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  • 矩阵空间、秩1矩阵

    2019-05-19 07:57:33
    今天要介绍一种新的向量空间,即矩阵空间,之前碰到的所有向量空间,都是n维的实数空间,现在我们将矩阵当成向量,比如说将3*3的矩阵看作向量,这相当于从原来的n维为扩展到n*n维,那么明明是矩阵为什么可以看成是...

    今天要介绍一种新的向量空间,即矩阵空间,之前碰到的所有向量空间,都是n维的实数空间,现在我们将矩阵当成向量,比如说将3*3的矩阵看作向量,这相当于从原来的n维为扩展到n*n维,那么明明是矩阵为什么可以看成是向量呢?因为矩阵也服从向量空间的运算,向量能相加,矩阵也能相加,向量能数乘,矩阵也可以数乘,向量可以线性组合,矩阵也可以线性组合。所以说矩阵也可以当成向量来生成空间,这个空间就是矩阵空间。比如说所有3*3的矩阵组成的空间,我们记为矩阵空间M,那么M的子空间有:所有上三角矩阵(upper triangular matrix)组成的空间U、所有的对称矩阵(symmetricmatrix)组成的空间S,所有的对角矩阵(diagonal matrix)组成的空间D(对角矩阵是上三角阵和对称阵的交集),因为两个上三角阵相加还是上三角阵,两个对称阵相加还是对称阵,两个对角阵相加还是对角阵,除此之外,我们还可以得出M空间的维数是9,9个基分别为:

    S空间的维数是6,6个基分别为:

    U空间的维数也是6,基分别为:

    通过将U和S进行组合,我们还可以得到其他子空间,比如前面已经提过的对称阵空间S和上三角阵空间U的交集   得到的对角阵空间D,其维数是3维,但是注意并集 组成的集合不是子空间,要将符号改成“+”,即S+U才构成子空间,如果每次任取S内任一元素加上U内任一元素,我们可以得到所有3*3矩阵,因此这个S+U构成的空间维度是9,这里我们可以发现dim(S)+dim(U)=dim(S交U)+dim(S+U),即S的维度加上U的维度等于它们交的维度加上它们和的维度,以上就是关于矩阵空间的内容,除了向量跟传统的向量有区别,其他都是一样的求法。现在我们再举个比较特殊的例子,假设有一个矩阵空间,它来自于微分方程,该微分方程为,其解是y=cos( x) ,y=sin( x),这个微分方程的零空间或解空间就是这两个解的线性组合,也就是y=c1cos(x)+c2sin(x),很铭明显这个向量空间的维数是2,因为它有2个基:cos(x)和sin(x)。举这个例子的目的在于:cos(x)和sin(x)看起来并不像向量,有些像函数,但我们可以称它们为向量,因为其可以做数乘也可以作加法,所以可对它们进行线性组合,这就是线性代数中的向量,基,维数,它们不仅仅局限于我们平常所熟悉的向量形式,也可以用于矩阵甚至函数等,只要它们满足向量的特性。

    秩1矩阵

    关于矩阵的秩r,目前我们已经知道的是它等于矩阵主元的个数,且r<m,r<n,秩1矩阵是一类性质很好但非常简单的矩阵,因此我们在这里对其作一些简单分析。假设现有秩1矩阵   ,经过消元可得知其行空间的基为A的第一行,列空间的基为A的第一列,那么A可以写成两个基相乘的形式,即  ,对于所有的秩1矩阵,这个结论都是成立的,即所有的秩1矩阵都能表示为一列基乘以一行基的形式,秩1矩阵就像搭其它矩阵的积木,任何矩阵都可以表示为若干个秩1矩阵的组合,例如如果有一个5*17的矩阵,它的秩为4,那么这个矩阵就可分解为4个秩1矩阵的组合。

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  • 浅谈矩阵空间

    千次阅读 2018-09-12 19:43:53
    在谈矩阵空间之前,我们先来看看常见的一个线性方程组的问题: Ax=bAx=b \mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{b} 其中,A∈Rm×nA∈Rm×n \mathbf{A} \in \mathbf{R}^{m \times n} , x∈Rnx∈Rn \mathbf{x} \in \...

