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  • 关于对左期望方差和右期望方差期望方差数学关系表达符的探讨,孔建新,,高斯新分布数学模型的建立引出了期望方差、左期望方差、右期望方差的新概念。就现有的数学符号已经满足不了表达三者间的数学关系
  • 二项分布的期望方差证明

    万次阅读 多人点赞 2016-11-18 10:36:57
    二项分布的期望方差证明

    二项分布的期望方差证明

    P ( X = k ) = ( n k ) p k q n − k , k = 0 , 1 , 2 , . . , n , q = 1 − p E X = ∑ k = 0 n k ( n k ) p k q n − k = ∑ k = 1 n k ( n k ) p k q n − k = ∑ k = 1 n k n ! k ! ( n − k ) ! p k q n − k = n p ∑ k = 1 n ( n − 1 ) ! ( k − 1 ) ! ( n − k ) ! p k − 1 q ( n − 1 ) − ( k − 1 ) = n p ∑ k = 1 n ( n − 1 k − 1 ) p k − 1 q ( n − 1 ) − ( k − 1 ) = n p [ ( n − 1 0 ) p 0 q n − 1 + ( n − 1 1 ) p 1 q n − 2 + . . . + ( n − 1 n − 1 ) p n − 1 q 0 ] = n p P(X=k) = {n\choose k}p^kq^{n-k}, k = 0,1,2,..,n,q = 1-p\\ EX = \sum_{k=0}^n k {n\choose k}p^kq^{n-k} \\ = \sum_{k=1}^n k {n\choose k}p^kq^{n-k} \\ = \sum_{k=1}^n k {\frac{n!}{k!(n-k)!}}p^kq^{n-k} \\ = np\sum_{k=1}^n {\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}}p^{k-1}q^{(n-1)-(k-1)} \\ = np\sum_{k=1}^n{n-1\choose k-1}p^{k-1}q^{(n-1)-(k-1)}\\ = np[{n-1\choose 0}p^0q^{n-1}+{n-1\choose 1}p^1q^{n-2}+...+{n-1\choose n-1}p^{n-1}q^0] \\ = np P(X=k)=(kn)pkqnk,k=0,1,2,..,n,q=1pEX=k=0nk(kn)pkqnk=k=1nk(kn)pkqnk=k=1nkk!(nk)!n!pkqnk=npk=1n(k1)!(nk)!(n1)!pk1q(n1)(k1)=npk=1n(k1n1)pk1q(n1)(k1)=np[(0n1)p0qn1+(1n1)p1qn2+...+(n1n1)pn1q0]=np

