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  • 定义域条件 分式中的分母不为零 偶次方根内大于等于0 2x−12x−1>=0 \sqrt{2x-1} \qquad 2x-1>=0 2x−1​2x−1>=0 对数真数大于0 如果ax =N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN...

    定义域条件

    1. 分式中的分母不为零
    2. 偶次方根内大于等于0
      2 x − 1 2 x − 1 > = 0 \sqrt{2x-1} \qquad 2x-1>=0
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  • 2019高考数学一轮复习第2章函数与基本初等函数第2课时函数的定义域与值域练习理
  • 基本初等函数

    2020-02-29 09:09:50
    数学里的六类基本初等函数,我们已经介绍了指数函数和对数函数,还剩常数函数,幂函数,三角函数和反三角函数,这一期,我们重点介绍后面四类基本初等函数。常数函数一般的,形如的函数称为常数函数,...

     

    数学里的六类基本初等函数,我们已经介绍了指数函数和对数函数,还剩常数函数,幂函数,三角函数和反三角函数,这一期,我们重点介绍后面四类基本初等函数。

     

    常数函数

    一般的,形如

     

    的函数称为常数函数,其中c为任意实数,故常数函数的定义域和值域均为全体实数R。

    也许你会问,这世界为何还有常数函数这种简单的东西,明明是把所有的东西都对应到一个确定的值上面去,事实上,这世界还真有很多这种需要,比如在处理二分类问题的时候,把所有符合条件的对象都对应到“是”,把所有不符合条件的对象都归为“否”,用分类函数写出来便是满足某种条件不满足某种条件把类似的这些函数,都纳入函数范畴处理,会更加通用和方便。

    幂函数

    一般地,形如

     

    的函数称为幂函数,其中x称为幂函数的底数,a称为幂函数的指数,幂函数的定义域和值域均为全体实数R。幂函数是底数为自变量,而指数是个常量,这个指数函数恰好相反。我们结合图像分a>0和a<0两种情况来看幂函数的性质

    (1) a>0

    幂函数α有下列性质:

    (1)、图像都经过点(1,1)(0,0)

    (2)、函数的图像在区间[0,+∞)上是增函数

    (1) a<0

    幂函数α有下列性质:

    (1)、图像都经过点(1,1)

    (2)、函数的图像在区间[0,+∞)上是减函数

    三角函数

    三角函数和反三角函数是一个比较独特的部分,这里仅介绍几类常见的三角函数和反三角函数

    常见的三角函数有

    反三角函数

    常见的反三角函数主要有以下 六类

    至此,我们已经简单介绍完六大类基本初等函数,我们知道其定义域和值域以及一些简单的基本性质,下一期,我们将重点介绍如何用python一劳永逸的生成这些函数图像,敬请期待。

    参考文献

    1,

    https://baike.baidu.com/item/%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%88%9D%E7%AD%89%E5%87%BD%E6%95%B0/6608669?fr=aladdin

    - - -The end- - - 


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  • 存在反函数(默认为单值函数)的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的),这里的一一对应是定义域和值域的一一对应 注意:上标"−1"指的并不是幂, 代表反函数 最具有代表性的反函数就是对数函数与指数...

    反函数

    1 ) 概念

    • 一般地,如果x与y关于某种对应关系f(x)相对应,y = f(x),则y = f(x)的反函数为 x = f(y) 或者 y = f − 1 ( x ) y = f^{-1}(x) y=f1(x) 后者为常用记发
    • 存在反函数(默认为单值函数)的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的),这里的一一对应是定义域和值域的一一对应
    • 注意:上标"−1"指的并不是幂, 代表反函数
    • 最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数,再比如: y = x 3 y = x^3 y=x3 y = x 3 y = \sqrt[3]{x} y=3x

    2 ) 性质

    • 函数f(x)与它的反函数 y = f − 1 ( x ) y = f^{-1}(x) y=f1(x)图象关于直线y = x对称
    • 函数存在反函数的充要条件是,函数的定义域与值域是一一映射;
    • 一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致;
    • 大部分偶函数不存在反函数(当函数y = f(x), 定义域是{0} 且 f(x) = C (其中C是常数),则函数f(x)是偶函数且有反函数,其反函数的定义域是{C},值域为{0} )。
    • 奇函数不一定存在反函数,被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数,则它的反函数也是奇函数。
    • 备注:奇函数关于原点对称,偶函数关于y轴对称
    • 一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性
    • 严增(减)的函数一定有严格增(减)的反函数
    • 反函数是相互的且具有唯一性
    • 定义域、值域相反对应法则互逆(三反)

