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  • 关于数据库的 最小函数依赖集的求法.对数据库的初学者有帮助。
  • 关系数据库理论之最小函数依赖集

    万次阅读 多人点赞 2019-04-06 23:38:53
    在本文中,会介绍为什么要引入最小函数依赖集最小函数依赖集是什么,以及如何求最小函数依赖集。 为什么需要最小函数依赖集 在关系数据模型中,一个关系通常由R(U,F)构成,U为属性的全集,F为函数依赖集。在实际...

    前言

    在本文中,会介绍为什么要引入最小函数依赖集,最小函数依赖集是什么,以及如何求最小函数依赖集。

    为什么需要最小函数依赖集

    在关系数据模型中,一个关系通常由R(U,F)构成,U为属性的全集,F为函数依赖集。在实际生活中,我们可以根据语义来定义关系中属性的依赖关系,例如学号可以唯一确定一位学生的姓名、性别等等。但是,有时候给出的函数依赖集并不是最简的,这有时会拖累我们对关系的后续处理,例如关系的分解、判断是否为无损分解等。所以,我们在必要时,需要对函数依赖集进行化简,这就是需要最小函数依赖集的原因。
    在正式介绍最小函数依赖集之前,还需要了解一个概念,那就是闭包。准确的说是属性集X关于函数依赖集F的闭包

    闭包

    闭包分为两种,一种是函数依赖集F的闭包,另外一种是属性集X关于函数依赖集F的闭包。前者不做讨论,重点说说后者。先来看定义

    F为属性集U上的一组函数依赖集,XY ∈ \in U X F + X_F^+ XF+= {A|X → \rightarrow A能由F根据Armstrong公理导出}, X F + X_F^+ XF+称为属性集X关于函数依赖集F的闭包。

    说白了,就是给定属性集X,根据现有的函数依赖集,看其能推出什么属性。
    这里的Armstrong公理系统不用深究,想具体了解的可以点击查看百度百科。
    举例:

    已知关系模式R<U,F>,其中:
    U = {A,B,C,D,E},
    F = {AB → \rightarrow C,B → \rightarrow D,C → \rightarrow E,EC → \rightarrow B,AC → \rightarrow B}
    ( A B ) F + (AB)_F^+ (AB)F+

    解:

    从AB出发,此时我们的集合里已经包含了{A,B}。
    我们从现有的函数依赖集中可知,
    AB可以推出C,于是C加入集合,
    B可以推出D,于是D加入集合,
    C可以推出E,于是E加入集合,
    EC可以推出B,因为C、E、B都在集合中,于是不加入,
    AC可以推出B,因为A、B、C都在集合中,于是不加入
    至此,可求得 ( A B ) F + (AB)_F^+ (AB)F+ ={A、B、C、D、E}。

    最小函数依赖集

    定义

    如果函数依赖集F满足下列条件,则称F为一个极小函数依赖集,亦称为最小依赖集最小覆盖
    (1)、F中任一函数依赖右部仅含有一个属性。
    (2)、F中不存在这样的函数依赖 X → \rightarrow A,使得FF-{X → \rightarrow A} 等价。
    (3)、F中不存在这样的函数依赖X → \rightarrow AX有真子集Z使得F-{X → \rightarrow A} ⋃ \bigcup {Z → \rightarrow A}F等价。

    解释

    以上定义翻译成大白话就是,一个函数依赖集F要想称为最小函数依赖集,要满足以下三点:
    1、F中任一函数依赖的右边只有一个属性。
    2、F中不存在这样的函数依赖:从现有的函数依赖集中删除一个函数依赖X → \rightarrow A,删除后所得的函数依赖集与原来的函数依赖集等价,这样的函数依赖是不允许存在的。
    3、F中不存在这样的函数依赖:假设函数依赖集中存在AB → \rightarrow Y,现对该依赖的左部进行化简,即删除A,得B → \rightarrow Y;或删除B,得A → \rightarrow Y,若经过化简后的函数依赖集与没有化简前的函数依赖集等价,那么这样的函数依赖是不允许存在的。

    算法

    1、首先,先利用函数依赖的分解性,将函数依赖集中右部不为单个属性的分解为单属性。

    2、对于经过第1步筛选后的函数依赖集F中的每一个函数依赖X → \rightarrow A,进行以下操作:

