^(n-2) A
    • 6.((A^*)^*)^* = |A|^((n-1)(n-2)+1) A^-1

    ☄ P14 分块矩阵

    ⌚ 00:00 分块要求

    • 横线/竖线一气到头

    ⌚ 04:34 标准形

    • 从左上角开始的一串1不断,其余全是0
    • 不一定是方阵

    ⌚ 09:34 分块矩阵加法

    ⌚ 10:39 分块矩阵数乘

    ⌚ 11:12 分块矩阵乘法

    • 把每个子块看作元素,做矩阵乘法
    • 前提:子块可乘

    ⌚ 20:25 分块矩阵转置

    • 先把子块视作元素求矩阵转置,再对每个子块求转置

    ⌚ 23:23 拉普拉斯展开定理在分块矩阵中的应用例题

    • 例题:求特殊分块矩阵行列式

    ⌚ 39:08 分块矩阵的逆

    • 对角分块矩阵求逆,直接把所有对角子块变为对应的逆矩阵

    ☄ P15 初等变换(一)

    ⌚ 00:00 三种初等变换

    • 交换两行
    • 用k(k≠0)乘某一行
    • 某一行的L倍加到另一行上去
    • 做初等变换要用箭头,不能用等号=

    ⌚ 11:18 初等变换和行列式变换的对比

    ⌚ 24:50 矩阵化标准型

    • 任何矩阵通过初等变换可以化为标准型

    ⌚ 29:45 矩阵等价

    • A经初等变换可得B,则A与B等价
      • 反身性:A与自身等价,A≌A
      • 对称性:A≌B => B≌A
      • 传递性:A≌B, B≌C => A≌C
    • 任何矩阵等价于标准型

    ☄ P16 初等变换(二)

    ⌚ 00:00 初等方阵

    • 对E做一次初等(行/列)变换得到的矩阵为初等方阵

    ⌚ 09:15 初等方阵的行列式和逆矩阵

    • 初等方阵均可逆,其逆矩阵也是初等方阵
    • 初等方阵的转置也是初等方阵

    ⌚ 14:56 初等方阵与矩阵做乘法

    • 用初等变换得到的初等方阵左乘A,相当于对A实施同种初等行变换;右乘相当于列变换

    ⌚ 44:13 初等方阵用处

    • 初等方阵是初等变换的载体
    • 多个初等方阵可以化矩阵为标准形
      • 若A与B等价,存在可逆矩阵P、Q,使得PAQ = B
    • A可逆 <=> A的标准形为E
    • A可逆 <=> A = 多个初等方阵乘积

    ☄ P17 初等变换(三)

    ⌚ 00:00 初等变换法求逆矩阵

    • A^-1 = Q1Q2……Qt
      => A^-1 = Q1Q2……QtE, E = Q1Q2……QtA
      初等行变换法:将A通过一系列初等行变换得到E之时,施加相同的初等行变换在E可以使E变为A^-1。(A, E) → (E, A^-1)

    ⌚ 13:51 解题过程总结

    • 注1.先第1列再第2列再第3列……
    • 注2.写整行,对整行操作
    • 注3.第一列处理好后,第一行不再主动参与运算,后面同理
    • 注4.做变换时矩阵与矩阵直接用箭头连接
    • 注5.只做行变换
    • 注6.不管是否可逆,如坐标化不成E,则不可逆,因为初等变换对于矩阵行列式值的改变是非零倍

    ☄ P18 矩阵的秩(一)

    ⌚ 00:00 k阶子式

    • k阶子式:任取k行k列,交叉处构成的行列式为k阶子式

    ⌚ 02:10 矩阵的秩

    • 非零子式的最高阶数:秩

    ☄ P19 矩阵的秩(二)

    ⌚ 00:00 矩阵的秩

    • 矩阵A的秩表示为rank(A) = r(A)
    • 设A形状为(m, n)
      • r(A) = m,则行满秩
      • r(A) = n,则列满秩
      • 否则r(A) < min(m, n),降秩
    • 若A为方阵,满秩 <=> 行列式 ≠ 0 <=> A可逆

