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  • 三维旋转矩阵

    2011-12-16 12:00:11
    清华大学的讲稿,三维旋转矩阵,有需要做三维的朋友,可以看下
  • 二维旋转矩阵推导: 点沿轴逆时针旋转度后变为点: 有, 则旋转矩阵为 同理可得在三维坐标系(右手准则)下: 绕轴逆时针旋转角度旋转矩阵为: 绕轴逆时针旋转角度旋转矩阵为:...则三维旋转矩阵为: ...

    二维旋转矩阵推导:

    A沿Y轴逆时针旋转\theta度后变为点{A}'

    x={OA}cos\varphiy={OA}sin\varphi

    {x}'= {OA}'cos(\varphi +\theta )={OA}'(cos\varphi cos\theta -sin\varphi sin\theta )=xcos\theta -ysin\theta

    {y}'={OA}'sin(\varphi +\theta )={OA}'(sin\varphi cos\theta +cos\varphi sin\theta )=ycos\theta +xsin\theta

    则旋转矩阵R\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}

    顺时针旋转时R\begin{bmatrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}

    同理可得在三维坐标系(右手准则)下:

    X轴逆时针旋转\theta角度旋转矩阵R_{x}为:\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & cos\theta & -sin\theta \\ 0 & sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}X轴坐标不变,YZ平面旋转。

    同理,绕Y轴逆时针旋转\theta角度旋转矩阵R_{y}为:\begin{bmatrix} cos\theta & 0 & sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -sin\theta & 0 & cos\theta \end{bmatrix}

    Z轴逆时针旋转\theta角度旋转矩阵R_{z}为:\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta & 0\\ sin\theta & cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

    则三维旋转矩阵为:R_{x}\cdot R_{y}\cdot R_{z}

     

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  • 三维旋转矩阵的详细推导过程

    千次阅读 2020-10-03 19:24:33
    具体的推导内容参考以下链接,感谢这位博主的详细推导: https://blog.csdn.net/qiuqchen/article/details/21980731

    三维旋转矩阵的详细推导过程:


    我们在进行旋转矩阵推导的时候应该要明白什么是左手坐标系和右手坐标系,要知道如何判断坐标系的方向。
    左手坐标系:以左手大拇指为X轴正方向食指为Y轴正方向,此时大拇指和食指成一个八字形,然后加入中指,这个时候三个手指互相垂直,中指指的方向为Z轴正方向
    具体的图示如下:
    在这里插入图片描述
    右手坐标系:以以右手大拇指为X轴正方向食指为Y轴正方向,此时大拇指和食指成一个八字形,然后加入中指,这个时候三个手指互相垂直,中指指的方向为Z轴正方向
    具体图示如下:
    在这里插入图片描述
    弄清楚了左右手坐标系,我们还要知道旋转的正方向是以逆时针为正方向的。
    三维空间旋转,可以简单理解为,绕哪个轴旋转,哪个轴的值不变,然后将其转换为二维平面上的向量进行计算即可。
    我们定义一个三维空间中的点P(X,Y,Z),然后这个点在XOY平面上的投影点为M(x,y,0),在XOZ平面上的投影为点N(x,0,z),在YOZ平面上的投影为点Q(0, y,z)。这个坐标系为右手坐标系。(图是网上摘录的,有错误,以描述的为准。)
    在这里插入图片描述
    以空间点P(X,Y,Z)在XOY平面上的投影为例,求取绕Z轴旋转的旋转矩阵,绕X轴与绕Y轴旋转的与绕Z轴的同理。
    绕Z轴的投影如下图所示,旋转以逆时针为正方向旋转。
    在这里插入图片描述
    旋转前点P(X,Y,Z),旋转后点P’(X’,Y’,Z’),旋转前点M(x,y),旋转后点M(x’,y’);
    旋转对应公式如下:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    剩下的推导是手写的,因为软件打公式有些麻烦,还请大家见谅。
    在这里插入图片描述
    绕其他轴旋转的推导过程跟绕Z轴一样,这里不再细推了。
    最后如果要是以Z->Y->X的顺序进行旋转,则最后的旋转矩阵应该为
    R = RxRyRz这个顺序相乘,如果是X->Y->Z的顺序进行旋转,最后的旋转矩阵应该为R= RzRyRx这个顺序相乘,因为矩阵是依次左乘的。

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  • 三维旋转矩阵 左乘和右乘分析

    千次阅读 2020-07-17 19:24:43
    突然发现自己被旋转矩阵的左乘右乘给搞糊涂了,查了不少博客还是有点晕,...由于三维旋转可以分解成分别绕三个轴旋转,然后其实就是二维旋转了。为了方便,这里就使用二维旋转举例。 比如绕z轴旋转 theta 角度; 左乘