    • 2.1、将X → \rightarrow A从函数依赖中剔除
    • 2.2、基于剔除后的函数依赖,计算属性X的闭包,看其是否包含了A,若是,则该函数依赖是多余的(这里体现出前面说的等价,因为如果基于化简后的函数依赖依赖,计算X的闭包依然包含A,则说明A可以由其他依赖推出,X → \rightarrow A不是必须的),可以删除,否则不能删除

    3、对于经过第2步筛选后的函数依赖集F中每个左部不为单个属性的函数依赖AB → \rightarrow Y,进行以下操作:
    我们约定,经过第二步筛选后的函数依赖集记为F1,经过第三步处理后的函数依赖集为F2。

    • 3.1、去除A,得B → \rightarrow Y,得F2,基于F1和F2计算属性B的闭包,如果二者相等,则说明它们是等价的,A可以去除;如果不相等,则A不能去除。
    • 3.2、去除B,得A → \rightarrow Y,得F2,基于F1和F2计算属性A的闭包,如果二者相等则说明它们是等价的,B可以去除;如果不相等,则B不能去除。

    知识链接:函数依赖的分解性
    若X → \rightarrow YZ,则X → \rightarrow Y 且 X → \rightarrow Z。

    举例

    关系模式R(U,F)中,U={A,B,C,D,E,G},F={B → \rightarrow D,DG → \rightarrow C,BD → \rightarrow E,AG → \rightarrow B,ADG → \rightarrow BC};求F的最小函数依赖集。

    解:
    1、首先根据函数依赖的分解性,对F进行第一次筛选,需要变动的有:
    ADG → \rightarrow BC拆解成ADG → \rightarrow B、ADG → \rightarrow C
    得新函数依赖集:
    F = {B → \rightarrow D,DG → \rightarrow C,BD → \rightarrow E,AG → \rightarrow B,ADG → \rightarrow B,ADG → \rightarrow C}

    2、筛选多余的函数依赖

    • 2.1:去除B → \rightarrow D,得F = {DG → \rightarrow C,BD → \rightarrow E,AG → \rightarrow B,ADG → \rightarrow B,ADG → \rightarrow C}, B F + B_F^+ BF+ = {B},不包含D,故B → \rightarrow D不删除。
    • 2.2:去除DG → \rightarrow C,得F = {B → \rightarrow D、BD → \rightarrow E,AG → \rightarrow B,ADG → \rightarrow B,ADG → \rightarrow C}, ( D G ) F + (DG)_F^+ (DG)F+={D,G},不包含C,故DG → \rightarrow C不删除。
    • 2.3:去除BD → \rightarrow E,得F = {B → \rightarrow D,DG → \rightarrow C,AG → \rightarrow B,ADG → \rightarrow B,ADG → \rightarrow C}, ( B D ) F + (BD)_F^+ (BD)F+ = {B,D},不包含E,故BD → \rightarrow E不删除。
    • 2.4:去除AG → \rightarrow B,得F = {B → \rightarrow D,DG → \rightarrow C,BD → \rightarrow E,ADG → \rightarrow B,ADG → \rightarrow C}, ( A G ) F + (AG)_F^+ (AG)F+ = {A,G},不包含B,故AG → \rightarrow B不删除。
    • 2.5:去除ADG → \rightarrow B,得F = {B → \rightarrow D,DG → \rightarrow C,BD → \rightarrow E,AG → \rightarrow B,ADG → \rightarrow C}, ( A D G ) F + (ADG)_F^+ (ADG)F+ = {A,D,G,C,B,E},包含B,故ADG → \rightarrow B去除
    • 2.6:去除ADG → \rightarrow C,得F = {B → \rightarrow D,DG → \rightarrow C,BD → \rightarrow E,AG → \rightarrow B,ADG → \rightarrow B}, ( A D G ) F + (ADG)_F^+ (ADG)F+ = {A,D,G,C,B,E},包含C,故ADG → \rightarrow C去除
      经过第二部筛选后,函数依赖集F变为{B → \rightarrow D,DG → \rightarrow C,BD → \rightarrow E,AG → \rightarrow B}。

