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  • 噪声系数公式理解

    千次阅读 2020-06-14 16:57:39
    噪声决定电路的性能,在设计电路时需要着重考虑。噪声决定了电路系统的动态范围下限。如下图所示,这是一个PA的动态范围图,其中噪声本底决定了其动态范围下限。    噪声通常时由器件和材料中的电荷...

       噪声决定电路的性能,在设计电路时需要着重考虑。噪声决定了电路系统的动态范围下限。如下图所示,这是一个PA的动态范围图,其中噪声本底决定了其动态范围下限。

    在这里插入图片描述
       噪声通常时由器件和材料中的电荷或载流子的随机运动所产生。根据产生机制不同可以把噪声源分为:
        热噪声 : 它是由束缚电荷的热振动产造成的;
        散弹噪声: 它是由电子管或固态器件中载流子的随机涨落引起的;
        1f\frac{1}{f} 噪声: 发生在固态原件和真空电子管中,与频率ff成反比。
       对于一个含噪声的系统常常用一个无噪声电阻和一个电压源等效。考虑在T=290KT=290K下的一个有噪声电阻,该电阻中的电子随机运动,其动能与温度成正比。这些随机运动的电子在电路的两端产生小的随机电压。(这也是为什么用三极管或者场效应管做低噪声放大器时不在信号输入端串电阻的原因,因为电阻本身就是一个噪声源) 由普朗克黑体辐射定律,加上在微波频率下简化可以得出该随机电压为:Vn=4kTBRV_{n}=\sqrt{4 k T B R}

    kk——玻尔兹曼常数
           TT——热力学温度(KK)
           BB—系统的带宽(HzHz
    RR—电阻(OhmOhm

    这种噪声功率不随频率改变,那么噪声源的功率谱密度也不随频率改变,称其为白噪声源。假设该电阻阻值为RR,那么该有噪声电阻可以等效为一个电压源和负载电阻为RR的电路模型,电压源为VnV_{n}。从而可以得出负载上的功率为:
    Pn=(Vn2R)2R=kTBP_{n}=(\frac{V_{n}}{2R})^2R=kTB由该公式可以看出,一个噪声电阻RR可以等效为一个电压源和阻值为RR串联,且噪声功率为PnP_{n},需要注意的是T=290KT=290K
       接下来我们可以对任何噪声源(白色的)进行类似的等效。假设有一个噪声源噪声功率为NoN_{o},
    No=(Vn12R)2R=kTeBN_{o}=(\frac{V_{n1}}{2R})^2R=kT_eB注意此时的TeT_e已经不是前面的T=290KT=290K,而是这个噪声源等效的噪声温度。根据上面的公式可以得出:
    Te=NokBT_e=\frac{N_o}{kB}TeT_e称为该噪声源的等效噪声温度。
    噪声系数(noisefigurenoise figure),定义为输入和输出信噪比:F=Si/NiSo/NoF=\frac{{S_i}/{N_i}}{{S_o}/{N_o}}   Si/oS_{i/o}输入/输出信号功率,Ni/oN_{i/o} 输入/输出出噪声信号功率。信噪比是信号功率与噪声功率的比值,当信号功率为定值s信时噪比越大噪声功率越小,因此信噪比希望大一些。噪声系数是输入信噪比与输出信噪比的比值,假设有一个两端口网络如下图:
    在这里插入图片描述对于输入信号而言进入有噪网络后其噪声功率势必会增长,也就是说对于NiN_i来说NoN_o会增加,从而输出的信噪比会下降,因此可以得出一个结论对于一般的系统来说  F>1F>1。假设输入噪声功率由T0=290KT_0=290K的匹配电阻产生的,即Ni=kT0BN_i=kT_0B,考虑到输入信号和噪声功率输入到一个二端口有噪声网络,该有噪网络的噪声功率为等效噪声温度为TeT_e。那么该二端口网络的噪声系数为:F=Si/NiSo/No=SikT0BkGB(T0+Te)GSi=1+TeT0 F=\frac{{S_i}/{N_i}}{{S_o}/{N_o}}=\frac{S_i}{kT_0B}\frac{kGB(T_0+T_e)}{GS_i}=1+\frac{T_e}{T_0}dBdB表示 NF=10logFNF=10log F。若网络内无噪声那么Te=0,T_e=0,F=1,NF=0F=1,NF=0  所以,F>=1,NF>=0F>=1,NF>=0。需要注意的是无源二端口网络处于室温 T=290KG=1/L,F=LT=290K,G=1/L,F=L,其中 LL 为该二端口网络的损耗因子,GG 为该二端口网络的增益,FF 为二端口网络的噪声系数。