    在谈矩阵空间之前,我们先来看看常见的一个线性方程组的问题:

    Ax=b \mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{b}

    其中,ARm×n\mathbf{A} \in \mathbf{R}^{m \times n}, xRn\mathbf{x} \in \mathbf{R}^{n}, bRm\mathbf{b} \in \mathbf{R}^{m}, 很多时候,我们都是希望解决这样一个线性方程组的问题。

    我们可以把矩阵 $ \mathbf{A}$ 拆成一系列列向量的组合,A={a1,a2,...,an}\mathbf{A} = \{ \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, ..., \mathbf{a}_n \}, 同样 x={x1,x2,...,xn}\mathbf{x} = \{ x_1, x_2, ..., x_n \},那么上式可以表示成:

    Ax=x1a1+x2a2+...+xnan \mathbf{A} \mathbf{x} = x_1 \mathbf{a_1} + x_2 \mathbf{a}_2 + ... + x_n \mathbf{a}_n

    所以说,矩阵和列向量的相乘,就相当于矩阵的列向量的一个线性组合。所以,这就引出了我们关于矩阵空间的第一个形式:

    • 矩阵的列空间: 矩阵的列空间,就是矩阵的列向量的所有的线性组合的集合,这个空间也是 Rm\mathbf{R}^{m} 里的一个子空间。

    可以想象,矩阵的列向量的线性组合,构成了一个关于向量加法和数乘的封闭集合。如果我们希望 Ax=b\mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{b} 有解,其实也就是说向量 b\mathbf{b} 应该存在于该子空间内。

    介绍了矩阵的列空间之后,我们再来看看一种特殊的空间,矩阵的零空间,先来看看下面的表达式:

    Ax=0 \mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{0}

    与上面的表达式不同的是,这次右边是一个 0\mathbf{0} 向量,根据这个定义,我们可以给出矩阵的零空间

    • 矩阵的零空间: 就是使得 Ax=0\mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{0} 的所有解向量 x\mathbf{x} 所构成的一个集合,这个零空间同时也是 Rn\mathbf{R}^{n} 里的一个子空间。

    关于, Ax=0\mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{0},我们可以继续探讨一下,从上面的表达式可以知道:

    Ax=x1a1+x2a2+...+xnan=0 \mathbf{A} \mathbf{x} = x_1 \mathbf{a_1} + x_2 \mathbf{a}_2 + ... + x_n \mathbf{a}_n = \mathbf{0}

    如果说,上面的线性方程组有且只存在唯一的一个解:x=0\mathbf{x} = \mathbf{0},这意味着什么呢,这就说明 A\mathbf{A} 中的任何一个列向量都无法等价于其他列向量的线性组合,这就是我们所说的线性无关。如果矩阵的任何一个列向量都无法被其他的列向量线性表示,那么我们可以说这组列向量是线性无关的。对于三维空间来说,如果三个向量是线性无关的,那么可以肯定这三个向量肯定是不共面的。

    线性无关出发,我们可以继续探讨 span 的概念,我们都已经说过,向量空间就是一个集合,如果把向量看成是空间中的一个个的 “点”,那么空间就相当于这一个个点的集合。比如我们说的三维空间,三维空间中的向量有无数个,但是我们可以找到几个独特的向量,从这几个向量出发,三维空间中的所有其他向量都可以由这几个向量的线性组合表示。那么我们就说这几个向量 span 了整个向量空间。同样的:

    • 矩阵的列向量 span 了矩阵的整个列空间

    从 span 和线性无关,我们可以引入基向量的概念,一个空间的基向量,必须满足两个条件:一个是线性无关,另外一个是必须可以 span 整个空间,所以说一组基向量,就是一组线性无关,并且可以 span 起整个空间的一组向量

    • 一个空间里的基向量不是唯一的
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  • 矩阵空间  矩阵空间是对向量空间的扩展,因为矩阵的本质是向量,所以与向量空间类似,也存在矩阵空间。  在向量空间中,任意两个向量的加法和数乘仍然在该空间内。类似的,所有固定大小的矩阵也组成了矩阵空间,...

    矩阵空间

      矩阵空间是对向量空间的扩展,因为矩阵的本质是向量,所以与向量空间类似,也存在矩阵空间。

      在向量空间中,任意两个向量的加法和数乘仍然在该空间内。类似的,所有固定大小的矩阵也组成了矩阵空间,在空间内的任意两个矩阵的加法和数乘也在该空间内。例如,M是所有3×3矩阵构成的空间,空间内的矩阵可以相加,也可以数乘,其结果仍然是3×3矩阵。虽然可以把它们中的两个相乘,但是没人会那么做,因为乘法与向量空间没有关系。

      看起来我们需要随时注意乘法的概念,线性代数中的乘法有别于中学时代标量间的乘法。向量与一个标量相乘,被明确定义为数乘;两个相同维度的向量间存在点积和叉乘,其写法上都与九九乘法表中的乘法类似,但是没有定义两个向量的乘法。虽然矩阵间定义了乘法,但存在限制,只有满足“攘外必先安内”原则的两个矩阵才能相乘。线性代数中的概念众多,学了线性代数后,再也不能愉快地做乘法了。