    3、化简函数依赖左侧不为单个属性的函数依赖

    • 3.1:先看DG → \rightarrow C
      • 3.1.1:去除D,得G → \rightarrow C,得函数依赖集F1 = {B → \rightarrow D,G → \rightarrow C,BD → \rightarrow E,AG → \rightarrow B}。
        基于F1,可求得 G F + G_F^+ GF+ = {G,C}。
        基于F(第二步求出的,下同),可求得 G F + G_F^+ GF+ = {G}
        可见二者并不相同,所以D不去除。
      • 3.1.2:去除G,得D → \rightarrow C,得函数依赖集F1 = {B → \rightarrow D,D → \rightarrow C,BD → \rightarrow E,AG → \rightarrow B}
        基于F1,可求得 D F + D_F^+ DF+ = {D,C}
        基于F,可求得 D F + D_F^+ DF+ ={D}
        可见二者并不相同,所以G不去除。

    综上,DG → \rightarrow C,已是最简。

    • 3.2:再看BD → \rightarrow E
      • 3.2.1:去除B,得D → \rightarrow E,得函数依赖集F1 = {B → \rightarrow D,DG → \rightarrow C,D → \rightarrow E,AG → \rightarrow B}
        基于F1,可求得 D F + D_F^+ DF+ = {D,E}
        基于F,可求得 D F + D_F^+ DF+ = {D}
        可见二者并不相同,所以B不去除。
      • 3.2.2:去除D,得B → \rightarrow E,得函数依赖集F1 = {B → \rightarrow D,DG → \rightarrow C,B → \rightarrow E,AG → \rightarrow B}
        基于F1,可求得 B F + B_F^+ BF+ = {B,E,D}
        基于F,可求得 B F + B_F^+ BF+ = {B,D,E}
        可见二者相同,所以D可以去除

    综上,BD → \rightarrow E,可化简为B → \rightarrow E。

    • 3.3:最后看AG → \rightarrow B
      • 3.3.1:去除A,得G → \rightarrow B,得函数依赖集F1 = {B → \rightarrow D,DG → \rightarrow C,B → \rightarrow E,G → \rightarrow B}
        基于F1,可求得 G F + G_F^+ GF+ = {G,B}
        基于F,可求得 G F + G_F^+ GF+ = {G}
        可见二者并不相同,所以A不可去除。
      • 3.3.2:去除G,得A → \rightarrow B,得函数依赖F1 = {B → \rightarrow D,DG → \rightarrow C,B → \rightarrow E,A → \rightarrow B}
        基于F1,可求得 A F + A_F^+ AF+ = {A,B}
        基于F,可求得 A F + A_F^+ AF+ = {A}
        可见二者并不相同,所以G不可去除。

    综上,AG → \rightarrow B,已是最简。
    综上,R的最小函数依赖集为F = {B → \rightarrow D,DG → \rightarrow C,B → \rightarrow E,AG → \rightarrow B}

    写在最后

    这个问题是我在考研复试的时候复习过程中遇到的,主要的纠结点在于第三步的判断上,查资料的时候发现网上很多都没有写清,最后还是在度娘的文库里找到了比较清楚的解释,在此做一下思路的整理。
    本文定义以及例子参考自:

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  • 最小函数依赖集

    2019-10-05 14:37:53
    SQLServer中最小函数依赖集 来源: 程序员之家 编辑:sevenleaf 2010-04-16 09:55 评论:0 条 今天小编要和大家分享的是SQLServer中的最小函数依赖集,假设S 1和S 2是两个函数依赖集,如果所有为S 1所蕴涵...

    SQLServer中最小函数依赖集

    来源: 程序员之家 编辑:sevenleaf 2010-04-16 09:55 评论:0

     
     

