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  • 仿射组合(Affine Combination) 对于数域为 FF\mathbb F 的线性空间 VVV 中的任意 nnn 个向量 a1,⋯,an,a1,⋯,an,a_1, \cdots, a_n, 称向量 β=∑i=1nxiαi,β=∑i=1nxiαi,\beta = \sum \limits_{i = 1} ^{n} x ...

    仿射组合(Affine Combination)

    对于数域为 F F 的线性空间 V V 中的任意 n 个向量 a1,,an, a 1 , ⋯ , a n , 称向量
    β=i=1nxiαi, β = ∑ i = 1 n x i α i , (其中 i=1nxi=1,xiF,iN,1in ∑ i = 1 n x i = 1 , x i ∈ F , i ∈ N , 1 ≤ i ≤ n
    a1,,an a 1 , ⋯ , a n 的 一个仿射组合。

    性质

    对于数域为 F F 的线性空间 V V 中的任意 n 个向量 a1,,an, a 1 , ⋯ , a n , 令集合
    S={i=1nxiαii=1nxi=1,xiF,iN,1in} S = { ∑ i = 1 n x i α i | ∑ i = 1 n x i = 1 , x i ∈ F , i ∈ N , 1 ≤ i ≤ n }
    则:
    1. α,βS,λ,μF, ∀ α , β ∈ S , ∀ λ , μ ∈ F , λ+μ=1, λ + μ = 1 , λα+μβS λ α + μ β ∈ S
    2. α,β,γS,kF,α+k(βγ)S ∀ α , β , γ ∈ S , ∀ k ∈ F , α + k ( β − γ ) ∈ S

    证明

    1. α,βS, α , β ∈ S , 则存在集合
      {xiF|iN,1in},{yiF|iN,1in}, { x i ∈ F | i ∈ N , 1 ≤ i ≤ n } , { y i ∈ F | i ∈ N , 1 ≤ i ≤ n } , 使得
      α=i=1nxiαiβ=i=1nyiαi, { α = ∑ i = 1 n x i α i β = ∑ i = 1 n y i α i , i=1nxi=1i=1nyi=1, { ∑ i = 1 n x i = 1 ∑ i = 1 n y i = 1 ,
      λα+μβ=λi=1nxiαi+μi=1nyiαi=i=1n(λxi+μyi)αi, λ α + μ β = λ ∑ i = 1 n x i α i + μ ∑ i = 1 n y i α i = ∑ i = 1 n ( λ x i + μ y i ) α i ,
      i=1n(λxi+μyi)=λi=1nxi+μi=1yi=λ+μ=1 ∑ i = 1 n ( λ x i + μ y i ) = λ ∑ i = 1 n x i + μ ∑ i = 1 y i = λ + μ = 1
      因此 λα+μβS λ α + μ β ∈ S
    2. α,β,γS, α , β , γ ∈ S , 则存在集合
      {xiF|iN,1in},{yiF|iN,1in},{ziF|iN,1in}, { x i ∈ F | i ∈ N , 1 ≤ i ≤ n } , { y i ∈ F | i ∈ N , 1 ≤ i ≤ n } , { z i ∈ F | i ∈ N , 1 ≤ i ≤ n } , 使得
      α=i=1nxiαiβ=i=1nyiαiγ=i=1nziαi, { α = ∑ i = 1 n x i α i β = ∑ i = 1 n y i α i γ = ∑ i = 1 n z i α i , i=1nxi=1i=1nyi=1i=1nzi=1, { ∑ i = 1 n x i = 1 ∑ i = 1 n y i = 1 ∑ i = 1 n z i = 1 ,
      α+k(βγ)=i=1nxiαi+k(i=1nyiαii=1nziαi), α + k ( β − γ ) = ∑ i = 1 n x i α i + k ( ∑ i = 1 n y i α i − ∑ i = 1 n z i α i ) ,
      =i=1n(xi+kyikzi)αi = ∑ i = 1 n ( x i + k y i − k z i ) α i
      i=1n(xi+kyikzi)=i=1nxi+ki=1nyiki=1nzi=1+kk=1 ∑ i = 1 n ( x i + k y i − k z i ) = ∑ i = 1 n x i + k ∑ i = 1 n y i − k ∑ i = 1 n z i = 1 + k − k = 1
      因此 α+k(βγ)S α + k ( β − γ ) ∈ S
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  • 仿射函数和仿射组合

