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  • 文章目录【小波分析】四、正交多分辨分析内容回顾形而上的理解多分辨分析与正交小波尺度方程和小波方程尺度方程小波方程标准正交系的频域表示低通滤波器和带通滤波器性质正交小波的构造正交小波的充要条件正交小波的...

    【小波分析】四、正交多分辨分析

    内容回顾

    形而上的理解

    上一次我们引入了多分辨分析,及其与正交小波的一个关系。

    多分辨分析 V j V_j Vj 有这样一些特征。 V j V_j Vj 包含于 V j + 1 V_{j+1} Vj+1 里面的,它可以通过在时间上压缩一倍直接得到。而每个 V j V_j Vj 空间,都有自己的一组标准正交基, V j + 1 V_{j+1} Vj+1 的标准正交基,并不是通过 V j V_j Vj 的标准正交基直接扩充得到,两组基之间,可能完全变了样。它最小的是一个只包含零元素的平凡空间, V j V_j Vj 中最大的一个,刚好充满整个 L 2 L^2 L2 空间。这个过程就像盖房子,你要盖更大的房子,你就要把原来的房子推倒重来。

    而正交小波有这样一些特征。 W j + 1 W_{j+1} Wj+1 也是可以通过 W j W_j Wj 在时间上压缩一倍得到,更神奇的是, W j + 1 W_{j+1} Wj+1 W j W_j Wj 是正交的,这就好比,一个东西,你把在时间上压了一压,就变得不是自己了,反而是和自己正交的东西。每个 W j W_{j} Wj 都有一组标准正交基,基和基之间也是正交的, W j + 1 W_{j+1} Wj+1 的基可以通过 W j W_j Wj的基时间伸缩和单位化得到。把这些所有的 W j W_j Wj 基放在一块,刚好可以张成整个的 L 2 L^2 L2 空间。这个过程就好比是贴瓷砖,每次都在原来的瓷砖周围贴上一层新的瓷砖,一直到铺满一面墙。

    V j V_j Vj W j W_j Wj 之间有这样一个关系。

    V j + 1 = V j ⊕ W j V_{j+1}=V_{j} \oplus W_{j} Vj+1=VjWj

    所以,从这里来看,如果给定了一个正交多辨分析,只要找到 V j + 1 V_{j+1} Vj+1 V j V_j Vj 上的补空间的一组标准正交基,使得它和前面所有的 W j W_j Wj 是正交的,那么,我们其实就找到了正交小波。我们可以把这个过程写得更加具体而可操作,那么这就是正交多辨分析的主要内容。

    多分辨分析与正交小波

    回顾一下多分辨的定义:

    定义 { V j ; j ∈ Z } \left\{V_{j} ; j \in Z\right\} {Vj;jZ} L ( R ) L(R) L(R)上的一列闭子空间, ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x) L 2 ( R ) L^{2}(R) L2(R) 中 的一个函数,如果它们满足如下的五个条件,即
    (1) 单调性:
    V j ⊂ V j + 1 , ∀ j ∈ Z V_{j} \subset V_{j+1}, \quad \forall j \in Z VjVj+1,jZ
    (2) 唯一性:
    ⋂ j ∈ Z V j = { 0 } \bigcap_{j \in Z} V_{j}=\{0\} jZVj={0}
    (3) 稠密性:
    ( ⋃ j ∈ Z V j ) ‾ = L 2 ( R ) \overline{\left(\bigcup_{j \in Z} V_{j}\right)}=L^{2}(R) jZVj=L2(R)
    (4) 伸缩性:
    f ( t ) ∈ V j ⇔ f ( 2 t ) ∈ V j + 1 ∀ j ∈ Z f(t) \in V_{j} \Leftrightarrow f(2 t) \in V_{j+1} \quad \forall j \in Z f(t)Vjf(2t)Vj+1jZ
    (5) 可构造性:
    { ϕ ( t − n ) ; n ∈ Z } \{\phi(t-n) ; n \in Z\} {ϕ(tn);nZ}
    构成子空间 V 0 V_{0} V0 的标准正交基。

    那么,称 { { V j ; j ∈ Z } ; ϕ ( x ) } \left\{\left\{V_{j} ; j \in Z\right\} ; \phi(x)\right\} {{Vj;jZ};ϕ(x)} L 2 ( R ) L^{2}(R) L2(R) 上的一个正交多分辨分析(MRA,Multi-Resolution Analysis)。