          今天小编要和大家分享的是SQLServer中的最小函数依赖集,假设S 1和S 2是两个函数依赖集,如果所有为S 1所蕴涵的函数依赖都为S 2所蕴涵,—即S 1+是S 2+的子集,则S 2是S 1的覆盖,D B M S只要实现了S 2中的函数依赖,就自动实现S 1中的函数依赖。
          如果S 2是S 1的覆盖,同时S 1是S 2的覆盖—则S 1和S 2等价,即S 1+=S 2+。很显然,如果S 1和S 2等价,则D B M S只要实现S 1中的函数依赖,就自动实现S 2中的函数依赖,反之亦然。
          当且仅当函数依赖集满足以下条件时,该函数依赖集为最小函数依赖集:
          1) 每个函数依赖的右边(应变量)只含有一个属性(即它是单元素集合)。
          2) 每个函数依赖的左边(自变量)是不可约的—删除自变量的任何一个属性都将改变闭包S+(即会使S转变为一个不等价于原来的S的集合)。这种函数依赖被称为左部不可约的函数依赖。
          3) 删除S中任何一个函数依赖都将改变它的闭包S+,即使S转变为一个不等价于原来的S的集合。
          关于第2点和第3点,在这里要指出的是,为了知道如果删除某些元素是否会改变闭包,不必要清楚地知道闭包的内容。例如:观察大家熟悉的零件关系变量P,有下列函数依赖:
          P #→P N A M E
          P #→C O L O R
          P #→W E I G H T
          P #→C I T Y
          显而易见,该函数依赖集是最小依赖集:每个函数依赖中右边只含有一个属性,同样,左边也是不可约的,且任何一个函数依赖都不能被删除而不改变闭包(即不丢失信息)。相反,下面的函数依赖集不是最小依赖集。
          1 ) P #→{ P N A M E,COLOR} :第一个函数依赖的右边不是单属性集
          P #→W E I G H T
          P #→C I T Y
          2 ) { P #,P N A M E }→COLOR :第一个函数依赖左边的P N A M E可以删除而不改变闭包(即左边是可约的)
          P #→PNAME 
          P #→W E I G H T
          P #→C I T Y
          3 ) P #→P# : 第一个函数可以删除而不改变闭包
          P #→P N A M E
          P #→C O L O R
          P #→W E I G H T
          P #→C I T Y
          任何一个函数依赖集至少存在一个最小函数依赖集。假设函数依赖集为S,根据分解规则,可以假定每个函数依赖的右边是单属性的而不会失去它的一般性(如果右边不是单属性的,则可以利用分解规则把它分解成单属性),接着考察每个函数依赖f左边的每一个属性A,如果把A从f的左边删除而并不改变闭包,则把A从f的左边删除,然后考察S中剩余的每一个函数依赖f,如果把f删除而不改变闭包,则把f从S中删除,最后所得的集合S是和原来的函数依赖集S等价的最小函数依赖集。
          例:假设给定关系变量R、A、B、C、D是R的属性集,R满足函数依赖:
          A→B C
          B→C
          A→B
          A B→C
          A C→D
          现在计算该函数依赖的最小函数依赖集。
          1) 把所有的函数依赖写成右边是单属性的函数依赖:
          A→B
          A→C
          B→C
          A→B
          A B→C
          A C→D
          很显然,函数依赖A→B出现了两次,可以删除其中的一次。
          2) 可以把C从函数依赖A C→D的左边删除,因为A→C,根据增广律可以得出A→A C,给定A C→D,根据传递律可以得出A→D。所以C在函数依赖A C→D的左边是冗余的。
          3) 接着发现可以删除函数依赖A B→C,因为A→C,根据增广律可得A B→C B,又根据分解规则可以导出A B→C。
          4) 函数依赖A→C由函数依赖A→B和B→C蕴涵,所以它可以删除。最后剩下下列函数依赖:
          A→B
          B→C
          A→D
          该集合是不可约。
          一个函数依赖集I是不可约的,且等价于某个函数依赖集S,则说I是S的最小等价依赖集。
          这样,如果要实现一个函数依赖集S,系统只要实现它的一个最小依赖集就足够了(重复一次:要计算最小依赖集I不必计算闭包S+)。应该清楚的是给定函数依赖集的最小依赖集并不一定是唯一的。

    转载:http://edu.qudong.com/2010/0416/67217.shtml

    转载于:https://www.cnblogs.com/NewPigJack/p/8305113.html

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  • 最小函数依赖集的求解过程

    千次阅读 2020-12-08 18:54:29
    ①先拆右边,假如依赖集F中的右边项包含不止一个属性,那么将这些项都拆为单个项。例如A->BC,拆分为A->B和A->C ②去除冗余依赖项,例如A->C和AB->C,那么就要去除AB->C这个冗余项 ③拆左边,假如...