    ⌚ 07:35 求矩阵的秩

    • r(A) = r <=> 有一个r阶子式不为0,所有r+1阶为0

    ⌚ 14:23 阶梯形矩阵

    • 若有零行,零行在非零的下边
    • 左起有首非零元左边零个数随行数增加而严格增加
    • 宋氏阶梯折线法:横线可跨多个数,竖线只跨一个数

    ⌚ 32:09 行简化阶梯形矩阵

    • 行简化阶梯形:是阶梯
      • 非零行的首非零元是1
      • 首非零元所在列的其余元素是0
    • 宋氏三步走(判断行简化阶梯形)
      • 画折线,判断阶梯形
      • ○画出首非零元
      • 首非零元画竖虚线,开头是1其余都为0

    ⌚ 41:15 求秩方法

    • 矩阵的秩 = 非零行的行数
    • 初等变换不改变秩
    • 矩阵求秩:A–初等变换–>阶梯形–数非零行的行数–>OK

    ⌚ 53:11 秩的性质

    • 1.r(A) = r(A^T)
    • 2.任意矩阵乘以可逆矩阵,秩不变
      • A(m, n), P为m阶可逆方阵, Q为n阶可逆方阵
      • r(A) = r(PA) = r(AQ) = r(PAQ),因为可逆矩阵可以表示为一系列初等方阵的积

    ⌚ 58:49 广告:宋浩打油诗

    • 线性代数好深奥
    • 矩阵方程行列式
    • 数学如何呵呵学得好奥
    • 山东财大找宋浩

    ☄ P20 向量的定义

    ⌚ 10:11 向量定义

    • 向量:N个数组成的有序数组,常用αβγ表示
    • 维数:N
    • 行向量:横着写,列向量:竖着写的向量
    • 零向量:元素全为0
    • 负向量:取相反数
    • 向量相等:同维数,元素对应相等
    • kα = 0 <=> k=0 or α=0

    ☄ P21 向量间的线性关系(一)

    ⌚ 00:00 线性关系

    • 1.零向量可由任意向量组表示
    • 2.向量组中任一向量可由向量组表示
    • 3.任一向量都可由N维基本向量组表示

    ⌚ 19:41 向量组的等价

    • 同维
    • 两个向量组可以相互线性表示

    ☄ P22 向量间的线性关系(二)

    ⌚ 00:00 线性相关与无关

    • 线性相关:α1,α2,...,αn是n个m维向量组,若存在一组不全为0的k1,k2,...,kn,使得k1α1 + k2α2 + ... + knαn = 0,则向量组线性相关,否则无关
    • 向量组中两向量成比例,向量组必线性相关
    • 含零向量的向量组,必线性相关
    • 一个零向量必相关
    • 一个非零向量必无关
    • 一个向量α相关 <=> α=0

    ⌚ 16:37 扩大后向量组与原向量组

    • 若向量组线性相关,增加向量后依然相关
      • 部分组相关 → 整体相关
      • 整体组无关 → 部分无关

    ⌚ 25:40 接长后向量组与原向量组

    • 线性无关的向量组接长后也线性无关;线性相关的向量组截短后也线性相关

    ⌚ 37:20 行列式判断相关

    • n个n维向量(维数=个数)构成的行列式D≠0,那么线性无关,否则相关

    ☄ P23 线性相关线性无关

    ⌚ 00:00 定理一

    • α1,α2,...,αs相关 <=> 至少一个向量可由其余向量表示

    ⌚ 04:32 定理二

    • α1,α2,...,αs无关,α1,α2,...,αs,βs相关,β可由α1,α2,...,αs唯一表示

    ⌚ 13:57 定理三:替换

    • α1,α2,...,αs无关,可由β1,β2,...,βt表示,则s≤t
      • α1,α2,...,αs可由β1,β2,...,βt表示,s>t,α1,α2,...,αs相关

    ⌚ 13:57 定理四

    • 若向量个数m>向量维数n,则m个n维向量相关
      • n+1个n维向量相关

    ⌚ 21:22 推论

    • 两个等价的线性无关组含向量个数相同

    ☄ P24 向量组的秩(一)