    由如上的定义,我们容易知道:
    { ϕ j , n ( t ) = 2 j 2 ϕ ( 2 j t − n ) ; n ∈ Z } \left\{\phi_{j, n}(t)=2^{\frac{j}{2}} \phi\left(2^{j} t-n\right) ; n \in Z\right\} {ϕj,n(t)=22jϕ(2jtn);nZ}
    构成了 V j V_j Vj 空间的一组标准正交基。

    仿照 Shannon 小波的构造方法,对 ∀ j ∈ Z \forall j \in Z jZ, 定义如下的子空间 W j W_{j} Wj
    W j ⊥ V j , V j + 1 = W j ⊕ V j W_{j} \perp V_{j}, V_{j+1}=W_{j} \oplus V_{j} WjVj,Vj+1=WjVj

    容易验证,子空间序列 { W j ; j ∈ Z } \left\{W_{j} ; j \in Z\right\} {Wj;jZ} 具有下述性质:

    • ∀ j ≠ l , W j ⊥ W l \forall j \neq l, W_{j} \perp W_{l} j=l,WjWl;
    • L 2 ( R ) = ⊕ l ∈ Z W l L^{2}(R)=\underset{l \in Z}{\oplus} W_{l} L2(R)=lZWl;
    • ∀ j ∈ Z , g ( t ) ∈ W j ⇔ g ( 2 t ) ∈ W j + 1 \forall j \in Z, g(t) \in W_{j} \Leftrightarrow g(2 t) \in W_{j+1} jZ,g(t)Wjg(2t)Wj+1

    我们要构造正交小波,我们只要找到一组标准正交基,要得到一组标准正交基,由第一条和第二条我们知道,只要找到所有 W j W_j Wj 的一组标准正交基就可以了,再由第三条,我们其实只要找到 W 0 W_0 W0 的一组标准正交基 ψ ( t − k ) \psi(t-k) ψ(tk) 就可以了。这是因为如果 ψ ( t − k ) \psi(t-k) ψ(tk) V 0 V_0 V0 的标准正交基,那么

    { 2 j 2 ψ ( 2 j t − k ) ; ( j , k ) ∈ Z × Z } \left\{2^{\frac{j}{2}} \psi\left(2^{j} t-k\right) ;(j, k) \in Z \times Z\right\} {22jψ(2jtk);(j,k)Z×Z}

    必然是 W j W_j Wj 的标准正交基。

    所以,我们要构造正交小波,要做的无非就是找到 W 0 W_0 W0 的一组标准正交基

    尺度方程和小波方程

    尺度方程

    由于 ϕ ( x ) ∈ V 0 ⊆ V 1 \phi(x) \in V_{0} \subseteq V_{1} ϕ(x)V0V1, V 1 V_{1} V1 有标准正交基 { 2 ϕ ( 2 t − n ) ; n ∈ Z } \{\sqrt{2} \phi(2 t-n) ; n \in Z\} {2 ϕ(2tn);nZ},必存在唯一的系数序列 { h n ; n ∈ Z } ∈ l 2 ( Z ) \left\{h_{n} ; n \in Z\right\} \in l^{2}(Z) {hn;nZ}l2(Z), 使得
    ϕ ( t ) = 2 ∑ n ∈ Z h n ϕ ( 2 t − n ) \phi(t)=\sqrt{2} \sum_{n \in Z} h_{n} \phi(2 t-n) ϕ(t)=2 nZhnϕ(2tn)
    这个方程叫做尺度方程。系数计算的方式为,
    h n = ⟨ ϕ ( t ) , 2 ϕ ( 2 t − n ) ⟩ = 2 ∫ R ϕ ( t ) ϕ ˉ ( 2 t − n ) d x h_{n}=\langle\phi(t), \sqrt{2} \phi(2 t-n)\rangle=\sqrt{2} \int_{R} \phi(t) \bar{\phi}(2 t-n) \mathrm{d} x hn=ϕ(t),2 ϕ(2tn)=2 Rϕ(t)ϕˉ(2tn)dx
    这个系数叫做低通滤波器系数。对尺度方程做傅里叶变换可以得到,
    ϕ ^ ( ω ) = H ( ω 2 ) ϕ ^ ( ω 2 ) \hat \phi(\omega)=\mathrm{H}\left(\frac{\omega}{2}\right) \hat \phi\left(\frac{\omega}{2}\right) ϕ^(ω)=H(2ω)ϕ^(2ω)
    其中,
    H ( ω ) = 1 2 ∑ n ∈ Z h n e − i n ω \mathrm{H}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{n \in Z} h_{n} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} n \omega} H(ω)=2 1nZhneinω
    这个称为低通滤波器。

