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  • 多元高斯分布的均值与协方差矩阵
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    2019-09-27 21:34:45

    多元高斯分布,即数据的维度不再为1维度。

    样本个数记为n x特征向量的维度为k 。
    
    举个例子:
    样本1:[2,3,4,5,6]  
    样本2:[3,4,5,6,7]
    样本3:[4,5,6,7,8];

    求各个维度上的均值:x_i = [2+3+4/3,3+4+5/3.....6+7+8/3] == [3,4,5,6,7]
    各个维度减去均值。 x_1' = [-1,-1,-1,-1,-1]
    x_2' =[0,0,0,0,0];
    x_3'=[1,1,1,1,1]
    记为矩阵t
    则:
    协方差矩阵为1/(5-1)* t‘*t (5为特征向量的维度)

    转载于:https://www.cnblogs.com/LaplaceAkuir/p/9410949.html

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    零均值的多元高斯分布有如下概率形式:

    其中协方差矩阵,协方差矩阵的逆可以记作,也叫信息矩阵。当变量xx是三维变量时,协方差矩阵为:

    其中

    其实在应用中,往往我们直接操作的是信息矩阵,而不是协方差矩阵。下面从一个例子来体会一下协方差矩阵与信息矩阵。

    example

    假设室外的温度,分别是房间1房间3室内温度:

    其中,为相互独立,且各自服从协方差为的高斯分布。根据上面它们之间的联系,我们可以求出协方差矩阵,首先:

    然后同理,可以求出另外两个对角元素为。而对于协方差矩阵的非对角元素有:

    依次类似,可以得到完整的协方差矩阵为:

    信息矩阵协方差矩阵的逆矩阵,此处我们可以通过计算联合高斯分布来得到协方差矩阵的逆:

    利用指数性质,可以计算出联合概率分布如下:

    所以,这里上面矩阵就是协方差矩阵的逆,也就是信息矩阵:

    由上,可以看到当在协方差矩阵中,之间是相关的,而在信息矩阵中,它们是相互独立的(相关系数为0),这是因为,我们在推导信息矩阵时是使用了联合分布的链式法则,信息矩阵中的相关性在确定之后计算的,此时它们是相互独立的。

    上述例子中去掉x3

    协方差矩阵直接只计算前两个相关的协方差矩阵即可,也就是去掉划线的部分

    变为:

    至于信息矩阵,只需要把信息矩阵公式中相关的部分(蓝色)去掉:

     

    得到:

    之所以要移除一个变量,然后再算它的信息矩阵,是因为在实际应用中经常会用到这样的操作,上面只讲了原理,下面会抽时间讲讲如何快速实现,会需要舒尔补(Schur’s complement)边缘化(marginalization)

    补充

    此处需要注意,协方差矩阵与信息矩阵都可以用来表示多元变量之间的相关性。但是,协方差矩阵是衡量的变量之间边界概率关系,通常是直接相关性,信息矩阵会有间接相关性,衡量的是变量之间的条件概率关系。因此,在计算中我们会发现有些协方差矩阵中相关的两个量在信息矩阵中不相关,有些协方差矩阵中不相关的两个量在信息矩阵中相关

    比如在下面这个例子中

    协方差矩阵为:

    信息矩阵为:

    协方差矩阵不相关,在信息矩阵相关。这是因为协方差矩阵中是直接相关性,信息矩阵可以使用链式法则推导,其中当固定后,这两个变量就会变成相关的了。

     

     

     

     

     

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  • 协方差矩阵 多元高斯分布

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    协方差矩阵 对于一维随机变量直接用方差即可衡量随机变量x与其期望E(x)的偏离程度,对于多维随机变量X,需要用一个矩阵来表示偏离程度,矩阵的对角线是每个维度自己的方差,对角线以外表示不同的维度之间的协方差,...

