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  • 计算机图形学课程实验...是一个mfc单文档程序,绘制三个立方体加他们的坐标轴,使他们可以分别绕三个坐标轴旋转,刚编译运行后的界面有些奇怪。选择编辑->rotate about x或者其他选项使它开始转起来之后看起来就正常了
  • 最近强子在学习坐标变换的内容,对于欧拉角变换矩阵很是好奇,怎么理解“绕固定坐标轴旋转与绕自身坐标轴旋转的一致性”呢,跟他讨论了许久,找到了一种比较清晰明了的证明方法,便于直观...

    作者:Tai Fook
    来源:CSDN
    原文:https://blog.csdn.net/jiongjiongxia123/article/details/90236737

    最近强子在学习坐标变换的内容,对于欧拉角变换矩阵很是好奇,怎么理解“绕固定坐标轴旋转与绕自身坐标轴旋转的一致性”呢,跟他讨论了许久,找到了一种比较清晰明了的证明方法,便于直观理解,原文发表在了强子的CSDN上,这里贴出来分享给大家。


    最近在看人头姿态和视线方向检测的东西,需要考虑坐标系与坐标系之间的旋转.用欧拉角表示坐标系的旋转时存在两种旋转方法,另外旋转的顺序也会对旋转结果有影响,查了一些资料总结一下结果.

    描述坐标系B相对于坐标系A的姿态有两种方式:第一种是绕固定坐标轴旋转,第二种是绕自身坐标轴旋转.假设坐标系A为世界坐标系(不动),坐标系B为旋转坐标系,两个坐标系在开始时重合,则:

    • 绕固定坐标轴旋转:

      先将BAX轴旋转α,再将BAY轴旋转β,最后将BAZ轴旋转γ.旋转过程中坐标系A是不动的,其三个坐标轴也是固定的,因此称这种旋转方法为绕固定轴旋转.注意这里的旋转方向为先X轴,再Y轴,最后Z轴.

    • 绕自身坐标轴旋转:

      先将BBZ轴旋转γ,再将BBY轴旋转β,最后将BBX轴旋转α.旋转过程中坐标系B是变化的,其三个坐标轴也是变化的,称这种旋转方法为绕固自身旋转.注意这里的旋转方向为先Z轴,再Y轴,最后X轴.和第一种旋转方式的旋转顺序不同,原因是后面要给出的结论.

    结论:

    以绕固定轴方式,先X轴转α,再Y轴转β,最后Z轴转γ的旋转和以绕自身轴方式,先Z轴转γ,再Y轴转β,最后X轴转α的旋转是等效的,下面给出"僵硬"的数学证明.

    证明(僵硬的):

    我们知道,坐标轴的旋转可以用旋转矩阵来表示,为了证明上述两种旋转方法是等效的,只需要证明两种旋转方法对应的旋转矩阵是相同的.

    对于绕固定轴方式,先X轴转α,再Y轴转β,最后Z轴转γ的旋转,其旋转矩阵R容易得到:
    R x ( α ) = [ 1 0 0 0 c o s ( α ) − s i n ( α ) 0 s i n ( α ) c o s ( α ) ] R_x(α)=\left [\begin{matrix} 1&0&0 \\ 0&cos(\alpha)&-sin(\alpha) \\0&sin(\alpha)&cos(\alpha)\end{matrix}\right ] Rx(α)=1000cos(α)sin(α)0sin(α)cos(α)

    R Y ( β ) = [ c o s ( β ) 0 s i n ( β ) 0 1 0 − s i n ( β ) 0 c o s ( β ) ] R_Y(β)=\left [\begin{matrix} cos(\beta)& 0&sin(\beta) \\ 0&1&0 \\-sin(\beta)&0&cos(\beta)\end{matrix}\right ] RY(β)=cos(β)0sin(β)010sin(β)0cos(β)

