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  • 等差数列求和公式1.公式法2.错位相减法3.求和公式4.分组法有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.5.裂项相消法适用...

    数学大师


    等差数列是常见数列的一种,可以用AP表示,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,而这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示。

    等差数列求和公式

    1.公式法

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    2.错位相减法

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    3.求和公式

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    4.分组法

    有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.

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    5.裂项相消法

    适用于分式形式的通项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式,即an=f(n+1)-f(n),然后累加时抵消中间的许多项。

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    【小结】此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后,其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。
    注意:余下的项具有如下的特点1、余下的项前后的位置前后是对称的。2、余下的项前后的正负性是相反的。

    6.数学归纳法

    一般地,证明一个与正整数n有关的命题,有如下步骤:(1)证明当n取第一个值时命题成立;(2)假设当n=k(k≥n的第一个值,k为自然数)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立。

    【例】求证:1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5

    证明:当n=1时,有:1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5

    假设命题在n=k时成立,

    于是:1×2x3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5

    则当n=k+1时有:

    1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

    = 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

    = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

    = (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)

    = [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5

    即n=k+1时原等式仍然成立,归纳得证

    7.并项求和法

    (常采用先试探后求和的方法)【例】1-2+3-4+5-6+……+(2n-1)-2n

    方法一:(并项)求出奇数项和偶数项的和,再相减。

    方法二:(1-2)+(3-4)+(5-6)+……+[(2n-1)-2n]

    方法三:构造新的数列,可借用等差数列与等比数列的复合。an=n(-1)^(n+1)

    等差数列判定及其性质

    等差数列的判定
    (1)a(n+1)--a(n)=d (d为常数、n ∈N*)[或a(n)--a(n-1)=d,n ∈N*,n ≥2,d是常数]等价于{a(n)}成等差数列。
    (2)2a(n+1)=a(n)+a(n+2) [n∈N*] 等价于{a(n)}成等差数列。
    (3)a(n)=kn+b [k、b为常数,n∈N*] 等价于{a(n)}成等差数列。
    (4)S(n)=A(n)^2 +B(n) [A、B为常数,A不为0,n ∈N* ]等价于{a(n)}为等差数列。

    特殊性质
    在有穷等差数列中,与首末两项距离相等的两项和相等。并且等于首末两项之和;特别的,若项数为奇数,还等于中间项的2倍,即,a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=···=2*a中

    【例】数列:1,3,5,7,9,11中

    a(1)+a(6)=12 ;

    a(2)+a(5)=12 ;

    a(3)+a(4)=12 ;

    即,在有穷等差数列中,与首末两项距离相等的两项和相等。并且等于首末两项之和。


    数列:1,3,5,7,9中

    a(1)+a(5)=10 ;

    a(2)+a(4)=10 ;

    a(3)=5=[a(1)+a(5)]/2=[a(2)+a(4)]/2=10/2=5 ;

    即,若项数为奇数,和等于中间项的2倍,另见,等差中项。

    ​数学大师

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  • 本篇内容在知识地图的位置:数字:上图参考文本: 《数字起源 数的概念 从具体到抽象 奇数与偶数 质数 素数 13:虚数:虚构这工具有什么用? 催化剂、传声筒 时空连接 坐标系 14:无穷:如何理解无限大的世界? ...

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    本篇内容在知识地图的位置:

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    数字:

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    上图参考文本:

    《数字起源

    数的概念 从具体到抽象 奇数与偶数

    质数

    素数

    13:虚数:虚构这个工具有什么用? 催化剂、传声筒

    时空连接

    坐标系

    14:无穷:如何理解无限大的世界? 无穷大数 希尔伯特酒店

    无穷大数有大小(3层) 数字

    线段,平面,空间的点数

    连接两点的线段数

    有可能部分等于整体

    无穷小 15:无穷小(一):如何说服“杠精”芝诺

    16:无穷小(二):牛顿和贝克莱在争什么?

