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  • 最小二乘法的推导

    2020-06-12 11:37:07
    虽然这些数据是离散,不是连续,我们无法得到一个确定描述这种相关性函数方程,但既然在直角坐标系中数据分布接近一条直线,那么我们就可以通过画直线方式得到一个近似描述这种关系直线方程。...

    在数据的统计分析中,数据之间即变量x与Y之间的相关性研究非常重要,通过在直角坐标系中做散点图的方式我们会发现很多统计数据近似一条直线,它们之间或者正相关或者负相关。虽然这些数据是离散的,不是连续的,我们无法得到一个确定的描述这种相关性的函数方程,但既然在直角坐标系中数据分布接近一条直线,那么我们就可以通过画直线的方式得到一个近似的描述这种关系的直线方程。当然,从前面的描述中不难看出,所有数据都分布在一条直线附近,因此这样的直线可以画出很多条,而我们希望找出其中的一条,能够最好地反映变量之间的关系。换言之,我们要找出一条直线,使这条直线“最贴近”已知的数据点,设此直线方程为:

    这里的是为了区分Y的实际值y(这里的实际值就是统计数据的真实值,我们称之为观察值),当x取值(i=1,2,3……n)时,Y的观察值为,近似值为(或者说对应的纵坐标是)。

    其中式叫做Y对x的回归直线方程,b叫做回归系数。要想确定回归直线方程,我们只需确定a与回归系数b即可。

    设x,Y的一组观察值为:
       i = 1,2,3……n

    其回归直线方程为:

    当x取值(i=1,2,3……n)时,Y的观察值为,差刻画了实际观察值与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度,见下图:

    实际上我们希望这n个离差构成的总离差越小越好,只有如此才能使直线最贴近已知点。换句话说,我们求回归直线方程的过程其实就是求离差最小值的过程。

    一个很自然的想法是把各个离差加起来作为总离差。可是,由于离差有正有负,直接相加会互相抵消,如此就无法反映这些数据的贴近程度,即这个总离差不能用n个离差之和来表示,见下图:

    一般做法是我们用离差的平方和,即:

    作为总离差 ,并使之达到最小。这样回归直线就是所有直线中Q取最小值的那一条。由于平方又叫二乘方,所以这种使“离差平方和为最小”的方法,叫做最小二乘法。
    用最小二乘法求回归直线方程中的a、b的公式如下:

    其中,、为和的均值,a、b的上方加“︿”表示是由观察值按最小二乘法求得的估计值,a、b求出后,回归直线方程也就建立起来了。

    当然,我们肯定不能满足于直接得到公式,我们只有理解这个公式怎么来的才能记住它,用好它,因此给出上面两个公式的推导过程更加重要。在给出上述公式的推导过程之前,我们先给出推导过程中用到的两个关键变形公式的推导过程。首先是第一个公式:
     
     
    接着是第二个公式:

    基本变形公式准备完毕,我们可以开始最小二乘法求回归直线方程公式的推导了:

    至此,公式变形部分结束,从最终式子我们可以看到后两项

    与a、b无关,属于常数项,我们只需

    即可得到最小的Q值,因此:

    至此,公式推导完毕。
     
    最小二乘法求回归直线方程可用于所有数据分布近似直线的数据统计、分析问题,其用程序实现非常简便,属于基础统计分析算法,必须能够熟练掌握应用。
    ————————————————
    版权声明:本文为CSDN博主「Neo-T」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
    原文链接:https://blog.csdn.net/MarsJohn/article/details/54911788

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  • 最小二乘法的推导

    最小二乘法的推导
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  • 前言 普通最小二乘法(ordinary least squares, OLS)是线性回归预测问题中一个很重要的概念,在 Introductory ...应聘数据挖掘岗位,就有考到对普通最小二乘法的推导证明。最小二乘法十分有用,例如可以用来做...