    R Z ( γ ) = [ c o s ( γ ) − s i n ( γ ) 0 s i n ( γ ) c o s ( γ ) 0 0 0 1 ] R_Z(γ)=\left [\begin{matrix} cos(\gamma)&-sin(\gamma)&0 \\ sin(\gamma)&cos(\gamma)&0 \\0&0&1\end{matrix}\right ] RZ(γ)=cos(γ)sin(γ)0sin(γ)cos(γ)0001

    对于绕自身轴方式,先Z轴转γ,再Y轴转β,最后X轴转α的旋转,其旋转矩阵R.首先给出坐标系绕任意以单位向量表示方向的定轴(x,y,z)旋转θ 的旋转矩阵为:

    r = [ c o s ( θ ) + ( 1 − c o s ( θ ) ) x 2 ( 1 − c o s ( θ ) ) x y − s i n ( θ ) z ( 1 − c o s ( θ ) ) x z + s i n ( θ ) y ( 1 − c o s ( θ ) ) x y + s i n ( θ ) z c o s ( θ ) + ( 1 − c o s ( θ ) ) y 2 ( 1 − c o s ( θ ) ) y z − s i n ( θ ) x ( 1 − c o s ( θ ) ) x z − s i n ( θ ) y ( 1 − c o s ( θ ) ) y z + s i n ( θ ) x c o s ( θ ) + ( 1 − c o s ( θ ) ) z 2 ] r=\left [\begin{matrix} cos(\theta)+(1-cos(\theta))x^2 & (1-cos(\theta))xy-sin(\theta)z & (1-cos(\theta))xz+sin(\theta)y \\(1-cos(\theta))xy+sin(\theta)z & cos(\theta)+(1-cos(\theta))y^2 & (1-cos(\theta))yz-sin(\theta)x \\(1-cos(\theta))xz-sin(\theta)y & (1-cos(\theta))yz+sin(\theta)x & cos(\theta)+(1-cos(\theta))z^2\end{matrix}\right ] r=cos(θ)+(1cos(θ))x2(1cos(θ))xy+sin(θ)z(1cos(θ))xzsin(θ)y(1cos(θ))xysin(θ)zcos(θ)+(1cos(θ))y2(1cos(θ))yz+sin(θ)x(1cos(θ))xz+sin(θ)y(1cos(θ))yzsin(θ)xcos(θ)+(1cos(θ))z2

    则先Z轴转γ对应的旋转矩阵

    R Z ( γ ) = [ c o s ( γ ) − s i n ( γ ) 0 s i n ( γ ) c o s ( γ ) 0 0 0 1 ] R_Z(γ)=\left [\begin{matrix} cos(\gamma)&-sin(\gamma)&0 \\ sin(\gamma)&cos(\gamma)&0 \\0&0&1\end{matrix}\right ] RZ(γ)=cos(γ)sin(γ)0sin(γ)cos(γ)0001

    旋转后的Y轴由(0,1,0) 变成了(−sin(γ),cos(γ),0) 再按照绕任意轴的公式计算得到绕此时的Y轴旋转β对应的旋转矩阵为:

    R Y ( β ) = [ c o s ( β ) − s i n 2 ( γ ) ( c o s ( β ) − 1 ) c o s ( γ ) s i n ( γ ) ( c o s ( β ) − 1 ) s i n ( β ) c o s ( γ ) c o s ( γ ) s i n ( γ ) ( c o s ( β ) − 1 ) c o s ( β ) − c o s 2 ( γ ) ( c o s ( β ) − 1 ) s i n ( β ) s i n ( γ ) − s i n ( β ) c o s ( γ ) − s i n ( β ) s i n ( γ ) c o s ( β ) ] R_Y(β)=\left [\begin{matrix} cos(\beta)-sin^2(\gamma)(cos(\beta)-1) & cos(\gamma)sin(\gamma)(cos(\beta)-1) & sin(\beta)cos(\gamma) \\ cos(\gamma)sin(\gamma)(cos(\beta)-1) & cos(\beta)-cos^2(\gamma)(cos(\beta)-1) & sin(\beta)sin(\gamma) \\-sin(\beta)cos(\gamma) & -sin(\beta)sin(\gamma) & cos(\beta)\end{matrix}\right ] RY(β)=cos(β)sin2(γ)(cos(β)1)cos(γ)sin(γ)(cos(β)1)sin(β)cos(γ)cos(γ)sin(γ)(cos(β)1)cos(β)cos2(γ)(cos(β)1)sin(β)sin(γ)sin(β)cos(γ)sin(β)sin(γ)cos(β)
    则两步旋转后的旋转矩阵为
    R Y ( β ) × R Z ( γ ) = [ c o s ( β ) c o s ( γ ) − s i n ( γ ) s i n ( β ) c o s ( γ ) c o s ( β ) s i n ( γ ) c o s ( γ ) s i n ( β ) s i n ( γ ) − s i n ( β ) 0 c o s ( β ) ] R_Y(β)×R_Z(γ)=\left[\begin{matrix} cos(\beta)cos(\gamma)& -sin(\gamma)& sin(\beta)cos(\gamma) \\cos(\beta)sin(\gamma)& cos(\gamma)& sin(\beta)sin(\gamma) \\-sin(\beta)& 0& cos(\beta)\end{matrix}\right] RY(β)×RZ(γ)=cos(β)cos(γ)cos(β)sin(γ)sin(β)sin(γ)cos(γ)0sin(β)cos(γ)sin(β)sin(γ)cos(β)
    旋转后的X轴由(1.0,0) 变成了(cos(β)cos(γ),−sin(γ),sin(β)cos(γ)) 再按照绕任意轴的公式计算得到绕此时的X轴旋转α对应的旋转矩阵为
    R X ( α ) R X ( α ) R X ( α ) : RX(α) R_X(\alpha)RX(α): RX(α)RX(α)RX(α):
    这个矩阵实在太长了我不想写了,反正就是按照上面的任意轴公式,把x=cos(β)cos(γ),y=−sin(γ),z=sin(β)cos(γ) 往里一代就行了.

    最后总的旋转矩阵
    R = R X ( α ) × R Y ( β ) × R Z ( γ ) \textbf{R} = R_X(\alpha)\times R_Y(\beta)\times R_Z(\gamma) R=RX(α)×RY(β)×RZ(γ)

    把各部的结果代进去一算,就得到了最终结果:
    R = [ c o s ( β ) c o s ( γ ) s i n ( α ) s i n ( β ) c o s ( γ ) − c o s ( α ) s i n ( γ ) c o s ( α ) s i n ( β ) c o s ( γ ) + s i n ( α ) s i n ( γ ) c o s ( β ) s i n ( γ ) s i n ( α ) s i n ( β ) s i n ( γ ) + c o s ( α ) c o s ( γ ) c o s ( α ) s i n ( β ) s i n ( γ ) − s i n ( α ) c o s ( γ ) − s i n ( β ) s i n ( α ) c o s ( γ ) c o s ( α ) c o s ( γ ) ] \textbf{R} = \left [\begin{matrix} cos(\beta)cos(\gamma)& sin(\alpha)sin(\beta)cos(\gamma)-cos(\alpha)sin(\gamma)& cos(\alpha)sin(\beta)cos(\gamma)+sin(\alpha)sin(\gamma) \\cos(\beta)sin(\gamma)& sin(\alpha)sin(\beta)sin(\gamma)+cos(\alpha)cos(\gamma)& cos(\alpha)sin(\beta)sin(\gamma)-sin(\alpha)cos(\gamma) \\-sin(\beta)& sin(\alpha)cos(\gamma)&cos(\alpha)cos(\gamma)\end{matrix}\right ] R=cos(β)cos(γ)cos(β)sin(γ)sin(β)sin(α)sin(β)cos(γ)cos(α)sin(γ)sin(α)sin(β)sin(γ)+cos(α)cos(γ)sin(α)cos(γ)cos(α)sin(β)cos(γ)+sin(α)sin(γ)cos(α)sin(β)sin(γ)sin(α)cos(γ)cos(α)cos(γ)

    和第一种旋转方法得到的结果相同.于是证明了前面给出的结论.之所以说这是一种很"僵硬"的证明办法,是因为整个过程是用 Matlab 强行代公式计算出来的,中间结果可能看起来很啰嗦式子很长,但是你把他们都乘起来,就能化简出相同的结果.实际上应该有更优雅的立体几何投影证明方法,但是空间想象能力实在太差,想不出来.如果有清楚的朋友请指点一下.

