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  • 皮尔森系数

    千次阅读 2016-09-08 17:27:44
    论文Multivariateexamination of brain abnormality using both...文章有提到皮尔森系数,因此查阅相关资料做了以下整理: 公式如下: Cov(X,Y)代表X与Y的协方差: Var(X)和Var(Y)代表X和Y的方差 当相关...

     

    论文Multivariateexamination of brain abnormality using both structural and functional MRI有提到皮尔森相关系数

     

     

    文章有提到皮尔森系数,因此查阅相关资料做了以下整理:

     公式如下:

     

    Cov(X,Y)代表X与Y的协方差:

     

    Var(X)和Var(Y)代表X和Y的方差

    当相关性为1时,X与Y的关系可以表示为Y=aX+b(a>0)

    当相关性为-1时,X与Y的关系可以表示为Y=aX+b(a<0)

    如果X与Y相互独立,那么相关性为0,但有可能是其他方式的相关(比如曲线方式)

    例如:

    X:      1.1         1.9        3

    Y:        5.0         10.4      14.6

    E(X) =(1.1+1.9+3)/3=2

    E(Y) =(5.0+10.4+14.6)/3=10

    E(XY)=(1.1×5.0+1.9×10.4+3×14.6)/3=23.02

    Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=23.02-2×10=3.02

    此外:还可以计算:

    D(X)=E(X²)-E²(X)=(1.1²+1.9²+3²)/3- 4=4.60-4=0.6σx=0.77 (标准差)

    D(Y)=E(Y²)-E²(Y)=(5²+10.4²+14.6²)/3-100=15.44           σy=3.93

    X,Y的相关系数:

    r(X,Y)=Cov(X,Y)/(σxσy)=3.02/(0.77×3.93)= 0.9979

    表明这组数据X,Y之间相关性很好!

     

    用matlab进行计算的时候,考虑了无偏估计和有偏估计,首先看看它们的区别

     

     

    偏差描述的是预测值(估计值)的期望与真实值之间的差距。偏差越大,越偏离真实数据,如上图第二行所示。

    方差描述的是预测值的变化范围,离散程度,也就是离其期望值的距离。方差越大,数据的分布越分散,如上图右列所示。

     

    为什么无偏方差在数学期望未知的情况下更准确?

    解释1:

     

    上面的这个公式表明,在数学期望未知的情况下,除非正好,否则我们一定有

     

    分母换成,通过这种方法把原来的偏小的估计放大一点点,我们就能获得对方差的正确估计了

    解释2

     

     

    (n-1)/n *σ²!=σ²,所以,为了避免使用有 bias estimator,我们通常使用它的修正值

    【同样可以解释无偏标准差、有偏标准差】

    P值在相关性计算的中的作用

    P值(P value)就是当原假设为真时所得到的样本观察结果或更极端结果出现的概率。如果P值很小,说明原假设情况的发生的概率很小,而如果出现了,根据小概率原理,我们就有理由拒绝原假设,P值越小,我们拒绝原假设的理由越充分。总之,P值越小,表明结果越显著

     

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  • 内容目录一、pearson 皮尔森系数介绍二、pearson 皮尔森应用三、对皮尔森相关系数的通俗解一、pearson 皮尔森系数介绍皮尔森相关系数是一种最简单的,能帮助...

    内容目录

    一、pearson 皮尔森系数介绍二、pearson 皮尔森应用三、对皮尔森相关系数的通俗解

    一、pearson 皮尔森系数介绍

            皮尔森相关系数是一种最简单的,能帮助理解特征和响应变量之间关系的方法,该方法衡量的是变量之间的线性相关性,结果的取值区间为[-1,1],-1表示完全的负相关,+1表示完全的正相关,0表示没有线性相关。

      Pearson Correlation速度快、易于计算,经常在拿到数据(经过清洗和特征提取之后的)之后第一时间就执行。Scipy的 pearsonr 方法能够同时计算 相关系数 和p-value。

