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  • 离散傅里叶变换 离散傅里叶反变换

    离散傅里叶变换

    离散傅里叶反变换

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    傅里叶变换理论值过程
    在这里插入图片描述

    dft.c

    #include "math.h"
    double dft(a,b,A,B,N)
    int N;
    double a[],b[],A[],B[];
    {
        double PI=acos(-1.0);
        int n,k;
        double c,d,w0,w,s;
        w0=2*PI/N;
        for(k=0;k<N;k++){
            w=k*w0;
            A[k]=B[k]=0.0;
            for(n=0;n<N;n++){
                d=n*w;
                c=cos(d);
                s=sin(d);
                A[k]+=c*a[n]+s*b[n];
                B[k]+=c*b[n]-s*a[n];
            }
        }
        return PI;
    }
    

    idft.c

    #include "math.h"
    void idft(A,B,a,b,N)
    int N;
    double A[],B[],a[],b[];
    {
        double PI=acos(-1.0);
        int n,k;
        double c,d,w0,w,s;
        w0=2*PI/N;
        for(n=0;n<N;n++){
            w=n*w0;
            a[n]=b[n]=0.0;
            for(k=0;k<N;k++){
                d=k*w;
                c=cos(d);
                s=sin(d);
                a[n]+=(c*A[k]-s*B[k])/N;
                b[n]+=(c*B[k]+s*A[k])/N;
            }
        }
        return PI;
    }
    

    在这里插入图片描述
    其中q=complexNumReal+j*complexNumImaginary

    输出x[n],傅里叶变换实际值,理论值,并且将理论值反变换

    main.c

    #include "stdio.h"
    #include "math.h"
    #include "dft.c"
    #include "idft.c"
    main(){
        int i,j,N;
        printf("N=");
        scanf("%d",&N);
        double cNR,cNI;//complexNumReal,complexNumImaginary
        double a[N],b[N],A[N],B[N];
        printf("complexNumReal=");
        scanf("%lf",&cNR);
        printf("complexNumImaginary=");
        scanf("%lf",&cNI);
        a[0]=1.0;
        b[0]=0.0;
        for(i=1;i<N;i++){
            a[i]=cNR*a[i-1]-cNI*b[i-1];
            b[i]=cNI*a[i-1]+cNR*b[i-1];
        }
        printf("----Original Sequence----\n");
        for(i=0;i<N/2;i++){
            for(j=0;j<2;j++)
                printf("|%d:\t%10.6f + j%10.6f|\t",2*i+j+1,a[2*i+j],b[2*i+j]);
            printf("\n");
        }
    
        double PI=dft(a,b,A,B,N);
        printf("----Discrete Fourier Transform----\n");
        for(i=0;i<N/2;i++){
            for(j=0;j<2;j++)
                printf("|%d:\t%10.6f + j%10.6f |\t",2*i+j+1,A[2*i+j],B[2*i+j]);
            printf("\n");
        }
    
        double nR,nI;//numeratorR,numeratorI
        double dR,dI;//denominatorR,denominatorI
        double w,WkR,WkI;
        printf("----Theoretical Discrete Fourier Transform----\n");
        for(int k=0;k<N;k++){
            w=(2*PI/N)*k;   //W^k=e^-j*k*(2*PI/N)=cos(w)+j*(-1)*sin(w)
            WkR=cos(w);
            WkI=(-1)*sin(w);
            nR=1-cNR*a[N-1]+cNI*b[N-1];
            nI=cNI*a[N-1]+cNR*b[N-1];
            dR=1-cNR*WkR+cNI*WkI;
            dI=cNI*WkR+cNR*WkI;
            A[k]=(nR*dR+nI*dI)/(pow(dR,2)+pow(dI,2));
            B[k]=(nR*dI-nI*dR)/(pow(dR,2)+pow(dI,2));
        }
        for(i=0;i<N/2;i++){
            for(j=0;j<2;j++)
                printf("|%d:\t%10.6f + j%10.6f |\t",2*i+j+1,A[2*i+j],B[2*i+j]);
            printf("\n");
        }
    
        idft(A,B,a,b,N);
        printf("****Inverse Discrete Fourier Transform****\n");
        for(i=0;i<N/2;i++){
            for(j=0;j<2;j++)
                printf("|%d:\t%10.6f + j%10.6f |\t",2*i+j+1,a[2*i+j],b[2*i+j]);
            printf("\n");
        }
    }
    
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    在这里插入图片描述
    二维离散傅里叶变换

    而命令Fftshift(ifft2(fftshift(·)))表示二维离散傅里叶反变换
    在这里插入图片描述

    以上两个命令中在执行fft2或者ifft2计算之前和计算后分别都执行了fftshift,这是因为图像的原点在坐标中心!

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    离散时间傅里叶变换

    DTFT:Discrete Time Fourier Transform

    一、定义

    序列x[n]的离散时间傅里叶变换(DTFT)X(e^jω)定义为

    由定义易知DTFT是以2π为周期的周期函数。

    而X(e^jω)的傅里叶反变换(IDTFT)x[n]定义为:

     

    二、CTFT与DTFT的关系

    时域连续信号ga(t)的傅里叶变换Ga(jΩ)(CTFT)为:

    时域离散信号g[n]的傅里叶变换G(e^jω)(DTFT)为:

    ω改为nω

    设周期性取样序列为p(t),ga(t)取样后的信号为gp(t)。其中p(t)的幅度为1,周期为T。那么有:

    根据时移特性,gp(t)的傅里叶变换Gp(jΩ)可表示为:

    那么我们现在得到:

    ω改为nω

    利用:,有:

    结论:

    当满足关系:Ω=ω/T时,Gp(jΩ)(CTFT)就转变为G(e^jω)(DTFT)。

    Gp(jΩ)是周期为ΩT=2π/T的周期函数,而因为Ω=ω/T,G(e^jω)为周期2π的周期函数。

     

    三、(Obsolete)DTFT的由来

    取样离散化:

    首先给出时域连续函数x(t),其傅里叶变换为:

    显然不论是在时域还是在频域上,信号都是连续的。但计算机为代表的现代信号处理系统只能存储和处理有限长度的离散信号,且无法直接进行连续积分运算,因此必须要对信号进行离散化。

     

    首先从时域离散化来考虑,由取样定理知,以合理的取样速率对信号进行取样,所得到的序列可以重构出原连续信号。以下讨论总是假设序列是在满足取样定理的条件下对连续信号进行取样得到的。

    则对x(t)进行取样,假设取样间隔为△t,冲激函数序列为s(t),则所得的取样信号xs(t)为:

    其傅里叶变换为:

    得:

    将时域间隔归一化,则x(n△t)变为离散的序列x[n],即得到:

    上式是将连续傅里叶变换中的时域信号进行离散化(冲激取样)后得到的结果,即序列x[n]的离散时间傅里叶变换(DTFT:Discrete Time Fourier Transform)

    离散时间傅里叶变换(DTFT)实际上是对连续信号进行冲激取样,即对一连续信号x(t)用冲激函数序列δT(t)进行取样(其周期为△t),所得到的信号做傅里叶变换。根据取样定理,取样信号的频域应为周期函数,为原信号频谱的延拓,因为CTFT频域连续,所以DTFT频域是周期、连续的

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