    17:无穷小(三):如何用动态的眼光看世界?

    18:“无穷大”和“无穷小”比大小,能得出什么?

    19:复盘:数学给了我什么?

    方程 11:鸡兔同笼:方程这个工具为什么很伟大?

    12:三次方程:数学史上著名的发明权之争

    数列 数列的概念 数列 数列与函数

    数列的图象

    通项公式与解析式

    数列的单调性

    数列的周期性

    特殊数列 斐波拉契数列

    其他

    数列项的可重复性 常数列

    构造常数列求通项

    构造常数列证明等式

    等差数列与等比数列的判定 等差数列与等比数列的定义 等差数列的判定

    等比数列的判定

    数列中的恒等式与数列分解

    等差数列与等比数列的通项 等差数列的通项

    等比数列的通项

    等比数列项的唯一性与项不能为0

    等差数列的公差为0的情况

    数列中的公共项 等差数列中的公共项

    等差与等比数列的公共项

    数列中的任意三项 数列中存在或不存在三项成等差、等比

    等差等比数列的性质 等差等比数列的性质 等差数列的性质

    等比数列的性质

    等差前n项和的性质

    等比前n项和的性质

    数列的单调性与图象 等差数列的单调性

    等比数列的单调性

    等差等比数列的图象

    等差数列的前n项和

    等比数列的前n项和

    等比数列前n项和和公式特征

    等差数列的函数特征

    等比数列公比的讨论

    数列问题常用的数学思想方法 特殊化求项

    方程思想

    整体思想

    恒等策略

    基本量法

    类比推理

    数列的加减与乘除与通项 加减 sn-sn-1

    多次做差

    累加法

    乘除 累乘

    因式分解

    递推消元

    迭代

    取对数

    取倒数

    构造 观察配凑

    代入法构造等比

    待定系数法

    换元法

    数列求和与综合应用 一般的数列求和 分组

    倒序

    裂项

    错位

    并项

    分段

    奇偶分析法 求通项

    求和

    数列种的最值问题 等差前n项和

    利用函数单调性

    无穷级数 常数项级数 常用级数 p级数

    等比级数

    正项级数 比较法

    比较法极限形式

    比值法

    根值法

    充分非必要

    积分判别法

    交错级数 莱布尼茨准则

    任意项级数 绝对收敛,条件收敛

    幂级数 收敛半径,收敛区间,收敛域 阿贝尔定理

    性质 有理运算性质

    分析性质 连续性,可积性,可导性

    幂级数展开

    题型 判断敛散性

    求收敛半径、收敛域

    级数求和 幂级数

    常数项级数

    展开成级数(注明收敛域)

    出题角度 数列极限结合级数审敛

    幂级数结合微分方程、数列

    傅里叶级数 傅里叶级数

    傅里叶系数

    狄利克雷收敛定理

    展开 周期为2l

    奇偶函数

    题型 傅里叶展开

    收敛定理

    1级数的概念与性质 定义

    性质1

    性质2

    注 若一个收敛,一个发散,则和一定发散。

    性质3 改变前有限项不影响级数的敛散性

    性质4 收敛级数加括号仍收敛,且和不变 注 一个级数加括号后收敛,原级数不一定收敛;一个级数加括号后发散,则原级数一定发散。

    性质5

    推论

    2级数的收敛准则 正项级数 定理1

    定理2(比较判别法) 若0≤un≤vn,则

    定理3(比较判别法的极限形式)

    定理4(比值判别法)

    定理5(根值判别法)

    交错级数 定理(莱布尼茨判别法)

    任意项级数 绝对收敛与条件收敛

    绝对收敛与条件收敛的一些基本结论

    3函数项级数和幂级数 函数项级数、收敛域与和函数 定义1

    定义2

    幂级数的收敛半径、收敛区间与收敛域 定义1

    定理1(阿贝尔定理)

