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  • 样本协方差矩阵
    万次阅读 多人点赞
    2019-06-21 19:46:00
    import numpy as np
    x = np.array([2,4,5,3,6,9,40,25,32])
    print(np.cov(x)*8)
    print(np.var(x)*9)
    y = np.array([[1,5,6],[4,3,9],[4,2,9],[4,7,2]])
    print(y.shape)
    print(np.cov(y,rowvar=False)) 
    #其中rowvar是布尔类型。默认为true是将行作为独立的变量、如果是flase的话,则将列作为独立的变量。
    #4行3列的数据。cov默认行是变量。实际应用中需要设置rowvar=False才能以列为变量计算

    以下使用鸢尾花数据集计算数据的协方差矩阵,由于数据包含4个特征,因此这个协方差矩阵一定是一个4*4的矩阵。是代码

    import numpy as np
    from sklearn import datasets
    iris = datasets.load_iris()
    print(iris.data.shape)
    print(np.cov(iris.data,rowvar=False))

    输出结果是:[[ 0.68569351 -0.042434    1.27431544  0.51627069]
     [-0.042434    0.18997942 -0.32965638 -0.12163937]
     [ 1.27431544 -0.32965638  3.11627785  1.2956094 ]
     [ 0.51627069 -0.12163937  1.2956094   0.58100626]]


     

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    协方差矩阵是用来衡量一组随机变量之间的线性关系的矩阵。我们都知道,对于$n$个随机变量$X_1,X_2,...,X_n$,总体协方差矩阵定义为: $ \left[ \begin{matrix} D(X_1)&Cov(X_1,X_2)&\dots&Cov(X_1,X_n)\...

      协方差矩阵是用来衡量一组随机变量之间的线性关系的矩阵。我们都知道,对于$n$个随机变量$X_1,X_2,...,X_n$,总体协方差矩阵定义为:

    \begin{equation} \left[ \begin{matrix} D(X_1)&Cov(X_1,X_2)&\dots&Cov(X_1,X_n)\\ Cov(X_2,X_1)&D(X_2)&\dots&Cov(X_2,X_n)\\ & &\vdots& \\ Cov(X_n,X_1)&Cov(X_n,X_2)&\dots&D(X_n)\\ \end{matrix} \right] \end{equation}

      其中

    $ \begin{aligned} &D (X_i) = E(X_i^2)-E(X_i)^2\\ &Cov(X_i,X_j) = E(X_iX_j)-E(X_i)E(X_j) \end{aligned} $

      但是对于给定样本,怎么算样本协方差矩阵呢?

      假设我们对以上$n$个随机变量同时进行独立抽样$m$次,定义第$j$次抽样获得的$n$个样本值为$x_1^j,x_2^j,...,x_n^j$。我们知道样本对总体方差的无偏估计为:

    $ \begin{gather} \begin{aligned} &\hat{\sigma}_i^2 =  \frac{1}{m-1}\sum\limits_{j=1}^m(x_i^j-\overline {x_i})^2\\  &\overline {x_i} =  \frac{1}{m}\sum\limits_{j=1}^mx_i^j \end{aligned}\label{}\end{gather} $

      样本对总体协方差的无偏估计也是类似的:

    $ \begin{gather} \begin{aligned} &\hat{Cov}(x_i,x_j) =  \frac{1}{m-1}\sum\limits_{k=1}^m(x_i^k-\overline {x_i})(x_j^k-\overline {x_j}) \\ \end{aligned}\label{} \end{gather} $

      所以样本协方差矩阵就是由$(1),(2)$两个估计量组成的。根据定义,样本协方差矩阵是能计算了,但是这样一个一个算的话时间复杂度是很高的。下面记录直接对矩阵进行的样本协方差矩阵的计算。

    样本协方差矩阵的计算

      对于$n$个随机变量$X_1,X_2,...,X_n$,同时进行$m$次独立抽样,将获得的样本值排列为矩阵:

    $ A = \left[ \begin{matrix} x_1^1&x_2^1&\dots&x_n^1\\ x_1^2&x_2^2&\dots&x_n^2\\ & &\vdots& \\ x_1^m&x_2^m&\dots&x_n^m\\ \end{matrix}\right] $

      其中每行为某次抽样获得的$n$个随机变量的样本值,每列为某个随机变量在$m$次抽样种获得的样本值。

      首先计算所有随机变量的均值,获得向量:

    $ \begin{aligned} \mu = \frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^mA_{i:} \end{aligned} $