            级联网络的噪声系数公式推导:在这里插入图片描述No1=G1k(T0+Te1)BN_{o1}=G_1k(T_0+T_{e1})BSo1=G1SiS_{o1}=G_1S_{i}No=G2No1+G2kTe2BN_o=G_2N_{o1}+G_2kT_{e2}BSo=G2So1S_o=G_2S_{o1}可得:F=Si/NiSo/No=SikT0BG2No1+G2kTe2BG2G1SiF=\frac{{S_i}/{N_i}}{{S_o}/{N_o}}=\frac{S_i}{kT_0B}\frac{G_2N_{o1}+G_2kT_{e2}B}{G_2G_1S_i}=G1(T0+Te1)+Te2T0G1=1+Te1T0+Te2G1T0=\frac{G_1(T_0+T_{e1})+T_{e2}}{T_0G_1}=1+\frac{T_{e1}}{T_0}+\frac{T_{e2}}{G_1T_0}于是,两级级联网络的噪声系数为:F=1+Te1T0+Te2G1T0F=1+\frac{T_{e1}}{T_0}+\frac{T_{e2}}{G_1T_0}由前面可知:F1=1+Te1T0F_1=1+\frac{T_{e1}}{T_0}也可以得到:F2=1+Te2T0F_2=1+\frac{T_{e2}}{T_0} Te2G1T0=F21G1\frac{T_{e2}}{G_1T_0}=\frac{F_2-1}{G_1}于是:
    F=F1+F21G1F=F_1+\frac{F_2-1}{G_1}依次递推:F=F1+F21G1+F31G1G2+...F=F_1+\frac{F_2-1}{G_1}+\frac{F_3-1}{G_1G_2}+...下面给一个计算级联噪声系数的例题:
    在这里插入图片描述
    假设Ni=kTaBN_i=kT_aB,其中TA=150KT_A=150K,求噪声系数NFNF
        首先把dBdB转换成数的形式:Ga=10dB=10,Fa=2dB=1.58G_a=10dB=10,F_a=2dB=1.58Lf=1dB=1.26,Gf=1dB=0.79,Ff=1.26L_f=1dB =1.26,G_f=-1dB=0.79 ,F_f=1.26Lm=3dB=2,Gm=0.5,Fm=4dB=2.51L_m=3dB=2,G_m=0.5,F_m=4dB=2.51带入级联公式可得:F=Fa+Ff1Ga+Fm1GaGf=1.58+1.26110+2.51110×0.79=1.8F=F_a+\frac{F_f-1}{G_a}+\frac{F_m-1}{G_aG_f}=1.58+\frac{1.26-1}{10}+\frac{2.51-1}{10\times0.79}=1.8NF=10log1.8=2.55dBNF=10log1.8=2.55dB要注意的是:

    1、在计算级联噪声系数时需要将dBdB转换为数的形式;
    2、第一级噪声系数对整个系统的噪声特性贡献大于后级,所以在设计电路时需要着重关注第一级噪声系数性能指标。

    参考 《 微波工程》第三版 David M.Pozar

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  • Khan公开课 - 统计学学习笔记 (九)线性回归公式决定系数和协方差
                   

    线性回归公式推导

    在坐标上分布很多点,这些点可以通过y=mx+b的直线进行近似模拟,如图。最合适的线性回归线(Best fitting regression)就是Error的方差最小,即Square error to the line: SEline最小。我们需要找寻SEline最小时m和b的值,即find the m & b that minimizes SEline

    SEline=(y1-(mx1+b))2+(y2-(mx2+b))2+ … +(yn-(mxn+b))2 
         = y12-2y1(mx1+b)+(mx1+b)2+y22-2y2(mx2+b)+(mx2+b)2+ … +
    yn2-2yn(mxn+b)+(mxn+b)2
        = y12 – 2y1mx1 – 2y1b + m2x12+2mx1b+b2+ … …
        = (y12+ y22+…+yn2) - 2m(x1y1+x2y2+…+xnyn) - 2b(y1+y2+…+yn) + m2(x12+x22+…+xn2) + 2mb(x1+x2+…+xn) + nb2


    如果知道所有点的分布,即在x,y已知的情况下,不同的m和b,有不同的SEline,是一个三纬曲面,类似碗状,求最小SEline时m、b知,可通过对m和b求偏导获得。偏导就是对于某一个自变量进行求导。

    从第二的方程中可以知道x和y的均值位于该直线上,解方程得

    决定系数r2

    y=mx+b,使得SEline为最小,我们需要衡量这条回归线(regression line)和数据的吻合程度有多少。也就是How much (what %) of the total variation in y is described by the variation in x (or by the regression line) .

