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  • 【矩阵论笔记】诱导范数

    千次阅读 2020-05-09 12:35:06
    为了定义相容的矩阵范数,引出一个方法:诱导范数诱导范数的定义 给矩阵A乘一个单位向量,相当于对单位向量做了一次变换,假设变换是下面图中所示的。∣∣Ax∣∣||Ax||∣∣Ax∣∣就有一个长度,就是一个范数。...

    从矩阵范数的定义中,多了一个相容性。因为抽象空间中的向量是不能乘的,但是矩阵是可以乘的。直接定义满足这四个条件的范数很难,直接定义非常麻烦。
    为了定义相容的矩阵范数,引出一个方法:诱导范数。

    诱导范数的定义

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    给矩阵A乘一个单位向量,相当于对单位向量做了一次变换,假设变换是下面图中所示的。 ∣ ∣ A x ∣ ∣ ||Ax|| Ax就有一个长度,就是一个范数。我们把矩阵 A A A的范数称为 ∣ ∣ A ∣ ∣ ||A|| A.

    定理

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    证明

    证两个方向
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    诱导范数和向量范数的相容性

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    常用诱导范数

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    如果按定义去计算 ∣ ∣ A x ∣ ∣ ||Ax|| Ax的范数会很麻烦,首先要计算 A x Ax Ax,最后是一个向量,然后如果计算1范数的话,就在把每一列绝对值加和。
    有种简单的计算方式:
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    上面的公式解决了由向量1范数、2范数、无穷范数诱导出来的矩阵范数的计算。
    对一式进行证明:
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    x x x是一个单位向量。注意诱导范数都是由单位向量诱导出来的。由于向量 x x x的1范数满足三角不等式,也就是 A 1 x 1 + A 2 x 2 + A 3 x 3 . . . A_1x_1+A_2x_2+A_3x_3... A1x1+A2x2+A3x3...满足三角不等式,所以可以写成下面的形式。
    先证小于等于:
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    取了个特殊的向量证大于等于在这里插入图片描述
    从而只能相等。

    范数例题

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  • 矩阵诱导范数,矩阵测度,博主手稿

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    当 M = I ,即单位阵时,对应矩阵的L2诱导范数

    在这里插入图片描述
    当 M = I ,即单位阵时,对应L2诱导范数下的测度。

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