    小波方程

    类比尺度方程,对于 ψ ( x ) ∈ W 0 ⊆ V 1 \psi(x) \in W_{0} \subseteq V_{1} ψ(x)W0V1,存在 { g n ; n ∈ Z } ∈ l 2 \left\{g_{n} ; n \in Z\right\} \in l^2 {gn;nZ}l2,使得,
    ψ ( t ) = 2 ∑ n ∈ Z g n ϕ ( 2 t − n ) \psi(t)=\sqrt{2} \sum_{n \in Z} g_{n} \phi(2 t-n) ψ(t)=2 nZgnϕ(2tn)

    做傅里叶变换可以得到频域形式,
    ψ ^ ( ω ) = G ( ω 2 ) ϕ ^ ( ω 2 ) \hat \psi(\omega)=G\left(\frac{\omega}{2}\right) \hat \phi\left(\frac{\omega}{2}\right) ψ^(ω)=G(2ω)ϕ^(2ω)
    其中,
    G ( ω ) = 1 2 ∑ n ∈ Z g n e − i n ω G(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{n \in Z} g_{n} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} n \omega} G(ω)=2 1nZgneinω
    这个称为带通滤波器。 g n g_{n} gn 称为脉冲响应系数。

    标准正交系的频域表示

    引理 设函数 s ( x ) ∈ L 2 ( R ) s(x) \in L^{2}(R) s(x)L2(R), 那么 { s ( t − n ) ; n ∈ Z } \{s(t-n) ; n \in Z\} {s(tn);nZ} 构成 L 2 ( R ) L^{2}(R) L2(R) 的 标准正交系,即
    ⟨ s ( t − n ) , s ( t − l ) ⟩ = δ ( n − l ) \langle s(t-n), s(t-l)\rangle=\delta(n-l) s(tn),s(tl)=δ(nl)
    的充分必要条件是
    ∑ k ∈ Z ∣ s ^ ( ω + 2 k π ) ∣ 2 = 1  a.e.  ω ∈ R \sum_{k \in Z}|\hat s(\omega+2 k \pi)|^{2}=1 \quad \text { a.e. } \omega \in R kZs^(ω+2kπ)2=1 a.e. ωR

    证明:
    ⟨ s ( t − n ) , s ( t − l ) ⟩ = 1 2 π ∫ R s ^ ( ω ) e − i n ω ( s ^ ( ω ) e − i l ω ‾ ) d ω = 1 2 π ∫ 0 2 π ∑ k ∈ Z ∣ s ^ ( ω + 2 k π ) ∣ 2 e − i ( n − l ) ω d ω \begin{aligned} \langle s(t-n), s(t-l)\rangle &=\frac{1}{2 \pi} \int_{R} \hat s(\omega) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} n \omega}\left(\overline{\hat s (\omega) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} l \omega}}\right) \mathrm{d} \omega=\\ & \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \sum_{k \in Z}|\hat s(\omega+2 k \pi)|^{2} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(n-l) \omega} \mathrm{d} \omega \end{aligned} s(tn),s(tl)=2π1Rs^(ω)einω(s^(ω)eilω)dω=2π102πkZs^(ω+2kπ)2ei(nl)ωdω

    低通滤波器和带通滤波器性质

    ∣ H ( ω ) ∣ 2 + ∣ H ( ω + π ) ∣ 2 = 1 ,  a.e.  ω ∈ R |\mathrm{H}(\omega)|^{2}+|\mathrm{H}(\omega+\pi)|^{2}=1, \text { a.e. } \omega \in R H(ω)2+H(ω+π)2=1, a.e. ωR

    满足这种共轭条件的叫共轭滤波器。

    ∣ G ( ω ) ∣ 2 + ∣ G ( ω + π ) ∣ 2 = 1 ,  a.e.  ω ∈ R |G(\omega)|^{2}+|G(\omega+\pi)|^{2}=1, \text { a.e. } \omega \in R G(ω)2+G(ω+π)2=1, a.e. ωR

    H ( ω ) G ˉ ( ω ) + H ( ω + π ) G ˉ ( ω + π ) = 0 ,  a.e.  ω ∈ R \mathrm{H}(\omega) \bar{G}(\omega)+\mathrm{H}(\omega+\pi) \bar{G}(\omega+\pi)=0, \quad \text { a.e. } \omega \in R H(ω)Gˉ(ω)+H(ω+π)Gˉ(ω+π)=0, a.e. ωR

    从证明这三条的证明过程中可以看出,这三条的相对应的充要条件分别是: ϕ ( t − n ) \phi(t-n) ϕ(tn) 构成了 L 2 ( R ) L^2(\mathbb{R}) L2(R) 的标准正交系; ψ ( t − n ) \psi(t-n) ψ(tn) 构成了 L 2 ( R ) L^2(\mathbb{R}) L2(R) 的标准正交系; ϕ ( t − n ) \phi(t-n) ϕ(tn) 张成的空间和 L 2 ( R ) L^2(\mathbb{R}) L2(R) 张成的空间正交。