      然后对$A$和$\mu$做差(向量广播到矩阵后做差),获得所有样本减去均值后的矩阵

    $ B= \left[ \begin{matrix} x_1^1 - \overline{x_1}&x_2^1 - \overline{x_2}&\dots&x_n^1- \overline{x_n}\\ x_1^2 - \overline{x_1}&x_2^2 - \overline{x_2}&\dots&x_n^2- \overline{x_n}\\ & &\vdots& \\ x_1^m - \overline{x_1}&x_2^m - \overline{x_2}&\dots&x_n^m- \overline{x_n}\\ \end{matrix}\right] $

      最后计算$B^TB$再除以$m-1$获得协方差矩阵。为了便于理解理解,下面列出$B^TB$:

    $ B^TB= \left[ \begin{matrix} \left[ \begin{matrix} x_1^1- \overline{x_1}\\x_2^1- \overline{x_2}\\\vdots\\x_n^1- \overline{x_n} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_1^2- \overline{x_1}\\x_2^2- \overline{x_2}\\\vdots\\x_n^2- \overline{x_n} \end{matrix} \right] \dots \left[ \begin{matrix} x_1^m- \overline{x_1}\\x_2^m- \overline{x_2}\\\vdots\\x_n^m- \overline{x_n} \end{matrix} \right] \end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix} \left[x_1^1 - \overline{x_1}\right.&x_2^1 - \overline{x_2}&\dots&\left.x_n^1- \overline{x_n}\right]\\ \left[x_1^2 - \overline{x_1}\right.&x_2^2 - \overline{x_2}&\dots&\left.x_n^2- \overline{x_n}\right]\\ & &\vdots& \\ \left[x_1^m - \overline{x_1}\right.&x_2^m - \overline{x_2}&\dots&\left.x_n^m- \overline{x_n}\right]\\ \end{matrix}\right] $

      矩阵内部的括号表示某次抽样。以上这些操作用Python的numpy库都是很容易实现的。

    展开全文
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            要研究统计量,当然是要先有样本,首先,随机生成一堆二维坐标点,如图所示。

    图1 二维样本点坐标表示

            从图中可以看出,坐标点平铺于二维平面(而不是在一条直线上),所以不用担心协方差矩阵不可逆的问题。

            首先用矩阵的方法表示这些点

     \mathbf{X}=\begin{bmatrix} x_{1}^{1}&x_{1}^{2}&...&x_{1}^{n}\\ x_{2}^{1}&x_{2}^{2}&...&x_{2}^{n} \end{bmatrix}

            其中,统计向量还是按列向量表示,其上标表示序列标号而不是数值乘方运算。

            在这样表示的前提下,对协方差矩阵的可以写为:

    \mathbf{D}=\frac{\mathbf{(X-\mu)(X-\mu)^{T}}}{n-1}=\frac{1}{n-1}\sum_{i-1}^{n}\begin{bmatrix} x_{1}^{i}-\mu_{1}\\ x_{2}^{i}-\mu_{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1}^{i}-\mu_{1}& x_{2}^{i}-\mu_{2} \end{bmatrix}

            其中\mu表示统计样本在各个维度上的均值,换句话说,(\mathbf{X-\mu})的操作或\begin{bmatrix} x_{1}^{i}-\mu_{1}\\ x_{2}^{i}-\mu_{2} \end{bmatrix}的操作其实就是让样本进行中心化,使得样本的均值中心处于坐标原点。中心化后样本长这样

    图2 中心化后样本点

             那么通过上面的运算我们也就得到了协方差矩阵\mathbf{D}针对上面的样本,协方差矩阵大概长这个样子:

    \mathbf{D}=\begin{bmatrix} 21.5495 & -6.2597\\ -6.2597 & 12.4563 \end{bmatrix}

            无论是从上面的矩阵看还是从协方差的性质上分析都能得出矩阵\mathbf{D}是对称矩阵,根据对称矩阵的性质我们可以得知其对角化公式为:

    \mathbf{D=P\Lambda P^{T}}

            把上面的协方差矩阵公式代进来,再稍微变换一下就可以得到:

    \mathbf{\Lambda }=\frac{1}{n-1}\mathbf{P^{T}(X-\mu)(X-\mu)^{T}P}=\frac{1}{n-1}\mathbf{[P^{T}(X-\mu)][P^{T}(X-\mu)]^{T}}

            为了后期方便解读与表示,这里规定特征向量矩阵\mathbf{P}单位化矩阵

            我们先将上面所用例子的数值贴出来,再对公式进行解读。

    \mathbf{\Lambda }=\begin{bmatrix} 24.9375 & 0\\ 0& 9.2663\end{bmatrix},\mathbf{P}=\begin{bmatrix} -0.8910& -0.4541\\ 0.4541& -0.8910 \end{bmatrix}

