前言
 
如果你对这篇文章可感兴趣，可以点击「【访客必读 - 指引页】一文囊括主页内所有高质量博客」，查看完整博客分类与对应链接。
 
高斯整数
 
$a=x+y\ast i(x,y\in Z)$，则 $a$ 为高斯整数。
$a$ 的范为 $N(a)=|a^2|=x^2+y^2$。
若存在高斯整数 $y$，使得 $ay=1$，则 $a$ 为高斯整数中的乘法可逆元，$y$ 为 $a$ 的逆。
高斯整数 $a$ 是可逆元的充要条件是 $N(a)=1$，高斯整数中只有 $4$ 个可逆元，分别是 $-1、1、i、-i$ 。
$a、b$ 为高斯整数，$a=by$，则 $a$ 和 $b$ 等价，即 $a=b、-b、ib、-ib$ 。
 
 
高斯素数
 
定义：设 $\varphi$ 为高斯整数中的非零非可逆元，则 $\varphi$ 为高斯素数。即 $\varphi$ 的因子或者为可逆元，或者是与 $\varphi$ 等价的高斯整数。
$\varphi$ 为高斯整数，且 $N(\varphi )=p$ 为素数，则 $\varphi$ 必定为高斯素数。
若 $\varphi$ 为高斯素数，则其共轭元也是高斯素数。
 
 
高斯素数判断
 
高斯整数 $a+bi$ 是素数，当且仅当：
 
$a、b$ 中有一个是零，另一个数的绝对值是形如 $4\ast n+3$ 的素数。
$a、b$ 均不为零，而 $a^2+b^2$ 为素数。
 
 
费马平方和定理
 
奇质数能表示为两个平方数之和的充分必要条件是该质数被 $4$ 除余 $1$，即 $4\ast n+1$。
例题：找出 $[l,r]$ 中的素数 $t$，满足 $t=a^2+b^2(a,b\in N^{\ast })$，输出这种素数总数。

一、高斯整数
 
形如 。（其中a，b是整数）的复数被称为高斯整数，高斯整数全体记作Z[i]。注意到若 γ=a+bi 是高斯整数，则它是满足如下方程的代数整数：
 
 
通常我们使用希腊字母来表示高斯整数，例如α，β，γ和δ。注意到若 n 是一个整数，则 n=n+0i 也是高斯整数。当我们讨论高斯整数的时候，把通常的整数称为有理整数。
 
加、减、乘运算
 
高斯整数在加、减、乘运算下是封闭的，正如下面定理所述。
 
定理1：设 α=x+iy 和 β=w+iz 是高斯整数，其中 x，y，w 和 z 是有理整数，则 α+β，α-β 和 αβ 都是高斯整数。
 
虽然高斯整数在加、减和乘运算下封闭，但是他们在除法运算下并不封闭，这一点与有理整数类似。此外，若 α=a+bi 是高斯整数，则a的范数 N(α)= 是非负有理整数。
 
 
整除性
 
我们可以像研究有理整数那样去研究高斯整数。整数的许多基本性质可以直接类推到高斯整数上。要讨论高斯整数的这些性质，我们需要介绍高斯整数类似于通常整数的一些概念。特别地，我们需要说明一个高斯整数整除另一个高斯整数的意义，并给出高斯素数的定义。
 
定义1：设 α 和 β 是高斯整数，我们称α整除β，是指存在一个高斯整数 γ 使得β=αγ。若α整除β，我们记作α|β ；若α 不整除β ，记作αβ 。
 
高斯整数的整除也满足有理整数整除的一些相同的性质。例如，若α，β和γ 是高斯整数，α|β，β|γ，则α|γ。再者，若α，β，γ，ν和μ 是高斯整数，γ|μ，γ|β，则γ|(μα+νβ)。
 
高斯素数
 
1, −1, i及−i都是高斯整数环里面的单位元。除此之外，在高斯整环里面不能因子分解的数称为高斯素数。高斯素数分为两类，其中一类是形式为4n+3（n是整数）的普通素数，如3，7等，它们在高斯整环里面也不能够因子分解。但是所有形式是4n+1的普通素数如5，13等，在高斯整环里面都可以唯一因子分解成两个共轭的高斯素数的乘积，如5=(2+i)(2-i)。需要注意的是，这里我们也可以写成5=(1+2i)(1-2i)，这个是因为(2-i)i=1+2i，而i是单位元，所以我们可以认为这两种分解是等价的。此外，素数2也可以分解，即2=(1+i)(1-i)。
 