    前言

            普通最小二乘法(ordinary least squares, OLS)是线性回归预测问题中一个很重要的概念,在 Introductory Econometrics A Modern Approach (Fourth Edition) 第2章 简单回归模型 中,花了很详细的篇幅对此作出介绍。应聘数据挖掘岗位,就有考到对普通最小二乘法的推导证明。最小二乘法十分有用,例如可以用来做推荐系统资金流动预测等。

    推导证明

    (1) 公式推导

    (2) 求和性质

            求和性质,具体可以参考Introductory Econometrics A Modern Approach (Fourth Edition) 一书(计量经济学导论,第4版,杰弗里·M·伍德里奇 著)的附录A

    (3) 一般形式

            有了上述推导证明,普通最小二乘法一般形式可以写成(字母盖小帽表示估计值,具体参考应用概率统计):

    重要概念

            接下来简单地介绍几个重要概念,并在下一章节给出最小二乘法的无偏估计

            记第次观测残差(residual)是yi 的实际值与其拟合值之差:

            

            其中SST=SSE+SSR。

            拟合优度,有时又称“判定系数”,回归的R2R-squared),用来判断直线拟合效果:

            当R2 = 1时称为完美拟合,当R2 = 1时称为糟糕拟合,最理想的观测是,第次情况 残差u=0

            事实上,R2不因的单位变化而变化。

            零条件均值,指给定解释变量的任何值,误差的期望值为零。换言之,即 E(u|x)=0

    无偏估计

            我们追求零条件均值,得到OLS 估计量的无偏估计:

            其中,

            现在我们可以看到,β1 的估计量等于总体斜率β1 加上误差 { u1, u2, ..., un }的一个线性组合。

    “线性”含义

            线性回归问题中,“线性”的含义是指被估计参数β1 β2 是线性相关的,而不关心解释变量与被解释变量以何种形式出现,例如y = kx + b,log(y) = kx + b,log(y) = klog(x) + b,etc. 下面列举一些常用的曲线方程:

    1、双曲线 1/y = a + b/x

    令y'=1/y,x'=1/x,则有y'=a+bx'

    2、幂函数曲线y=axb

    令y'=lny,x'=lnx,a'=lna,则有y'=a'  +bx'

    3、指数函数曲线y=aebx

    令y'=lny,x'=x,a'=a,则有y'=a'+b  x'

    4、负指数函数曲线y=aeb/x(同上)

    5、对数函数y=a+blnx

    令y'=y,x'=lnx,则有y'=a+bx'

    6、S型(Logistic,逻辑斯蒂回归)曲线y=K/(1+Ae-λx)

    令y'=ln((K-y)/y),a=lnA,则有y'=a-λx

    多重线性回归

            多重回归研究的是变量与可控变量x1,x2,...,x之间的线性关系,假设

            根据线性代数,则有

            得到

            与普通最小二乘法推导证明相似,可以得到β 的最小二乘估计

            此处不作证明,具体可参考《应用概率统计 张国权 著》第九章 回归分析。

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  • 有了上述推导证明,普通最小二乘法一般形式可以写成(字母盖小帽表示估计值,具体参考应用概率统计): “线性”含义 线性回归问题中,“线性”含义是指被估计参数β1 和β2 是线性相关,而不关心解释变量与被...

    转载来源:https://my.oschina.net/keyven/blog/526010
    ,
    相应python代码来源-python最小二乘法拟合直线:
    https://blog.csdn.net/m0_38128647/article/details/75689228

    大家可以参考以上转载的来源,以下只是个人笔记记忆要点。
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    有了上述推导证明,普通最小二乘法一般形式可以写成(字母盖小帽表示估计值,具体参考应用概率统计):

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    “线性”含义
    线性回归问题中,“线性”的含义是指被估计参数β1 和β2 是线性相关的,而不关心解释变量与被解释变量以何种形式出现,例如y = kx + b,log(y) = kx + b,log(y) = klog(x) + b,etc. 下面列举一些常用的曲线方程:

    1、双曲线 1/y = a + b/x

    令y’=1/y,x’=1/x,则有y’=a+bx’

    2、幂函数曲线y=axb

    令y’=lny,x’=lnx,a’=lna,则有y’=a’ +bx’

    3、指数函数曲线y=aebx

    令y’=lny,x’=x,a’=a,则有y’=a’+b x’

    4、负指数函数曲线y=aeb/x(同上)

    5、对数函数y=a+blnx

    令y’=y,x’=lnx,则有y’=a+bx’

    6、S型(Logistic,逻辑斯蒂回归)曲线y=K/(1+Ae-λx)

    令y’=ln((K-y)/y),a=lnA,则有y’=a-λx

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    多重回归研究的是变量y 与可控变量x1,x2,…,xk 之间的线性关系,假设

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        根据线性代数,则有
    

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        得到
    

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        与普通最小二乘法推导证明相似,可以得到β 的最小二乘估计
    

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    此处不作证明,具体可参考《应用概率统计 张国权 著》第九章 回归分析。

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