    优点:可以通过数字对变量的关系进行度量,并且带有方向性,1表示正相关,-1表示负相关,可以对变量关系的强弱进行度量,越靠近0相关性越弱。

    缺点:无法利用这种关系对数据进行预测,简单的说就是没有对变量间的关系进行提炼和固化,形成模型。要利用变量间的关系进行预测,需要使用到下一种相关分析方法,回归分析。

    使用场景:当两个变量的标准差都不为零时,相关系数才有定义,皮尔逊相关系数适用于:

    • 两个变量之间是线性关系,都是连续数据。

    • 两个变量的总体是正态分布,或接近正态的单峰分布。

    • 两个变量的观测值是成对的,每对观测值之间相互独立。

            相关系数也可以看成两个变量X、Y之间的协方差乘积和两者标准差乘积的比值:一种剔除了两个变量量纲影响、标准化后的特殊协方差

    二、pearson 皮尔森应用

    # numpy和panda用于数据操作
    import numpy as np
    import pandas as pd
    df = pd.read_csv('.\PimaIndiansdiabetes.csv')
    df.head()
    
       Pregnancies  Glucose  BloodPressure  SkinThickness  Insulin   BMI  DiabetesPedigreeFunction  Age  Outcome
    0            6      148             72             35        0  33.6                     0.627   50        1
    1            1       85             66             29        0  26.6                     0.351   31        0
    2            8      183             64              0        0  23.3                     0.672   32        1
    3            1       89             66             23       94  28.1                     0.167   21        0
    4            0      137             40             35      168  43.1                     2.288   33        1
    
    df.describe()
    
           Pregnancies     Glucose  BloodPressure  SkinThickness     Insulin         BMI  DiabetesPedigreeFunction         Age     Outcome
    count   768.000000  768.000000     768.000000     768.000000  768.000000  768.000000                768.000000  768.000000  768.000000
    mean      3.845052  120.894531      69.105469      20.536458   79.799479   31.992578                  0.471876   33.240885    0.348958
    std       3.369578   31.972618      19.355807      15.952218  115.244002    7.884160                  0.331329   11.760232    0.476951
    min       0.000000    0.000000       0.000000       0.000000    0.000000    0.000000                  0.078000   21.000000    0.000000
    25%       1.000000   99.000000      62.000000       0.000000    0.000000   27.300000                  0.243750   24.000000    0.000000
    50%       3.000000  117.000000      72.000000      23.000000   30.500000   32.000000                  0.372500   29.000000    0.000000
    75%       6.000000  140.250000      80.000000      32.000000  127.250000   36.600000                  0.626250   41.000000    1.000000
    max      17.000000  199.000000     122.000000      99.000000  846.000000   67.100000                  2.420000   81.000000    1.000000
    
    
    

            共768例,8个特征,1个标签。最低血糖、血压、皮肤厚度、胰岛素、BMI均为0。这看起来是可疑的,因为这些物理量不可能是0(对于活人)。因此,这已经告诉我们,我们需要对这五列进行估算。其他变量的范围似乎都是合理的。

        可视化:我们可以从配对图开始,配对图中所有变量都相互对应。这对于发现变量之间的相关性和可视化分布非常有用。

    import matplotlib.pyplot as plt
    import seaborn as sns
    plt.style.use('fivethirtyeight')
    sns.pairplot(df, hue = 'Outcome', vars = df.columns[:8], diag_kind = 'kde')
    plt.show()
    

            唯一明确的趋势似乎是,较高的血糖与1的结果相关,这意味着患者患有糖尿病。年龄似乎也与糖尿病有关:较年轻的患者患糖尿病的风险较低。

    输入缺失值:在继续之前,让我们先来处理一下这些缺失的值。同样,在血糖、血压、皮肤厚度、胰岛素和BMI分类中也有0。这些值都不可能是0,所以我们假设缺失的值是由于缺少数据。为了填充这些缺失的值,我们将用列中的中值替换它们。还有其他更复杂的方法来填补缺失的值,但在实践中,中值估算通常表现良好。

    df['Glucose'] = df['Glucose'].replace({0: df['Glucose'].median()})
    df['BloodPressure'] = df['BloodPressure'].replace({0: df['BloodPressure'].median()})
    df['SkinThickness'] = df['SkinThickness'].replace({0: df['SkinThickness'].median()})
    df['Insulin'] = df['Insulin'].replace({0: df['Insulin'].median()})
    df['BMI'] = df['BMI'].replace({0: df['BMI'].median()})
    df.describe()
    