            经乘\mathbf{p^{T}}变换后的样本\mathbf{[P^{T}(X-\mu)]}形式如图所示

    图3 通过特征向量矩阵变换后的样本点

             从公式中可以解读出以下几点:

    1.  协方差矩阵的特征向量的转置\mathbf{p^{T}}相当于一个坐标变换,对列向量(\mathbf{X-\mu})的坐标变换。
    2. 变换后的列向量样本\mathbf{[P^{T}(X-\mu)]}求其协方差,得到的是一个对角矩阵\Lambda也就是在非对角线上的元素全为0。
    3. 结合第1和第2条,\Lambda 作为协方差矩阵,只有对角元素不为0这一性质说明了该统计样本的每一个维度都是相互独立的,即变换后的样本\mathbf{[P^{T}(X-\mu)]}x_{1}x_{2}维度上相互独立,这将极大程度的利于我们对统计量的分析。
    4. 由于前面规定了特征向量矩阵\mathbf{P}单位化矩阵,所以变换后的样本\mathbf{[P^{T}(X-\mu)]}尺度并不会改变,换句话说,原样本(\mathbf{X-\mu})经乘\mathbf{p^{T}}变换后,并没有发生伸缩变换,所以其离散程度依然不变,\Lambda中的数值反应的仍然是原样本(\mathbf{X-\mu})的方差,只是采用的投影方向(向x1轴和x2轴投影,如下图所示)不一样。

    图4(a) 变换前样本点在x1和x2轴投影(红线为特征向量的基)
    图4(b) 变换后样本点在x1和x2轴投影(红线为特征向量的基,此时与x1和x2重合)

              到这里其实一切都可以揭秘了,生成样本的matlab的函数为:

    X1=normrnd(5,5,1000,1);
    X2=normrnd(10,3,1000,1);
    X=[x1 x2]*[cos(pi/6) -sin(pi/6);sin(pi/6) cos(pi/6)];
    

             即生成了均值为5和10,方差为5和3的1000个独立高斯分布样本,也就是生成样本满足:

    X_{1} \sim N(5,25)

    X_{2} \sim N(10,9)

            再对分布的坐标进行旋转使其产生带有协方差的样本\mathbf{X}

            注意这里讲的是生成\mathbf{X}的方法,上面分析第4条讲的是对已经生成的\mathbf{X}的变换,不要混淆。 

            实际上我们发现计算得出的\Lambda其对角线上的元素正好是旋转前的两个独立分布的方差,这种情况只是一种巧合,因为我们只使用了旋转变换,并不改变样本点间的距离,若是更具有一般性的仿射变换则就不会有那么幸运了。

    图5(a) 变换前样本点在x1和x2轴投影(红线为特征向量的基)

    图5(b) 变换后样本点在x1和x2轴投影(红线为特征向量的基,此时与x1和x2重合)

             在这里,

    \Lambda =\begin{bmatrix} 41.5433 & 0\\ 0&0.6806 \end{bmatrix}

            虽然生成时采用了相同的分布,但是对生成样本进行了不同的变换,其得出的对角化方差也不同,但尽管如此,结合图示,我们依然可以得出结论,使用协方差矩阵的特征向量对统计样本进行变换,可以消除联合分布的关系,使得不同维度样本独立。

            进一步分析还可知,若如图4(a)那样对x1轴和x2轴进行投影求方差,只能求得协方差矩阵\mathbf{D}的对角元素,即21.5495和12.4563,而协方差-6.2597被忽略,这造成了“信息的浪费”。而对样本进行变换后再对x1轴和x2轴进行投影求方差,便可得到“最大化的方差信息”,这也是PCA(主成分分析)的核心思想,当然上述从信息量角度进行分析并不严谨,详细的证明可以参考PCA的证明方法。

    展开全文
  • 关于样本协方差矩阵的简单推导

    千次阅读 2019-09-29 21:04:03
    以下从数据样本中心化开始,简单讨论了数据样本协方差矩阵的推导

    数据样本中心化:

    1、对一维随机变量 x x x,有n个观测样本 { x 1 , x 2 , ⋯   , x n } \{ x^1,x^2,\cdots,x^n\} {x1,x2,,xn},其样本均值(期望)可定义为:
    μ x = E ( x ) = 1 n ∑ i = 0 n x i \mu_x={E}\left(x\right)=\frac1n\sum_{i=0}^nx^i μx=E(x)=n1i=0nxi这样,中心化操作后的新样本为: z i = x i − μ x z^{i}=x^i-\mu_x zi=xiμx,并且 ∑ i n z i = 0 \sum_i^nz^i=0 inzi=0
    2、对于m维随机变量(特征、属性),定义随机向量
    x = [ x 1 x 2 ⋮ x m ] , x ∈ R m , 这 里 x i 为 第 i 个 随 机 变 量 \pmb x=\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots\\ x_m \\ \end{bmatrix} ,\pmb x \in R^m,这里x_i 为第i个随机变量 xxx=x1x2xm,xxxRm,xii这里,再对m个随机变量的n个观测样本 { x i ∈ R m ∣ i = 1 , 2 , ⋯   , n } \{\pmb x^i\in R^m|i=1,2,\cdots,n\} {xxxiRmi=1,2,,n} 定义样本矩阵:
    X = [ x 1 x 2 ⋯ x n ] = [ x 1 1 x 1 2 ⋯ x 1 n x 2 1 x 2 2 ⋯ x 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ x m 1 x m 2 ⋯ x m n ] , X ∈ R m × n X=\begin{bmatrix} \pmb x^1 & \pmb x^2&\cdots & \pmb x^n \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x_1^1&x_1^2&\cdots&x_1^n\\ x_2^1&x_2^2&\cdots&x_2^n\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\\ x_m^1&x_m^2&\cdots&x_m^n \end{bmatrix} ,X \in R^{m\times n} X=[xxx1xxx2xxxn]=x11x21xm1x12x22xm2x1nx2nxmn,XRm×n
    x j i x^i_j xji表示第 i i i个样本在第 j j j个随机变量(特征、属性)上的取值。 这样,定义均值向量
    μ x = E ( x ) = [ E ( x 1 ) E ( x 2 ) ⋮ E ( x m ) ] = 1 n [ ∑ i n x 1 i ∑ i n x 2 i ⋮ ∑ i n x m i ] = [ μ x 1 μ x 2 ⋮ μ x m ] \pmb {\mu_x}=E(\pmb x)=\begin{bmatrix} E(x_1) \\ E(x_2 ) \\ \vdots\\ E( x_m) \\ \end{bmatrix} =\frac 1n\begin{bmatrix} \sum_i^nx_1^i\\ \sum_i^nx_2^i \\ \vdots\\ \sum_i^nx_m^i \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \mu_{x_1} \\ \mu_{x_2} \\ \vdots\\ \mu_{x_m} \\ \end{bmatrix} μxμxμx=E(xxx)=E(x1)E(x2)E(xm)=n1inx1iinx2iinxmi=μx1μx2μxm
    中心化操作后新样本矩阵为:
    Z = [ z 1 z 2 ⋯ z n ] = [ x 1 − μ x x 2 − μ x ⋯ x n − μ x ] Z=\begin{bmatrix} \pmb z^1 & \pmb z^2&\cdots & \pmb z^n \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \pmb x^1-\pmb{ \mu_ x}& \pmb x^2-\pmb{ \mu_ x}&\cdots &\pmb x^n-\pmb{ \mu_ x}& \end{bmatrix} Z=[zzz1zzz2zzzn]=[xxx1μxμxμxxxx2μxμxμxxxxnμxμxμx]然后有 ∑ i n z i = 0 \sum_i^n\pmb z^i=\pmb 0 inzzzi=000

