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  • 重积分中轮换对称性的应用重积分中轮换对称性的应用重积分中轮换对称性的应用
  • 人生有无数的可能,考研的结果一定不是终点!但做的每一个选择都要坚持到最后!这是对自己、对梦想最大的尊重!用探索方法代替消极迷茫,用寻求技巧抵消杂乱慌张!争分夺秒,竭尽所能!悉心浇灌,静候花开!隧道的尽头终...
  • 主要是降了如何利用对称性进行求解,包括我们常见的一些对称性的利用以及一些补充
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  • 用被积函数的奇偶性和积分域关于坐标面、坐标轴、坐标原点的对称性计算各类积分已有作者做了讨 论和补充. 也有作者讨论了积分域关于某点、某直线、某平面广义对称时,几类积分的计算及应用 . 在 此基础上,本文进一步...
  • ​ 解: 由于 x,y,zx,y,zx,y,z等效,所以具有轮换对称性,则: ∮Lx2ds=13∮L(x2+y2+z2)ds=13a2∮Lds=13a22πa=23πa3.\oint_Lx^2ds=\frac{1}{3} \oint_L(x^2+y^2+z^2)ds=\frac{1}{3} a^2\oint_Lds=\frac{1}{3}a^22\...

    当多个变元具有轮换对称性并且第一类曲线(面)积分计算量较大时,考虑利用轮换对称性解题


    (1) ∮ L x 2 d s \oint_L x^2ds Lx2ds,其中 L L L为圆周 { x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , x + y + z = 0. \left\{ \begin{aligned} x^2+y^2+z^2 & = & a^2,\\ x+y+z & = & 0 .\\ \end{aligned} \right. {x2+y2+z2x+y+z==a2,0.

    解:
    由于 x , y , z x,y,z x,y,z等效,所以具有轮换对称性,则:
    ∮ L x 2 d s = 1 3 ∮ L ( x 2 + y 2 + z 2 ) d s = 1 3 a 2 ∮ L d s = 1 3 a 2 2 π a = 2 3 π a 3 . \oint_Lx^2ds=\frac{1}{3} \oint_L(x^2+y^2+z^2)ds=\frac{1}{3} a^2\oint_Lds=\frac{1}{3}a^22\pi a=\frac{2}{3}\pi a^3. Lx2ds=31L(x2+y2+z2)ds=31a2Lds=31a22πa=32πa3.


    (2)半径为 R R R的均匀球壳(面密度 μ = 1.0 \mu=1.0 μ=1.0),求其对过球心的一条轴 l l l的转动惯量.

    解:
    选取球心为坐标原点,转轴 l l l为直径 z z z轴,则球面方程为:

    x 2 + y 2 + z 2 = R 2 . x^2+y^2+z^2=R^2. x2+y2+z2=R2.

    I z = ∯ S ( x 2 + y 2 ) d s . I_z= \oiint_S(x^2+y^2)ds. Iz= S(x2+y2)ds.

    由于 x , y , z x,y,z x,y,z等效,所以具有轮换对称性,则:

    I z = ∯ S ( x 2 + y 2 ) d s = 2 3 ∯ S ( x 2 + y 2 + z 2 ) d s = 2 3 R 2 ∯ S d s = 2 3 R 2 4 π R 2 = 8 3 π R 4 . I_z= \oiint_S(x^2+y^2)ds=\frac{2}{3} \oiint_S(x^2+y^2+z^2)ds=\frac{2}{3}R^2\oiint_Sds=\frac{2}{3}R^24\pi R^2=\frac{8}{3}\pi R^4. Iz= S(x2+y2)ds=32 S(x2+y2+z2)ds=32R2 Sds=32R24πR2=38πR4.

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  • 轮换对称

    2019-01-28 10:47:00
    一、什么是轮换对称式? 比如给定的表达式\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\), 如果我们将\(a、b、c\)轮番替换,比如\(a\Rightarrow b,b\Rightarrow c,c\Rightarrow a\)后, 就得到了\(b^2+c^2+a^2\ge bc+ca+ab\),其...

    一、什么是轮换对称式?