    千次阅读 2014-07-13 15:55:12
    1、仿射函数和线性函数的区别

    1. 仿射函数

    假设f是一个矢性函数,若它可以表示为f(x1,x2,…,xn)=a1x1+a2x2+…+anxn+b,其中ai可以是标量,也可以是矩阵,则称f是仿射函数。 

    矢性函数定义:


    标性函数f(x)=ax+b(即我们通常见到的函数),其中a、x、b都是标量。

    2.仿射组合(Affine Combination)

    维基百科的解释:Affine combination, a certain kind of constrained linear combination

    x1,x2,...,xk属于R^n的点,a1,a2,...,ak为标量,并且满足a1+a2+,...+ak=1,那么组合y=a1x1+a2x2+...+akxk就是一个仿射组合,为了更容易的表述这个y的集合形状,不妨R^n的n为3,k也取3,,也就是说x1,x2,x3不共线的3点,a1+a2+a3=1,y=a1x1+a2x2+a3x3

    分析过程

    1:先让a3=0,那么y=a1x1+a2x2,这个很容易知道是过了x1,x2的一条直线(这点一直不太明白??)

    2:任意取x1x2这条直线上一点,然后和x3联立,构成了x1x2上任意一点和x3确定的直线

    3:由于x1x2是一条直线,故每一个点和x3的连线就铺满了整个2维的平面,这个平面过着3个点

    结论:仿射组合应该是过了这些点的一个超平面

    http://blog.csdn.net/silence1214/article/details/8662677
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  • 使用稀疏最小均方滤波器的仿射组合进行低复杂度的大规模多输入多输出信道估计
  • UA SIE545 优化理论基础1 凸分析2 仿射组合与仿射包

    UA SIE545 优化理论基础1 凸分析2 仿射组合与仿射包

    对于数域 F F F上的线性空间 V V V,考虑 ∀ x 1 , ⋯   , x m ∈ V , ∀ λ 1 , ⋯   , λ m ∈ F \forall x_1,\cdots,x_m \in V,\forall \lambda_1,\cdots,\lambda_m \in F x1,,xmV,λ1,,λmF, λ 1 + ⋯ + λ m = 1 \lambda_1+\cdots+\lambda_m=1 λ1++λm=1,称 x = λ 1 x 1 + ⋯ + λ m x m x=\lambda_1x_1+\cdots+\lambda_mx_m x=λ1x1++λmxm

    为一个仿射组合。考虑 S ⊂ V S \subset V SV,记 a f f S affS affS为线性子空间的 S S S仿射包,它是包含 S S S的最小线性流形:
    a f f S = { ∑ i = 1 m λ i x i : x i ∈ S , λ i ∈ F , ∑ i = 1 m λ i = 1 } affS=\{\sum_{i=1}^m \lambda_ix_i:x_i \in S,\lambda_i \in F,\sum_{i=1}^m \lambda_i=1\} affS={i=1mλixi:xiS,λiF,i=1mλi=1}

    对于 y 0 , y 1 , ⋯   , y m ∈ S y_0,y_1,\cdots,y_m \in S y0,y1,,ymS,称它们仿射无关,如果 y 1 − y 0 , ⋯   , y m − y 0 y_1-y_0,\cdots,y_m-y_0 y1y0,,ymy0线性无关;称它们仿射相关,如果 y 1 − y 0 , ⋯   , y m − y 0 y_1-y_0,\cdots,y_m-y_0 y1y0,,ymy0线性相关。因此
    s p a n { y 1 − y 0 , ⋯   , y m − y 0 } = a f f { 0 , y 1 − y 0 , ⋯   , y m − y 0 } span\{y_1-y_0,\cdots,y_m-y_0\}=aff\{0,y_1-y_0,\cdots,y_m-y_0\} span{y1y0,,ymy0}=aff{0,y1y0,,ymy0}

