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  • 平衡二叉搜索树

    2019-10-06 01:44:21
    平衡二叉搜索树 平衡二叉搜索树知识点 上一个知识点 下一个知识点 本节概述 本节知识点 本节总结二、平衡二叉搜索树任何结点的左子树和右子树高度最多相差1的二叉搜索树。 (1)AVL树的插入算法 a. 插入结点之后...
    平衡二叉搜索树

    平衡二叉搜索树知识点
    上一个知识点 下一个知识点



    本节概述 本节知识点 本节总结

    二、平衡二叉搜索树

    任何结点的左子树和右子树高度最多相差1的二叉搜索树。
    (1)AVL树的插入算法
    a. 插入结点之后仍然是AVL树,则不调整;
    b. 插入结点之后不再满足AVL树条件,则进行调整,根据导致不平衡的原因,分为:
    a) LL型――单旋转调整
    b) LR型――双旋转调整
    c) RL型――双旋转调整
    d) RR型――单旋转调整
    下图是顺序插入单词{cup,cop,copy,hit,hi,his,hia}后得到的AVL树,单词之间按照字典顺序比较:


    (2)AVL树的删除算法
    a. 删除过程如BST结点的删除算法(教材算法4.16);
    b. 删除后调整――从被删除的结点找到祖父结点,然后开始单旋转或多旋转操作,一次旋转结束并不 意味着树已经平衡,因为这可能会导致它的祖先结点发生新的不平衡。所以这样的调整操作要一直进行下去,直到树平衡为止。


    posted on 2011-10-04 21:35 lexus 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏

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  • 为什么要创建平衡二叉搜索树 当一个二叉搜索树每个结点的C(i)为该结点的层次数。最坏情况下,当先后插入的关键字有序时,构成的二叉排序树蜕变为单支树,树的深度为其平均查找长度(n+1)/2(和顺序查找相同),最好的...

    为什么要创建平衡二叉搜索树

    当一个二叉搜索树每个结点的C(i)为该结点的层次数。最坏情况下,当先后插入的关键字有序时,构成的二叉排序树蜕变为单支树,树的深度为其平均查找长度(n+1)/2(和顺序查找相同),最好的情况是二叉排序树的形态和折半查找的判定树相同,其平均查找长度和log 2 (n)成正比。
    所以要创建一个尽量平衡的树降低查找时间复杂度

    平衡二叉搜索树的数据结构

    平衡二叉树定义(AVL):它或者是一颗空树,或者具有以下性质的二叉排序树:它的左子树和右子树的深度之差(平衡因子)的绝对值不超过1,且它的左子树和右子树都是一颗平衡二叉树。

    所以平衡二叉搜索树是在二叉搜索树的基础上又增加了一个树高以判断是否平衡,其他均与二叉树相同。

    public class tree {
        private Object data;
        private tree left;
        private tree right;
        private Integer height = 1;
    
        public Integer getHeight() {
            return height;
        }
    
        public void setHeight(Integer height) {
            this.height = height;
        }
    
        public tree (){}
        public tree(Object data) {
            this.data = data;
        }
    
        public Object getData() {
            return data;
        }
    
        public void setData(Object data) {
            this.data = data;
        }
    
        public tree getLeft() {
            return left;
        }
    
        public void setLeft(tree left) {
            this.left = left;
        }
    
        public tree getRight() {
            return right;
        }
    
        public void setRight(tree right) {
            this.right = right;
        }
    }
    

    平衡二叉搜索树如何添加节点

    平衡二叉搜索树添加整个实现过程是通过在一棵平衡二叉树中依次插入元素(按照二叉排序树的方式),若出现不平衡,则要根据新插入的结点与最低不平衡结点的位置关系进行相应的调整。分为LL型、RR型、LR型和RL型4种类型,各调整方法如下
    首先是LL型调整
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    此时需要1、将9的左孩子B提升为新的根结点;2、将原来的根结点9降为8的右孩子;3、各子树按大小关系连接(8L和9R不变,8R调整为9的左子树)。4、调整连接后的树的高度。
    在这里插入图片描述

    public tree ll_rotate(tree y){
            tree x = y.getLeft();
            y.setLeft(x.getRight());
            x.setRight(y);
    
            y.setHeight(Math.max(
                    height(y.getLeft()),
                    height(y.getRight())) + 1);
    
            x.setHeight(Math.max(
                    height(x.getLeft()),
                    height(x.getRight())) + 1);
            return x;
        }
    