    定义2

    定理2

    定理3

    4幂级数的性质 运算性质

    和函数的性质

    5函数的幂级数展开式 泰勒级数

    麦克劳林级数

    泰勒级数的收敛定理 定理

    常用的麦克劳林展开式

    6傅里叶级数 以2l为周期的傅里叶级数

    傅里叶系数 定理(收敛定理)

    参考书

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  • 记得有一求圆周率π的无穷级数公式,我以前也介绍过它是怎么推导的(收敛还是相当快的),就是下面这个公式: 我从某些书上又看到另外的类似公式,比如: 大多数书只是给出这个公式(2),但却没有给出推导过程。...
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    欧拉对数学的贡献真是无穷无尽。记得有一个求圆周率π的无穷级数公式,我以前也介绍过它是怎么推导的(收敛还是相当快的),就是下面这个公式:

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    我从某些书上又看到另外的类似公式,比如:

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    大多数书只是给出这个公式(2),但却没有给出推导过程。我今天就来给您讲一讲它是怎么得到的。并且同时也把公式(1)也一并讲了。两个公式本来就是一并求得的。

    sinx的幂级数展开式为:

    b866136300a174d4d3bfb5fc1d4e48bf.png

    从而有

    040eedb6f06fe9bb97c65ac024ca6015.png

    另外,sinx/x还可以写成无穷乘积(这里不加证明):57bf45094b6531729d918fc09442c810.png

    到此处,我们先停顿一下。我说过,以前我们讲过上面的公式(1),很多书上也给出了得到它的方法,基本上就是把上面的(3)式与(4)式进行比较,可以明显看出左右两端x^2项的系数各是什么,从而两者相等,得到公式(1)。其实,不光x^2项的系数两端相等,x^4项的系数两端也是相等的。但是,你看得出来上面(4)式中x^4项的系数是什么吗?肯定是任意两个因数中的x^2项的乘积,然后求和,但是,它是不是很复杂?似乎根本看不出能产生像公式(2)那么简洁的形式?好的,我们继续。

    把(3)式与(4)式分别取对数(仍然收敛,但收敛性就不在这里证明了,本篇内容主要关注形式和方法),得

    23fb3202d83c1ae85f3657e650a16080.png

    (注意,上面(6)式中,因为取了对数,“积”就变为“和”了。)

    我们还知道,ln(1-x)的幂级数展开式为:

    82714ed68940d4636575d58842403d2f.png

    所以,对(5)式应用(7)式(注意,把下式中下画线部分当成一个整体代替(7)式中的x),得

    c875ff61fa60ec56b80c4d7d8b414357.png

    同样,对(6)式应用(7)式,得

    9a9556e901b290d97cca54258b65edde.png

    我们比较(8)式与(9)式两端x^2的系数,它们相等,就可以得到我们以前讲过的欧拉公式(1):

    63c1165677c44213087a42eeb1874cc3.png

    这个没有什么稀奇的,但我们还可以比较两式的x^4项,这个以前很少有人涉及。具体来说,(8)式中,x^4项有两部分,如下:

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    (9)式中,x^4项为:

    83100ed05f7e8ed8f9ab1ceb5d1a2e9f.png

    (10)式与(11)式相等,得到

    0acc26da429b8f675d8dc6018f4d2c61.png

    两边同时乘以“-2(π^4)”,得到

    c1bb93da8a50c6769e8230d67ae4bc41.png

    这就是前面的(2)式。

    我们还可以让(8)(9)两式对应的其他同类项的系数相等,从而得到其他很多很多有关π的无穷级数公式。仅以x^6项的系数相等为例,我们便得到

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    经计算,得到又一有关π的无穷级数公式:

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    挖掘π的无穷级数表示、无穷乘积表示,是一件很有趣的事情。有兴趣的数学爱好者可在我公众号历史消息中搜索“圆周率”,即可找到这方面的文章。

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  • 求和函数,是我们开始学习Execl时就学习到的技能,也是数据统计使用最频繁的函数,点击相应的命令或者利用sum函数来完成。其实,求和不仅仅只有命令或sum函数可以完成,还可以与快捷键、条件求和、相对绝对引用结合...