    流程

    先拆右边,假如依赖集F中的右边项包含不止一个属性,那么将这些项都拆为单个项。例如A->BC,拆分为A->B和A->C
    去除冗余依赖项,例如A->C和AB->C,那么就要去除AB->C这个冗余项
    拆左边,假如依赖集F中的左边项包含不止一个属性,那么将这些项中的第一个属性先遮住,看剩下的属性能否推出结果,不行的话就换第二属性遮住,看剩余的属性能否推出结果,以此类推


    例题
    已知G={A->BC,CD->E,B->D,BE->F,EF->A},求最小函数依赖集
    答:
    1.先拆右边
    将G中依赖项右边包含两个属性的拆为单个属性
    拆完G={A->B,A->C,CD->E,B->D,BE->F,EF->A}

    2.去除冗余依赖项
    诀窍:一个个试
    ①先去掉A->B,发现剩余的{A->C,CD->E,B->D,BE->F,EF->A}没法推出B,所以A->B不是冗余项
    ②以此类推,最后发现G中不存在冗余项

    3.再拆左边
    ①第一个左边包含两个属性的为CD->E,先遮住C,看能否由D->E。首先由A->C可获得C,那么C与剩下的D就能推出E,因此C为冗余属性;然后再遮住D,看能否由C->E,因为A->B,A->C中都得不到D,因此没法组成CD->E,所以D不是冗余项。
    经过第一步得出的G暂为{A->B,A->C,D->E,B->D}
    ②以此类推,第二个左边包含两个属性的为BE->F,先遮住B,看能否由E->F。因为A->B可获得B,那么B与剩下的E就能推出F,因此B为冗余属性;然后在遮住E,看能否由B->F,因为D->E,那么BE->F,因此E也可以为冗余属性。可知最小函数依赖集不止一个
    暂定G为{A->B,A->C,D->E,B->D,E->F}
    ③同上,最后G为{A->B,A->C,D->E,B->D,E->F,F->A}

    最小函数依赖集为{A->B,A->C,D->E,B->D,E->F,F->A}

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  • 数据库求最小函数依赖集

    万次阅读 多人点赞 2019-03-01 16:26:50
    ,U={A,B,C,D,E},F={A→BC,ABD→CE,E→D},求F的最小依赖集。 第一步:将F中所有函数依赖的右边化为单一属性。得到F1={A→B,A→C,ABD→C,ABD→E,E→D}。 第二步:将第一步得到的F1去除其中的冗余依赖...

    【例1】关系模型R<U,F>,U={A,B,C,D,E},F={A→BC,ABD→CE,E→D},求F的最小依赖集。

    第一步:将F中所有函数依赖的右边化为单一属性。得到F1={A→B,A→C,ABD→C,ABD→E,E→D}。

    第二步:将第一步得到的F1去除其中的冗余依赖关系。假设A→B是冗余依赖关系,去除后F1'={A→C,ABD→C,ABD→E,E→D},我们求A对F'的闭包(算法详见闭包算法)得,A(F1')+ =AC,不包含B,所以A→B不是冗余依赖关系,不能删除。依次判断F1中的所有函数依赖,去除冗余依赖关系。就得出F2={A→B,A→C,ABD→E,E→D}。

    第三步:对第二步所得F2去除其冗余属性。我们只关注函数依赖关系左边为多个的情况(一个必不可能为冗余属性),即观察ABD→E是否包含冗余属性。观察F2发现A→B,所以ABD中B是冗余属性可以删除,得到AD→E,最终得到了F的最小依赖关系F3={A→B,A→C,AD→E,E→D},也可以合并为F3={A→BC,AD→E,E→D}。

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  • 最小函数依赖集

    2020-05-11 17:15:36
    例1:关系模式R(U,F)中,U=...求F的最小函数依赖集 (1)用分解的法则,使F中的任何一个函数依赖的右部仅含有一个属性;得到:F={B->D,DG->C,BD->E,AG->B,ADG->B,ADG->C}; (2)去掉多余的函
  • 最小函数依赖