    经过和泡儿鱼的讨论,想出了比较简洁的证明方法,写在下面:

    证明(优雅的):

    旋转矩阵可以用来表示坐标系和坐标系之间旋转的变换关系,也可以用来表示同一个坐标系下坐标旋转前后的变换关系,从后者的角度出发可以得到一个比较简洁又清晰的证明方法.

    我们的任务是证明:以绕固定轴方式,先绕X轴转α,再绕Y轴转β,最后绕Z轴转γ的旋转和以绕自身轴方式,先绕Z轴转γ,再绕Y轴转β,最后绕X轴转α的旋转是等效的.在上述僵硬的证明方法中,我们通过计算证明了两种方式下坐标系前后的变换矩阵是相同的.下面的方法中,我们证明A坐标系中有一个向量,按照这两种方式去旋转,旋转后它们在原A坐标系下转到了同一个位置,即证明了上述结论.

    假设有一个固定的世界坐标系A,其中有一个向量a,它在A中的坐标为Ra .

    对于第一种方式的变换:

    向量a先绕AX轴转α,再绕AY轴转β,最后绕AZ轴转γ,则三步旋转过后它在坐标系A中的坐标:

    Ra ′ = R Z ( γ ) × R Y ( α ) × R X ( α ) × Ra \textbf{Ra}'=R_Z(\gamma) \times R_Y(\alpha) \times R_X(\alpha) \times\textbf{Ra} Ra=RZ(γ)×RY(α)×RX(α)×Ra
    其中:
    R x ( α ) = [ 1 0 0 0 c o s ( α ) − s i n ( α ) 0 s i n ( α ) c o s ( α ) ] R_x(α)=\left [\begin{matrix} 1&0&0 \\ 0&cos(\alpha)&-sin(\alpha) \\0&sin(\alpha)&cos(\alpha)\end{matrix}\right ] Rx(α)=1000cos(α)sin(α)0sin(α)cos(α)

    R Y ( β ) = [ c o s ( β ) 0 s i n ( β ) 0 1 0 − s i n ( β ) 0 c o s ( β ) ] R_Y(β)=\left [\begin{matrix} cos(\beta)& 0&sin(\beta) \\ 0&1&0 \\-sin(\beta)&0&cos(\beta)\end{matrix}\right ] RY(β)=cos(β)0sin(β)010sin(β)0cos(β)

    R Z ( γ ) = [ c o s ( γ ) − s i n ( γ ) 0 s i n ( γ ) c o s ( γ ) 0 0 0 1 ] R_Z(γ)=\left [\begin{matrix} cos(\gamma)&-sin(\gamma)&0 \\ sin(\gamma)&cos(\gamma)&0 \\0&0&1\end{matrix}\right ] RZ(γ)=cos(γ)sin(γ)0sin(γ)cos(γ)0001

    对于第二种方式的变换:

    假设除了不动的世界坐标系A以外,还有一个和向量a固连在一起的向量坐标系B.固连的向量坐标系和向量a是固连的不会产生相对运动,即向量a怎么转固连坐标系B就怎么转.那么显然,任何转动后,向量a在固连坐标系B下的坐标都是不变的,且始终等于未发生任何转动时向量a在世界坐标系A下的坐标Ra .因为向量a在固连坐标系B中的位置不变.