    RR型
    与LL型思想一致。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    public tree rr_rotate(tree y){
            tree x = y.getRight();
            y.setRight(x.getLeft());
            x.setLeft(y);
            y.setHeight(Math.max(
                    height(y.getLeft()),
                    height(y.getRight())) + 1);
    
            x.setHeight(Math.max(
                    height(x.getLeft()),
                    height(x.getRight())) + 1);
            return x;
        }
    

    LR型
    由于在9的左孩子(L)的右子树®上插入新结点,使原来平衡二叉树变得不平衡,此时9的平衡因子由1变为2。下图是LR型的最简单形式。显然,按照大小关系,结点8应作为新的根结点,其余两个节点分别作为左右孩子节点才能平衡。
    在这里插入图片描述
    思路:1、将7的右孩子8提升为新的根结点;2、将原来的根结点9降为8的右孩子;3、各子树按大小关系连接(7L和9R不变,8L和8R分别调整为7的右子树和9的左子树)。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    public tree lr_rotate(tree y){
            tree x = y.getLeft();
            y.setLeft(rr_rotate(x));
            tree t = ll_rotate(y);
            return t;
        }
    

    RL型
    思想与LR相同
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    public tree rl_rotate(tree y){
            tree x = y.getLeft();
            y.setRight(ll_rotate(x));
            tree t = rr_rotate(y);
            return t;
        }
    

    知道了LL型、RR型、LR型和RL型4种类型,各调整方法,接下来就是如何判断每种情况
    (1)首先要知道是否平衡,写一个getBalance函数,如果返回值得绝对值大于1,那么这个节点一定不平衡,说明这个节点需要调整。

    这里需要注意一点,调整得必须是最低不平衡节点。所以添加节点的算法的使用递归是十分方便的,因为递归方法弹出栈时直接判断是否平衡,这时一定是最低不平衡节点。

    public int getBalance(tree node){
            if(node == null) {
                return 0;
            }
            return height(node.getLeft()) - height(node.getRight());
        }
    

    (2)如果balance大于1那么就是LL型或者LR的情况,新节点小于不平衡节点的左子树的值那么就是LL型,如果大于就是LR型
    (3)如果balance小于-1那么就是RR型或者RL的情况,新节点大于不平衡节点的左子树的值那么就是RR型,如果小于就是RL型

    完整添加代码

    public void add(Object data){
            tree node = new tree(data);
            if(root == null){
                root = node;
            }
            else{
                root = f(this.root,node);
            }
            size++;
        }
        private tree f(tree curNode,tree newNode) {
            Comparable c = (Comparable) curNode.getData();
            Comparable n = (Comparable) newNode.getData();
            if(c.compareTo(n) == -1){
                if(curNode.getRight() != null){
                    curNode.setRight(f(curNode.getRight(),newNode));
                }else{
                    curNode.setRight(newNode);
                }
            }else if(c.compareTo(n) == 1){
                if(curNode.getLeft() != null){
                    curNode.setLeft(f(curNode.getLeft(),newNode));
                }else{
                    curNode.setLeft(newNode);
                }
            }else {
                System.out.println("输入错误");
                return null;
            }
            //保证添加了节点,调整节点
            curNode.setHeight(
                    Math.max(
                            height(curNode.getLeft()),
                            height(curNode.getRight())
                    ) + 1);
            int balance = getBalance(curNode);
            //判断你是什么型 ll rr lr rl
            //ll型
            if(balance > 1 && n.compareTo(curNode.getLeft().getData())==-1)
                return ll_rotate(curNode);
            //rr
            if(balance < -1 && n.compareTo(curNode.getRight().getData())==1)
                return rr_rotate(curNode);
            //lr
            if(balance > 1 && n.compareTo(curNode.getLeft().getData())==-1){
                curNode.setLeft(rr_rotate(curNode.getLeft()));
                return ll_rotate(curNode);
            }
            //rl
            if(balance < -1 && n.compareTo(curNode.getRight().getData())==-1){
                curNode.setLeft(rr_rotate(curNode.getLeft()));
                return ll_rotate(curNode);
            }
    