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    求和函数,是我们开始学习Execl时就学习到的技能,也是数据统计使用最频繁的函数,点击相应的命令或者利用sum函数来完成。其实,求和不仅仅只有命令或sum函数可以完成,还可以与快捷键、条件求和、相对绝对引用结合使用。

    一、求和函数SUM

    01、快捷键

    在表格内调取sum函数是我们刚刚开始接触Execl函数时就会使用的操作,在这里不在重复,首先学习sum函数的快捷键【Alt+=】。

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    02、不连续区域求和

    实际工作中选中的求和区域常常是连续的,但也可能存在不连续区域求和的情况,首先选定数据源,使用快捷键【F5】调取定位条件,定位不连续区域内的空值,然后使用快捷键【Alt+=】快速求和。

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    03、合并单元格求和

    在对连续数据源进行不同形式的汇总时,会用到合并单元格求和,同时按快捷键【Ctrl+Enter】一键填充所有汇总区域。

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    04、累计求和

    在财务工作过程中,有发生额和余额的概念,在对余额汇总时,需要用到累计求和,此时需要对部分数据进行绝对引用,【F4】是绝对引用的快捷键,详细操作如下。

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    二、单条件求和SUMIF

    表达式:

    =SUMIF(条件区域,条件,求和区域)

    条件区域:用于条件判断的单元格区域,可以为行或者列

    条件:由数字、逻辑表达式等组成的判定条件,可结合通配符使用

    求和区域:为数值格式,可以为行或者列,当求和区域为条件区域时,该参数可以省略掉

    01、列单条件求和

    列单条件求和是最常见的单条件求和形式,也是统计上使用最频繁的函数。

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    02、行单条件求和

    在使用行单条件求和时,需要注意行的绝对引用,不然可能会出现数据遗漏或错误的情况。

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    03、通配符的结合使用

    通配符确实是Execl函数中最好用的技能了,在哪哪儿都能遇到,通配符用【*】表示。

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    04、否定条件求和

    条件求和类函数的形式还可以为否定条件的形式,否定形式用【<>】表示。

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    05、数值条件求和

    数值条件求和的状态下,条件区域与求和区域通常保持一致。

    e5010dd057bcd9d3072a240400ca6063.gif

    多条件求和SUMIFS

    在Execl2007版本中添加了sumifs函数,sumifs与sumif表达式形式不同,但操作方法基本一致,只是增加了求和条件。

    表达式:

    =SUMIFS(求和区域,条件区域1,条件1,条件区域2,条件2,条件区域N,条件N)

    098d557a16809e10be14d92d80839916.gif

    24af1bc5850b4dfdb7f58904bca0ee74.png 在看点一下 大家都知道 e992c7b9b686fd30a359a17ad4335608.png
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  • 调和级数近似求和公式推导

    万次阅读 2018-10-13 16:31:17
    调和级数(Harmonic series)是一发散的无穷级数 其中 为欧拉常数,  推导过程:
  • 常用的求和公式(级数求和)

    万次阅读 2013-12-08 15:06:12
    http://blog.csdn.net/lewutian/article/details/4359766下面是常用的一些求和公式
  • 级数求和函数

    万次阅读 多人点赞 2020-07-03 17:40:13
    要注意x=0时,s(x)是否为0,因为这个级数中n从0开始计数,所以式子正确,否则要写成分段的表达式 2.求导法: 利用公式: 求处各项求导后的级数的和后再积分,便得到结果 3.积分法: 利用公式: 求...
  • 等差数列: an=a1+(n-1)d 知道首尾==> Sn = (a1+an)n/2 知道首项==> Sn = [2na1+n(n-1)d]/2 等比数列: an = a1*q^(n-1) Sn = a1(1-q^n)/1-q 当-1<q<1时,Sn非零 当n趋于无穷,Sn = a1/1-q .....
  • MATLAB学习笔记:数列求和级数

