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  • 2020-12-02 10:51:14

    项目github地址:bitcarmanlee easy-algorithm-interview-and-practice
    欢迎大家star,留言,一起学习进步

    1.计算均值

    import numpy as np
    
    a = [5, 6, 16, 9]
    print(np.mean(a))
    

    最后结果

    9.0
    

    np.mean方法即可求均值

    2.计算方差

    var = np.var(a)
    print(var)
    

    输出结果

    18.5
    

    如果我们模拟一下计算方差的过程

    var2 = [math.pow(x-np.mean(a), 2) for x in a]
    print(np.mean(var2))
    

    输出结果

    18.5
    

    np.var计算的是整体方差,如果想要计算样本方差,即除数的分母为N-1,可以指定ddof参数

    sample_var = np.var(a, ddof=1)
    print(sample_var)
    

    输出结果为

    24.666666666666668
    

    3.计算标准差

    std = np.std(a)
    std2 = np.std(a, ddof=1)
    print(std)
    print(std2)
    

    std函数计算的是整体标准差。跟var函数一样,如果指定ddof=1,计算的是样本标准差。

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    本短文介绍了总体、样本、总体方差、样本方差、抽样方差和标准误等概念以及它们之间的一些关系。因为一些外文材料的翻译不善以及老师课堂教学中的不重视,我身边仍有许多人将它们混淆。

    本短文的参考资料主要包括Angrist和Pischke的《Mastering `metrics》以及Wooldridge的《Introductory Econometrics (Fifth edition)》。

    1 总体方差和样本方差

    总体和样本

    首先提一下“总体(population)”“样本(sample)”两个概念。总体包含我们研究的目标群体中所有的个体的数据,比如所有2008年的海归科学家的年龄;样本仅包含总体中一部分个体的数据,假设2008年的海归科学家总共10万人,我们费了大劲找到了1万人,这1万人的年龄就是刚才那个总体的一个样本。当然,总体和样本是相对的概念,如果某人研究时觉得1万个数据还是太多不好搞,从中随机抽了100个数据,这时候那1万个数据就成了总体了。

    虽说样本和总体是相对的概念,但在大多数情况下,我们都会谦虚地认为我们手里的数据只是一个样本,是通过对总体进行抽样而获得的,或者说我们的研究问题总是使得直接研究总体是不可行的。人们把关于总体的统计量叫做“总体XX(population xxx)”,把关于样本的统计量叫做“样本XX(sample xxx)”

    我们用Y来表示刚才提到的2008年的海归科学家的年龄这个随机变量(random variable)。注意,“随机变量”得名是因为它取的值们由随机试验产生,并不直接因为它自己是随机的,这里面有细微的差别。

    总体方差与样本方差

    这里我们区分两种方差,“总体方差(population variance)”

    “样本方差(sample variance)”
    。简单来说,总体方差
    就是对整个总体运用方差计算方法得到的结果:

    其中

    表示这个总体里面所有数据的平均值,即
    “总体均值(population mean)”。总体均值也叫 数学期望,后者记作E( Y)。 N表示总体里数据的个数。 N可以为正无穷,表示这个总体是无穷的。

    但对于一个具体的样本,它的样本方差

    该怎么算,取决于它的用途。因为总体方差在现实中很难获得,所以人们经常用样本方差来估计总体方差,比如在构建某些统计量的时候。这时候为了保证估计的无偏性(unbiasedness,以后详解),样本方差的计算公式就是:

    其中

    (读作
    Y bar)表示这个样本里所有数据的平均值,即 “样本均值(sample mean)”n表示 样本容量,也就是这个样本里数据的个数。注意分母并不是 n而是 n-1但是如果仅仅希望用它来展示这个样本内数据的离散程度,那么样本方差在这里就没必要除以n-1了,除以n就好了。

    方差的算术平方根叫做“标准差(standard deviation)”,“deviation”有“偏离”的意思,指的是对平均值的偏离。当然,标准差同样分为“总体标准差(population standard deviation)”

    “样本标准差(sample standard deviation)”

    在EXCEL里,方差和标准差都分别有总体版本和样本版本,其中样本版本的分母就是数据的个数减1,请根据需求谨慎使用。

    2f4b4396-3422-eb11-8da9-e4434bdf6706.png

    2 抽样方差和标准误

    被衍生出的随机变量—样本均值

    刚才提到,Y的样本均值(sample mean)被记为

    ,也就是在变量符号上加一个横线。因为每从
    Y的总体里进行一次随机抽样就能得到一个
    ,所以根据定义,
    自己也是一个随机变量了,它也拥有了总体、样本等等。这里可能有点抽象,它的总体是什么?是给定样本容量
    n,所有可能的样本的平均值的集合。