    六个基本初等函数

    1 ) 分类

    • 基本初等函数包括幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数常数函数

    2 ) 幂函数

    • 一般地, 形如 y = x a y=x^a y=xa(a为有理数)的函数,即以底数为自变量,幂为因变量,指数为常数的函数称为幂函数
    • 其中,a可为任何常数,但中学阶段仅研究a为有理数的情形
    • a为无理数时取其近似的有理数, 例如函数 y = x 0 、 y = x 1 、 y = x 2 、 y = x − 1 y = x^0 、y = x^1、y = x^2、y = x^{-1} y=x0y=x1y=x2y=x1
    • 注: y = x − 1 = 1 x y=x^{-1} = \frac{1}{x} y=x1=x1 ; y = x 0 y=x^0 y=x0时, x≠0 等都是幂函数

    3 ) 指数函数

    • 一般地,函数 y = a x y=a^x y=ax(a为常数且以a>0,a≠1)叫做指数函数,函数的定义域是R。对于一切指数函数来讲,值域为(0, +∞)。
    • 即: y = a x    ( a > 0 且 a ≠ 1 )    x ∈ R     y ∈ ( 0 , + ∞ ) y = a^x \ \ (a > 0 且 a \neq 1) \ \ x \in R \ \ \ y \in (0, +\infty) y=ax  (a>0a=1)  xR   y(0,+)
    • 指数函数中, 前面的系数为1。 如 : y = 1 0 x 、 y = π x y=10^x 、 y=\pi^x y=10xy=πx 都是指数函数; 而 y = 2 ∗ 3 x y = 2*3^x y=23x 不是指数函数

    指数函数的4个运算法则

    • a m + n = a m ∗ a n a^{m+n} = a^m * a^n am+n=aman
    • a m n = ( a m ) n a^{mn} = (a^m)^n amn=(am)n
    • a 1 n = a n a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} an1=na
    • a m − n = a m a n a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} amn=anam

    4 ) 对数函数

    • 对数函数是指数函数的反函数
    • y = l o g a x y = log_a x y=logax x ∈ ( 0 , + ∞ ) x \in (0, + \infty) x(0,+), y ∈ R y \in R yR,其中a为底数,a > 0 且 a ≠ 1,等价于 a y = x a^y = x ay=x
    • 当 a > 1时,递增;当 0 < a < 1时,递减

    常用对数运算

    • l o g a M N = l o g a M + l o g a N log_a {MN} = log_a M + log_a N logaMN=logaM+logaN

    • l o g a M N = l o g a M − l o g a N log_a {\frac{M}{N}} = log_a M - log_a N logaNM=logaMlogaN

    • l o g a a b = b log_a a^b = b logaab=b

    • a l o g a N = N a^{log_a N} = N alogaN=N

    • l o g 1 0 b = l g b log_10 b = lg b log10b=lgb

    • l o g e b = l n b log_e b = ln b logeb=lnb

    • l o g a b = l o g c b l o g c a log_a b = \frac{log_c b}{log_c a} logab=logcalogcb 换底公式

    • l o g a n b m = m n l o g a b log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} log_a b loganbm=nmlogab 指系公式

    • l o g a b = l n b l n a = 1 l n a l n b = 1 l o g b a log_a b = \frac{ln b}{ln a} = \frac{1}{\frac{ln a}{ln b}} = \frac{1}{log_b a} logab=lnalnb=lnblna1=logba1 倒数公式

    • l o g a b ∗ l o g c a = l n b l n a ∗ l n a l n c = l n b l n c = l o g c b log_a b * log_c a = \frac{ln b}{ln a} * \frac{ln a}{ln c} = \frac{ln b}{ln c} = log_c b logablogca=lnalnblnclna=lnclnb=logcb 链式公式

    5 ) 三角函数

    • 三角函数是基本初等函数之一
    • 是以角度(数学上最常用弧度制,下同)为自变量,角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。
    • 也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用,也是研究周期性现象的基础数学工具。
    • 在数学分析中,三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解,允许它们的取值扩展到任意实数值,甚至是复数值。
    • 常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
    • 在航海学、测绘学、工程学等其他学科中,还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。
    • 不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出,称为三角恒等式。
    • 在直角三角形ABC中,角A为90度,设角B为 θ \theta θ, 边BC记为a, 边AC记为b, 边AB记为c
    • 勾股定理:直角三角形中 a 2 = b 2 + c 2 a^2 = b^2 + c^2 a2=b2+c2
    • s i n θ = b a < 1 sin \theta = \frac{b}{a} < 1 sinθ=ab<1 正弦函数
    • c o s θ = c a < 1 cos \theta = \frac{c}{a} < 1 cosθ=ac<1 余弦函数
    • t a n θ = b c tan \theta = \frac{b}{c} tanθ=cb 正切函数
    • c o t θ = c b cot \theta = \frac{c}{b} cotθ=bc 余切函数
    • s e c θ = a c sec \theta = \frac{a}{c} secθ=ca 正割函数
    • c s c θ = a b csc \theta = \frac{a}{b} cscθ=ba 余割函数
    • 一般我们可以将三角形放入直角坐标系中来处理