           Pregnancies     Glucose  BloodPressure  SkinThickness     Insulin         BMI  DiabetesPedigreeFunction         Age     Outcome
    count   768.000000  768.000000     768.000000     768.000000  768.000000  768.000000                768.000000  768.000000  768.000000
    mean      3.845052  121.656250      72.386719      27.334635   94.652344   32.450911                  0.471876   33.240885    0.348958
    std       3.369578   30.438286      12.096642       9.229014  105.547598    6.875366                  0.331329   11.760232    0.476951
    min       0.000000   44.000000      24.000000       7.000000   14.000000   18.200000                  0.078000   21.000000    0.000000
    25%       1.000000   99.750000      64.000000      23.000000   30.500000   27.500000                  0.243750   24.000000    0.000000
    50%       3.000000  117.000000      72.000000      23.000000   31.250000   32.000000                  0.372500   29.000000    0.000000
    75%       6.000000  140.250000      80.000000      32.000000  127.250000   36.600000                  0.626250   41.000000    1.000000
    max      17.000000  199.000000     122.000000      99.000000  846.000000   67.100000                  2.420000   81.000000    1.000000
    
    
    

        既然没有缺失值,我们就可以计算相关值来查看特性与结果之间的关系。当然,相关性并不意味着因果关系,但因为我们正在建立一个线性模型,相关特征可能对学习患者信息与他们是否患有糖尿病之间的映射很有用。在具有大量特征的问题中,我们可以使用相关阈值来删除变量。在这种情况下,我们可能希望保留所有的变量,让模型来决定哪些是相关的。

    • 皮尔森(pearson)相关系数和斯皮尔曼(spearman)相关系数肯德尔(kendall)相关系数,这三大相关系数中,spearman和kendall属于等级相关系数亦称为“秩相关系数”,是反映等级相关程度的统计分析指标。

    • 公式定义为:两个连续变量(X,Y)的pearson相关性系数(Px,y)等于它们之间的协方差cov(X,Y)除以它们各自标准差的乘积(σX,σY)。

    • 系数的取值总是在-1.0到1.0之间,接近0的变量被成为无相关性,接近1或者-1被称为具有强相关性。

    • 皮尔森相关系数是衡量线性关联性的程度,p的一个几何解释是其代表两个变量的取值根据均值集中后构成的向量之间夹角的余弦。

    df.corr()['Outcome']
    
    Pregnancies                 0.221898
    Glucose                     0.492782
    BloodPressure               0.165723
    SkinThickness               0.189065
    Insulin                     0.148457
    BMI                         0.312249
    DiabetesPedigreeFunction    0.173844
    Age                         0.238356
    Outcome                     1.000000
    Name: Outcome, dtype: float64
    


            我们对这些图的最初解释是正确的:葡萄糖是与结果相关的最高值。没有一个特征与结果有很强的相关性,也没有负相关。

        在这个简短的探索性数据分析中,我们了解了关于数据集可以用于建模的两个主要方面。首先,我们需要在几个列中输入缺失的值,因为这些值在物理上是不可能的。我们可以使用中值法作为一种简单而有效的填充0值的方法。我们还了解到,特征和响应之间存在相关性,尽管相关性不强。此外,所有的特征至少与结果有轻微的正相关(无论患者是否患有糖尿病)。没有明显的特性工程步骤,也没有必要减少维度的数量,因为只有8个特性。此外,像主成分分析这样的技术模糊了特性的物理相关性,因此我们不能解释模型。总的来说,我想让模型从所有的数据中学习,从而保留所有的特性。通过这种方式,我们可以让数据说话并解释建模结果。

    from scipy.stats import pearsonr
    import numpy as np
    np.set_printoptions(suppress=False)
    
    a = ['Pregnancies', 'Glucose', 'BloodPressure', 'SkinThickness', 'Insulin', 'BMI', 'DiabetesPedigreeFunction', 'Age', 'Outcome']
    b = {}
    for i in a:
        # c,d  = pearsonr(df['Age'],df['Outcome'])
        b[i] = pearsonr(df[i],df['Outcome'])
    print(b)
    