    正交小波的构造

    正交小波的充要条件

    首先,引入矩阵记号 M ( ω ) \boldsymbol{M}(\omega) M(ω)
    M ( ω ) = ( H ( ω ) G ( ω ) H ( ω + π ) G ( ω + π ) ) M(\omega)=\left(\begin{array}{cc} \mathrm{H}(\omega) & G(\omega) \\ \mathrm{H}(\omega+\pi) & G(\omega+\pi) \end{array}\right) M(ω)=(H(ω)H(ω+π)G(ω)G(ω+π))

    构造定理
    如果按照前述形式构造小波函数 ψ ( x ) \psi(x) ψ(x) ,那么,函数族 { ψ ( x − k ) ; k ∈ Z } \{\psi(x-k) ; k \in Z\} {ψ(xk);kZ} 构成 W 0 W_{0} W0 的标准正交基即 ψ ( x ) \psi(x) ψ(x) 成为正交小波的充要条件是,矩阵 M ( ω ) \boldsymbol{M}(\omega) M(ω) 是西矩阵,即
    M ∗ ( ω ) M ( ω ) = I ,  a.e.  ω ∈ R \boldsymbol{M}^{*}(\omega) \boldsymbol{M}(\omega)=\mathrm{I}, \text { a.e. }\omega \in R M(ω)M(ω)=I, a.e. ωR

    正交小波的构造

    我们可以选择,
    G ( ω ) = e − i ω H ‾ ( ω + π ) G(\omega)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega} \overline{\mathrm{H}}(\omega+\pi) G(ω)=eiωH(ω+π)

    容易证明,我们这么选 G G G ,必有 M M M 是酉矩阵。这是,

    ψ ^ ( ω ) = e − i ω / 2 H ‾ ( π + ω / 2 ) ϕ ^ ( ω / 2 ) \hat \psi(\omega)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega / 2} \overline{\mathrm{H}}(\pi+\omega / 2) \hat \phi(\omega / 2) ψ^(ω)=eiω/2H(π+ω/2)ϕ^(ω/2)

    这时候的系数关系是,
    g n = ( − 1 ) n − 1 h ˉ 1 − n n ∈ Z g_{n}=(-1)^{n-1} \bar{h}_{1-n} \quad n \in Z gn=(1)n1hˉ1nnZ

    从而,小波函数 ψ ( x ) \psi(x) ψ(x) 的时域形式为
    ψ ( t ) = 2 ∑ ( − 1 ) n − 1 h ˉ 1 − n ϕ ( 2 t − n ) \psi(t)=\sqrt{2} \sum(-1)^{n-1} \bar{h}_{1-n} \phi(2 t-n) ψ(t)=2 (1)n1hˉ1nϕ(2tn)

    特例:Haar 多分辨分析

    定义函数 ϕ ( t ) \phi(t) ϕ(t)
    ϕ ( t ) = { 1 t ∈ [ 0 , 1 ) 0 t ∈ others \phi(t)=\left\{\begin{array}{ll} 1 & t \in[0,1)\\0 & t \in \text{others} \end{array}\right. ϕ(t)={10t[0,1)tothers

    构造,
    V m =  Closespan  { 2 m 2 ϕ ( 2 m t − n ) ; n ∈ Z } V_{m}=\text { Closespan }\left\{2^{\frac{m}{2}} \phi\left(2^{m} t-n\right) ; n \in Z\right\} Vm= Closespan {22mϕ(2mtn);nZ}

    容易证明 ( { V m ; m ∈ Z } ; φ ( t ) ) \left(\left\{V_{m} ; m \in Z\right\} ; \varphi(t)\right) ({Vm;mZ};φ(t)) 是一个 L 2 ( T ) L^2(T) L2(T) 上的一个正交多分辨分析。

    容易计算得到 h 0 = h 1 = 1 / 2 h_{0}=h_{1}=1 / \sqrt{2} h0=h1=1/2 ,对应的尺度方程,
    φ ( t ) = 2 ( 1 2 φ ( 2 t ) + 1 2 φ ( 2 t − 1 ) ) \varphi(t)=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \varphi(2 t)+\frac{1}{\sqrt{2}} \varphi(2 t-1)\right) φ(t)=2 (2 1φ(2t)+2 1φ(2t1))

    这是,可以得到, g 0 = − 1 / 2 , g 1 = 1 / 2 g_{0}=-1 / \sqrt{2}, g_{1}=1 / \sqrt{2} g0=1/2 ,g1=1/2 ,由此得到小波方程,

