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  • 傅里叶变换 一维离散傅里叶变换
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    2019-11-06 21:08:43

    1、介绍。

            DFT:(Discrete Fourier Transform)离散傅里叶变换是傅里叶变换在时域和频域上都呈离散的形式,将信号的时域采样变换为其DTFT的频域采样。在形式上,变换两端(时域和频域上)的序列是有限长的,而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即使对有限长的离散信号作DFT,也应当将其看作其周期延拓的变换。实际应用的时候,都是使用快速傅里叶变换的,因为运算速度快。


    1)、欧拉公式:

    \LARGE \dpi{100} \LARGE e^{\theta i}=cos \theta +(sin \theta )i,其中i是虚数,即i的平方为-1。

     

    2)、一维离散傅里叶变换DFT公式:

            

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    离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform,缩写为DFT)指傅里叶变换在时域和频域上都呈现离散的形式,将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换(DTFT)频域的采样。

    形式上,变换两端(时域和频域)的序列是有限长的,而实际上这两组序列都应该被认为是离散周期信号的主值序列。即使对有限长的离散信号做DFT,也应当对其经过周期延拓成为周期信号再进行变换。实际应用中,通常采用快速傅里叶变换来高效计算DFT。

    简单来说,对一张图像使用傅里叶变换就是将它分解成正弦和余弦两部分,也就是将图像从空间域(spatial domain)转换到频域(frequency domain)。此转换的理论基础为:任一函数都可以表示成无数个正弦和余弦函数的和的形式

    二维图像的傅里叶变换可以用下边数学公式表达:

                                                              F(k,l)=\sum_{i=0}^{N-1}\sum_{j=0}^{N-1}f(i,j)e^{-i2\pi (\frac{ki}{N}+\frac{lj}{N})}e^{ix}=cosx+isinx

    其中,f是空间域(spatial domain)值,F是频域(frequency domain)值,是复数。所以显示傅里叶变换后的结果需要使用实数图像(real image)加虚数图像(complex image),或者幅度图像(magnitude image)加相位图像(phase image)的形式。 

    实际应用中,仅仅使用了幅度图像,因为幅度图像包含了原图像的几乎所有我们需要的几何信息。

    如果想通过修改幅度图像或者相位图像的方法来间接修改原空间图像,需要使用逆傅里叶变换得到修改后的空间图像,就必须同时保留幅度图像和相位图像。

    在频域里,对于一幅图像,高频部分代表了图像的细节、纹理信息低频部分代表了图像的轮廓信息。如果对一幅精细的图像使用低通滤波器,那么滤波后的结果就只剩下轮廓了。如果图像收到的噪声敲好位于某个特定的“频率”范围内,则可以通过滤波器来回复原来的图像。

    傅里叶变换在图像处理中可以得到图像增强与图像去噪、图像分割与边缘检测、图像特征提取、图像压缩等。

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            一、单变量离散傅里叶变换

                  离散傅里叶变换公式:

                                                       F(\mu )=\sum_{t=0}^{n}f(t)e^{-j2\pi \mu t/n}

                  根据公式,单变量离散傅里叶变是换将一维数组变换为傅里叶频率。设定一个大小为N的数组,t为X轴上的变量,取值为[0,n-1],f(t)为t=x出的值,计算机处理时,t即为输入数组下标index,f(t)为index对应位置数组中的值。

                  当μ=0时:

                                                       F(\mu )=\sum_{t=0}^{n}f(t)

                 相当于整个输入数组直接求和。由于傅里叶变换计算涉及复数,可以将输入数组变换为复数形式,f(t)作为复数实部,虚部为0。根据欧拉公式:

                                                      e^{j\theta }=cos\theta +jsin\theta

                在进行实际使用时,可将傅里叶变换为如下形式:

                                                      F(\mu )=\sum_{t=0}^{n}f(t)[cos(2\pi \mu t/n)-jsin(2\pi \mu t/n)]

                由于j为虚数,在实际计算过程中j=√-1是没有代入的,只需要计算复数的实部和虚数实部即可。

                傅里叶变换核心代码:

               

    public Complex[] dft(Complex[] C) {
    		int n = C.length;
    		if (n == 1) {
    			return C;
    		}
    		Complex[] result = new Complex[n];
    		for (int i = 0; i < n; i++) {
    			result[i] = new Complex(0, 0);
    			for (int j = 0; j < n; j++) {
    				double p = -2 * i * j * Math.PI / n;
    				Complex m = new Complex(Math.cos(p), Math.sin(p));
    				result[i] = result[i].add(C[j].multiply(m));
    			}
    		}
    		return result;
    	}

                代码中,i相当于公式中的μ,j相当于t。

            二、中心化

                  为了便于分析和操作需要将输入数组进行中心化,中心化公式:f’(t) = f(t)*(-1)t,即根据数组下标奇偶数,将下标为奇数的数乘以-1,把整个数组分为以0为中心的数组序列。

                 中心化代码:

                 

    public Complex[] dftShift(Complex[] C) {
    		int n = C.length;
    		Complex[] result = new Complex[n];
    		for(int i = 0; i < n; i++) {
    			Complex m = new Complex(Math.pow(-1, i),0);
    			result[i] = C[i].multiply(m);
    		}
    		return result;
    	}

            三、傅里叶谱

                   傅里叶谱,即傅里叶变换后的频谱图,频谱计算也就是计算复数模长。

                   复数模长计算公式:|C|=a2+b2

            四、逆傅里叶变换

                 

    逆傅里叶变换公式:

                                                     F(\mu )=1/n\sum_{t=0}^{n}f(t)e^{-j2\pi \mu t/n}

                傅里叶变换本质上就是把数据从时域/空间域变换到频率域,而逆傅里叶变换就是把数据再从频率域变换回时域/空间域。

                逆傅里叶变换实现代码:

                

    public Complex[] iDFT(Complex[] C) {
    		int n = C.length;
    		if (n == 1) {
    			return C;
    		}
    		Complex[] result = new Complex[n];
    		for (int i = 0; i < n; i++) {
    			result[i] = new Complex(0, 0);
    			for (int j = 0; j < n; j++) {
    				double p = 2 * i * j * Math.PI / n;
    				Complex m = new Complex(Math.cos(p), Math.sin(p));
    				result[i] = result[i].add(C[j].multiply(m));
    			}
    			result[i] = new Complex(result[i].getRealPart() / n, result[i].getImaginePart() / n);
    		}
    		return result;
    	}

          五、离散傅里叶变换实现代码

    public class DFT {
    	/**
    	 * 计算离散傅里叶变换
    	 * 
    	 * @param x
    	 * @return
    	 */
    	public Complex[] dft(Complex[] C) {
    		int n = C.length;
    		if (n == 1) {
    			return C;
    		}
    		Complex[] result = new Complex[n];
    		for (int i = 0; i < n; i++) {
    			result[i] = new Complex(0, 0);
    			for (int j = 0; j < n; j++) {
    				double p = -2 * i * j * Math.PI / n;
    				Complex m = new Complex(Math.cos(p), Math.sin(p));
    				result[i] = result[i].add(C[j].multiply(m));
    			}
    		}
    		return result;
    	}
    
    	/**
    	 * 逆离散傅里叶变换
    	 * 
    	 * @param C
    	 * @return
    	 */
    	public Complex[] iDFT(Complex[] C) {
    		int n = C.length;
    		if (n == 1) {
    			return C;
    		}
    		Complex[] result = new Complex[n];
    		for (int i = 0; i < n; i++) {
    			result[i] = new Complex(0, 0);
    			for (int j = 0; j < n; j++) {
    				double p = 2 * i * j * Math.PI / n;
    				Complex m = new Complex(Math.cos(p), Math.sin(p));
    				result[i] = result[i].add(C[j].multiply(m));
    			}
    			result[i] = new Complex(result[i].getRealPart() / n, result[i].getImaginePart() / n);
    		}
    		return result;
    	}
    	
    	//中心化
    	public Complex[] dftShift(Complex[] C) {
    		int n = C.length;
    		Complex[] result = new Complex[n];
    		for(int i = 0; i < n; i++) {
    			Complex m = new Complex(Math.pow(-1, i),0);
    			result[i] = C[i].multiply(m);
    		}
    		return result;
    	}
    }

                测试代码:

    public static void main(String[] args) throws Exception{
    		File in = new File("E:\\桌面\\1.jpg");
    		File out = new File("E:\\桌面\\4.txt");
    		BufferedImage image = ImageIO.read(in);
    		int width = image.getWidth();
    		int height = image.getHeight();
    		int length = width * height;
    		Complex[] C = new Complex[length];
    //将二维图片转为一维数组
    		for(int i = 0; i < width; i++) {
    			for(int j = 0; j < height; j++) {
    				int rgb = image.getRGB(i, j);
    				int index = i * height + j;
    				C[index] = new Complex(rgb & 0xff, 0);
    			}
    		}
    		C = new DFT().dftShift(C);//中心化
    		Complex[] result = new DFT().dft(C);
    		Writer writer = new FileWriter(out);
    		for(int i = 0; i < length; i++) {
    			writer.write(Double.toString(result[i].absValue()));//计算频谱
    			writer.write("\r\n");
    		}
    		writer.close();
    }

                测试图像:

               频谱图:

    展开全文
  • 该PPT介绍了图像变换领域中的两个基础的... 涉及内容包括一维傅里叶变换, 二维离散傅里叶变换, 二维离散傅里叶变换的性质, 快速傅里叶变换, 傅里叶变换在图像处理中的应用; 离散余弦变换原理, 离散余弦变换的应用.
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    XILINX FPGA数字信号处理——5、离散傅里叶变换原理及信号频谱分析实现

    连续时间、连续频率——连续傅里叶变换
    在这里插入图片描述
    时域连续函数造成频谱是非周期的谱,而时域的非周期造成频谱是连续的谱。

    连续时间、离散频率——傅里叶级数
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    时域连续函数造成频谱是非周期的谱,而时域的周期造成频谱是离散的谱。

    离散时间、连续频率——序列的傅里叶变换
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    时域离散函数造成频域是周期的谱,而时域的非周期造成频域是连续的谱。

    离散时间、离散频率——离散傅里叶变化
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    图中,时域抽样间隔T,频域周期Ωs=2π/T;时域周期T1,频域抽样间隔Ω1=2π/T1

    DFS正变换
    在这里插入图片描述
    反变换
    在这里插入图片描述
    理解DFS(离散傅里叶级数)和DFT(离散傅里叶变换)的区别:
    在这里插入图片描述
    离散傅里叶变换和z变换关系

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    以上表明DFT的物理意义
    在这里插入图片描述
    离散傅里叶变换的性质包括线性、循环移位定理、循环卷积定理、复共轭序列的DFT、DFT的共轭对称性。

    复共轭序列的DFT
    在这里插入图片描述
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    DFT只能用来计算循环卷积,只有当L≥N+M-1时,循环卷积等于线性卷积值

    分段卷积:
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离散傅里叶变换原理

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