    {'Pregnancies': (0.22189815303398652, 5.065127298051825e-10), 
    'Glucose': (0.49278240391502626, 3.1287190418421105e-48), 
    'BloodPressure': (0.16572291308057635, 3.890835490646442e-06), 
    'SkinThickness': (0.18906541957539405, 1.3011814339566044e-07), 
    'Insulin': (0.14845723810682138, 3.6217221617810545e-05), 
    'BMI': (0.3122490266732709, 7.8791476215668415e-19), 
    'DiabetesPedigreeFunction': (0.1738440656529598, 1.2546070101484021e-06), 
    'Age': (0.2383559830271976, 2.2099754606646917e-11), 
    'Outcome': (0.9999999999999978, 0.0)}
    
    • 一般来说皮尔森相关系数越大,p_value越小,线性相关性就越大。但是,p_value不是完全的可靠,当数据量大于500的时候,可能是合理的。

    • 相关系数矩阵,即给出任意两特征之间的相关系数

    • Pearson相关系数来衡量两个数据集合是否在一条线上面,即针对线性数据的相关系数计算,针对非线性数据便会有误差。 

    三、对皮尔森相关系数的通俗解释

    对皮尔森相关系数的通俗解释

    • 对于协方差,可以通俗的理解为:两个变量在变化过程中是同方向变化?还是反方向变化?同向或反向程度如何?

    • 你变大,同时我也变大,说明两个变量是同向变化的,这时协方差就是正的。

    • 你变大,同时我变小,说明两个变量是反向变化的,这时协方差就是负的。

    • 从数值来看,协方差的数值越大,两个变量同向程度也就越大。反之亦然。

    About Me:小婷儿

     本文作者:小婷儿,专注于python、数据分析、数据挖掘、机器学习相关技术,也注重技术的运用

    ● 作者博客地址:https://blog.csdn.net/u010986753

     本系列题目来源于作者的学习笔记,部分整理自网络,若有侵权或不当之处还请谅解

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  • 假设数据如下图,其中行表示用户,列表示评级项目: ...皮尔森系数(Pearson correlation): 修正余弦相似度(Adjusted Cosine Similarity): 其中Ru,i表示用户u给物品i的评级

    假设数据如下图,其中行表示用户,列表示评级项目:


    我们先看一下三道公式

    余弦相似度(Cosine-based Similarity):


    皮尔森系数(Pearson correlation):


    修正余弦相似度(Adjusted Cosine Similarity):


    其中Ru,i表示用户u给物品i的评级


    1.余弦相似度与其余二者的比较

        余弦相似度计算时采用评级项目item i与item j中所有用户的信息,即包括有填写评级与无填写评级(无填写评级的置0)的所有用户;

        皮尔森系数与修正余弦相似度中U表示所有对i和j共同进行过评级的用户组成的组合;

        总结:余弦相似度与其余二者在计算式选择的用户集合不同 。


    2.皮尔森系数与修正余弦相似度的比较

       从公式上看,这二者的区别就在于之间的差别。

        皮尔森系数中表示对i与j共同评级过的所有用户,他们对i的评级的平均值,即计算皮尔森系数时提取一个列为i与j,行为对二者共同评级的用户组成的表格,并计算列i的平均值。

         而修正余弦相似度中表示的是用户u已评级项目的平均值,即计算时未被评级的项目不采取置0而是直接忽略。

         总结:皮尔森系数与修正余弦相似度之间的区别在于中心化的方式不同。


    参考文章:

    1.http://www.zhihu.com/question/21824291

    2.http://www10.org/cdrom/papers/519/node11.html

    3.http://guidetodatamining.com/assets/guideChapters/DataMining-ch3.pdf


    如果有错误或建议请指教,O(∩_∩)O谢谢

    展开全文
  • 那么今天我将就机器学习一些常见数据处理方式实现皮尔森矩阵及数据关系图,以便大家加深对皮尔森的理解,同时掌握一些机器学习数据处理的技巧。 首先介绍下机器学习,机器学习是将近20多年蓬勃发展的学问多各个领域...