    其中 a f f { v e c t o r s } aff\{vectors\} aff{vectors}表示由这些vectors生成的线性流形。另外,根据平行关系,
    a f f { 0 , y 1 − y 0 , ⋯   , y m − y 0 } = b 0 + a f f { y 0 , y 1 , ⋯   , y m } aff\{0,y_1-y_0,\cdots,y_m-y_0\}=b_0+aff\{y_0,y_1,\cdots,y_m\} aff{0,y1y0,,ymy0}=b0+aff{y0,y1,,ym}

    基于仿射无关与线性无关的关系,我们可以将判断线性相关性的方法直接用来判断仿射相关性。另外,根据线性流形与线性子空间的关系,仿射变换总是可以表示成一个线性变化和一个平移。

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  • 仿射组合的几何形状

    2015-01-04 00:23:45
    仿射组合的几何形状 这几天在看凸优化这本书,遇到了一个实在自己无法想象的概念就是仿射组合affine combination, x1,x2,...,xk属于R^n的点,a1,a2,...,ak为标量,并且满足a1+a2+,...+ak=1,那么组合y=a1x1+...

    仿射组合的几何形状

    这几天在看凸优化这本书,遇到了一个实在自己无法想象的概念就是仿射组合affine combination,

    x1,x2,...,xk属于R^n的点,a1,a2,...,ak为标量,并且满足a1+a2+,...+ak=1,那么组合y=a1x1+a2x2+...+akxk就是一个仿射组合,为了更容易的表述这个y的集合形状,不妨R^n的n为3,k也取3,,也就是说

    x1,x2,x3不共线的3点,a1+a2+a3=1,y=a1x1+a2x2+a3x3

    分析过程

    1:先让a3=0,那么y=a1x1+a2x2,这个很容易知道是过了x1,x2的一条直线

    2:任意取x1x2这条直线上一点,然后和x3联立,构成了x1x2上任意一点和x3确定的直线

    3:由于x1x2是一条直线,故每一个点和x3的连线就铺满了整个2维德平面,这个平面过着3个点

    结论:仿射组合应该是过了这些点的一个超平面

    不妨给出凸组合的图形:

    也就是这些点构成的封闭区域

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  • 第一章 引言 引言部分主要介绍了三个部分: 第一部分:数学优化问题简介及其应用范例 第二部分:凸优化问题简介及两种特殊凸优化问题 第三部分:本书的内容编排 ...通俗理解:一条直线是仿射集合,因...
  • 仿射集合、凸集和锥

    2019-07-02 19:26:16
    仿射集合 ‘  如果通过集合C中任意两个不同点的直线仍然在集合C中,那么集合C就是...结论如下:一个仿射集合包含其中任意点的仿射组合。即如果C是一个仿射集合,x1,…,xk属于C,并且theta的分量和为1,那么仍...
  • 仿射相关与线性相关

    千次阅读 2015-11-02 21:41:53
    线性组合与仿射组合 线性相关与线性独立 仿射相关与仿射独立 联系 线性组合与仿射组合 给定n个向量v1,v2...vn v_1,v_2...v_n ,其线性组合为∑i=1naivi\sum\limits_{i=1}^na_iv_i,其中,a1,a2,a3...aia_1,a_2,a_3....
  • 仿射函数

    千次阅读 2018-06-05 00:22:33
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  • 凸优化学习笔记仿射集合和凸集

    千次阅读 2016-06-07 10:57:03
    凸优化读书笔记——仿射集合和凸集
  • 为此,我们提出了一种新的生成对抗网络(ManiGAN),它包含两个关键的部分:文本图像仿射组合模块(ACM)和细节校正模块(DCM)。ACM选择与给定文本相关的图像区域,然后将具有相应语义单词的区域与有效操作相关联。...
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  • 仿射变换下自然组合的形状-颜色矩不变量
  • 计算机图形学:考题预测

    千次阅读 2019-01-07 10:25:24
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  • 仿射 ,仿射集,子空间

    千次阅读 多人点赞 2018-04-23 12:48:40
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    2020-04-01 06:01:24
    在简要介绍了Eddington和Schrödinger考虑的仿射引力之后,我们基于Ricci张量,扭转张量,Riemann张量及其组合的决定因素构造和分析了不同的仿射引力。 在每种情况下,我们将运动方程式简化为最简单的形式,并对其...
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空空如也

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仿射组合

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