    比如给定的表达式\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

    如果我们将\(a、b、c\)轮番替换,比如\(a\Rightarrow b,b\Rightarrow c,c\Rightarrow a\)后,

    就得到了\(b^2+c^2+a^2\ge bc+ca+ab\),其本质和替换前的是一样的(加法具有交换律)。

    凡是具有这样的特征的代数式我们就称之为轮换对称式。

    证明轮换对称式的题目时常常考虑构造对称不等式。

    二、轮换对称式的证明思路小结:主要用“分合”策略,

    \(1^。\) 先说“分”:

    分组方式为两项为一组或一项一组,当两项为一组时,或利用现有的项两两构成一组,或添加项构成一组;常利用基本不等式来解决,当一项为一组时,常利用单调性来解决。

    • \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)

    主要利用形如这样\(a^2+b^2\ge 2ab\)的三个同样结构形式解决。

    • 再如\(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\ge \sqrt{2}(a+b+c)\)

    主要利用形如这样\(\sqrt{a^2+b^2}\ge \cfrac{\sqrt{2}(a+b)}{2}\) 的三个同结构的形式解决。

    • 再如锐角三角形中,证明\(sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC\)

    主要利用形如\(sinA>cosB\)的三个同结构的形式解决。

    \(2^。\) 再说“合”:

    往往是把相同形式的三个代数式相加或相乘即可。

    • \(\left.\begin{array}{l}{a^2+b^2\ge 2ab}\\{b^2+c^2\ge 2bc}\\{c^2+a^2\ge 2ca}\end{array}\right\}\Rightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\ge 2(ab+bc+ac)\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)

    • \(\left.\begin{array}{l}{\sqrt{a^2+b^2}\ge \cfrac{\sqrt{2}(a+b)}{2}}\\{\sqrt{b^2+c^2}\ge \cfrac{\sqrt{2}(b+c)}{2}}\\{\sqrt{c^2+a^2}\ge \cfrac{\sqrt{2}(c+a)}{2}}\end{array}\right\}\Rightarrow \sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\ge \sqrt{2}(a+b+c)\)

    • \(\left.\begin{array}{l}{sinA>cosB}\\{sinB>cosC}\\{sinC>cosA}\end{array}\right\}\Rightarrow sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC\)

    三、典例剖析

    例1证明:\(\cfrac{a^2}{b}+\cfrac{b^2}{c}+\cfrac{c^2}{a}\ge a+b+c\)

    分析:\(\cfrac{a^2}{b}+b\ge 2a(a=b时取等号)\)\(\cfrac{b^2}{c}+c\ge 2b(b=c时取等号)\)\(\cfrac{c^2}{a}+a\ge 2c(a=c时取等号)\)

    三个式子相加得到\(\cfrac{a^2}{b}+\cfrac{b^2}{c}+\cfrac{c^2}{a}\ge a+b+c\),当且仅当\(a=b=c\)时取到等号。

    例2已知\(a,b,c\)为正实数,且\(a+b+c=1\),求证:

    (1)\(a^2+b^2+c^2\ge \cfrac{1}{3}\)

    【法1】由于\(a+b+c=1\)

    \(1^2=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)

    \(\leq a^2+b^2+c^2+(a^2+b^2)+(b^2+c^2)+(c^2+a^2)=3(a^2+b^2+c^2)\)

    \(a^2+b^2+c^2\ge \cfrac{1}{3}\)

    【法2】设\(a=\cfrac{1}{3}+\alpha\)\(b=\cfrac{1}{3}+\beta\)\(c=\cfrac{1}{3}+\gamma\)

    则由\(a+b+c=1\),将上式代入得到\(\alpha+\beta+\gamma=0\)

    \(a^2+b^2+c^2=(\cfrac{1}{3}+\alpha)^2+(\cfrac{1}{3}+\beta)^2+(\cfrac{1}{3}+\gamma)^2\)

    \(=\cfrac{1}{3}+\cfrac{2}{3}(\alpha+\beta+\gamma)+\alpha^2+\beta^2+\gamma^2\)

    \(=\cfrac{1}{3}+\alpha^2+\beta^2+\gamma^2\ge \cfrac{1}{3}\)

    (2)\(ab+bc+ca\leq \cfrac{1}{3}\)

    分析:由于\(a+b+c=1\)

    \(1^2=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)

    \(\ge (ab+bc+ca)+2ab+2bc+2ca=3(ab+bc+ca)\)

    \(ab+bc+ca\leq \cfrac{1}{3}\)

    (3)\(\cfrac{a^2}{b}+\cfrac{b^2}{c}+\cfrac{c^2}{a}\ge 1\)

    分析:由例题1可知,

    \(\cfrac{a^2}{b}+\cfrac{b^2}{c}+\cfrac{c^2}{a}\ge a+b+c=1\),得证。

    例3证明:\(\cfrac{x}{yz}+\cfrac{y}{xz}+\cfrac{z}{xy}\ge \cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{y}+\cfrac{1}{z}\)