    引言:最近几天帮几个人工智能专业的同学做了一些机器学习课程的大作业,我发现机器学习一些常见的数据处理方法他们并不会用程序表示出来,仅仅是停留在理论层面。那么今天我将就机器学习一些常见数据处理方式实现皮尔森矩阵及数据关系图,以便大家加深对皮尔森的理解,同时掌握一些机器学习数据处理的技巧。
    首先介绍下机器学习,机器学习是将近20多年蓬勃发展的学问多各个领域学科,牵涉到概率论、统计学、逼近论、凸分析、算法复杂度理论等多门学科。神经网络学说主要是的设计和研究一些让计算机系统可以系统会“自学”的推演算法。神经网络演算法是一类从统计数据中的系统会研究取得规律性,并借助规律性对不得而知的统计数据展开预测的推演算法。因为学习算法中涉及了大量的统计学理论,神经网络与统计数据推测习紧密联系最为紧密,也被称作统计学习理论。演算法的设计各个方面,神经网络学说注目可以构建的,系统化的自学演算法。很多假设难题归属于无程序中难以确定可玩性,所以部份的神经网络研究工作是研发更容易处置的近似算法。
    而皮尔森系数作为机器学习数据处理的必备方式,其重要性不言而喻,今天我们就一步步搭建皮尔森矩阵数据并显示,并且我会在每个代码上都添加注释以方便理解。
    首先介绍下皮尔森先关系数:皮尔森相关系数(Pearson correlation coefficient)也称皮尔森积矩相关系数(Pearson product-moment correlation coefficient) ,是一种线性相关系数。皮尔森相关系数是用来反映两个变量线性相关程度的统计量。相关系数用r表示,其中n为样本量,分别为两个变量的观测值和均值。r描述的是两个变量间线性相关强弱的程度。r的绝对值越大表明相关性越强。
    其公式理解为:样本的简单相关系数一般用r表示,其中n 为样本量, 分别为两个变量的观测值和均值。r描述的是两个变量间线性相关强弱的程度。r的取值在-1与+1之间,若r>0,表明两个变量是正相关,即一个变量的值越大,另一个变量的值也会越大;若r<0,表明两个变量是负相关,即一个变量的值越大另一个变量的值反而会越小。r 的绝对值越大表明相关性越强,要注意的是这里并不存在因果关系。若r=0,表明两个变量间不是线性相关,但有可能是其他方式的相关(比如曲线方式)。利用样本相关系数推断总体中两个变量是否相关,可以用t 统计量对总体相关系数为0的原假设进行检验。若t 检验显著,则拒绝原假设,即两个变量是线性相关的;若t 检验不显著,则不能拒绝原假设,即两个变量不是线性相关的
    其程序步骤如下所示,首先使用numpy初始化一个随机数数组,每个随机数的范围为0到1。 数组应该为shape=1000,50
    接着对步骤一创建所有行对之间的皮尔森相关性的相关矩阵,相关矩阵为shape=[1000,1000])。
    然后使用步骤二得到的1000*1000皮尔森相关系数r的下三角值,用matplotlib,绘制100-bin的直方图(忽略对角线和对角线上方的所有像元)
    通过直方图,关联大小为50的两个随机向量的估计r>0.75或r<-0.75的概率
    在步骤一仅用10列的情况下重复步骤一至步骤三,考虑较小的样本如何影响直方图分布。
    最后的输出部分:两张直方图,第一张是基于大小为50的向量相关性,用hist1标识,在直方图上方的标题处标明概率大小。第二张用则以10为载体,用hist2标识,同样也在直方图上方标题处标明概率大小。