 
 
二、费马平方和定理
 
费马平方和定理是指由法国数学家费马在1640年提出的一个猜想，但他没有提出有力的数学证明，1747年，瑞士数学家莱昂哈德•欧拉提出证明后成为定理。
 
费马平方和定理的表述是：奇质数能表示为两个平方数之和的充分必要条件是该素数被4除余1。
 
费马二平方定理(Fermat's Two Squares Theorem)
 
费马二平方定理是指除了2这个特殊的素数，所有的素数都可以分两类：被4除余1的素数，如5，13，17，29，37，41；第二类则是被4除余3的素数如3，7，11，19，23，31.第一类素数都能表示为两个整数的平方和，第二类都不能。
 
费马二平方定理指出，当且仅当或时，素数可以表示为两个非零平方之和。 并且这种表示是唯一的。
 
 
 
三、拉格朗日四平方定理（Lagrange's four-square theorem）
 
拉格朗日的四平方定理，也称为Bachet猜想，由Diophantus陈述缺乏必要条件而推论得出。它指出，每一个正整数可以写成的总和至多四个正方形。尽管该定理由费马使用无限下降来证明，但该证明被抑制了。欧拉无法证明该定理。拉格朗日（Lagrange）于1770年给出了第一个公开的证明，并利用了欧拉四方形恒等式。
 
拉格朗日的四平方定理（也称为Bachet猜想）指出，每个自然数都可以表示为四个整数平方之和。 其中四个数字是整数。它是費馬多邊形數定理和華林問題的特例。
 
 

高斯整数与唯一因子分解
 
稍微偏了点理论，数域的扩展，这里不详细记录了
 
主要是：
 
高斯整数的唯一分解
高斯整数带余除法
高斯整数公因数性质
高斯素数整除性质
勒让德两平方数之和定理
$D_1-D_3$差定理

我们把集合：叫做高斯整数环，其中Z表示通常的整数环，而用表示复数域上的整数环。
 
 
 
那么什么是环呢？就是通过加减乘三种运算后，仍然能满足本身性质的就叫做环。
 
 
 
 
 
范的定义：设，，定义a的范为
 
 
 
设，则
 
 
 
(1)为非负整数，并且
 
 
 
(2)
 
 
 
(3)若，则
 
 
 
 
 
 
 
逆的定义：设，如果存在，使得，则称为中的乘法可逆元，简称可逆元，并且
 
叫做的逆。
 
 
 
高斯整数是可逆元的充要条件是：。    中只有4个可逆元，分别是：和
 
 
 
 
 
定义：设和是两个非零高斯整数，如果存在可逆元，使得，则称和等价，并表示成,换句话说，
 
与等价，是指，，或者
 
 
 
 
 
 
 
高斯素数
 
定义：设为中的非零非可逆元，我们称为高斯素数，是指的每个因子或者为可逆元，或者是与等价的高斯整数。
 
 
 
引理：
 
(1)设为高斯整数，并且为素数，则必定为高斯素数。
 
(2)若为高斯素数，则其共轭元也是高斯素数。
 
 
 
 
 
如何判断一个高斯整数是否属于高斯素数呢？可以用下面的方法：
 
 
 
高斯整数是素数当且仅当：
 
 
(1)a、b中有一个是零，另一个数的绝对值是形如4n+3的素数；
 
(2)a、b均不为零，而为素数；
 
 
 
有了这个结论，那么我们就可以很轻松的解决HDU2650题了。
 
 
 
题目：A math problem
 
 
 
题意：给出，其中，判断是否为高斯素数。
 
 
 
分析：其实就是上面的判断高斯素数的方法，但是注意一点，这里，而正常情况是，其实差不多一样，
 
只是把为素数这个条件改为：为素数即可，那么如果把题目描述改为呢？同样的道理只需把
 
判断条件改成为素数即可，由于很大，所以写个Miller_Rabin吧。。。
 
 
 
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <iostream>

const int Times=10;

using namespace std;
typedef long long LL;

LL multi(LL a,LL b,LL m)
{
     LL ans=0;
     while(b)
     {
         if(b&1)
         {
             ans=(ans+a)%m;
             b--;
         }
         b>>=1;
         a=(a+a)%m;
     }
     return ans;
}