    的总体方差被称为
    “抽样方差(sampling variance)”,请注意与样本方差(sample variance)区分。
    的总体标准差被称为
    “标准误(standard error)”,也记作

    标准误是个很重要的统计量,它存在是因为我们认为自己手头的数据只是一个样本而非总体。所以在建立了数学模型并用手头的数据估计出变量系数后,通常我们会问自己一个问题:如果用很多不同的样本估计同样的系数,估计值的变化会有多大?能度量这个变化性的统计量就是标准误。

    如果标准误太大(这个“大”当然是相对于系数的取值而说的,同时和样本容量也有点关系),考虑到我们真正感兴趣的是总体的情况,那么刚才用这个样本估计出的系数就没有任何参考价值,这个系数就“不显著”。

    我们手上毕竟只有一个样本,它只有一个平均值,怎么计算

    的总体方差和总体标准差呢?下文将说明
    的计算方法,它们表示的其实是“潜在的”变化性。

    抽样方差和总体方差的关系

    显然,Y

    这两个随机变量的关系异常紧密,它们各自的总体方差,即
    Y的总体方差
    和抽样方差
    有着这样的关系:

    其中n

    对应的样本容量。推导过程已略去,但是请注意,推导的过程隐含了一个假设,即总体是无穷的(所以不要问如果样本容量和总体一样大怎么办)。在现实中人们更喜欢用两边的算术平方根,即:

    其中SE即为“Standard Error”的缩写,直译过来就是“标准误”。为什么叫做“误(error)”呢?可以简单地这样理解:标准误是

    的总体标准差,如果这个标准差越大,
    的分布就越离散,我们用它来估计
    Y的总体均值
    的时候可能的误差就越大。直观地看,当样本容量
    n逼近无穷大时,根据大数定律,
    会逼近
    Y的总体均值,那么标准误就应该趋近于0。显然,计算公式告诉我们结果的确是这样的。

    之前说过,总体标准差

    在现实中很难获得,于是我们会用
    来替代上式中的

    当然,这里的样本标准差

    是总体标准差
    的估计量,计算
    的时候分母是
    而不是根号下的

    3 小结

    1)人们把关于总体的统计量叫做“总体XX(population xxx)”,把关于样本的统计量叫做“样本XX(sample xxx)”

    2)为了使样本方差成为总体方差的无偏估计量,样本方差计算时的分母并不是样本容量n而是n-1。但如果单纯想研究样本里数据的离散程度,分母就不用减1了。

    3)因为每进行一次抽样就能得到一个样本均值

    ,所以
    同样是一个随机变量。这个新随机变量的总体方差叫做
    “抽样方差(sampling variance)”,这个新随机变量的总体标准差叫做 “标准误(standard error)”。现实中的抽样方差和标准误含义可能更丰富,但都与抽样(sampling)有关。
    展开全文
  • 今天小编就为大家分享一篇Python求均值,方差,标准差的实例,具有很好的参考价值,希望对大家有所帮助。一起跟随小编过来看看吧
  • 一、均值(期望)、方差标准差下面给出这些概念的公式描述:均值(期望): 方差标准差: 均值(期望)描述的是样本集合的中间点(平均值),但是它告诉我们的信息是有限的,而标准差给我们描述的是样本集合的...

    一、均值(期望)、方差、标准差

    下面给出这些概念的公式描述:

    均值(期望):

    方差:

    标准差:

    均值(期望)描述的是样本集合的中间点(平均值),但是它告诉我们的信息是有限的,而标准差给我们描述的是样本集合的各个样本点到均值的距离之平均。

    以这两个集合为例,[0, 8, 12, 20]和[8, 9, 11, 12],两个集合的 均值都是10,但显然两个集合的差别是很大的,计算两者的标准差,前者是8.3后者是1.8。标准差小的距离均值较为集中。标准差描述的就是这种 “散布度”
    ps:之所以除以n-1而不是n,是因为这样能使我们以 较小的样本集更好地逼近总体的标准差,即统计上所谓的“无偏估计”。而方差则仅仅是标准差的平方。