    协方差矩阵

    对于一维随机变量直接用方差即可衡量随机变量x与其期望E(x)的偏离程度,对于多维随机变量X,需要用一个矩阵来表示偏离程度,矩阵的对角线是每个维度自己的方差,对角线以外表示不同的维度之间的协方差,所以协方差矩阵是实对称矩阵。

    协方差矩阵的计算公式

    所以有如下性质:

    如果随机向量Y=PX,其中XY为随机向量,P为矩阵(方阵)

    也就是

    多元高斯分布

    一元高斯分布概率密度函数如下:

    多元高斯分布为:

    具体推导过程可以参考:从零开始推导多元高斯分布 - 知乎

    多元高斯分布完全解析 - 知乎

    主要的更改是把方差换成了协方差矩阵,2的次方换成n次,n为X向量的维数。

    如果协方差矩阵是对角阵,则X向量的每一维彼此独立,互相概率不影响,高维的不好想象可以想象二维的,此时X随机变量的概率密度函数是一个立体的高斯,其平行于坐标平面的截面是一个圆。

    如果协方差矩阵除对角线外其他位置为非零,则X向量存在彼此不独立的维,拿二维举例,此时X随机变量的概率密度函数是一个立体的高斯,其平行于坐标平面的截面是一个椭圆,且椭圆的长轴不与坐标轴平行,即椭圆是倾斜的。

    根据线性代数的知识可知,由于协方差矩阵为实对称矩阵,所以必定可以用单位正交矩阵相似对角化,根据Y=PX,则,可知,只需要求出协方差矩阵的特征值,并进一步求出单位正交矩阵P,就可以将X向量转换为Y向量,此时Y向量的协方差矩阵Cov(Y)就是经过Cov(X)相似对角化所得,所以是对角阵,所以Y向量的每个维度相互独立,也就是X向量可以经过线性变换由每个维度相互不独立转换成相互独立,对于二维来说,就是概率密度函数的截面由倾斜的椭圆转换成不倾斜的椭圆。

    另外协方差矩阵为非负定矩阵,也就是半正定阵(正定的定义见实对称矩阵 二次型 合同 相似对角化_吾生也有涯,而知也无涯-CSDN博客),证明如下:

    第二行左边乘以一个矩阵的转置,右边乘以一个矩阵,是参考正定的定义来的,只要证明其结果大于等于0,即为半正定阵,

    最后的结果中是一个数,转置之后还是一个数,所以相当于求一个数平方的期望,肯定是大于等于0的,所以为半正定阵。

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    一维高斯分布概率密度函数

    f(x;μ,σ)=1σ2πexp((xμ)22σ2) f ( x ; μ , σ ) = 1 σ 2 π exp ⁡ ( − ( x − μ ) 2 2 σ 2 )

    若随机变量 X X 服从这个高斯分布,则可写作XN(μ,σ)。其中 μ μ 为均值, σ σ 为标准差, σ2 σ 2 为方差。

    多维高斯分布概率密度函数

    如果随机变量 X=(X1,X2,,Xp) X = ( X 1 , X 2 , … , X p ) ′ 的分布密度函数有如下形式

    f(x1,x2,,xp)=f(x)=12πp/21|Σ|1/2exp[12(xμ)TΣ1(xμ)] f ( x 1 , x 2 , … , x p ) = f ( x ) = 1 2 π p / 2 1 | Σ | 1 / 2 exp ⁡ [ − 1 2 ( x − μ ) T Σ − 1 ( x − μ ) ]

    其中 μ μ 为均值, Σ Σ 为协方差矩阵。关于协方差矩阵的内容可以看 关于协方差矩阵在机器学习中的理解
    1. 针对二维高斯分布,若随机变量中的两个维度不相关,协方差矩阵对对角阵,则如下图所示
    这里写图片描述
    这里写图片描述
    构成一个圆形。

    2.若两个维度数据相关,协方差矩阵为对称矩阵,则如下图所示
    这里写图片描述
    这里写图片描述
    构成一个椭圆形。

    3.针对二维高斯分布,协方差矩阵的对角线元素为 X1 X 1 X2 X 2 轴的方差,反斜对角线上的两个值为协方差,表明 X1 X 1 X2 X 2 的线性相关程度,(正值时: X1 X 1 增大, X2 X 2 也随之增大;负值时: X1 X 1 增大, X2 X 2 随之减小)。
    图片来自
    这里写图片描述
    能够看出,图形的形状跟方向跟协方差矩阵 XXT X X T 相关,所在轴的方差越大则该方向越长,协方差矩阵最大特征值对应的特征向量的方向为椭圆的朝向。

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高斯分布的协方差矩阵