    Total variation of y 也相当是square error of mean:

    How much of total variation is NOT describe by the regression line:

    SEline=(y1-f(x1))2+(y1-f(x2))2+ … + (yn-f(xn))2
                   =(y1-(mx1+b))2+(y1-(mx2+b))2+ … + (yn-(mxn+b))2

    What % variation is NOT described by the variation in x or by the regression line 。回归线y=mx+b,是用x来描述y。

    What % of total variation is described by the variation in x:

    R2: coefficient of determination决定系数。当SEline越小,越符合回归线,r2越接近1;相反当SEline越大,r2越接近0。R2可以视为衡量回归线符合情况的参数。

    协方差Covariance

    协方差Covariance,Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))],观察X与其均值之差X-E(X)以及Y与其均值之差E(Y)之间的同步关系,是否X-E(X)上升,Y-E(Y)也上升,两者之间的关联。

    Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=E[XY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y)]

    由于E(X)是线性,有Cov(X,Y)= E[XY]-E[XE(Y)]-E[YE(X)]+E[E(X)E(Y)],这里暗红色部分是个常数,有

    Cov(X,Y)= E[XY]-E(Y)E(X)-E(X)E(Y)+E(X)E(Y) = E(XY)-E(X)E(Y)

    针对用采样样本进行估算,则有

    重写regression line的斜率 ,当中Var(X)=E[(X-E(X))2]=Cov(X,X)

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  • 相关系数、决定系数

    千次阅读 2017-05-11 17:25:56
    http://blog.csdn.net/flowingflying/article/details/8070181 决定系数--描述自变量对因变量的解释程度 公式

    http://blog.csdn.net/flowingflying/article/details/8070181

    决定系数--描述自变量对因变量的解释程度

    公式


    除以Y的方差的原因可以理解为去除量纲

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  • 分享一下我老师大神的人工智能教程!零基础,通俗易懂!http://blog.csdn.net/jiangjunshow也欢迎大家转载本...分享知识,造福人民,实现我们中华民族伟大复兴!   ... 线性回归公式推导在坐标

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    线性回归公式推导

    在坐标上分布很多点,这些点可以通过y=mx+b的直线进行近似模拟,如图。最合适的线性回归线(Best fitting regression)就是Error的方差最小,即Square error to the line: SEline最小。我们需要找寻SEline最小时m和b的值,即find the m & b that minimizes SEline

    SEline=(y1-(mx1+b))2+(y2-(mx2+b))2+ … +(yn-(mxn+b))2 
         = y12-2y1(mx1+b)+(mx1+b)2+y22-2y2(mx2+b)+(mx2+b)2+ … +
    yn2-2yn(mxn+b)+(mxn+b)2
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        = (y12+ y22+…+yn2) - 2m(x1y1+x2y2+…+xnyn) - 2b(y1+y2+…+yn) + m2(x12+x22+…+xn2) + 2mb(x1+x2+…+xn) + nb2


    如果知道所有点的分布,即在x,y已知的情况下,不同的m和b,有不同的SEline,是一个三纬曲面,类似碗状,求最小SEline时m、b知,可通过对m和b求偏导获得。偏导就是对于某一个自变量进行求导。

    从第二的方程中可以知道x和y的均值位于该直线上,解方程得

    决定系数r2

    y=mx+b,使得SEline为最小,我们需要衡量这条回归线(regression line)和数据的吻合程度有多少。也就是How much (what %) of the total variation in y is described by the variation in x (or by the regression line) .

    Total variation of y 也相当是square error of mean:

    How much of total variation is NOT describe by the regression line:

    SEline=(y1-f(x1))2+(y1-f(x2))2+ … + (yn-f(xn))2
                   =(y1-(mx1+b))2+(y1-(mx2+b))2+ … + (yn-(mxn+b))2

    What % variation is NOT described by the variation in x or by the regression line 。回归线y=mx+b,是用x来描述y。

    What % of total variation is described by the variation in x:

    R2: coefficient of determination决定系数。当SEline越小,越符合回归线,r2越接近1;相反当SEline越大,r2越接近0。R2可以视为衡量回归线符合情况的参数。

    协方差Covariance

    协方差Covariance,Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))],观察X与其均值之差X-E(X)以及Y与其均值之差E(Y)之间的同步关系,是否X-E(X)上升,Y-E(Y)也上升,两者之间的关联。

    Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=E[XY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y)]

    由于E(X)是线性,有Cov(X,Y)= E[XY]-E[XE(Y)]-E[YE(X)]+E[E(X)E(Y)],这里暗红色部分是个常数,有

    Cov(X,Y)= E[XY]-E(Y)E(X)-E(X)E(Y)+E(X)E(Y) = E(XY)-E(X)E(Y)

    针对用采样样本进行估算,则有

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