    因为: D X = E X 2 − ( E X ) 2 DX = EX^2-(EX)^2 DX=EX2(EX)2

    且,
    E X 2 = ∑ k = 1 n k 2 ( n k ) p k q n − k , k = 0 , 1 , 2 , . . , n , q = 1 − p = ∑ k = 1 n [ k ( k − 1 ) + k ] ( n k ) p k q n − k = ∑ k = 1 n k ( k − 1 ) ( n k ) p k q n − k + ∑ k = 1 n k ( n k ) p k q n − k 其 中 , ∑ k = 1 n k ( n k ) p k q n − k = E X = n p ∑ k = 1 n k ( k − 1 ) ( n k ) p k q n − k = ∑ k = 1 n k ( k − 1 ) n ! k ! ( n − k ) ! p 2 p k − 2 q n − k = ∑ k = 2 n k ( k − 1 ) n ! k ! ( n − k ) ! p 2 p k − 2 q n − k 注 : 特 别 注 意 这 里 k = 1 时 项 为 0 , 所 以 可 以 从 k = 2 开 始 计 算 。 = ∑ k = 1 n n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ! ( k − 2 ) ! ( n − k ) ! p 2 p k − 2 q [ ( n − 2 ) − ( k − 2 ) ] = n ( n − 1 ) p 2 ∑ k = 2 n ( n − 2 ) ! ( k − 2 ) ! ( n − k ) ! p k − 2 q [ ( n − 2 ) − ( k − 2 ) ] = n ( n − 1 ) p 2 ∑ k = 2 n ( n − 2 k − 2 ) p k − 2 q [ ( n − 2 ) − ( k − 2 ) ] = n ( n − 1 ) p 2 → E X 2 = n ( n − 1 ) p 2 + n p → D X = E X 2 − ( E X ) 2 = n p − n p 2 = n p ( 1 − p ) EX^2 = \sum_{k=1}^nk^2{n\choose k}p^kq^{n-k}, k = 0,1,2,..,n,q = 1-p\\ = \sum_{k=1}^n[k(k-1)+k]{n\choose k}p^kq^{n-k}\\ = \sum_{k=1}^nk(k-1){n\choose k}p^kq^{n-k} + \sum_{k=1}^nk{n\choose k}p^kq^{n-k}\\ 其中, \sum_{k=1}^nk{n\choose k}p^kq^{n-k} = EX = np\\ \sum_{k=1}^nk(k-1){n\choose k}p^kq^{n-k} \\ = \sum_{k=1}^nk(k-1){\frac{n!}{k!(n-k)!}}p^2p^{k-2}q^{n-k} \\ = \sum_{k=2}^nk(k-1){\frac{n!}{k!(n-k)!}}p^2p^{k-2}q^{n-k} \\ 注:特别注意这里k=1时项为0,所以可以从k=2开始计算。\\ = \sum_{k=1}^n{\frac{n(n-1)(n-2)!}{(k-2)!(n-k)!}}p^2p^{k-2}q^{[(n-2)-(k-2)]} \\ = n(n-1)p^2\sum_{k=2}^n{\frac{(n-2)!}{(k-2)!(n-k)!}}p^{k-2}q^{[(n-2)-(k-2)]}\\ = n(n-1)p^2\sum_{k=2}^n{n-2\choose k-2}p^{k-2}q^{[(n-2)-(k-2)]}\\ = n(n-1)p^2 \\ \rightarrow EX^2 = n(n-1)p^2+np \\ \rightarrow DX = EX^2-(EX)^2 = np-np^2 = np(1-p) EX2=k=1nk2(kn)pkqnk,k=0,1,2,..,n,q=1p=k=1n[k(k1)+k](kn)pkqnk=k=1nk(k1)(kn)pkqnk+k=1nk(kn)pkqnkk=1nk(kn)pkqnk=EX=npk=1nk(k1)(kn)pkqnk=k=1nk(k1)k!(nk)!n!p2pk2qnk=k=2nk(k1)k!(nk)!n!p2pk2qnkk=10k=2=k=1n(k2)!(nk)!n(n1)(n2)!p2pk2q[(n2)(k2)]=n(n1)p2k=2n(k2)!(nk)!(n2)!pk2q[(n2)(k2)]=n(n1)p2k=2n(k2n2)pk2q[(n2)(k2)]=n(n1)p2EX2=n(n1)p2+npDX=EX2(EX)2=npnp2=np(1p)

    核心思想是转化为更小规模的组合数,这里没法直接用幂级数的和函数求解思路。

    END.

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  • 概率论与数理统计:4_2方差及常见分布的期望方差.ppt
  • 概率论与数理统计:4_23第二节方差及常见分布的期望方差.ppt
  • 概率 期望 方差

    2020-07-29 12:59:17
    期望方差是随机变量的两个重要的数字特这。 期望(Expectation, or expected value)是度量一个随机变量取值的集中位置或平均水平的最基本的数字特征; 方差(Variance)是表示随机变量取值的分散性的一个数字特征。...

    随机变量(Random Variable)X是一个映射,把随机试验的结果与实数建立起了一一对应的关系。而期望与方差是随机变量的两个重要的数字特这。

    期望(Expectation, or expected value)是度量一个随机变量取值的集中位置或平均水平的最基本的数字特征;

    方差(Variance)是表示随机变量取值的分散性的一个数字特征。 方差越大,说明随机变量的取值分布越不均匀,变化性越强;方差越小,说明随机变量的取值越趋近于均值,即期望值。

    在这里插入图片描述

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    贝叶斯例题

    在这里插入图片描述
    简单理解一下就是: 当B发生的前提下,求Ai 事件发生的概率,

    但是可以看出,当B发生时,其实A事件的 全概率划分(A1,A2,Ai)都会发生,我们需要找到 当B发生时,Ai 事件发生概率 在 全概率事件中的 可能性(概率), 既