      “攘外必先安内”:AB两个矩阵相乘,必须满足A的列数等于B的行数:

     

      如果AB能够相乘,必须满足n = p,看起来n和p正好夹在m和q中间,m和q在外围:

      相乘的结果当然是“共同御敌,一致对外”。

      以3×3矩阵构成的空间M为例,M一共有9个元素,M的维度是9。M的标准基是:

    矩阵的子空间

      矩阵的子空间也是对向量子空间的扩展,矩阵子空间需要满足数乘和加法仍处于同一集合内。

      矩阵空间M也有一些特殊的子空间,比如将M空间内的两个对称矩阵相加或数乘,仍然得到对称矩阵;上三角矩阵子空间,将空间内的两个矩阵相加或数乘,仍然得到上三角矩阵。仍然以3×3矩阵构成的空间M为例,看看M中的几个子空间。

    对称矩阵子空间

      设M中的对称子空间是S,6个对称矩阵构成了S的标准基:

     

      S维度是6,表示为:

    上三角矩阵子空间

      设上三角矩阵子空间是U,U的维度也是6,它的维度表示为:

     

      很明显,上三角矩阵的基是:

     

    对角矩阵子空间

      如果一个矩阵既是对称矩阵又是上三角矩阵,则这个矩阵称为对角矩阵(diagonal matrix)。对称矩阵是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵,常写为diag(λ1, λ2,..., λn)。

      主对角线上的元素可以为 0 或其他值,对角线上元素相等的对角矩阵称为数量矩阵;对角线上元素全为1的对角矩阵就是单位矩阵。对角矩阵的运算包括和、差运算、数乘运算、同阶对角阵的乘积运算,且这些运算的结果仍为对角阵。

      对角矩阵A:

      数量矩阵,对称矩阵的对角元线上的元素都相等:

     

      单位矩阵,对称矩阵的对角元线上的元素都为1:

     

      M3×3内的对称矩阵和上三角矩阵的交集是一个对角矩阵,所有对角矩阵也构成一个子空间其维度是3:

     

       很明显,S∩U的标准基是:

    S+U矩阵子空间

      对于S∪U,它或者在对称矩阵子空间S中,或者在上三角矩阵子空间U中,或者在对角矩阵子空间S∩U中。我们对S∪U不感兴趣,主要是的原因是S∪U并不能构成子空间,可以随便举个例子:

      可以看到,U1 + S1是个没什么特点的矩阵,它不属于S∪U,所以不符合子空间的加法封闭性。

      现在,我们将S∪U扩大一点,变成S + U,也就是不单独地取S和U中的矩阵,而是取S中的任一矩阵和U中的任一矩阵,将二者相加:

     

      其结果是整个M空间,即:

     

      当然,S + U的维数也是M的维数:

    矩阵子空间维数的关系

      现在将上面4个矩阵子空间的维数放在一起:

     

      可以看出:

     

    秩1矩阵

      秩1矩阵就是秩为1的矩阵,它的行空间和列空间的维度都是1:

     

      更进一步,秩1矩阵可以表示为一列乘以一行的形式:

      我们之所以对秩1矩阵感兴趣,是因为可以通过秩1矩阵搭建出任意矩阵,比如秩为4的矩阵,可以通过4个秩1矩阵搭建而成。

      如果M是所有5×10矩阵的矩阵空间,那么一个由秩4矩阵组成的子集是否是一个子空间?

      当然不是,因为两个矩阵之和的秩不大于两个矩阵的秩之和。设P是M中两个任意秩4矩阵之和,P的秩可能是5,不在秩4矩阵集合内。虽然P是两个秩4矩阵之和,rank(P) ≤4 + 4 = 8,但由于P仍然在M5×10内,而M5×10中的矩阵的秩不会大于5,所以rank(P)的最大值是5。同理,M中由秩1矩阵组成的子集也不是子空间。

    秩1矩阵与零空间的关系

      假设有一个向量x,x中的分量之和为0:

      很明显x满足零空间的条件,它是某个矩阵的零空间,这个矩阵是什么呢?也就是说对于Ax = 0来说,A是什么?x的维数又是什么?

      先回答最后一个,根据条件S可以确定,x的一个分量可以由另外三个分量表示:

     

      可见x的主变量有1个,自由变量有3个,维数是3。

      再看零空间所属的矩阵,可以很容易判断:

     

      A是秩1矩阵,根据《线性代数14——行空间和左零空间》空间和维数的关系:Am×n的零空间是位于Rn下的 n – r维空间,A的零空间的维数3,x是3维的。

      A的列空间和行空间都是1维的:

      A的左零空间是零向量。

     


    作者:我是8位的

    出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

    本文以学习、研究和分享为主,如需转载,请联系本人,标明作者和出处,非商业用途! 