    样本协方差矩阵

    1、对于两个一维随机变量 x x x y y y的协方差可定义为:
    E [ ( x − μ x ) ( y − μ y ) ] = 1 n − 1 ∑ i n ( x i − μ x ) ( y i − μ y ) E[(x-\mu _x)(y-\mu_y)]=\frac 1{n-1}\sum_i^n (x_i-\mu_x)(y_i-\mu_y) E[(xμx)(yμy)]=n11in(xiμx)(yiμy)若样本已提前中心化,即新样本 z i = x i − μ x z^{i}=x^i-\mu_x zi=xiμx u i = x i − μ y u^{i}=x^i-\mu_y ui=xiμy并且 ∑ i n z i = 0 \sum_i^nz^i=0 inzi=0, ∑ i n u i = 0 \sum_i^n u^i=0 inui=0,带入上式得:
    E [ ( x − μ x ) ( y − μ y ) ] = 1 n − 1 ∑ i n ( x i − μ x ) ( y i − μ y ) = 1 n − 1 ∑ i n z i u i E[(x-\mu _x)(y-\mu_y)]=\frac 1{n-1}\sum_i^n (x_i-\mu_x)(y_i-\mu_y)=\frac 1 {n-1}\sum_i^nz^iu^i E[(xμx)(yμy)]=n11in(xiμx)(yiμy)=n11inziui
    2、对于多维随机向量 x \pmb x xxx自协方差矩阵(通常机器学习里提到的样本协方差矩阵),它是根据向量外积定义的:
    E [ ( x − μ x ) ( x − μ x ) T ] = 1 n − 1 ∑ i n ( x i − μ x ) ( x i − μ x ) T E[(\pmb x-\pmb{\mu_x})(\pmb x-\pmb{\mu_x})^T]=\frac 1{n-1}\sum_i^n(\pmb x^i-\pmb{\mu_x})(\pmb x^i-\pmb{\mu_x})^T E[(xxxμxμxμx)(xxxμxμxμx)T]=n11in(xxxiμxμxμx)(xxxiμxμxμx)T同理若样本已中心化,则
    E [ ( x − μ x ) ( x − μ x ) T ] = 1 n − 1 ∑ i n ( x i − μ x ) ( x i − μ x ) T = 1 n − 1 ∑ i n z i ( z i ) T = 1 n − 1 Z Z T E[(\pmb x-\pmb{\mu_x})(\pmb x-\pmb{\mu_x})^T]=\frac 1{n-1}\sum_i^n(\pmb x^i-\pmb{\mu_x})(\pmb x^i-\pmb{\mu_x})^T=\frac 1{n-1}\sum_i^n\pmb z^i(\pmb z^i)^T=\frac 1{n-1}ZZ^T E[(xxxμxμxμx)(xxxμxμxμx)T]=n11in(xxxiμxμxμx)(xxxiμxμxμx)T=n11inzzzi(zzzi)T=n11ZZT注:分块矩阵乘法可得
    ∑ i n z i ( z i ) T = [ z 1 z 2 ⋯ z n ] [ ( z 1 ) T ( z 2 ) T ⋮ ( z n ) T ] = Z Z T \sum_i^n\pmb z^i(\pmb z^i)^T= \begin{bmatrix} \pmb z^1&\pmb z^2&\cdots&\pmb z^n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} (\pmb z^1)^T \\ (\pmb z^2)^T \\ \vdots\\ ( \pmb z^n)^T \\ \end{bmatrix}=ZZ^T inzzzi(zzzi)T=[zzz1zzz2zzzn](zzz1)T(zzz2)T(zzzn)T=ZZT

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  • Gencov 生成随机协方差矩阵,并使用它们绘制MVN样本协方差矩阵: genS和genArray函数产生具有指定方差结构的随机协方差矩阵(如ndarray或javascript数组)。 可以指定协方差矩阵的特征值(主成分方差)V,或者可以...
  • 协方差矩阵及其意义

    千次阅读 2021-01-14 22:02:16
    协方差矩阵 这里有一篇知乎回答的非常详细,网址如下:https://zhuanlan.zhihu.com/p/37609917 其中关于协方差矩阵的内容我剪切到下面了,见下图 之所以除以n-1而不是除以n,是因为这样能使我们以较小的样本集更...
  • 协方差矩阵和相关系数矩阵(R语言)

    万次阅读 多人点赞 2018-11-30 09:06:21
    一、协方差矩阵 1.协方差定义    2.R语言实现 #协方差矩阵 #等价于cov(data) data<-as.matrix(data) n<-nrow(data) mx<-diag(1,n)-matrix(1,n,n)/n covA<-t(data)%*%mx%*%data/...
  • 协方差矩阵推导

    千次阅读 2019-05-16 11:49:44
    协方差定义:,其中分别为向量的均值。 设已知矩阵样本自由度m-1,设,,则
  • 一、协方差矩阵 首先,协方差矩阵一定是实对称阵。 一个维度上方差的定义: 协方差的定义: 协方差就是计算了两个维度之间的相关性,即这个样本的这...直观的对于一个含有x,y,z三个维度的样本协方差矩阵如下: ...
  • 协方差矩阵的解法和例题

    万次阅读 多人点赞 2020-10-25 22:20:38
    看了一下百度出来的例题,全是晦涩难懂的公式,例题里面高赞票数普遍都是错误的一传十,十传百,于是写在这里供需要的人查阅,自己也可以加深印象。
  • 文章目录一、 协方差1、为什么需要协方差2、协方差的定义二、协方差矩阵1、协方差矩阵的定义2、协方差矩阵公式推导参考博客 一、 协方差 1、为什么需要协方差 定义:假如有N个样本的集合{X1,X2,…XNX_1,X_2,…X_NX1...

空空如也

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样本协方差矩阵