    备注:图片托管于github,请确保网络的可访问性

    上图和我们的假设条件不一致,仅作为参考

    以下为六种函数图像,均为周期函数,只展示一部分, 画图软件为Mac平台的Grapher


    备注:图片托管于github,请确保网络的可访问性

    相关公式非常之多,不再这里赘述

    6 ) 反三角函数

    • 反三角函数是一种基本初等函数。
    • 它是反正弦arcsin x,反余弦arccos x,反正切arctan x,反余切arccot x,反正割arcsec x,反余割arccsc x这些函数的统称
    • 各自表示其反正弦、反余弦、反正切、反余切 ,反正割,反余割为x的角。
    • 三角函数的反函数是个多值函数,因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求,其图像与其原函数关于函数 y=x 对称。
    • 欧拉提出反三角函数的概念,并且首先使用了“arc+函数名”的形式表示反三角函数。
    • 如果一个三角函数是: y = s i n x y = sin x y=sinx, 则其反三角函数为: y = a r c s i n x y = arc sin x y=arcsinx 因为不同的x可以对应同一个y值,属于多对一的现象,原则上是不存在反函数的
    • 我们在研究三角函数的反函数的时候可以设定一个区间,如[-π/2, π/2], 单调递增是有反函数的,值域范围在 [-1, 1],即:y = sinx, x ∈ [ − π 2 , π 2 ] x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] x[2π,2π] y ∈ [ − 1 , 1 ] y \in [-1, 1] y[1,1] 单调递增
    • 则其反函数:y = arcsinx, x ∈ [ − 1 , 1 ] x \in [-1, 1] x[1,1], y ∈ [ − π 2 , π 2 ] y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] y[2π,2π]

    7 ) 常数函数

    • 在数学中,常数函数(也称常值函数)是指值不发生改变(即是常数)的函数。
    • 例如:y = 5
    • 常数函数都是偶函数
    展开全文
  • python绘制基本初等函数(一)

    千次阅读 2020-02-21 19:42:05
    研究如何利用python绘制6类基本初等函数


    之前用python绘制了笛卡尔直角坐标系,绘制了指数函数,绘制了对数函数,有了这三个基础工作的积累,本期,将研究如何利用python绘制6类基本初等函数。

    基本初等函数概念

    简单的说基本初等函数是不能再由其他更简单结构的函数通过加减乘除四则运算来结合而成的函数。在数学里,基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、常数函数一共6类。基本初等函数均是连续函数,前面已经介绍过指数函数和对数函数,现在把6类函数的形状和定义域和值域整理。

    常数函数

    一般的,形如
    y = c y=c y=c
    的函数称为常数函数,其中c为任意实数,故常数函数的定义域和值域均为全体实数R。

    幂函数

    一般地,形如
    y = x a y=x^a y=xa
    的函数称为幂函数,幂函数的定义域和值域均为全体实数R。

    指数函数

    一般形式
    y = a x y=a^x y=ax
    的函数称为幂函数,其中a>0, a≠1,指数函数的定义域为全体实数R,值域为(0,+∞)。

    对数函数

    一般形式
    y = l o g a x y=log_a x y=logax
    的函数称为对数函数,其中a>0, a≠1,指数函数的定义域为(0,+∞),值域为全体实数R。

    三角函数

    常见的三角函数有

    函数类型函数名称定义域值域
    y =sin x正弦函数R[-1,1]
    y =cos x余弦函数R[-1,1]
    y =tan x正切函数{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}R
    y =cot x余切函数{x|x≠kπ,k∈Z}R
    y =sec x正割函数{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}(-∞,-1 ] ∪ [ 1,+∞)
    y =csc x余割函数{x|x≠kπ,k∈Z}(-∞,-1 ] ∪ [ 1,+∞)