    分析:\(\cfrac{x}{yz}+\cfrac{y}{xz}=\cfrac{1}{z}(\cfrac{x}{y}+\cfrac{x}{y})\ge \cfrac{2}{z}(x=y时取到等号)\)

    \(\cfrac{y}{xz}+\cfrac{z}{xy}=\cfrac{1}{x}(\cfrac{y}{z}+\cfrac{z}{y})\ge \cfrac{2}{x}(y=z时取到等号)\)

    \(\cfrac{z}{xy}+\cfrac{x}{yz}=\cfrac{1}{y}(\cfrac{z}{x}+\cfrac{x}{z})\ge \cfrac{2}{y}(z=x时取到等号)\)

    以上三个式子相加,得到\(2(\cfrac{x}{yz}+\cfrac{y}{xz}+\cfrac{z}{xy})\ge 2(\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{y}+\cfrac{1}{z})\)

    \(\cfrac{x}{yz}+\cfrac{y}{xz}+\cfrac{z}{xy}\ge \cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{y}+\cfrac{1}{z}\)(当且仅当\(x=y=z\)时取到等号)。

    例4证明:在锐角三角形中,\(sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC\)

    分析:在锐角三角形中,\(A,B,C\in (0,\cfrac{\pi}{2})\),故\(A+B>\cfrac{\pi}{2}\)

    \(A>\cfrac{\pi}{2}-B\),此时可知\(A,\cfrac{\pi}{2}-B\in (0,\cfrac{\pi}{2})\)

    而函数\(y=sinx\)在区间\((0,\cfrac{\pi}{2})\)上单调递增,故\(sinA>sin(\cfrac{\pi}{2}-B)=cosB\)

    同理,\(sinB>cosC\)\(sinC>cosA\),三个式子相加得到,

    \(sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC\)

    转载于:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/10329203.html

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  • 提出了积分区域关于变量的轮换对称性的定义,讨论了多元函数积分关于变量的轮换不变性,并给出了具体的性质.
  • 利用积分区域的对称性计算重积分

    千次阅读 多人点赞 2019-10-18 12:03:31
    其中三重积分的轮换对称性,无需和被积函数的奇偶性配合 。 二重积分: 对于重积分 一、积分区域关于坐标轴对称: a. 积分区域关于y轴对称, ,是右半平面的区域。 证明(方法1):设 ,分别表左右半平面...

    根据积分区域的对称情况 和 被积函数的奇偶性的配合可以得到不同的结论。

    其中三重积分的轮换对称性,无需和被积函数的奇偶性配合 。

    二重积分:

    对于重积分\tiny {\iint_D}f(x,y)dxdy

    一、积分区域关于坐标轴对称:

    a. 积分区域关于y轴对称, 

    \tiny f(-x,y)=-f(x,y) \Rightarrow \iint_D f(x,y)=0

    \tiny f(-x,y)=f(x,y) \Rightarrow \iint_D f(x,y)=2\iint_{D_1} f(x,y),\tiny {D_1} 是右半平面的区域。

     

    证明(方法1):设\tiny D=D_1+D_2  ,\tiny D_1,D_2 分别表左右半平面区域;

    相应地,   

                             \tiny I=I_1+I_2=\iint_{D_1} f(x,y)+\iint_{D_2} f(x,y)

    则                  \tiny I_2=\iint_{D_2}f(x,y)dxdy=-\iint_{D_2}f(-x,y)dxdy=-\iint_{D_1}f(x,y)dxdy =-I_1

    从而  \tiny I=0

    证明:(方法2)

    \tiny \iint_D f(x,y)=\int_{a}^{b}dy\int_{-A(y)}^{A(y)}f(x,y)dx  ,

                                         \tiny g(-x)=f(-x,y)=-f(x,y) =-g(x),                                     

                                      \tiny \int_{-A(y)}^{A(y)}f(x,y)dx=0,对x积分时,y被看成了常量,因此\tiny A(y) 被看成常量,

    于是,

                                       \tiny \iint_D f(x,y)=0

     

    b. 积分区域关于x轴对称时,有类似的结论。关于y的奇函数时积分为零;关于y的偶函数时,积分等于半区域积分的2倍 。 

    c.三重积分情形:

    配合被积函数的奇偶性:(三重积分的物理含义:不均匀的空间物体的质量)

    (1)积分区域关于\tiny yox (z=0)对称,即是z有对称取值区间:

           若\tiny g(-z)=f(x,y,-z)=-f(x,y,z)=-g(z),即被积函数是关于z的 奇函数,则积分为零 

    (2)积分区域关于\tiny yox (z=0)对称,即是z有对称取值区间:

           若\tiny g(-z)=f(x,y,-z)=f(x,y,z)=g(z),即被积函数是关于z的 偶函数,

               积分是半平面积分的2倍

     事实上按照

    先1后2的做作法,定积分有对称的取值区间,而这时被积函数是关于z的奇函数,故积分为零;

    \tiny \iiint_{\Omega }^{} f(x,y,z)dv = \iint _{D}dxdy\int _{-a(x,y)}^{a(x,y)}f(x,y,z)dz

    当时偶函数的时候,定积分是半区域的2倍,而二重积分的积分区域 \tiny D_{xy} 不会变,被积函数也不会变。

    因此这是三重积分是半空间区域内积分的2倍 。 

     

    二、积分区域关于坐标原点对称:

    \tiny I=\iint_{D}f(x,y)dxdy=\iint_{D_1}f(x,y)dxdy+\iint_{D_2}f(x,y)dxdy=I_1+I_2

    \tiny f(-x,-y)=f(x,y) ,则 \tiny \iint_{D_1}f(-x,-y)dxdy+\iint_{D_2}f(x,y)dxdy=\iint_{D_2}f(x,y)dxdy+\iint_{D_2}f(x,y)dxdy=2\iint_{D_2}f(x,y)

    \tiny f(-x,-y)=-f(x,y),则

    \tiny \iint_{D_1}f(-x,-y)dxdy=-\iint_{D_1}f(x,y)dxdy=\iint_{D_2}f(x,y)dxdy 因此 \tiny \iint_{D_1}f(x,y)dxdy+\iint_{D_2}f(x,y)dxdy=0

    TIP:可以根据二重积分的集合意义直观分析得出;若是关于x,y 的奇函数的时候,在对称区域上的微小体的体积总是互为相反数。因此总和为零。 有一个正的体积就有一个负的体积。

    三重积分情形:没有相关规律。

     

    三、(二重)积分区域D关于y=x对称 (轮换对称性 )

    (a)积分变量x,y 互换,不改变积分的值。

    这是因为,当互换变量时,点还是在原来的积分区域内,积分区域没有发生变化。积分值不变:可以用元素法来分析,若在D1取一小块体积,则交换积分变量,可以在对称的区域上取得一块同样的体积,因此,总的体积没有发生变化。

    因此,积分制不会发生改变 。

    (b)配合奇偶性有:

    若 \tiny f(x,y)=-f(y,x) 则,积分是零,即是\tiny I=\iint_{D}f(x,y)=0

    (即是,如果积分区域关于y=x对称(x和y有相同的地位),且在对称点处的函数值大小相等符号相反则积分为零)

    这是因为吧积分区域以 y=x 划分成两块区域\tiny D_1,D_2

    由于交换函数自变量x,y 的位置后,被积函数大小相等符号相反,而积分区域的大小是一样的。(根据定义。)

    \tiny f(x,y)=f(y,x)  ,则在关于 \tiny y=x 的积分区域\tiny D_1,D_2 ,在其中一个区域上有一个正的体积,在另外一个区域上也有一个正体积 ;同理有负体积也有附体积,总之积分是 \tiny D_1,D_2 上的积分的2倍 。 

    若 \dpi{200} \tiny f(x,y)=f(y,x) 则,积分是零,即是\tiny I=\iint_{D}f(x,y)=2\iint_{D_1}f(x,y)=2\iint_{D_2}f(x,y) ,,D=D_1+D_2

    三重积分下的轮换对称性,

    若积分区域 \tiny y=x 对称,x,y互换变量积分值不变; 

    \tiny \iiint_{\Omega }^{} f(x,y,z)dv =\int _{a}^{b}dz \iint _{D}f(x,y,z)dxdy 

    ,由于x和y 的等价性,结合二重积分的对称性可知,积分不会发生变化,即是

                          \tiny \iiint_{\Omega }^{} f(x,y,z)dv =\iiint_{\Omega }^{} f(y,x,z)dv

    若积分区域 \tiny y=z 对称,y,z互换变量积分值不变; 

    若积分区域 \tiny z=x 对称,x,z互换变量积分值不变;

    事实上,按先二后一的做法,由于二重积分不会发生改变,因此,三重积分不会发生改变。

    若,x,y,z 三个变量在积分区域上是等价的,即是互换位置的时候,积分不会发生变化

                                           ,如:\tiny x^2+y^2+z^2=r^2

          任意改变积分变量的位置,积分不会发生变化。

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空空如也

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轮换对称性