    第二种方式的变换为:向量a先绕BZ轴转γ,再绕BY轴转β,最后绕BX轴转α,将转动步骤倒过来叙述更方便

    对于第三步转动,即向量a绕第二次转动后的固连坐标系B”X轴转α,有:

    Ra2 = R X ( α ) × Ra3 \textbf{Ra2} = R_X(\alpha) \times \textbf{Ra3} Ra2=RX(α)×Ra3
    其中Ra2为三次转动后向量a在第二次转动后的固连坐标系B”中的坐标,Ra3 为三次转动后向量a在第三次转动后的固连坐标系B”’ 中的坐标.RX(α) 为第二次转动后的固连坐标系B” 和第三次转动后的固连坐标系B”’ 之间的旋转矩阵.由于第三次旋转就是绕着B”X轴转了α,因此RX(α) ,或者说B”B”’ 之间的变换矩阵就是:

    R X ( α ) = [ 1 0 0 0 c o s ( α ) − s i n ( α ) 0 s i n ( α ) c o s ( α ) ] R_X(\alpha) = \left [\begin{matrix} 1& 0& 0 \\ 0& cos(\alpha)& -sin(\alpha) \\0& sin(\alpha)& cos(\alpha)\end{matrix}\right ] RX(α)=1000cos(α)sin(α)0sin(α)cos(α)

    同理对于第二步转动,有:

    Ra1 = R Y ( β ) × Ra2 \textbf{Ra1} = R_Y(\beta) \times \textbf{Ra2} Ra1=RY(β)×Ra2
    各变量的意义类似第三步不再赘述.

    R Y ( β ) = [ c o s ( β ) 0 s i n ( β ) 0 1 0 − s i n ( β ) 0 c o s ( β ) ] R_Y(\beta) = \left [\begin{matrix} cos(\beta)& 0& sin(\beta) \\ 0& 1& 0 \\-sin(\beta)& 0& cos(\beta)\end{matrix}\right ] RY(β)=cos(β)0sin(β)010sin(β)0cos(β)

    同理对于第一步转动有:

    Ra0 = R Z ( γ ) × Ra1 \textbf{Ra0} = R_Z(\gamma) \times \textbf{Ra1} Ra0=RZ(γ)×Ra1
    其中Ra0 为三次转动后向量a在第0次转动后的固连坐标系B” 中的坐标,也就是在世界坐标系中的坐标Ra’,即:
    Ra ′ = R Z ( γ ) × Ra1 \textbf{Ra}' = R_Z(\gamma) \times \textbf{Ra1} Ra=RZ(γ)×Ra1
    其中:
    R Z ( γ ) = [ c o s ( γ ) − s i n ( γ ) 0 s i n ( γ ) c o s ( γ ) 0 0 0 1 ] R_Z(\gamma) = \left [\begin{matrix} cos(\gamma)& -sin(\gamma)& 0 \\ sin(\gamma)& cos(\gamma)& 0 \\0& 0& 1\end{matrix}\right ] RZ(γ)=cos(γ)sin(γ)0sin(γ)cos(γ)0001

    把三步转动串起来看,有:

    Ra ′ = R Z ( γ ) × Ra1 = R Z ( γ ) × ( R Y ( β ) × Ra2 ) = R Z ( γ ) × ( R Y ( β ) × ( R X ( α ) × Ra3 ) ) = R Z ( γ ) × R Y ( β ) × R X ( α ) × Ra3 \textbf{Ra}' = R_Z(\gamma) \times \textbf{Ra1} \\ = R_Z(\gamma) \times(R_Y(\beta) \times \textbf{Ra2})\\ = R_Z(\gamma) \times(R_Y(\beta) \times (R_X(\alpha) \times \textbf{Ra3})) \\ =R_Z(\gamma) \times R_Y(\beta) \times R_X(\alpha) \times \textbf{Ra3} Ra=RZ(γ)×Ra1=RZ(γ)×(RY(β)×Ra2)=RZ(γ)×(RY(β)×(RX(α)×Ra3))=RZ(γ)×RY(β)×RX(α)×Ra3

