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  • Unity旋转向量
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    2021-10-24 16:13:46

    Vector3 newVec = Quaternion.AngleAxis(angle,axis)*oriVec;

    Vector3 newVec = Quaternion.Eular(0,angle,0)*oriVec;

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  • 矩阵表示方式还有很多缺点: 1.SO(3) 的旋转矩阵有九个量,但一次旋转只有三个自由度。因此这种表达方式是冗余的。同理,变换矩阵用十六个量表达了六自由度的变换。...同样,对于变换矩阵,我们使用一个旋转向量
  • 主要为大家详细介绍了Unity实现绕任意轴任意角度旋转向量,文中示例代码介绍的非常详细,具有一定的参考价值,感兴趣的小伙伴们可以参考一下
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  • 旋转向量

    万次阅读 多人点赞 2018-11-30 11:03:04
    旋转矩阵 ...首先,通过旋转矩阵不能直观地看出旋转的方向和角度,假设给定一个旋转矩阵,要求旋转方向不变,旋转角度变成一半,那么新的旋转矩阵计算起来就比较麻烦了。 另一方面,旋转变换本身只有3...

    旋转矩阵

    两个矩阵相乘的意义是将右边矩阵中的每一列列向量变换到左边矩阵中每一行行向量为基所表示的空间中去
    

    在三维世界的坐标变换中,我们经常用一个旋转矩阵来旋转一个点,比如:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    绕任意轴旋转则可以分解成绕三个坐标轴旋转的叠加,最终得到的旋转矩阵 R 便是上述三个矩阵的乘积。
    然而,用矩阵来表示一个旋转关系有两个缺点:
    首先,通过旋转矩阵不能直观地看出旋转的方向和角度,假设给定一个旋转矩阵,要求旋转方向不变,旋转角度变成一半,那么新的旋转矩阵计算起来就比较麻烦了。
    另一方面,旋转变换本身只有3个自由度,但旋转矩阵有9个元素,因此旋转矩阵中的元素不是相互独立的,这在非线性优化中会带来问题。

    旋转向量
    向量旋转公式最早由 Rodrigues 提出,用一个三维向量来表示三维旋转变换,该向量的方向是旋转轴,其模则是旋转角度。百度百科中有其详细的介绍与推导,我在这边只列一下最重要的公式。
    设旋转向量的单位向量为 r,模为 θ。三维点(或者说三维向量)p 在旋转向量 r 的作用下变换至 p′,则:
    在这里插入图片描述
    这个公式和罗德里格斯公式很像。

    相互转换
    设旋转向量的单位向量 r=[rx ry rz]T,旋转角度为 θ,对应的旋转矩阵为 R,则 r 到 R 的转换是:
    在这里插入图片描述

    其中 I 是三阶单位矩阵。反过来 R 到 r 的转换则可以利用等式:
    在这里插入图片描述

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  • 旋转向量和平移向量的本质 文章目录旋转向量和平移向量的本质1. 平移向量的本质2. 旋转矩阵的本质 1. 平移向量的本质 如图所示,坐标系1和坐标系2平行但不重合,所以空间点从坐标系2到坐标系1的变换只有平移,空间...

    旋转向量和平移向量的本质

    1. 平移向量的本质

    truthOfTranslationVector

    如图所示,坐标系1和坐标系2平行但不重合,所以空间点从坐标系2到坐标系1的变换只有平移,空间的一点 P P P在坐标系2和坐标系1的坐标分别设为 P 2 P_{2} P2 P 1 P_{1} P1,设平移向量为 t ⃗ \vec{t} t ,即,空间点从坐标系2到坐标系1的变换可以表示为: P 1 = P 2 + t ⃗ P_{1}=P_{2}+\vec{t} P1=P2+t

    • 本质空间点从坐标系2变换到坐标系1的平移向量 t ⃗ \vec{t} t O 1 O 2 ⃗ \vec{O_{1}O_{2}} O1O2 ,在坐标系1中该向量的值与 O 2 O_{2} O2在坐标系1中的坐标相等。

    2. 旋转矩阵的本质

    在这里插入图片描述

    如图所示,坐标系1和坐标系2原点重合但是不平行,所以空间点从坐标系2到坐标系1的变换只有旋转矩阵。空间的一点 P P P在坐标系2和坐标系1的坐标分别设为 P 2 P_{2} P2 P 1 P_{1} P1,旋转矩阵用 R R R表示则:

    P 1 = R P 2 P_{1}=RP_{2} P1=RP2

    R = [ r 11 r 12 r 13 r 21 r 22 r 23 r 31 r 32 r 33 ] = [ r 1 r 2 r 3 ] R=\begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} & r_{13} \\ r_{21} & r_{22} & r_{23} \\ r_{31} & r_{32} & r_{33} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} r_{1} & r_{2} & r_{3} \end{bmatrix} R=r11r21r31r12r22r32r13r23r33=[r1r2r3]

    在坐标系2中取三个特殊点 A ( 1 , 0 , 0 ) , B ( 0 , 1 , 0 ) , C ( 0 , 0 , 1 ) A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1) A(1,0,0)B(0,1,0)C(0,0,1),并分别将其转换到坐标系1中,则

    { P A 1 = R P A = r 1 P B 1 = R P B = r 2 P C 1 = R P C = r 3 \left\{\begin{array}{ll} P_{A1}= RP_{A} =r_{1} \\ P_{B1}= RP_{B} =r_{2} \\ P_{C1}= RP_{C} =r_{3}\end{array} \right. PA1=RPA=r1PB1=RPB=r2PC1=RPC=r3

    空间点从坐标系2到坐标系1的旋转矩阵R的分量 r 1 , r 2 , r 3 r_{1},r_{2} ,r_{3} r1,r2,r3分别为坐标系2的基底向量 O 2 X 2 ⃗ 、 O 2 Y 2 ⃗ 、 O 2 Z 2 ⃗ \vec{O_{2}X_{2}}、\vec{O_{2}Y_{2}}、\vec{O_{2}Z_{2}} O2X2 O2Y2 O2Z2 在坐标系 O 1 O_{1} O1中的表示。

    同理: [ r 11 r 12 r 13 ] T 、 [ r 21 r 22 r 23 ] T 、 [ r 31 r 32 r 33 ] T \begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} & r_{13} \end{bmatrix}^{T}、\begin{bmatrix} r_{21} & r_{22} & r_{23} \end{bmatrix}^{T}、\begin{bmatrix} r_{31} & r_{32} & r_{33} \end{bmatrix}^{T} [r11r12r13]T[r21r22r23]T[r31r32r33]T分别为坐标系1的基底向量 O 1 X 1 ⃗ 、 O 1 Y 1 ⃗ 、 O 1 Z 1 ⃗ \vec{O_{1}X_{1}}、\vec{O_{1}Y_{1}}、\vec{O_{1}Z_{1}} O1X1 O1Y1 O1Z1 在坐标系 O 2 O_{2} O2中的表示。

    • 空间点从坐标系2到坐标系1的旋转矩阵R的本质
      • 列分量本质上是坐标系2的X轴、Y轴和Z轴在坐标系1中的坐标
      • R的行分量本质上是坐标系1的X轴、Y轴和Z轴在坐标系2中的坐标。

    3. 两个坐标系之间的旋转矩阵和平移向量的相互转换关系

    3.1 假设

    cvtRT

    • 空间的一点 P P P在坐标系2和坐标系1的坐标分别设为 P 2 P_{2} P2 P 1 P_{1} P1
    • 坐标系1到坐标系2的旋转矩阵和平移向量设为: R 1 − > 2 R_{1->2} R1>2 t 1 − > 2 t_{1->2} t1>2
    • 坐标系2到坐标系1的旋转矩阵和平移向量设为: R 2 − > 1 R_{2->1} R2>1 t 2 − > 1 t_{2->1} t2>1

    3.2 转换关系推导

    • P 2 − > P 1 P_{2}->P_{1} P2>P1

      • P 1 = R 2 − > 1 P 2 + t 2 − > 1 P_{1} = R_{2->1}P_{2}+t_{2->1} P1=R2>1P2+t2>1,变换得:
      • P 2 = R 2 − > 1 − 1 P 1 − R 2 − > 1 − 1 t 1 − > 2 P_{2} = R_{2->1}^{-1}P_{1}-R_{2->1}^{-1}t_{1->2} P2=R2>11P1R2>11t1>2
    • P 1 − > P 2 P_{1}->P_{2} P1>P2