    突然发现自己被旋转矩阵的左乘右乘给搞糊涂了,查了不少博客还是有点晕,这里自己总结一下:

    本文所讨论均是基于右手坐标系,旋转也是以正方向旋转,如图所示:

    右手坐标系及旋转正方向

    左乘: 坐标系不动,点动,则左乘。【若绕静坐标系(世界坐标系)旋转,则左乘,也是变换矩阵乘坐标矩阵;】

    右乘: 点不动,坐标系动,则右乘。【若是绕动坐标系旋转(自身建立一个坐标系),则右乘,也就是坐标矩阵乘变换矩阵】

    由于三维旋转可以分解成分别绕三个轴旋转,然后其实就是二维旋转了。为了方便,这里就使用二维旋转举例。
    比如绕z轴旋转 theta 角度;
    左乘分析如图所示:
    在这里插入图片描述
    而右乘分析:
    则是旋转坐标系;点逆时针旋转了theta角,其实也就是相当于坐标轴也逆时针旋转theta角。如图所示:
    在这里插入图片描述
    设点原坐标为 [ x , y , z ] [ x , y , z ] [ x , y , z ] [x,y,z][x,y,z] [x,y,z] [x,y,z][x,y,z][x,y,z]Rleft3(θ)Rleft2(θ)Rleft1(θ)xyz=Rright3(θ)Rright2(θ)Rright1(θ)xyz

    不过建议只是用一种方法来计算旋转矩阵,以免混淆。

    【如有错误,欢迎各位批评指正。】

    参考博客:https://blog.csdn.net/csxiaoshui/article/details/65446125

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    转自:https://blog.csdn.net/deng_sai/article/details/21169997

    转自:http://hi.baidu.com/herohbc/item/4d20780de7726697a2df437f

    三维旋转矩阵的计算

    在三维空间中,旋转变换是最基本的变换类型之一,有多种描述方式,如Euler角、旋转矩阵、旋转轴/旋转角度、四元数等。本文将介绍各种描述方式以及它们之间的转换。

     

    1. 旋转矩阵

    用一个3阶正交矩阵来表示旋转变换,是一种最常用的表示方法。容易证明,3阶正交阵的自由度为3。注意,它的行列式必须等于1,当等于-1的时候相当于还做了一个镜像变换。

     

    2. Euler角

    根据Euler定理,在三维空间中,任意一种旋转变换都可以归结为若干个沿着坐标轴旋转的组合,组合的个数不超过三个并且两个相邻的旋转必须沿着不同的坐标轴。因此,可以用三个沿着坐标轴旋转的角度来表示一个变换,称为Euler角。旋转变换是不可交换的,根据旋转顺序的不同,有12种表示方式,分别为:XYZ、XZY、XYX、XZX、YXZ、YZX、YXY、YZY、ZXY、ZYX、ZXZ、ZYZ,可以自由选择其中的一种。对于同一个变换,旋转顺序不同,Euler角也不同,在指定Euler角时应当首先约定旋转顺序。

    2.1 Euler角 转化为 旋转矩阵

    不妨设先绕Z轴旋转γ,再绕Y轴旋转β,最后绕X轴旋转α,即旋转顺序为XYZ,旋转矩阵

     

    3. 旋转轴/旋转角度

    用旋转轴的方向向量n和旋转角度θ来表示一个旋转,其中

    θ>0表示逆时针旋转。

    3.1 旋转轴/旋转角度 转化为 旋转矩阵

    设v是任意一个向量,定义

    如下图所示

    这样,我们建立了一个直角坐标系

    设u为v绕轴旋转后得到的向量,则有

     

    R即为旋转矩阵。进一步可表示为

     

    4. 单位四元数(Unit quaternions)

    四元数由Hamilton于1843年提出,实际上是在四维向量集合上定义了通常的向量加法和新的乘法运算,从而形成了一个环。

     


    q称为单位四元数,如果||q||=1。一个单位四元数可以表示三维旋转。用单位四元数表示旋转可以保持一个光滑移动的相机的轨迹,适合动画生成。

     

    4.1 旋转轴/旋转角度 转化为 单位四元数

    根据旋转轴n和旋转角度θ,得到单位四元数q

    4.2 单位四元数 转化为 旋转轴/旋转角度

    4.3 单位四元数 转化为 旋转矩阵

     

     

     4.4 四元数的性质

    定义四元数的逆、乘法和除法,如下所示

     

    根据该性质,我们可以对两个旋转变换q1和q2作线性插值,这相当于在四维空间中的超球面上对点q1和q2作球面线性插值。

     

     

    也可以按下面的方法计算

     

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