    ψ ( t ) = 2 ( − 1 2 φ ( 2 t ) + 1 2 φ ( 2 t − 1 ) ) \psi(t)=\sqrt{2}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}} \varphi(2 t)+\frac{1}{\sqrt{2}} \varphi(2 t-1)\right) ψ(t)=2 (2 1φ(2t)+2 1φ(2t1))

    这个为,
    h ( t ) = { − 1 0 <  t < 0.5 1 0.5 ≤ t < 1 0 其 他 h(t)=\left\{\begin{array}{cc} -1 & 0<\text { t}<0.5 \\ 1 & 0.5\leq t <1 \\ 0 & 其他 \end{array}\right. h(t)=1100< t<0.50.5t<1

    和之前的 Haar 小波函数,只差一个符号。

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  • 而具有多分辨分析特性的小波变换,可利用时频平面上不同位置的不同分辨率,有效地从非平稳信号中提取瞬态信息,可有效地提取信号的波形。2Mallat算法小波的多分辨分析理论研究表明,满足一定正则条件的滤波器组可以...

    1引言

    生命信号由于受到人体等诸多因素的影响,具有信号弱、噪声强、频率范围较低和随机性强的特点,用传统的傅里叶变换提取具有局限性。而具有多分辨分析特性的小波变换,可利用时频平面上不同位置的不同分辨率,有效地从非平稳信号中提取瞬态信息,可有效地提取信号的波形。

    2Mallat算法

    小波的多分辨分析理论研究表明,满足一定正则条件的滤波器组可以迭代计算出小波,Mallat提出了双尺度方程以及塔式分解算法,这些成果将滤波器组和小波紧密联系在一起,使得滤波器组与小波理论及设计有了非常紧密的联系。众学者开始重视利用滤波器组设计小波,以及滤波器组自身理论的研究。

    小波变换的多分辨分析MRA(Multi-Resolution-Analysis)特性,定义空间L2(R)中的一列子空间{Vj}j∈z,称为L2(R)的一个多分辨分析(MRA),该序列若满足下列条件:

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    Mallat根据多分辨分析提出小波变换分解和重构快速算法-Mallat算法。设({Vm;m∈Z};φ(t))是一个正交MRA,则存在{hk}∈ι2,使双尺度方程:

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    方程(1)成立,并利用式(1)可得到尺度函数φ(x)构造函数:

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    ψ(x)的伸缩、平移构成L2(R)正交基,其中gk=(-1)h1-k。进一步,当

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    主要包含3个方面的内容:

    (1)集合ψ0={φ(x-k);k∈Z}构成W0的标准正交基,因此构成Wj的标准正交基;

    (2)可以保证从而保证Wj的基向量,并可表示L2(R)中的任意函数。

    (3)Wj⊥Wj',j≠j',保证在彼此正交的前提下当且仅当表示信息。

    多分辨分析理论为信号局部分析提供相当直观的框架,这一点在非平稳信号中的作用尤为重要,代表信号的主要轮廓;而快变部分对应于信号的高频信息,表示信号的细节,因此,Mallat算法的基本思想可以归纳如下:

    设Hjf为能量有限的信号f∈L2(R)在分辨率2j下的近似,则Hjf可以进一步分解为f在分辨率2j-1下的近似Hj-1f,以及位于分辨率2j-1与2j之间的细节Dj-1f之和,其分解和重构过程如图1和图2所示。

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    3小波阈值去噪法

    一般含噪的一维信号的模型可表示为:

    s(k)=f(k)+εe(k),k=0,1,…n-1(3)

    式中,s(k)为含噪信号,f(k)为有用信号,e(k})为噪声信号。

    利用小波检测微弱生命信号的实质是提取强噪声背景下的生命信号,这个过程即去噪,在小波去噪的方法中比较常用的是阈值去噪法。

    小波阈值去噪可分为3部分:

    (1)信号的小波分解选择一个小波函数对信号进行分解计算。

    (2)小波分解高频系数的阂值量化对各分解尺度下的高频系数选择一个阈值进行阈值量化处理。

    (3)小波重构根据小波分解的最底层低频系数和各层高频系数进行小波重构。

    最关键的是阈值的选择以及阈值的量化,该步骤完成的好坏决定信号消噪的质量。在阈值去噪中,阈值函数体现了对超过和低于阈值的小波系数模的不同处理策略以及不同估计方法。设ω是原始小波系数,η(ω)表示阈值化后的小波系数,T是阈值,I(x)为示性函数。