            return curNode;
        }
    

    平衡二叉搜索树如何删除节点

    平衡二叉搜索树如何添加节点,只需要像二叉搜索树删除节点一样,然后删除之后判断是否平衡,不平衡再调整平衡就行了
    删除节点有三种情况
    (1)需要删除的节点左子树和右子树为空
    此时可以直接将这个节点指空,最后返回空,使这个节点的父节点的子树设为空。
    (2)如图所示,需要删除的节点左子树或者右子树为空,此时将现在的节点指向它的左子树(如果左子树为空则指向右子树)。
    在这里插入图片描述
    (3)如图所示,需要删除的节点的左右子树均存在,此时需要将左右子树中节点值跟它最接近的节点,变成此节点,这里取最接近它比他大的节点,也就是此节点右子树最深的左子树,也就是图中的10,然后调用删除节点的算法递归将子树15中的10删除
    在这里插入图片描述
    然后判断是否不平衡
    (1)balance>1,为LL型或者LR型,此时判断它的左子树的高度差,如果大于等于零则为LL型,如果小于零则为LR型。
    下图为LR型例子,16的balance>1,10balance<0
    在这里插入图片描述
    (2)balance<-1,为RR型或者RL型,此时在判断它的右子树的高度差,如果小于等于零则为RR型,如果大于零则为RL型。

    	public void remove(Object data){
            this.root = deleteNode(this.root,data);
            if(size>0)
                size--;
        }
    	public tree minValueNode(tree Node){
            tree cur = Node;
            while(cur.getLeft()!=null){
                cur = cur.getLeft();
            }
            return cur;
        }
        public tree deleteNode(tree root , Object data){
            if(root == null) return null;
            Comparable comparable = (Comparable) root.getData();
            if(comparable.compareTo(data)==1)
                root.setLeft(deleteNode(root.getLeft(),data));
            else if(comparable.compareTo(data)==-1)
                root.setRight(deleteNode(root.getRight(),data));
            else{
                if(root.getLeft()==null||root.getRight()==null){
                    tree temp = root.getLeft()!=null ? root.getLeft():root.getRight();
                    if(temp == null){
                        temp = root;
                        root = null;
                    }else{
                        root = temp;
                        temp =null;
                    }
                }else{
                    tree temp = minValueNode(root.getRight());
                    root.setData(temp.getData());
                    root.setRight(deleteNode(root.getRight(),temp.getData()));
                }
            }
            if(root == null)
                return root;
            root.setHeight(
                    Math.max(
                            height(root.getLeft()),
                            height(root.getRight())
                    ) + 1);
            int balance = getBalance(root);
            //ll型
            if(balance > 1 && getBalance(root.getLeft())>=0)
                return ll_rotate(root);
            //rr
            if(balance < -1 && getBalance(root.getRight())<=0)
                return rr_rotate(root);
            //lr
            if(balance > 1 && getBalance(root.getLeft())<0){
                root.setLeft(rr_rotate(root.getLeft()));
                return ll_rotate(root);
            }
            //rl
            if(balance < -1 && getBalance(root.getRight())>0){
                root.setRight(rr_rotate(root.getRight()));
                return rr_rotate(root);
            }
    
            return root;
        }
        
    

    完整代码https://github.com/yhq915540781/javaPra/blob/master/src/Algorithm/dataStructure/BBSTree.java
    参考文章
    https://blog.csdn.net/isunbin/article/details/81707606

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  • AVL(平衡二叉搜索树)4. 红黑树相比于BST(二叉搜索树)和AVL(平衡二叉搜索树)树有什么优点? 1. 红黑树(不追求绝对平衡的二叉搜索树) R-B Tree,全称是Red-Black Tree,又称为“红黑树”,它一种特殊的二叉...