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  • 矩阵空间介绍一种新的向量空间:矩阵空间。 在这之前我们遇到的都是n维的向量空间, 对于矩阵空间先了解以下几个问题:Q:为什么矩阵也可以看成向量空间呢?A:因为矩阵可以同向量一样进行各种运算, 比如:加法, ...

    矩阵空间

    介绍一种新的向量空间:矩阵空间。 在这之前我们遇到的都是n维的向量空间, 对于矩阵空间先了解以下几个问题:

    Q:为什么矩阵也可以看成向量空间呢?

    A:因为矩阵可以同向量一样进行各种运算, 比如:加法, 数乘、线性组合等等;

    Q:矩阵空间与前面提到的实数向量空间有什么区别呢?

    A:矩阵空间是n*n维的, 而实数向量空间是n维的, 相当于从以前的n维扩展到n*n维。



    下面我们以3*3具体谈谈矩阵空间, 记为矩阵M, 对于向量空间首先明白两点: 1, 它的一组基是什么? 2, 它的维数是多少? 这两个问题是相关的, 基本上只要知道一个问题 另外一个也知道了。 先看第二个问题(毕竟第二个问题的答案只是一个数字~0~), 3*3矩阵的维数是:9, 前面已经提到了, 是n*n维空间的; 此时3*3矩阵空间与9维空间是一样的, 只不过这个数字形式是一个矩阵而不是一列。 M的子空间有哪些呢? 所有的对称矩阵组成的空间(S)、 所有的上三角矩阵组成的空间(S)、所有的对角矩阵组成的空间(D)等等。 那它的一组基是什么呢? 因为维数是 9, 所以它的一组基也应该为 9 个矩阵, 如下:。下面我们来看看它的几个子空间:

    对称矩阵

    对称矩阵的维数为:6。 它的一组基为:

    上三角矩阵

    上三角矩阵的维数为:6. 它的一组基为:

    对角矩阵

    对角矩阵是对称矩阵与上三角玉矩阵的交集, 它的维度为:3, 它的一组基为:

    S+U

    为什么要讨论S+U 而不是S与U的并集呢? 因为S与U的并集的结果并不是一个矩阵空间(应该说是插在平面上的几条线)。 怎样构成一个S+U子空间? 任取S内一元素加上U内任一元素组成的空间。 S+U组成的空间维数是:9。

    结论

    从上面的讨论中可以得出一个结论:如果两个子空间, 它们交的维度 + 它们和的维度 = 它们的维度和。



    再看一个微分方程的例子:d2y/dx2 + y = 0, 容易解得它的一组特解解为:y=sinx, y=cosx, 它的通解为:y = c1sinx+c2cosx;可以将它的特解看成解空间的一组基向量, 解空间的维数是:2。 这个例子说明了向量并不局限于最基本的向量形式, 只要满足向量的特性, 都可以将他们看成向量。


    这个话题结束, 开始下一个(秩1空间)~0~


    秩1矩阵

    Q:什么是秩1矩阵?

    A:秩为1的矩阵

    设A==, 行空间的一组基为[1,4,5], 维数为:1. 列空间的维数:1(因为后面两列是第一列的倍数)。对于任何的秩1矩阵都可以用 列X行 的形式来表示。 秩1矩阵的作用更像是一块积木, 它可以组成秩2秩3……矩阵, 比如:秩4矩阵就可以用4个秩1矩阵组成。 既然提到了秩4矩阵, 那么所有的秩4矩阵都可以构成一个子空间吗? 如果可以这两个式子一定会成立:秩4矩阵 + 秩4矩阵 = 秩4矩阵。 n * 秩4矩阵 = 秩4矩阵。因为满足基本的加法和数乘运算。 可是真的满足吗? 我们知道:一般来说, 两个矩阵之和的秩不大于两个矩阵秩之和。 显然, 第一个式子就不成立, 所以明显不一定能构成子空间。


    小世界图

    想要知道什么是小世界图, 要先弄清楚下面这个问题:

    Q:什么是图

    A:节点和边的集合, 边接通各个节点。

    Q:为什么叫小世界图呢?

    A:大概是这个样子的, 根据”六度分离理论“, 人与人之间的距离不会超过六步, 你不禁感叹“这世界真小啊”

    ps:关于图的问题请参见下一篇博客~0~

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