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    常见阈值函数有:(a)硬阈值函数(图3a),η(ω=ωI(|ω|>T);(b)软阈值函数(图3b),η(ω)=(ω-sgn(ω)T)I(|ω|>T)。

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    小波阈值去噪方法除阈值函数的选取外,另一个关键因素是阈值估计。如果阈值太小,去噪后的信号仍然有噪声存在;阈值太大,重要的信号特征又被过滤掉,引起偏差。常见的阈值估计方法有Visushrik阈值、SUREShrink阈值、GCV阈值等。设原始信号小波系数估计通过软阈值函数萎缩得到,即

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    阈值的选择可通过下面的风险函数定义:

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    由于小波变换的正交性,风险函数可以写成:

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    可以证明,当V服从Guass分布时,有下面的等式成立

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    式中,P(|Yi|>t)服从二项分布,其概率可用|Yi|>t出现的频率近似,可得到风险函数的表达式如下:

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    式中,I是示性函数,^表示两数取小。

    则最佳闽值选择可以通过最小化风险函数得到,即

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    ,对于最佳阈值的选择可以在一个有限的范同内,即t*∈{Y1,Y2,…,YN}。在实际应用中,SUREShrink阈值去噪法能获得较为满意的去噪效果,这是一种误差较低的阈值去噪方法。

    4小波去噪的MATLAB仿真

    一般检测到的微弱生命信号的背景强噪声主要是工频干扰信号,因此采用正弦信号模拟人体心跳信号频率为0.7Hz、幅度是1,模拟的工频干扰信号频率为50Hz、幅度是心跳信号的10倍,和Matlab提供的噪声noissin信号叠加,可近似组成强噪声背景下的生命信号,采用db3小波进行信号分解,并对信号进行SUREShrink阈值估计,并采用heursure函数实现。

    MATLAB的基本数据单位是矩阵,它的指令表达式与数学、工程中常用的形式十分相似,故用MATLAB来解算问题要比用C,FORTRAN等语言完成相同的事情简捷得多,并且MATLAB也吸收了像Maple等软件的优点,使MATLAB成为一个强大的数学软件。

    将信号映射到小波域,根据噪声和噪声的小波系数在不同尺度上具有不同的性质和机理,对含噪信号的小波系数进行处理。实质是减少剔除噪声产生的小波系数,最大限度的保留真实信号的系数。

    叠加信号去噪仿真图如图4所示,叠加信号经过小波阈值去噪法去噪后,可得到较好的生命信号,小波分解和重构的细节,如图5和图6所示。根据Mallat算法的基本思想,高频信号和低频信号分别可以从图中反映出来,其中a1和d1分别反映模拟生命信号的正弦信号,和强噪声干扰的工频信号,这就说明对微弱生命信号的提取小波可以取得很好的效果,由于这里所使用的是模拟的生命信号,在实际应用时还应进行改进。

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    5结束语

    生命信号由于本身的特点,传统的傅里叶变换对其消噪和提取显得无能为力,因为傅里叶变换对信号的分析只是在频域中进行,不能反映信号某一点的变化情况,而小波变换可以对信号在时频两域进行分析,很适合探测信号的瞬时状态,对微弱生命信号可以进行有效去噪和提取。通过仿真表明,小波变换很适合微弱生命信号的检测,可以在这一领域发挥重要作用。

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  • MATLAB-wavelet-analysis

    2021-04-21 07:29:55
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    MATLAB-wavelet-analysis

    所属分类:matlab例程

    开发工具:matlab

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    下载次数:15

    上传日期:2016-04-07 15:16:10

    上 传 者:xiaoyutou

    说明:  《MATLAB小波分析》从信号处理的角度阐述小波分析的基本原理及其应用。从信号时-频联合分析引入小波变换,将信号的多分辨率分析及Mallat算法作为全书的重点,并在此基础上,进一步阐述了双正交小波多分辨率分析、小波包多分辨率分析、提升小波应用,还讲述了小波分析在奇异性检测、去噪及数据压缩中的应用。

    ( MATLAB wavelet analysis describes the basic principle and application of wavelet analysis in terms of signal processing. From the signal- frequency joint analysis of the introduction of the wavelet transform, multi-resolution signal analysis and Mallat algorithm as the focus of the book, and on this basis, further elaborated biorthogonal wavelet multi-resolution analysis, wavelet packet multi-resolution analysis , lifting wavelet applications, but also about the application of wavelet analysis singularity detection, de-noising and data compression.)