    又因为Ra3是第三次转动后向量a在第三次转动后的固连坐标系B’'的坐标,由于相对位置不变,这个值就等于未发生转动时向量a在世界坐标系A中的坐标,即:

    Ra3 = Ra \textbf{Ra3} = \textbf{Ra} Ra3=Ra
    则有:

    Ra ′ = R Z ( γ ) × R Y ( α ) × R X ( α ) × Ra3 = R Z ( γ ) × R Y ( α ) × R X ( α ) × Ra \textbf{Ra}'=R_Z(\gamma) \times R_Y(\alpha) \times R_X(\alpha) \times\textbf{Ra3} = R_Z(\gamma) \times R_Y(\alpha) \times R_X(\alpha) \times\textbf{Ra} Ra=RZ(γ)×RY(α)×RX(α)×Ra3=RZ(γ)×RY(α)×RX(α)×Ra
    与第一种方式的变换结果相同.即同一个向量经过两种方式的变换后在世界坐标系中的坐标相同,也证明了这两种变换是等效的.

    总结

    总结一下就是,如果是坐标系或者向量绕着固定的坐标轴旋转,相当于每转一次产生一个旋转矩阵,然后按旋转顺序将这些旋转矩阵左乘起来.如果是坐标系或者向量绕着自身的坐标轴旋转,相当于每转一次产生一个旋转矩阵,然后按旋转顺序将这些矩阵右乘起来.要注意后者的每一步旋转产生的旋转矩阵,不要以世界坐标系为基准去算,而是以每次旋转前的坐标系去算,也就是每次旋转矩阵只描述当前这次旋转前后的坐标系之间的转换矩阵!!!

    费了半天劲希望把事情说明白了,我其实很担心哪个地方有笔误没写清楚,如果有的话请帮忙指出来.谢谢!

    参考

    网上也找到了其他类似的证明方法,看起来似乎更简洁也更容易理解,贴出来供参考:

    Rotation in 3d Space

    展开全文
  • 坐标轴旋转变换

    千次阅读 2019-05-05 16:42:55
  • 坐标轴旋转矩阵推倒

    千次阅读 2018-11-19 09:34:02
    小记: 今天小伙伴们在调试插件接口的时候,发现,将一个物体旋转一定的角度之后,有一...我们在绕着坐标轴旋转一定的角度的时候,坐标点的位置总是不断改变的,但是只会变换其中两个坐标点,还有一个点是固定...

    小记:

    今天小伙伴们在调试插件接口的时候,发现,将一个物体旋转一定的角度之后,有一部分模型不对,初步的猜测是旋转之后导致了部分Geometry数据异常, 最后查出来就是因为openfl 里边的这个旋转矩阵算的不对导致了,下边仅仅用来记录下一个推到过程。

     需要了解的一个小知识点:

    我们在绕着坐标轴在旋转一定的角度的时候,坐标点的位置总是不断改变的,但是只会变换其中两个坐标点,还有一个点是固定不变的,这实质上就是说旋转的路径会维持在一个平面上,比如我们绕Z轴来旋转一个点, 那么该点的Z轴是不会改变的,路径会始终维持在XOY平面内,发挥你的想象力,想想,类似的绕X 轴和绕Y轴旋转具有同样的性质。

    推倒:

    下面我们来一起看看绕各个轴旋转的矩阵是如何推倒出来的,首先我们来看看绕Z轴旋转的推倒,简单的画出一个示意图如下:

    在该图中,我们假设点(x1, y1)经过旋转β角度之后到达(x2, y2)的位置,下边我们需要推倒出这两个点之间有什么关系。

    我们假设点到原点之间的距离为单位1,那么我们可以得到如下的式子:

    x1 = \cos \alpha

    y1 = \sin \alpha

    x2 = \cos (\alpha +\beta )

    y2 = \sin (\alpha +\beta )

    我们知道三角函数有下面的展开:

    è¿éåå¾çæè¿°

    把上边的x2 和y2的三角函数展开,然后把带有\alpha的三角函数用x1 和y1分别替换我们就可以得到下面结果:

    x2 = x1 * \cos \beta -  y1 * \sin \beta

    y2 = y1 * \cos \beta + x1 * \sin \beta

    很容易看出这个线性变换还是很容易和对应的矩阵对应起来的:

    仔细看看上边的(x1, y1, z1)向量经过矩阵的线性变换之后是和上边推到出来的关系一样的,所有我们可以得到绕着Z轴旋转\alpha角度的矩阵为一下矩阵:

    同样的我们可以推倒出来绕着X轴和Y轴旋转\alpha角度额矩阵分别如下:

    这样子我们就得到了绕3个轴旋转\alpha角度对应的矩阵,好了本次的博客就到此为止了,仅仅只是为了自己学习和进步的脚印^_^!

     

     

     

     

     

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    2020-11-28 17:41:52
    如何旋转canvas坐标

    画图的时候会创建一个canvas,画一些元素的时候需要计算图形在canvas上的坐标,这时候在canvas上的坐标系是这样的。
    在这里插入图片描述
    有时候为了方便可以,将起始点放在canvas中间,然后将y轴的方向改为向上:
    在这里插入图片描述

    var c=document.getElementById("myCanvas");
    var ctx=c.getContext("2d");
    // 原来坐标系的起点在canvas的左上角(0, 0),现在将起点定在(128, 128)这个点上
    ctx.translate(128, 128);
    // 原先y轴是向下的,现在改为向上
    ctx.scale(1, -1);
    

    有时候选择坐标系,可以简化坐标的计算量,不仅让代码容易理解,也节省了CPU运算的时间。

    展开全文
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  • 可以画出两个二维坐标系,一个相对于另外一个旋转一定角度,我们可以通过自己修改参数改变旋转的角度,适合快速做出二维坐标旋转图(没有在坐标系中画出其他东西)
  • matlab中figure的坐标轴label、title、xticklabel的旋转 MATLAB 画柱状图(/直方图)修改横坐标名称并使其横着显示 Matlab坐标修改及旋转 等等 废话不多说,就一条代码: set(gca,'XTickLabel',labelName,'...
  • 积分计算两条曲线围绕y坐标轴旋转形成的立体体积和附录文章1类似,计算两条曲线y=x^2和y=2x围绕y坐标轴形成的立方体体积,首先要计算积分的上限和下限,根据两者相交的点求出[0,4]。外层大圆R(y)=y^(1/2)和内层小圆r...
  • 坐标旋转后的点坐标坐标旋转后的点坐标 坐标旋转后的点坐标 坐标旋转后的点坐标
  • 三维空间里一个点绕坐标轴旋转

    千次阅读 2011-04-19 11:13:00
    <br />原地址:http://blog.csdn.net/qiuchangyong/archive/2010/09/02/5859628.aspx<br />  在三维空间里一个点绕X轴 Y轴 Z轴旋转一定弧度后新的点的坐标是容易计算的,问题是如果它所绕的旋转轴是一个...
  • 一定要搞明白坐标旋转坐标旋转的区别

    万次阅读 多人点赞 2019-03-27 23:28:48
    之前想明白过,隔了一段时间没看,...1、坐标系中点的旋转旋转矩阵 x'=rcos(α+β) = r(cosαcosβ-sinαsinβ) = xcosβ-ysinβ y'=rsin(α+β) = r(sinαcosβ-cosαsinβ) = xsinβ+ycosβ 也就是 2、...
  • 坐标变换及旋转矩阵

    千次阅读 2019-07-31 15:49:42
    最近由于研究UR机器人的运动控制,所以复习和查阅了一些关于坐标旋转之类的资料,记录一下,以备使用。 以下公式中,规定几种标识: 1) 坐标系A用{A}表示,同理,有{B}; 2) 左上角表示所在坐标系标识,如Ap^ApAp...

空空如也

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坐标轴旋转