    ⌚ 00:00 极大线性无关组

    • α1,α2,...,αs的部分组α1,α2,...,αr满足:
      • α1,α2,...,αr无关
      • α1,α2,...,αs中每个向量均可由α1,α2,...,αr表示
      • 任意r+1个都相关

    ⌚ 08:04 极大线性无关组性质

    • 任意两个极大无关组,含向量个数相同
    • 全是零的向量组,没有极大线性无关组
    • 一个线性无关的向量组,它的极大无关组就是它本身
    • 任何一个向量组和它的极大无关组是等价的

    ⌚ 12:45 向量组的秩

    • 向量组的秩:极大无关组含向量个数,记作r(α1,α2,...,αs)
    • 如果全是零向量,秩为0
    • 0 ≤ r(α1,α2,...,αs) ≤ min(向量个数s,向量维数n)
    • α1,α2,...,αr无关 <=> r = s
    • α1,α2,...,αr相关 <=> r < s
    • α1,α2,...,αs可由β1,β2,...,βt表示,那么r(α1,α2,...,αs) ≤ r(β1,β2,...,βt)
      • 等价向量组有相同的秩

    ☄ P25 向量组的秩(二)

    ⌚ 00:00 行秩与列秩

    • 行秩 = 列秩 = 矩阵的秩

    ⌚ 07:06 定理

    • r(AB) ≤ min(r(A), r(B))

    ⌚ 11:12 极大线性无关组的求法

    • 初行变换不改变矩阵列向量组的线性关系
      1. 不管原向量是行或列,均按列构成矩阵
      1. 只做行变换,化行简化
      1. 首非零元所在列做极大无关组
      1. 其余向量表示系数直接写出

    ☄ P26 线性方程组

    ⌚ 00:00 二元一次方程与初等变换

    • 求秩过程类似与求方程组的解,初等变换类似于消元

    ☄ P27 线性方程组有解判定

    ⌚ 00:00 有解判定

    • 系数矩阵A=方程组左边系数构成的矩阵
    • 增广矩阵A^-=A右边加上结果那一列
    • 设m为方程组个数,n为未知数个数,当r(A) = r(A^-),有解
      • r(A) = r(A^-) = n,唯一解
      • r(A) = r(A^-) < n,无穷解
    • 当`r(A) ≠ r(A^-)’,无解
      在这里插入图片描述
    • 行简化阶梯型首非零元1的个数就是n

    ☄ P28 齐次方程组的解

    ⌚ 00:00 齐次方程组

    • 一定有解,至少有零解
    • r(A) = n <=> 唯一零解
    • r(A) < n <=> 有非零解/无穷解
    • 方程个数m < 未知量个数n,有非零解,r(A) ≤ min(m, n) = m < n
    • m = n 有非零解 <=> |A| = 0 <=> r(A) < n <=> A可逆

    ☄ P29 方程组解的结构(一)

    ⌚ 00:00 齐次方程组解的结构

    • 两解(η1,η2)相加仍是解
    • 解的倍数仍然解

    ⌚ 06:54 基础解系

      1. η1, η2, ..., ηs线性无关
      1. 任何解可由η1, η2, ..., ηs表示

    ⌚ 08:56 齐次方程基础解系求法

      1. 列出系数矩阵A
      1. 只做初等行变换化为行简化阶梯型
      1. 得到首非零元的表示
      1. 对自由项取极大无关组(One-Hot)并带入所有x即可得到基础解系
    • 解个数:n - r(A)
    • 理解:齐次线性方程组其实就是对各个变量x1,x2,...,xn间关系的限制,通过初等行变换可以消除潜在的非自由变量,矩阵的秩指关系的最简表示个数,在此处代表非自由变量的个数,基础解系实际上是由自由变量决定的
    • 齐次方程组的通解就是常数与基础解系积的和,可以表示任意一个解

    ⌚ 45:26 定理

    • 若矩阵A_m*nB_n*s满足AB = 0,则r(A) + r(B) ≤ n
      • 推理:
      • AB = 0 => A左乘B的每一列都为0 => B的每一列都是A的一组解 => r(B) = B的列秩 ≤ A的自由变量数 = n(A列数,也就是A中变量x的个数) - r(A)