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    Matlab小波分析(第2版)张德丰 源代码

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  • 小波分析MATLAB实例

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    《小波分析MATLAB实例》由会员分享,可在线阅读,更多相关《小波分析MATLAB实例(7页珍藏版)》请在人人文库网上搜索。

    1、到小波分析1 背景传统的信号理论,是建立在Fourier分析基础上的,而Fourier变换作为一种全局性的变化,其有一定的局限性。在实际应用中人们开始对Fourier变换进行各种改进,小波分析由此产生了。小波分析是一种新兴的数学分支,它是泛函数、Fourier分析、调和分析、数值分析的最完美的结晶;在应用领域,特别是在信号处理、图像处理、语音处理以及众多非线性科学领域,它被认为是继Fourier分析之后的又一有效的时频分析方法。 小波变换是近年发展起来的一种基于时频域的信号分析工具,它具有良好的时频局部性、选基灵活性和去相关性等优点,可用于光谱信号的噪声滤波和基线校正等。此后,多位物理、数学家。

    2、的合作共同奠定了小波变换的理论和应用基础。由于小波变换能够更精确地分析信号的局部特征,在很多领域得到了越来越多地应用。小波分析的应用领域十分广泛,它包括:数学领域的许多学科;信号分析、图象处理;量子力学、理论物理;军事电子对抗与武器的智能化;计算机分类与识别;音乐与语言的人工合成;医学成像与诊断;地震勘探数据处理;大型机械的故障诊断等方面;例如,在数学方面,它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。在图象处理方面的图象压缩、分类、识别与诊断,去污等。以及在医学方面的应用,如核磁共振成像时间、提高CT 、B超等分辨率。2。

    3、 小波变换的产生及去噪的必要性我们在一维信号分析中,可知傅里叶变换将信号分解成一系列不同频率的正弦或余弦波的叠加,与之类似,小波变换也可将信号分解成一系列小波函数的叠加,这一系列小波函数都由某个母小波函数经过平移和尺度变换得来。以不规则的小波信号来逼近局部信号显然比用光滑的正弦信号逼近程度要好,而用不同尺度小波对同一信号进行逼近又有利于对信号进行逐步细致的分析,这正是小波分析的基本思想。小波变换采用变化的时频窗,窗口面积固定,但形状可变。分析低频信号时,采用拉伸的小波和长的时间窗以获取足够信息,分析高频信号时,采用压缩小波和短时间窗以获取足够精度。常见的小波函数有Meyer波、Morlet 波。

    4、、8阶高斯波等。传统的去噪方法常使用Fourier变换去噪,将含噪信号变换到频域,然后采用低通滤波器进行滤波,但是基于Fourier变换的去噪方法存在着保护信号局部性和抑制噪声之间的矛盾。Fourier变换去噪不能有效的将噪声与有用信号的高频部分和有噪声引起的高频干扰加以有效的区分开来。这就使得我们在研究信号去噪课题上注意到小波的好处,小波去噪可以很好的保护有用信号的尖峰和突变部分的信号。小波变换具有良好的时频局部化性质,具有以下优点:(1)小波分解可以覆盖整个频域(提供了一个数学上完备的描述);(2)小波变换通过选取合适的滤波器,可以极大的减小或去除所提取得不同特征之间的相关性;(3)小波变。

    5、换具有“变焦”特性,在低频段可用高频率分辨率和低时间分辨率(宽分析窗口),在高频段,可用低频率分辨率和高时间分辨率(窄分析窗口);(4)小波变换实现上有快速算法(Mallat小波分解算法)。因此采用小波去噪是具有必要性的。3 小波变换理论3.1 小波定义满足以下条件(1)或其等价条件(2)的函数称为基本小波,或母小波。其中为的傅里叶变换。式(2)说明母小波函数具有一定的振荡性,即包含某种频率特性。(3)式中均为常数,且。显然,是基本函数先作移位再作伸缩以后得到的。若不断地变化,我们可得到一族函数。a为伸缩因子,反映函数的尺度,a1波形被拉伸,越大拉伸越多。b为平移因子,表示沿t轴的平移位置。是。

    6、母小波经移位和伸缩所产生的一族函数,我们称之为小波基函数,或简称小波基。3.2 小波的特性连续小波的时频窗口中心和宽度可以精确定位,且都随尺度a的变化而伸缩。若将时、频域窗口综合考虑,根据公式推导可得时频窗口的面积与尺度a无关,即时间分辨率和频率分辨率是相互制约的。小波尺度a与频率相对应。当变小时,对的时域观察范围变窄,但对在频率观察的范围变宽,且观察的中心频率向高频处移动;反之,当变大时,对的时域观察范围变宽,频域的观察范围变窄,且分析的中心频率向低频处移动。小波变换恒Q性质。带宽/中心频率=,不论为何值,始终保持了和具有性同的品质因数。恒Q性质是小波变换的一个重要性质,也是区别于其它类型的。