    P (Ai发生的概率 | 当B发生时 )= Ai发生的概率 × \times × Ai发生时B发生的概率 ÷ \div ÷ 求和k(Ak发生的概率 × \times × Ak发生时B发生的概率)。

    理解一下全概率事件

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    就如我们上面提到的,在B发生前提下,找A事件发生的概率, 既在 所有造成B事件的 原因中(全概率事件),A事件发生的 概率;

    P(A|B) = P(A,B) ÷ \div ÷ P(B) = P(B|A) × \times × P(A) ÷ \div ÷ P(B)

    在这里插入图片描述

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    4. 信号塔问题

    在这里插入图片描述
    求解 P( SA | RA) = ?
    既在 已知接收A信号前提下, 求发射A 的概率?

    我们可知 P(SA) = 0.6 P(!SA) = 0.4

    根据全概率和贝叶斯公式: P(SA|RA) = P(SA,RA) / P(RA)

    P(SA|RA) = P(RA|SA).P(SA) / P(RA)

    其中发生接受A信号这个事件, 可能从不同的 SA 子事件造成,如 发射A接受A, 发射B接受A , 我们需要 统计所有 发生 接受A 的事件概率, 并从这个事件集合中,找到 目标状态(发射A) 的占比概率;

    患病类的贝叶斯题

    在这里插入图片描述

    关于概率类的例题总结的很棒

    有8个箱子,现在有一封信,这封信放在这8个箱子中(任意一个)的概率为4/5,不放的概率为1/5(比如忘记了),现在我打开1号箱子发现是空的,求下面7个箱子中含有这封信的概率为?

    求 已知1号箱空的前提条件, 信出现在 其它7个箱子的 概率;

    P(箱中 | 1号空) = P(箱中,1号空) / P(1号空)

    P(1号空) 的全概率事件为 = P(1号空|箱中)P(箱中) + P(1号空|非箱中)P(非箱中)
    = 7/8 * 4/5 + 1 * 1/5

    牛客整理的概率题

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  • 文章目录事件概率期望方差 事件 1.集合的运算法则一般都可以 2.事件的互斥:A∩B=ϕA\cap B=\phiA∩B=ϕ 3.事件的对立:Aˉ=B\bar A=BAˉ=B 4.事件的和(并):A+BA+BA+B 或 A∪BA\cup BA∪B 5.事件的积(交):...

    事件

    1.集合的运算法则一般都可以
    2.事件的互斥: A ∩ B = ϕ A\cap B=\phi AB=ϕ
    3.事件的对立: A ˉ = B \bar A=B Aˉ=B
    4.事件的和(并): A + B A+B A+B A ∪ B A\cup B AB
    5.事件的积(交): A B AB AB A ∩ B A\cap B AB
    6.事件的差( A A A 发生 B B B 不发生): A − B = A B ˉ A-B=A\bar B AB=ABˉ
    7.事件的运算定律:交换律,结合律,分配律
    8. A + A = A , A A = A A+A=A,AA=A A+A=A,AA=A
    ( A − B ) + B = A + B (A-B)+B=A+B (AB)+B=A+B
    9.事件的独立性:
    对于事件 A , B A,B A,B P ( A B ) = P ( A ) ∗ P ( B ) P(AB)=P(A)*P(B) P(AB)=P(A)P(B) A , B A,B A,B 独立
    事件独立和事件互斥理解:相互独立事件之间的发生互不影响,但可能会同时发生。 互斥事件是不可能同时发生的事件,即交集为零,但可能会产生相互影响。
    10.相互独立和两两独立在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    相互独立指的是 A i A_i Ai 与其他事件任意组合都独立,两两独立知时 A i A_i Ai A j A_j Aj 独立

    概率

    1.类型:
    \quad a. 古典概型: P ( X ) = M N P(X)=\frac{M}{N} P(X)=NM ,有 N N N 种等可能结果,事件在 M M M 种结果中出现
    \quad b.几何概型:每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积或度数)成比例: P ( X ) = A S P(X)=\frac{A}{S} P(X)=SA
    2.概率加法定理:在这里插入图片描述
    3.条件概率:在 B B B 事件发生的情况下, A A A 事件发生的概率