    ☄ P30 方程组解的结构(二)

    ⌚ 00:00 导出组

    • 设非齐次线性方程组为Ax = b,则其导出组为Ax = 0
    • 设α为Ax = b的解,η为Ax = 0的解,则A(α + η) = b => α + ηAx = b的解

    ⌚ 04:27 非齐次方程组解的结构

    • 特解:满足非齐次方程组的随便一个解
    • 非齐次方程组的解 = 特解 + 导出组的通解
    • 求特解:化A^-至行最简阶梯型,得到首非零元表示,令所有自由变量为0,得到一个特解

    ☄ P32 矩阵的特征值与特征向量(一)

    ⌚ 00:00 矩阵的特征值与特征向量

    • 设A为n阶阵,对一个数λ,存在非零列向量α,使得Aα = λα
      • 则λ为一个特征值
      • α为λ对应的特征向量
      • λ可为0
      • α不可为0

    ⌚ 08:35 求特征值

    • Aα = λα => (λE - A)α = 0
      • (λE - A)x = 0有非零解 <=> |λE - A| = 0
    • 特征矩阵:λE - A
    • 特征多项式:|λE - A|化简后
    • 特征方程:|λE - A| = 0
    • 特征值/特征根:x
    • 若α为λ对应的特征向量,则cα也是,c为常数
    • α对应唯一一个λ,λ可对应多个α
    • α1, α2都为λ对应的特征向量,则c1α1 + c2α2是λ的特征向量

    ☄ P33 矩阵的特征值与特征向量(二)

    ⌚ 00:00 求特征值(计算含参行列式)思路

    • 把某行尽可能化为零,按行展开
    • 提含参数的公因子

    ⌚ 19:40 完整例题求特征值和特征向量

      1. 列出|λE - A|,检查10秒
      1. 通过|λE - A| = 0|A - λE| = 0求出λ
      • 一般利用按行展开或提公因子的技巧直接得到一个根,然后计算剩下的根
      1. 代入λ,得到矩阵λE - A
      1. 化为行简化阶梯型
      1. 写出同解方程组
      1. 对自由未知量取One-Hot,得到基础解系
      1. 引入c写出通解,所有c不能同时为0

    ⌚ 43:12 N阶三角形矩阵的特征值

    • N阶三角形矩阵的特征值是主对角线上的元素

    ☄ P34 特征值与特征向量的性质

    ⌚ 00:00 基本性质

    • A和A^T有相同的特征值,特征向量可能不同
    • 若矩阵A的每行元素绝对值之和小于1,且每列元素绝对值之和也小于1,则所有特征值的膜小于1
    • 韦达定理
      • 特征值之和(称为矩阵的迹tra(A))等于对角线元素之和
      • 特征值之积等于行列式的值
    • A可逆 <=> |A| ≠ 0 <=> A所有特征根不等于0 <=> A满秩 <=> 行/列向量线性无关 <=> Ax = 0只有零解
    • 互不相同的特征值对应的特征向量线性无关
    • 互不相同的特征值对应的所有线性无关的特征向量线性无关
    • k重特征根对应的线性无关的特征向量的个数 ≤ k
      • 若λ是A的单根,那么λ对应的线性无关的特征向量只有一个
      • n阶矩阵A所有线性无关的特征向量的个数最多n个

    ⌚ 47:49 其他性质

    • λA的特征值
      • kA的特征值
      • λ^kA^k的特征值
      • 哈密顿一凯莱定理:f(A)的特征值为f(λ),此处f代表多项式函数
      • 1/λA^-1的特征值
      • |A|/λA^*的特征值

    ☄ P35 相似矩阵和矩阵可对角化的条件

    ⌚ 00:00 相似矩阵

    • 若A、B为n阶方阵,存在n阶可逆矩阵P,使得P^-1AP = B,则A与B相似,即A ~ B
    • A ~ A
    • A ~ B <=> B ~ A
    • A ~ B, B ~ C => A ~ C