    二、协方差和相关系数

    要说协方差和相关系数,我们不得不提相关性,相关性是描述事物之间是否有关系的方法。

    2.1有关系

    专家表示,要买房的人越多(下图的城镇化率可以简单理解为进城买房的人数),房价就越高(数据来源):

    56f8e00d7973d687dccdfcf5a6954ba1.png

    从上图可以看出,房价与进城买房的人数成正比,两者的关系是正相关

    城镇化除了推升城市房价之外,还有另外一个作用,降低出生率。城镇化和出生率之间的关系就是负相关

    1be8b234c4bc356d7bec22346dcfb99b.png

    所以说,“城镇化是最好的避孕药”,不管在新加坡、日本、中国、美国都有这样的规律。城镇化一方面是推动买房人口的增加,一方面是出生人口的减少,那么未来房价会怎样?预测未来就是统计学家的重要工作。

    2.2没关系

    比如说买彩票,跟是否求神拜佛,是否洗手这些事没有关系的。

    2daa9f0994a03ed9791545a17df494dd.png

    协方差、相关系数就是尝试找出两个随机变量之间具有什么样的关系。

    2.3协方差

    标准差和方差一般是用来描述一维数据的,但现实生活中我们常常会遇到含有多维数据的数据集。比如,一个人的身高和体重是否存在一些联系。协方差就是这样一种用来度量两个随机变量关系的统计量,我们可以仿照方差的定义,来度量各个维度偏离其均值的程度,所以协方差可以这样来定义:

    协方差的结果有什么意义呢?

    如果结果为正值,则说明两者是正相关的,也就是说一个人身高越高体重越重。
    如果结果为负值, 就说明两者是负相关。
    如果为0,则两者之间没有关系,身高和体重之间没有关联。

    协方差容易受到数值大小的影响,如果

    的值均扩大10倍,则
    也会扩大,为了解决这个问题,我们把通常把协方差归一化,也就是相关系数。

    2.4相关系数

    相关系数消除了协方差 数值大小的影响。

    对于

    样本相关系数为:

    其中

    ,
    为标准差。
    正相关: 0< r <=1
    负相关: -1<= r <0
    不相关: r=0 ,r=0代表不相关,并不一定独立。

    相关文章:

    马同学的文章中引入欧式距离和余弦距离来说明问题。尤其在3.3解释了样本相关系数就是余弦距离的论断,我不是很理解,2233。

    https://blog.csdn.net/Tonywu2018/article/details/83902570​blog.csdn.net
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    951c6c7242c4ef8374769008174f28c5.png

    资产风险衡量是财务管理中的底层基础思维逻辑,投资管理必备的核心基础知识。

    衡量风险的指标

    主要有收益率方差,标准差和标准差率。

    期望收益率

    2e5a67a98d8f85de9a7d275b0645b11d.png

    期望值为以概率为权数的加权平均值,Xi表示第i种情况的收益率,Pi是第i种情况出现的概率。

    标准方差

    fb3f9af899a456279df1959e7492a001.png

    标准差

    26b75e48c2457170e341cf8c20b33be1.png

    标准差率

    768cc911697e45617f4f6fd4929df65e.png

    计算实例及运用

    3e3a18025c1de6cdae1045a16e7f77d5.png

    表格蓝色部分为实例假设条件。

    1、各证券的期望收益率计算方法。分别乘以概率后累加,如甲证券 :

    =0.5*15%+0.3*10%+0.2*5%=11.50%;

    Excel计算公式:

    =SUM(C3:C5*$B$3:$B$5)

    上述公式为数组公式,完成录入公式后按Ctl+shift+Enter键结束。

    2、标准方差计算。如甲证券:

    3850d0031026b0cb540daab6ddc8cfd0.png

    甲证券 Excel计算公式:

    =SUM((C3:C5-C6)^2*$B$3:$B$5)

    "^"表示为幂次方。

    同为数组公式,完成录入公式后按Ctl+shift+Enter键结束。

    3、标准差。标准方差开平方。

    4、标准方差率。标准差除以期望值。如甲证券:

    =3.91%/11.50%=33.97%

    3、结果运用

    标准差越小风险越小,标准差率越小风险越小。

    1ed8d6a30abe7be1e9d54eeb98ad4314.png

    对Excel计算模型有兴趣的朋友可以在文章最下方“了解更多”中下载模型直接使用,也欢迎大家与我共同探讨模型编制。

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