    P ( A ∣ B ) = P ( A B ) P ( B ) P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)} P(AB)=P(B)P(AB)

    推广: P ( A B ) = P ( A ∣ B ) ∗ P ( B ) P(AB)=P(A|B)*P(B) P(AB)=P(AB)P(B)
    4.概率乘法定理:
    两独立事件 A , B A,B A,B 满足 P ( A B ) = P ( A ) ∗ P ( B ) P(AB)=P(A)*P(B) P(AB)=P(A)P(B)
    在这里插入图片描述

    5.全概率公式:

    B 1 + B 2 + . . . + B n = Ω , B i B j = ϕ ( i ≠ j ) B_1+B_2+...+B_n=\Omega,B_iB_j=\phi (i\not=j) B1+B2+...+Bn=ΩBiBj=ϕ(i=j)

    P ( A ) = ∑ i = 1 n P ( A B i ) = ∑ i = 1 n P ( A ∣ B i ) ∗ P ( B i ) P(A)=\sum_{i=1}^nP(AB_i)=\sum_{i=1}^nP(A|B_i)*P(B_i) P(A)=i=1nP(ABi)=i=1nP(ABi)P(Bi)

    6.叶贝斯公式:

    B 1 + B 2 + . . . + B n = Ω , B i B j = ϕ ( i ≠ j ) B_1+B_2+...+B_n=\Omega,B_iB_j=\phi (i\not=j) B1+B2+...+Bn=ΩBiBj=ϕ(i=j) ,对于任一事件 A A A 有:
    P ( B i ∣ A ) = P ( A ∣ B i ) ∗ P ( B i ) ∑ i = j n P ( A ∣ B j ) ∗ P ( B j ) P(B_i|A)=\frac{P(A|B_i)*P(B_i)}{\sum_{i=j}^nP(A|B_j)*P(B_j)} P(BiA)=i=jnP(ABj)P(Bj)P(ABi)P(Bi)

    期望

    1.定义: E ( X ) = i ∗ P ( X = i ) E(X)=i*P(X=i) E(X)=iP(X=i)
    2. 期望的线性性: E ( X + Y ) = E ( X ) + E ( Y ) E(X+Y)=E(X)+E(Y) E(X+Y)=E(X)+E(Y)
    证明:在这里插入图片描述
    注意这里并没有要求 X , Y X,Y X,Y 互斥
    有更一般形式:
    E ( ∑ a i x i + b ) = ∑ a i E ( x i ) + b E(\sum a_ix_i+b)=\sum a_iE(x_i)+b E(aixi+b)=aiE(xi)+b
    3. X , Y X,Y X,Y 独立是 E ( X Y ) = E ( X ) ∗ E ( Y ) E(XY)=E(X)*E(Y) E(XY)=E(X)E(Y) 的充要条件
    推导:
    E ( X Y ) = ∑ x ∑ y x y P ( X = x , Y = y ) E(XY)=\sum_x\sum_y xyP(X=x,Y=y) E(XY)=xyxyP(X=x,Y=y)
    ∵ X Y = ϕ \because XY=\phi XY=ϕ
    ∴ E ( X Y ) = ∑ x x P ( X = x ) ∑ y P ( Y = y ) = E ( x ) ∗ E ( y ) \therefore E(XY)=\sum_xxP(X=x)\sum yP(Y=y)=E(x)*E(y) E(XY)=xxP(X=x)yP(Y=y)=E(x)E(y)
    4. E ( c ) = c , E ( E ( X ) ) = E ( X ) E(c)=c,E(E(X))=E(X) E(c)=c,E(E(X))=E(X) (因为此时 E ( X ) E(X) E(X) 已经是确定的值)