    ⌚ 07:58 相似矩阵的性质

    • 若 A ~ B,则:
      • A、B有相同的特征值
      • |A| = |B|
      • tra(A) = tra(B)
    • 有相同特征值未必相似
    • 若 A ~ B,则 A可逆 <=> B可逆,A^-1 ~ B^-1
    • 若 A ~ B,则 A^m ~ B^m
    • 若 A ~ B,则 r(A) = r(B)

    ⌚ 22:06 与对角形矩阵相似(对角化)的条件

    • A相似于对角形Λ <=> A有n个线性无关的特征向量
      • 若P为特征向量的列组合(α1, α2, α3),则P^-1AP = Λ = diag(λ1, λ2, λ3)
    • 若A有n个互异的特征值,则A ~ Λ
    • A ~ Λ <=> 对每个ri重特征根有ri个解(即ri个自由变量)

    ⌚ 61:47 利用相似矩阵简单求矩阵的高次幂

    ☄ P36 实对称矩阵的对角化(一)

    ⌚ 00:00 实对称矩阵的对角化

    • 所有实对称矩阵都能对角化

    ⌚ 02:00 内积

    • 内积:两个向量对应相乘再相加得到的数
    • α和α的内积(α, α) ≥ 0
      • (α, α) = 0 <=> α = 0
    • (α, β) = (β, α)
    • (kα, β) = k(α, β) = (α, kβ)
    • (α + β, γ) = (α, γ) + (β, γ)

    ⌚ 21:09 向量的长度/范数/模

    • 范数:||α|| = √(α, α)
    • 单位向量:模为1
    • 单位化/标准化α:乘上1/||α||

    ☄ P37 实对称矩阵的对角化(二)

    ⌚ 00:00 模的性质

    • ||α|| ≥ 0,||α|| = 0 <=> α = 0
    • ||kα|| = |k|·||α||

    ⌚ 04:16 柯西-施瓦茨不等式

    • |(α, β)| ≤ ||α||·||β||

    ⌚ 08:13 三角不等式

    • ||α + β|| ≤ ||α|| + ||β||`

    ⌚ 09:55 正交/垂直

    • (α, β) = 0, α ⊥ β
    • (0, α) = 0
    • 正交向量组:组中向量两两正交,不含零向量
    • 标准正交向量组:是正交向量组,组内都是单位向量
    • α1,α2,...,αs是正交向量组,那么α1,α2,...,αs线性无关

    ⌚ 25:10 施密特正交化

    在这里插入图片描述

    • 施密特正交化(Schmidt orthogonalization)是求欧氏空间正交基的一种方法。从欧氏空间任意线性无关的向量组α1,α2,……,αm出发,求得正交向量组β1,β2,……,βm,使由α1,α2,……,αm与向量组β1,β2,……,βm等价,再将正交向量组中每个向量经过单位化,就得到一个标准正交向量组,这种方法称为施密特正交化。(来自百度百科

    ☄ P38 实对称矩阵的对角化(三)

    ⌚ 00:00 正交矩阵

    • 正交矩阵A满足:A是n阶方阵,AA^T = E
    • 若A是正交矩阵:
      • |A| = ±1
      • A^-1 = AT,且A-1和A^T均正交
    • 若A、B都是正交矩阵,AB也正交
    • 若A正交,α、β为n维列向量,则(Aα, Aβ) = (α, β)
    • A正交 <=> A的列(行)向量组是标准正交向量组

    ⌚ 21:38 实对称矩阵的对角化

    • 实对称A的不同特征值的特征向量正交

    ⌚ 28:48 正交相似

    • 若A、B是同阶方阵,存在正交矩阵P,使得P^-1AP = B,则A与B正交相似
      • 正交相似一定相似

    ⌚ 31:24 定理

    • 若A实对称,一定存在正交矩阵Q,使得Q^-1AQ = Λ = diag(λ1, λ2, ..., λn)
      • n阶实对称矩阵A一定有n个线性无关的特征向量
      • 设A是n阶实对称矩阵,λi是它的一个ri重特征根,那么A对应于λi的特征向量一定有ri个