    万次阅读 多人点赞 2018-01-16 20:26:38
    数列求和命令一:sum(x) 例1: x为向量: >> a=[1 2 3] a = 1 2 3 >> sum(a) ans = 6 例2: x为矩阵: >> b=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] b = 1 2 3 4 5 6 7
  • 参见: Infinite Series and proofs for them
  • 等比数列求和公式和等差数列求和 斜率: 调和级数为什么叫做“调和”级数 形如1/1+1/2+1/3+…+1/n+…的级数称为调和级数,它是 p=1 的p级数。 调和级数是发散级数。在zhin趋于无穷时其部分dao和没有极限(或部分...
  • 无穷级数

    万次阅读 多人点赞 2019-05-25 19:15:41
    无穷级数 1. 这证明还是蛮有意思的,将1/n与ln(1+n)进行比较,发现前者要大于后者,然后去求后者的和。发现后者的和为无穷大。所以,1/n是收敛的。 2. 这是属于比较常见的级数,所以,还是要记住的。 ...
  • 22.【sinx幂级数求和

    千次阅读 2020-12-13 08:46:11
    题目描述 Y=∑n=1∞(−1)n+1X2n−1...输入共一行,一整数X 输出格式 输出共一行,一浮点数Y,精确到1e-6 输入输出样例 输入 #1 复制 1 输出 #1 复制 0.841471 说明/提示 1≤X≤20 #include<iostream> #inc
  • 调和级数求和

    千次阅读 2019-02-17 19:38:17
    然后这一列数就有了一周期 但是由于最后一周期可能不完整,最后就下取整一下 推过去第三步就是如果周期是完整的话,后面一堆分数加起来就有log(2,n)那么多,再加上最前面的1 (2)式同理可得 是把分母往大了取...
  • 【考研数学一】无穷级数专讲(初步) 前言 昨天简单顺了一边高数的做题框架,不过从中值定理部分开始就开始简略了,现在把这一部分稍微详细介绍一下。 前置信息:《【考研数学一】高等数学做题框架(初步)》 主要...
  • 数学公式:π/4 ≈ 1 - 1/3 +1/5 - 1/7 + ··· Question:求 π 的近似值,要求精确到小数点后6位。 Analysis: ① π的值不是整数,用double表示 ② 数列第 n 项是(-1)n-1/(2n-1),相邻两项符号相异,分母递增2。...
  • [NA]Lab1 Hamming级数求和

    千次阅读 2019-09-13 12:59:55
    NA第一题,计算汉明级数的和,精度要求高
  • 等比数列&等差数列求和

    千次阅读 2019-05-28 00:43:35
    参考:https://zh.wikipedia.org/wiki/等比数列 ...等比数列求和,等差数列求和:是平常做汇总统计计算用的比较多的两种情况。最近做计算时,用到了等比数列,忙活了一番,找到了相关的公式和推导过程,赶紧记录下来...
  • ( 数论专题 )【 斐波那契通项公式 + 等比数列求和公式 】 斐波那契通项公式( 证明略): 例题: 求当n趋向于无穷大,Sn等于什么,输出最简分数。 分子是斐波那契数列,分母是K的 i 次方, K是给定的。...
  • 一道三角函数相关级数求和问题

    千次阅读 2016-11-13 20:29:50
    一道三角函数相关级数求和问题@(微积分) 设an=∫nπ0x|sinx|dx,n=1,2,3,...a_n = \int_0^{n\pi}x|sinx|dx, n = 1,2,3,...,试求∑∞n=1an2n\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{2^n} 分析:这种题乍看起来束手无策。主要...

空空如也

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无穷级数求和7个公式