    反三角函数

    常见的反三角函数主要有以下 6 个

    函数类型函数名称定义域值域
    y =arcsin x反正弦函数[-1,1]R
    y =arccos x反余弦函数[-1,1]R
    y =arctan x反正切函数R{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}
    y =arccot x反余切函数R{x|x≠kπ,k∈Z}
    y =arcsec x反正割函数(-∞,-1 ] ∪ [ 1,+∞){x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}
    y =arccsc x反余割函数(-∞,-1 ] ∪ [ 1,+∞){x|x≠kπ,k∈Z}

    完整代码

    知道不同函数的定义非常关键,因为这直接决定了我们画图时候的横坐标可取值范围,先把所有典型函数列出来

    函数类型函数名称定义域值域可画
    y=c常数函数RRY
    y=x^a幂函数RRY
    y=a^x指数函数RRY
    y=log_a x对数函数(0,+∞)RY
    y =sin x正弦函数R[-1,1]Y
    y =cos x余弦函数R[-1,1]Y
    y =tan x正切函数{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}RY
    y =cot x余切函数{x|x≠kπ,k∈Z}RY
    y =sec x正割函数{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}(-∞,-1 ] ∪ [ 1,+∞)Y
    y =csc x余割函数{x|x≠kπ,k∈Z}(-∞,-1 ] ∪ [ 1,+∞)Y
    y =arcsin x反正弦函数[-1,1]RY
    y =arccos x反余弦函数[-1,1]RY
    y =arctan x反正切函数R{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}Y
    y =arccot x反余切函数R{x|x≠kπ,k∈Z}Y
    y =arcsec x反正割函数(-∞,-1 ] ∪ [ 1,+∞){x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}N
    y =arccsc x反余割函数(-∞,-1 ] ∪ [ 1,+∞){x|x≠kπ,k∈Z}N

    我们需要实现的功能是,我们输入一个函数表达式,程序给我们返回该表达式的图像,完整代码如下

    
    # -*- coding: utf-8 -*-
    """
    Created on Sun Feb 16 16:10:09 2020
    project name:draw_func_figure
    @author: 帅帅de三叔
    """
    import math #导入绘图模块
    import numpy as np #导入数值计算模块
    import matplotlib.pyplot as plt #导入绘图模块
    plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei'] #绘图中文
    plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False #绘图负号
    import mpl_toolkits.axisartist as axisartist #导入坐标轴加工模块
    
    def elementary_func_draw(X, expr): #定义绘制函数图形的函数,其中x是自变量,y为因变量
        #X=np.linspace(-10, 10, 100) #自变量
        Y=list(map(lambda x:eval(expr), X)) 
        fig=plt.figure(figsize=(4, 4)) #新建画布
        ax=axisartist.Subplot(fig, 111) #使用axisartist.Subplot方法创建一个绘图区对象ax
        fig.add_axes(ax) #将绘图区对象添加到画布中
        ax.plot(X, Y, label=expr) #绘制函数图形 
        ax.axis[:].set_visible(False) #隐藏原来的实线矩形
        ax.axis["x"]=ax.new_floating_axis(0, 0, axis_direction="bottom") #添加x轴
        ax.axis["y"]=ax.new_floating_axis(1, 0, axis_direction="bottom") #添加y轴    
        ax.axis["x"].set_axisline_style("->", size=1.0) #给x坐标轴加箭头
        ax.axis["y"].set_axisline_style("->", size=1.0) #给y坐标轴加箭头
        plt.xlim(-max(X), max(X)) #设置横坐标范围
        plt.ylim(-max(Y), max(Y)) #设置纵坐标范围   
        ax.text(-1.0, max(Y), 'y', fontsize=12) #标注y轴
        ax.annotate(s='x', xy=(max(X), 0), xycoords='data', xytext=(+0, +5), textcoords='offset points', fontsize=12) #标注x轴
        plt.legend()
        plt.show()
        plt.savefig("func_figure.png")
        
    if __name__=="__main__":   
        expr=input("请输入函数表达式:")
        if "log" in expr: #画对数函数
            X=np.linspace(0.001, 10, 100)
        elif "asin"  in expr: #画反正弦函数
            X=np.linspace(-1, 1, 100)
        elif "acos" in expr: #画反余弦函数
            X=np.linspace(-1, 1, 100)
        else:
            X=np.linspace(-10, 10, 100)
        elementary_func_draw(X, expr)    
    

    见证奇迹的时候到了

    当我输入

    2
    

    便会画出如下图
    图 1 y=0
    当我输入

    x**2
    

    便会画出如下图
    图 2 y=x^2
    当我输入

    2**x
    

    便会画出如下图
    图 3 y=2^x
    当我输入

    math.log(x, 2)
    