    方差

    1. 本质:一种特殊的期望
    2. 定义: D ( X ) = E ( ( X − E ( X ) ) 2 ) D(X)=E((X-E(X))^2) D(X)=E((XE(X))2)
    3. D ( X ) = E ( ( X − E ( X ) ) 2 ) = E ( X 2 − 2 ∗ X ∗ E ( X ) + E 2 ( X ) ) = E ( X 2 ) − E 2 ( x ) D(X)=E((X-E(X))^2)=E(X^2-2*X*E(X)+E^2(X))=E(X^2)-E^2(x) D(X)=E((XE(X))2)=E(X22XE(X)+E2(X))=E(X2)E2(x)
      对于一些数的方差只是其一种特殊情况
    4. D ( c X ) = E ( ( c X ) 2 ) − E 2 ( c X ) = c 2 ( E ( X 2 ) − E 2 ( X ) ) = c 2 D ( X ) D(cX)=E((cX)^2)-E^2(cX)=c^2(E(X^2)-E^2(X))=c^2D(X) D(cX)=E((cX)2)E2(cX)=c2(E(X2)E2(X))=c2D(X)
    5. D ( X + c ) = E ( ( X + c − E ( X + c ) ) 2 ) = D ( X ) D(X+c)=E((X+c-E(X+c))^2)=D(X) D(X+c)=E((X+cE(X+c))2)=D(X)

    就先写到这里吧,差不多了…

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  • 利用级数求和推导泊松分布的期望方差@(概率论)闲来无事,动手推导一个常见的泊松分布的表达式。回顾泊松分布:设变量X服从λ\lambda的泊松分布,则:P(X=k)=λkk!e−λ,k=0,1,2,....P(X = k) = \frac{\lambda^k}{k!}...

    利用级数求和推导泊松分布的期望方差

    @(概率论)

    闲来无事,动手推导一个常见的泊松分布的表达式相关的数字特征: EX,DX。并通过这个过程思考级数求和的注意事项。

    回顾泊松分布:

    设变量X服从 λ 的泊松分布,则:

    P(X=k)=λkk!eλ,k=0,1,2,....

    泊松分布的表达式非常优美,但是需要强调的是k是从0开始的离散数字。这在级数中,相当重要,首项是否为0决定了整个求和的结果,所以我会多次强调,每一步注意清理掉首项为0的项才进入下一步,好像抖掉灰尘一样才往前走。

    不啰嗦,直接看EX,DX的求法。

    EX

    EX=k=0kP(X=k)=k=0kλkk!eλ

    看到这个形式,就有了努力的方向:往

    ex=n=0xnn!
    上靠,挡在这个目标前面的障碍–系数,多余的变量等,能抽出去的,能被求导求积分吸收的,全都处理掉,现在有非常明确的目标,要往已知的级数展开式上 靠拢。包括下标,为了凑到一样起始的下标,可能多出变量,么事,抽到求和符号前面去。 不要把与下标相关的量抽出去了

    有了这个铺垫,我们观察:

    • 首项为0,先去掉:

      k=1kλkk!eλ

    • 前面的k去掉,把与下标无关的量 eλ 抽出去:

      eλk=1λk(k1)!

    • 很靠近了,下标调整,即变为从0开始:

      eλk=0λk+1k!
      分子分母都有变化。

    • 分子多个 λ ,提出去:

      eλλk=0λkk!

    到这里,终于完成了目标,有了和 ex 展开式一样的部分了。

    EX=eλλeλ=λ

    具体任务完成了一半,但是理解了这个过程,抽象得说,完成了90%。

    DX

    DX=EX2(EX)2

    只需要求解 EX2 即可。

    EX2=k=0k2P(X=k)=k=0k2λkk!eλ=k=1kλk(k1)!eλ=eλk=1kλk(k1)!

    来了,吸收系数。

    左右出现的用积分吸收,要能吸收得把自己的姿态摆低,即幂次要比系数小1才好吸收。那么抽出去一个 λ 即可。

    eλλk=1kλk1(k1)!=eλλk=1(λk)(k1)!=eλλk=1(λk(k1)!)=eλλ(λk=0λkk!)=eλλ(λeλ)=λ2+λ

    好了, DX=λ

    这些计算是不是一定要掌握,可以直接利用即可,但是通过这个推导可以touch到微积分中的无穷级数求和问题的三个重要的点:

    • 首项为0的及时去掉
    • 下标调整到和常用级数展开式一致
    • 动用求导求积分吸收系数

    这些是基本法,是理解掌握以后,内化的技能。如果没有掌握,则很难变通。

    -以此自勉而已。

    隔夜槽:CSDN的Latex解析要比马克飞象的语法解析在细节上有许多不同,或者更严格。边写边解析,就带不动了。

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空空如也

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