    ⌚ 32:34 汇总

    • 给定实对称矩阵A,求正交矩阵Q,使得Q^-1AQ = Λ
    • 对于普通矩阵:
      • 如有n个无关的特征向量,可对角化P^-1AP = Λ = diag(λ1, λ2, ..., λn)
      • 若无,不能对角化
    • 实对称矩阵一定能对角化:
        1. 求特征值
        1. 求特征向量
        1. 特征向量正交化、单位化
        1. 特征向量做成列构成Q
        1. 特征值与特征向量顺序对应
      • 第三步-正交化技巧:因为实对称的不同特征值的特征向量正交,因此仅需要正交化所有重根的特征向量

    ☄ P39 二次型定义

    ⌚ 00:00 判断二次型

    • 所有项都是二次(包括平方项和交叉项)

    ⌚ 03:08 n元二次型

    • 包含n个变量的二次型

    ⌚ 04:09 二次型的矩阵表达

      1. 平方项系数直接做成主对角线元素
      1. 交叉项的系数除以2放到俩个对称的相应位置上
      1. X^TAX,A的秩叫二次型的秩
    • 二次型的矩阵一定对称

    ⌚ 21:30 标准型

    • 只有平方项

    ⌚ 24:40 线性替换

    • f(X) = X^TAX,引入X = CY,则f(X) = Y^T(C^TAC)Y

    ⌚ 35:38 合同

    • A、B是两个n阶方阵,若存在可逆矩阵C,使得C^TAC = B,则A与B合同
    • A与自身合同
    • A合同于B <=> B合同于A
    • A合同于B,B合同于C => A合同于C
    • A、B合同:
      • r(A) = r(B)
      • 同时对称:A^T = A <=> B^T = B
      • 若A、B可逆,则A-1与B-1合同
      • AT与BT合同

    ⌚ 49:00 矩阵间关系总结

    在这里插入图片描述

    ☄ P40 二次型化标准型(配方法)

    ⌚ 00:00 二次型化标准型的三种方法

    • 配方法
    • 初等变换法
    • 正交替换法(同实对称矩阵的对角化)

    ⌚ 02:33 配方法

    • 注意:
      • 先x1,再x2,x3,……
      • 利用y线性替换x,使得对y的方程满足标准型
      • 反向求x关于y的表达式
    • 只有交叉项的题的解题技巧

    ☄ P41 二次型化标准型(初等变换法和正交替换法)

    ⌚ 00:00 初等变换法

      1. 对A、E做同样的初等列变换
      1. 只对A做相应的初等行变换(配套的)
      1. A化成对角阵之时,E化成的就是C
    ╭ A ╮ ▁▁▁对整个矩阵做列变换  ▁▁▁╲ ╭ Λ ╮
    ╰ E ╯ ▔▔▔只对A做相应的行变换 ▔▔▔╱ ╰ C ╯
    
    • 每次做完一套列行变换,上矩阵会变成对称的

    ⌚ 22:00 规范形

    • 在标准型的基础上继续变换Λ,使得对角线变为1, ..., 1, -1, ..., -1, 0, ..., 0的形式(规范形)
    • 惯性定理:任意一个二次型可以通过非退化的线性替换化为规范形
      • 其中1和-1的总数等于原来矩阵的秩,且个数由原矩阵决定
      • -1无法化成1
      • 正惯性指数:正项(1)的个数
      • 负惯性指数:负项(-1)的个数
      • 符号差 = 正惯性指数 - 负惯性指数
    • 任意矩阵A与规范形合同
    • 合同 <=> 有相同的秩、正惯性指数、负惯性指数

    ⌚ 31:06 正交替换

    • 二次型A必然为实对称矩阵
        1. 求特征值
        1. 求特征向量,正交化、单位化
        1. 特征向量做成列,构成C;特征值按对应顺序做成对角阵
    • 计算量大,用的比较少

    ☄ End 感谢宋老师~

    🚄❤🧡💛💚💙💜🖤💕💞💓💗💖💘💝💟💌💨

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    http://www.360doc.com/content/17/0503/09/42576766_650522189.shtml(三阶)

     

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