    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    import matplotlib

    #关联大小为50的两个随机向量函数
    def del50():
    #使用numpy初始化一个随机数数组,每个随机数的范围为0到1.数组应该为shape=1000,50
    a=np.random.rand(1000,50)
    #对步骤一创建所有行对之间的皮尔森相关性的相关矩阵,相关矩阵为shape=[1000,1000])。
    s=np.corrcoef(a)
    #获取1000*1000皮尔森相关系数r的下三角值赋值给data,
    data=[]
    for i in range(1000):
    for j in range(i):
    data.append(s[i][j])

    设置matplotlib正常显示中文和负号,否则中文乱码

        matplotlib.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']   # 用黑体显示中文
        matplotlib.rcParams['axes.unicode_minus']=False     # 正常显示负号
    
        """
    

    绘制直方图
    data:必选参数,绘图数据
    bins:直方图的长条形数目,可选项,默认为10
    normed:是否将得到的直方图向量归一化,可选项,默认为0,代表不归一化,显示频数。normed=1,表示归一化,显示频率。
    facecolor:长条形的颜色
    edgecolor:长条形边框的颜色
    alpha:透明度
    “”"
    num=0
    for i in range(1000):
    for j in range(1000):
    if s[i][j]>0.75 or s[i][j]<-0.75:
    num+=1
    percent=(num/1000000)*100
    tit=“hist1概率为”+str(percent)+"%"
    #绘制100个矩形的直方图
    plt.hist(data, bins=100, normed=0, facecolor=“blue”, edgecolor=“black”, alpha=0.7)

    显示横轴标签

        plt.xlabel("区间")
    

    显示纵轴标签

        plt.ylabel("频数/频率")
    

    显示图标题

        plt.title(tit)
        plt.show()
    

    def del10():
    #使用numpy初始化一个随机数数组,每个随机数的范围为0到1.数组应该为shape=1000,50
    a=np.random.rand(1000,10)
    #对步骤一创建所有行对之间的皮尔森相关性的相关矩阵,相关矩阵为shape=[1000,1000])。
    s=np.corrcoef(a)
    #获取1000*1000皮尔森相关系数r的下三角值赋值给data,
    data=[]
    for i in range(1000):
    for j in range(i):
    data.append(s[i][j])

    设置matplotlib正常显示中文和负号,否则中文乱码

        matplotlib.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']   # 用黑体显示中文
        matplotlib.rcParams['axes.unicode_minus']=False     # 正常显示负号
    
        """
    

    绘制直方图
    data:必选参数,绘图数据
    bins:直方图的长条形数目,可选项,默认为10
    normed:是否将得到的直方图向量归一化,可选项,默认为0,代表不归一化,显示频数。normed=1,表示归一化,显示频率。
    facecolor:长条形的颜色
    edgecolor:长条形边框的颜色
    alpha:透明度
    “”"
    num=0
    for i in range(1000):
    for j in range(1000):
    if s[i][j]>0.75 or s[i][j]<-0.75:
    num+=1
    percent=(num/1000000)*100
    tit=“hist2概率为”+str(percent)+"%"
    #绘制100个矩形的直方图
    plt.hist(data, bins=100, normed=0, facecolor=“blue”, edgecolor=“black”, alpha=0.7)

    显示横轴标签

        plt.xlabel("区间")
    

    显示纵轴标签

        plt.ylabel("频数/频率")
    

    显示图标题

        plt.title(tit)
        plt.show()
    

    del50()
    del10()
    最终显示的图片如下所示:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    通过对直方图数据的比较我们很容易发现数据之间的相关性特征,故可得知数据分布存在着一定的规律,即大部分数据都存在一个合理的区间范围,故机器学习数据处理才具有可能性。这也是机器学习对数据做统计应用可行合理性的一个证明,要不然岂不是认为机器学习就是瞎猜的了。

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  • 皮尔森相关系数

    千次阅读 2019-03-27 23:34:48
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    2017-06-30 15:15:00
    皮尔森相关系数(Pearson correlation coefficient)也称皮尔森积矩相关系数(Pearson product-moment correlation coefficient) ,是一种线性相关系数皮尔森相关系数是用来反映两个变量线性相关程度的统计量。相关...
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皮尔森系数