      • P 2 = R 1 − > 2 P 1 + t 1 − > 2 P_{2} = R_{1->2}P_{1}+t_{1->2} P2=R1>2P1+t1>2
    • 综上可得:

      • { R 1 − > 2 = R 2 − > 1 − 1 = R 2 − > 1 T t 1 − > 2 = − R 2 − > 1 − 1 t 1 − > 2 \left\{\begin{array}{ll} R_{1->2}= R_{2->1}^{-1}= R_{2->1}^{T}\\ t_{1->2}=-R_{2->1}^{-1}t_{1->2} \end{array} \right. {R1>2=R2>11=R2>1Tt1>2=R2>11t1>2
      • 因为标准旋转矩阵R为单位正交阵
      • 因此旋转矩阵互逆,平移矩阵大小不变方向相反
    展开全文
  • 旋转向量求解旋转矩阵当刚体在三维空间中运动时,如果已知旋转向量,根据罗德里格斯公式是比较容易求得旋转矩阵的.罗德里格斯公式如图所示 其中,I 是单位矩阵,n 是旋转向量的单位向量, theta是旋转向量的模长.2. 旋转...

    公式

    1. 旋转向量求解旋转矩阵

    当刚体在三维空间中运动时,如果已知旋转向量,根据罗德里格斯公式是比较容易求得旋转矩阵的.

    罗德里格斯公式如图所示

    9a848865e9ac03d99ed65bbe26ef657e.png

    其中,I 是单位矩阵,n 是旋转向量的单位向量, theta是旋转向量的模长.

    2. 旋转矩阵求解旋转向量

    如果已知旋转矩阵,求解旋转向量时,theta是比较容易求解的.根据上图,对等式两端取迹便可以得到旋转向量的模长

    1c275218537a9a36c688711c71bddc23.png

    4e0a4d3f1b9078bc1f5530fd132cb1e2.png

    记旋转向量的单位向量为 r(rx, ry, rz) ,通过下图公式便可求解得出 r 向量的反对成矩阵,即可得出 r 向量

    0e415fceba9b9fab7f466afb61adda44.png

    代码

    这里用代码简单的求解一下

    #include #include using namespace std;

    using namespace Eigen;

    int main()

    {

    double angle = M_PI / 6.; //X轴向的转角

    AngleAxisd angleAxisd(angle, Vector3d(1, 0, 0));

    {

    cout << "根据旋转向量求解旋转矩阵..." << endl;

    double theta = angleAxisd.angle();

    Vector3d n = angleAxisd.axis();

    cout<< "theta is " << theta << endl;

    cout<< "n is " << n << endl;

    Matrix3d n_hat;

    n_hat << 0, -n[2], n[1],

    n[2], 0, -n[0],

    -n[1], n[0], 0;

    Matrix3d R_solved = cos(theta) * Matrix3d::Identity() + (1 - cos(theta)) * n * n.transpose() + sin(theta) * n_hat;

    cout << "R_solved is " << R_solved << endl;

    }

    用OpenCV Documention上的方法求解旋转向量

    点击此处搜索Rodrigues

    {

    cout<< "根据旋转矩阵求解旋转向量..." << endl;

    Matrix3d R = angleAxisd.toRotationMatrix();

    double theta = acos((R.trace() - 1) * 0.5);//待求的旋转向量的模长

    Matrix3d Right = (R - R.transpose()) * 0.5 / sin(theta);

    Vector3d r;//待求的旋转向量的单位向量

    r[0] = (Right(2,1) - Right(1,2))*0.5;

    r[1] = (Right(0,2) - Right(2,0))*0.5;

    r[2] = (Right(1,0) - Right(0,1))*0.5;

    cout<

    用求特征值为1对应的特征向量方法求解旋转向量

    {

    cout<< "根据旋转矩阵求解旋转向量..." << endl;

    //此处RR和n是相互对应的,用所求的旋转单位向量同n对比验证

    Matrix3d RR;

    RR << -0.036255, 0.978364, -0.203692,

    0.998304,0.026169, -0.051994,

    -0.045539,-0.205232,-0.977653;

    Vector3d n(-2.100418,-2.167796,0.273330);

    double theta = acos((RR.trace() - 1) * 0.5);

    EigenSolversolver(RR);

    Matrix3cd vectors = solver.eigenvectors();

    Vector3cd values = solver.eigenvalues();

    cout

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