    1. 红黑树(不追求绝对平衡的二叉搜索树)

    R-B Tree,全称是Red-Black Tree,又称为“红黑树”,它一种特殊的二叉查找树。红黑树的每个节点上都有存储位表示节点的颜色,可以是红(Red)或黑(Black)。

    红黑树的特性:

    1. 每个节点或者是黑色,或者是红色。
    2. 根节点是黑色。
    3. 每个叶子节点(NIL)是黑色。 [注意:这里叶子节点,是指为空(NIL或NULL)的叶子节点!]
    4. 如果一个节点是红色的,则它的子节点必须是黑色的。
    5. 从一个节点到该节点的子孙节点的所有路径上包含相同数目的黑节点。

    注意:

    • 特性(3)中的叶子节点,是只为空(NIL或null)的节点。
    • 特性(5)确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍。因而,红黑树是相对是接近平衡的二叉树。

    在这里插入图片描述

    1.1 红黑树的应用场景

    红黑树的应用比较广泛,主要是用它来存储有序的数据,它的时间复杂度是O(lgn),效率非常之高。

    例如,Java集合中的TreeSet和TreeMap,C++ STL中的set、map,以及Linux虚拟内存的管理,都是通过红黑树去实现的。

    2. BST(二叉搜索树)

    BST 二叉搜索树(左子树值<=根值<=右子树)

    1. 首先它也是一个二叉树,故满足递归定义;

    2. 其次每个节点只存在一个值;

    3. 需满足左子树值<=根值<=右子树,BST的中序遍历必定是严格递增的。
      在这里插入图片描述

    在实际场景中,用的最多的是二叉平衡树,

    1. 一般操作的执行时间复杂度为O(logN)。
    2. 但若是一棵具有n个结点的线性链,则此些操作最坏情况运行时间为O(n)。

    2.1 BST的搜索

    • 从根结点开始,如果查询的关键字与结点的关键字相等,那么就命中;否则,如果查询关键字比结点关键字小,就进入左儿子;如果比结点关键字大,就进入右儿子;如果左儿子或右儿子的指针为空,则报告找不到相应的关键字;

    二叉树和数组在搜索上的优势

    • 数组的搜索比较方便,可以直接使用下标,数组如果不用二分查找,时间复杂度O(n),但删除或者插入就比较麻烦了,而链表与之相反,删除和插入都比较简单,但是查找很慢,这自然也与这两种数据结构的存储方式有关,数组是取一段相连的空间,而链表是每创建一个节点便取一个节点所需的空间,只是使用指针进行连接,空间上并不是连续的。而二叉树就既有链表的好处,又有数组的优点。

    BST和二分查找

    • 如果二叉查找树的所有非叶子结点的左右子树的结点数目均保持差不多(平衡),那么二叉查找树的搜索性能逼近二分查找O(logN),但它与连续内存空间的二分查找相比的优点是改变二叉查找树结构(插入与删除结点)不需要移动大段的内存数据,甚至通常是常数开销;连续内存空间(数组)。

    3. AVL(平衡二叉搜索树)

    定义:平衡二叉树或为空树,或为如下性质的二叉排序树:

    (1)左右子树深度之差的绝对值不超过1;

    (2)左右子树仍然为平衡二叉树。

    4. 红黑树相比于BST(二叉搜索树)和AVL(平衡二叉搜索树)树有什么优点?

    1. 红黑树是牺牲严格的高度平衡的优越条件,它只要求部分地达到平衡要求,降低了对旋转的要求,从而提高了性能。

    2. 红黑树能够以O(log2 n)的时间复杂度进行搜索、插入、删除操作。此外,由于它的设计,任何不平衡都会在三次旋转之内解决。

    3. 相比于BST,因为红黑树可以能确保树的最长路径不大于两倍的最短路径的长度,所以可以看出它的查找效果是有最低保证的。在最坏的情况下也可以保证O(logN)的,这是要好于二叉查找树的,因为二叉查找树最坏情况可以让查找达到O(N)