LL quick_mod(LL a,LL b,LL m)
{
     LL ans=1;
     a%=m;
     while(b)
     {
         if(b&1)
         {
             ans=multi(ans,a,m);
             b--;
         }
         b>>=1;
         a=multi(a,a,m);
     }
     return ans;
}

bool Miller_Rabin(LL n)
{
    if(n==2) return true;
    if(n<2||!(n&1)) return false;
    LL a,m=n-1,x,y;
    int k=0;
    while((m&1)==0)
    {
        k++;
        m>>=1;
    }
    for(int i=0;i<Times;i++)
    {
        a=rand()%(n-1)+1;
        x=quick_mod(a,m,n);
        for(int j=0;j<k;j++)
        {
            y=multi(x,x,n);
            if(y==1&&x!=1&&x!=n-1) return false;
            x=y;
        }
        if(y!=1) return false;
    }
    return true;
}

int main()
{
    LL a,b;
    while(~scanf("%I64d%I64d",&a,&b))
    {
        if(a==0)
        {
            if(b%4==3&&Miller_Rabin(b)) puts("Yes");
            else  puts("No");
        }
        else
        {
            LL t=a*a+2*b*b;
            if(Miller_Rabin(t)) puts("Yes");
            else  puts("No");
        }
    }
    return 0;
}
 
 
 
 
 
题目：http://poj.org/problem?id=3361
 

  
 
#include <iostream>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
#include <math.h>

using namespace std;
const int N=100005;

int prime[N], p[N],k;
int pri[N],top;
int n;

struct point
{
    int a;
    int b;
    char oper;
}s[N];

int num;
//筛选素数

void isprime()
{
    k=0;
    int i,j;
    memset(prime,true,sizeof(prime));
    for(i=2;i<N;i++)
    {
        if(prime[i])
        {
            p[k++]=i;
            for(j=i+i;j<N;j+=i)
            {
                prime[j]=false;
            }
        }
    }
}

//素因子分解
void Divide(int n)
{
    int i;
    top=0;
    for(i=0; i<k; i++)
    {
        if(n%p[i]==0)
        {
            pri[top++]=p[i];
            n/=p[i];
            while(n%p[i]==0)
            {
                pri[top++]=p[i];
                n/=p[i];
            }
        }
    }
    if(n>1)
        pri[top++]=n;
}

//高斯素数分解
void Part(int prime)
{
    int i;
    if(prime==2)
    {
        s[num].a = 1;
        s[num].b = 1;
        s[num++].oper = '+';
        s[num].a = 1;
        s[num].b = 1;
        s[num++].oper = '-';
    }
    else if((prime - 1)%4==0)
    {
        for(i=1;;i++)
        {
            int u=int(sqrt(prime-i*i*1.0)+1e-5);
            if(u*u+i*i==prime)
            {
                s[num].a = i;
                s[num].b = u;
                s[num++].oper='+';
                s[num].a = i;
                s[num].b = u;
                s[num++].oper='-';
                break;
            }
        }
    }
    else
    {
        s[num].a=prime;
        s[num++].b=0;
    }
}

int cmp(const void *a, const void *b)
{
    point *c = (point *)a;
    point *d = (point *)b;
    if(c->a != d->a)
        return c->a - d->a;
    if(c->b != d->b)
        return c->b - d->b;
    return c->oper == '-' ? 1 : -1;
}

void Print(int key)
{
    printf("%d", s[key].a );
    if(s[key].b == 0)
        return;
    if(s[key].b == 1)
        printf("%cj", s[key].oper);
    else
        printf("%c%dj", s[key].oper, s[key].b);
}

int main()
{
    isprime();
    int i, cas=1;
    while(~scanf("%d", &n))
    {
        num = 0;
        Divide(n);
        for(i=0;i<top;i++)
            Part(pri[i]);
        qsort(s, num, sizeof(point), cmp);
        printf("Case #%d: ", cas++);
        Print(0);
        for(i=1; i<num; i++)
        {
            if(s[i].a==s[i-1].a
                    &&s[i].b==s[i-1].b
                    &&s[i].oper==s[i-1].oper)
                continue;
            if(i)
                printf(", ");
            Print(i);
        }
        puts("");
    }
    return 0;
}