    便会画出如下图
    图 6 y=log_2 x

    当我输入

    math.log10(x)
    

    便会画出如下图
    图 7 y=log_10 x
    当我输入

    math.log(x)
    

    便会画出如下图
    图 8 y=ln(x)

    当我输入

    math.sin(x)
    

    便会画出如下图
    图 5 y=sin(x)
    当我输入

    math.cos(x)
    

    便会画出如下图
    图 6 y=cos(x)
    当我输入

    math.tan(x)
    

    便会画出如下图

    图 7  y=tan(x)
    当我输入

    1/math.tan(x)
    

    便会画出如下图
    图 8 y=cot(x)
    当我输入

    1/math.cos(x)
    

    便会画出如下图
    图 9 y=sec(x)
    当我输入

    1/math.sin(x)
    

    便会画出如下图
    图 10 y=csc(x)
    当我输入

    math.asin(x)
    

    便会画出如下图

    图 8 y=arcsin(x)
    当我输入

    math.acos(x)
    

    便会画出如下图

    图 10 y=arccos(x)

    当我输入

    math.atan(x)
    

    便会画出如下图
    图 11 y=arctan(x)
    当我输入

    math.pi/2-math.atan(x)
    

    便会画出如下图

    图 14 y=arccot(x)
    当我输入

    arcsec(x)
    

    糟糕,不出图

    当我输入

    arccsc(x)
    

    糟糕,不出图

    这两个函数还有待后面解决,或许通过三角函数关系式,或者重新定义这两个函数,如果你又什么好办法,欢迎留言。

    代码解释

    这里重点解释一下在给两个坐标轴打标签时候的处理方法

    ax.text(-1.0, max(Y), 'y', fontsize=12) #标注y轴
    ax.annotate(s='x', xy=(max(X), 0), xycoords='data', xytext=(+0, +5), textcoords='offset points', fontsize=12) #标注x轴
    
    • 在对y轴标注的时候,位置的横向,我们选定了一个定值 -1.0 ,纵向选择Y的最大值,因为横向是定下来的,从-10到10,故只需要在Y轴稍微偏左一点即可,而纵向是随着横向变化而变化的,最大莫过于max(Y),故取其最大值。
    • 在对x轴标注的时候,我们不在用到text()函数,改用annotate()函数,因为这个函数更为灵活

    其中

    1. s=‘x’ 表示要标注的内容;
    2. xy=(max(X), 0)是为标注设置一个参照点(max(X), 0),即横坐标的最右端;
    3. xycoords=‘data’ 表示参照点的单位是一个值的形式;
    4. xytext=(+0, +5)表示标注文本的偏移量,是相对于参照点的偏移量;
    5. textcoords=‘offset points’表示注释文本的坐标系属性,表示以点为单位,也可以是pixels,表示以像素为单位,还可以是xycoords的属性值

    因为选定了横坐标最右端为参照点,再加上偏移量,任你y轴怎么变化,这个标注会老老实实呆在那个离(max(X), 0)不远处。

    最后贴出math模块下的标准C写的数学函数

    ['__doc__', '__loader__', '__name__', '__package__', '__spec__', 'acos', 'acosh', 'asin', 'asinh', 'atan', 'atan2', 'atanh', 'ceil', 'copysign', 'cos', 'cosh', 'degrees', 'e', 'erf', 'erfc', 'exp', 'expm1', 'fabs', 'factorial', 'floor', 'fmod', 'frexp', 'fsum', 'gamma', 'gcd', 'hypot', 'inf', 'isclose', 'isfinite', 'isinf', 'isnan', 'ldexp', 'lgamma', 'log', 'log10', 'log1p', 'log2', 'modf', 'nan', 'pi', 'pow', 'radians', 'remainder', 'sin', 'sinh', 'sqrt', 'tan', 'tanh', 'tau', 'trunc']
    

    参考文献
    1,基本初等函数
    2,反余切函数
    2,math模块

    在这里插入图片描述

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  • 初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所得到的函数。基本初等函数初等函数在其定义区间内均为连续函数。高等数学将基本初等函数归为五类:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、...
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    2021-07-26 09:14:29
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  • 第二章 函数与基本初等函数I第1讲 函数及其表示一、选择题1.下列函数中,与函数y=A.y=C.y=xex D.y=解析 函数y=答案 D2.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则
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  • 初等函数

    2018-05-07 19:14:40
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空空如也

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基本初等函数定义域