    4. 红黑树的算法时间复杂度和AVL相同,但统计性能比AVL树更高,所以在插入和删除中所做的后期维护操作肯定会比红黑树要耗时好多,但是他们的查找效率都是O(logN),所以红黑树应用还是高于AVL树的。

    5. 实际上插入 AVL 树(平衡二叉树)和红黑树的速度取决于你所插入的数据。如果你的数据分布较好,则比较宜于采用 AVL树(例如随机产生系列数),但是如果你想处理比较杂乱的情况,则红黑树是比较快的。

    参考:https://blog.csdn.net/hu948162999/article/details/81407950
    https://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3245399.html
    https://blog.csdn.net/hu948162999/article/details/81407950

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  • 2.平衡二叉搜索树(AVL) 特点:二插搜索树的基础上 保证左右子树的高度差不大于1 3.红黑树(RBT) 特点: 根黑 叶子黑 红的子是黑 路径中黑个数相同 使用场景: 查找 排序(中序遍历有序) 插入调整: 插入节点是...

    目录

    1.二叉搜索树

    2.平衡二叉搜索树(AVL)

    3.红黑树(RBT)

    4.AVL和RBT比较

    5.二叉搜索树与AVL和RBT比较

    6.B树

    7.B+树

    8.B树与RBT/AVL/二叉搜索树的比较

    9.B树B+树比较

    10.总结:


    1.二叉搜索树

    特点:父节点比左大 比右小 缺点:最差情况为链表

    2.平衡二叉搜索树(AVL)

    特点:二插搜索树的基础上 保证左右子树的高度差不大于1

    3.红黑树(RBT)

    特点: 根黑 叶子黑 红的子是黑 路径中黑个数相同

    使用场景: 查找 排序(中序遍历有序)

    插入调整: 插入节点是红色更容易满足红黑树性质(路径黑相同) 当插入后,插入节点的父节点是红色(不满足红的子节点都是黑色),那么需要调整红黑树。

    4.AVL和RBT比较

    AVL是严格平衡二叉树,插入删除需要多次旋转调整。RBT是弱平衡二叉树,牺牲平衡性,换取比AVL更少的旋转调整。 RBT用于插入删除频繁,AVL用于查找频繁

    5.二叉搜索树与AVL和RBT比较

    AVL和RBT是平衡的,保证了树的高度。进行搜索时,查找性能取决于树的高度。所以平衡树的搜索效率更高/稳定。

    6.B树

    特点: 叶子结点在同一层 一个结点存放多条数据

    7.B+树

    特点: 在B树基础上的改变,数据存放在叶子结点,叶子结点用链表连接起来

    保存了树的根结点和 叶子链表的指针

     

    8.B树与RBT/AVL/二叉搜索树的比较

    B树一个结点存储多个数据并且有N个字结点,在相同的数据时,降低了树的高度。 B树的查找效率是O(Log(m,n)) (m越大时间复杂度越高 m==n 是退化成数组的查询) ,查找效率来说是比排序二叉树低的。 那么什么时候要用B树?? 树中函数大量数据,无法一次读入所有数据到内存。那么每次可以读一个节点的数据。数据从磁盘到内存效率低,为了降低IO次数,一次多度些数据。在这种情况下使用B树 而不是二叉树。

    9.B树B+树比较

    单个元素查找:B+树每次必须要搜索到叶子节点才可以(数据存在叶子节点这个特性),B树离根节点越近查找到的越快。 效率上 B > B+ 范围查找/遍历:B+树 定位到 链表,直接返回链表即可 B需要遍历整个树 树高度:B+树非叶子节点不存储数据,所以可以存储更多的key,这样在相同数据下,降低了树的高度,IO次数更少。

    10.总结:

    树平衡性越强,查找效率越高,同时插入删除效率越低(需要更多的调整) 平衡性:B/B+>=平衡二叉树AVL>=红黑树>二叉搜索树 树的阶数:树的阶数越高,相同数据下,树的高度越低,单节点存储数据阅读 阶数:B/B+ > 平衡二叉树AVL/红黑树/二叉搜索树

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    2020-08-21 22:43:57
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    千次阅读 2019-04-15 11:01:26
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空空如也

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平衡二叉搜索树