    2015-05-05 15:13:35
    最小函数依赖集  定义:如果函数依赖集F满足下列条件,则称F为最小函数依赖集或最小覆盖。  ① F中的任何一个函数依赖的右部仅含有一个属性;  ② F中不存在这样一个函数依赖X→A,使得F与F-{X→A}等价;  ...
  • 最小函数依赖集 关系模式R(U,D,DOM,F) R:关系名,符号化的元组定义 U:一组属性 D:属性组U中的属性所来自的域 DOM:属性到域的映射 F:属性组U上的一组数据依赖 函数依赖集的闭包 F:FD(Functional ...
  • 数据库求闭包,最小函数依赖集

    万次阅读 多人点赞 2018-07-08 19:56:16
     例(1): 设有关系模式R(U,F),其中U={A,B,C,D,E,I},F={A→D,AB→E,BI→E,CD→I,E→C},计算(AE)+ 解: (1) 令X={AE},X(0)=AE (2)在F中寻找尚未使用过的左边是AE的子集的函数依赖,结果是: A→D, ...
  • 数据库:最小函数依赖集

    千次阅读 2019-05-21 20:11:04
    1.对于函数依赖的右端,将其分解为单个属性...2.对于函数依赖集F中每一个X->A,计算G=F-{X->A},再判断对于函数依赖集合G,是否能由X->A,如果能,在F中删除X->A。 3.对于F中每个函数依赖执行上述操作。 ...
  • 一、函数依赖:在关系R中,若属性或者属性 A 中 两个元祖的值相等,如果这两个元祖中对应的属性或者属性B中的值也相同,则记作A——&gt;B。 A函数决定B; 或者 B函数依赖于A。例1:下表就是问题领域, 则存在...
  • 数据库求最小函数依赖集(最小覆盖)

    千次阅读 多人点赞 2020-03-03 21:57:11
    这个英文流程反而清晰,主要过程如下: 1.设置G=F; 2.右边属性单一化(这个很容易理解,网上的教学第一步都是这个),即对属性集中每一个X->(A1…An),将其拆为 X->A1,X->A2…,X->An ...
  • 关系规范化之求最小函数依赖集(最小覆盖)

    万次阅读 多人点赞 2016-04-25 10:02:53
    最小函数依赖集 一、等价和覆盖  定义:关系模式R上的两个依赖集F和G,如果F+=G+,则称F和G是等价的,记做F≡G。若F≡G,则称G是F的一个覆盖,反之亦然。两个等价的函数依赖集在表达能力上是完全相同的。   二、...
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  • 最小函数依赖集的求法.doc
  • 怎样求数据库最小函数依赖集

    千次阅读 2019-05-09 09:44:17
    设F是关系模式R(ABC)的FD,F={A->BC,B->C,A->B,AB->C},试求Fmin ** 步骤如下: ** ①先把F中的FD写成单属性模式 如题得到F={A->B,A->C,B->C,A->B,AB-C} 这里显然多了一个A->B可以删除...
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  • .................... 超级详细的最小函数依赖集求解
  • 数据库系统原理课件:作业讲评 计算最小函数依赖集.ppt
  • 求候选码和最小函数依赖集

    千次阅读 2015-11-10 14:25:46
    (2)求最小函数依赖集 关系模式R(A,B,C,D),F = {A→C,C→A,B→AC,D→AC} 将F中的依赖右部属性单一化: F1={ A→C,C→A,B→A,B→C,D→A,D→C }。 去掉多余的函数依赖:由B→A,A→C可得B→...
  • 根据函数依赖最小依赖集

    万次阅读 多人点赞 2019-06-26 13:37:36
    【例1】关系模式R<U,F>...第二步:逐个去掉X→A依赖后,设剩下函数依赖集为G,求属性集X关于G的闭包,如果闭包包含右边属性A,则去掉该函数依赖。 A→B:(A)+=AC,不包含B,保留。 A→C:(A)+...
  • 最小函数依赖集分三步:、判别一个分解的无损连接性、转换为3NF既具有无损连接性又保持函数依赖的分解算法(有详细例子)数据库原理必考
  • 最小函数依赖集的方法

    万次阅读 多人点赞 2011-01-15 23:47:00
    最小函数依赖集分三步: 1.将F中的所有依赖右边化为单一元素 此题fd={abd->e,ab->g,b->f,c->j,cj->i,g->h};已经满足 2.去掉F中的所有依赖左边的冗余属性. 作法是属性中去掉其中的一个,看...

空空如也

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