    7、变换且被广泛应用的一个重要原因。3.3 连续小波变换和反变换定义函数以小波为基的连续小波变换定义为函数和的内积,在1984年,A.Grossman和J.Morlet指出,连续小波的逆变换为,其中,为母小波y(x)的允许条件(admissible condition),其中,为的傅立叶变换,而是在平方可积的实数空间。3.4 离散小波变换在计算连续小波变换时,实际上也是用离散的数据进行计算的,只是所用的缩放因子和平移参数比较小而已。不难想象,连续小波变换的计算量是惊人的。为了解决计算量的问题,缩放因子和平移参数都选择(j0的整数)的倍数。使用这样的缩放因子和平移参数的小波变换叫做双尺度小波变换,它。

    8、是离散小波变换的一种形式。执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器。该方法是Mallat在1988年开发的,叫做Mallat算法,这种方法实际上是一种信号的分解方法,在数字信号处理中称为双通道子带编码。3.5 傅里叶分析与小波包分析的比较从以上分析中可以看出通过傅立叶分析进行滤波得到的结果与小波分析得到的结果有些差异,主要是由于信号集中在低频部分,噪声分布在高频部分,所以通过低通滤波器进行滤波,不能将有用信号的高频部分和由噪声引起的高频干扰加以有效地区分。若低通滤波器太窄,则在滤波后,信号中仍存在大量的噪声,若低通滤波器太宽,则将一部分有用信号当作噪声被滤掉。因此小波分析对非平稳信号的消噪有着傅。

    9、立叶分析不可比拟的优点。4 小波去噪4.1 小波去噪的原理小波变换之所以在去噪方面取得成功,在于它的几个特点:1)低熵性。小波系数的稀疏分布使得信号变换后的熵降低;2)多分辨率性质。由于采用了多分辨率的方法,可以非常好的刻画信号的非平稳特性,如边缘、尖峰、断点等,以便于特征提取和保护;3)去相关性。因为小波变换可以对信号进行去相关,且噪声在变换后有白化趋势,所以在小波域比在时域更利于去噪;4)小波基选择的多样性。由于小波变换可以灵活选择变换基,所以可以针对不同应用场合选用不同的小波函数,以获得最佳的处理效果。4.2 小波去噪的模型建立4.2.1去噪的Matlab程序局部放电试验所采集的信号中往。

    10、往混有白噪声、周期干扰信号去除。此处采用常用db系列小波中的db6小波进行9尺度的多分辨分解后,根据白噪声能量特性,估算各尺度的阈值大小,采用硬值进行处理,后进行重构。Matlab程序如下:function sd=liu_denoise(mix_signal)%此函数用于去除白躁信号周期性干扰信号%输入参数mix_signal为采集到的信号波形p=0.6745;w_dept=9;w_name=db6;coef=cell(1,w_dept);thr=zeros(1,w_dept+1);c,l=wavedec(mix_signal,w_dept,w_name); %对混合信号S进行db6的9尺度一。

    11、维分解coef(1)=appcoef(c,l,w_name,w_dept);%计算尺度为9的一维分解低频系数 cs=cs,coef_softj;thr(1)=median(abs(coef1)/p*sqrt(2*log(length(coef1);%计算1尺度上的阈值coef_soft(1)=wthresh(coef1,h,thr(1);%对小波系数进行阈值为thr(1)的硬阈值处理cs=coef_soft1;for j=2:w_dept+1coef(j)=detcoef(c,l,w_dept-j+2);%计算尺度为9到2的各尺度高频小波系数coef1(j)=detcoef(c,l,w_dep。

    12、t-j+2);thr(j)=median(abs(coefj)/p*sqrt(2*log(length(coefj);%计算9到2各尺度上的阈值coef_soft(j)=wthresh(coefj,h,thr(j);%对小波系数进行阈值为thr(j)的硬阈值处理 cs=cs,coef_softj;endsd=waverec(cs,l,w_name); %根据小波系数cs,l对信号进行重构4.2.2 仿真分析为了验证去噪的有效性,先仿真产生一个局放脉冲然后叠加0.1倍白噪声和周期干扰,利用前面的程序去造,结果如图1,从图上可以看到去噪后信号与原始信号幅值、相位都基本没有变化程序如下:fc=40e。

    13、4; %振荡频率t4=0.8e-3; %脉冲起始时间tn=1e-3; %总时间x=0:step:tn;x4=t4:step:tn;%s4=(exp(t4-x4)*13/t)-exp(t4-x4)*22/t).*sin(2*pi*fc*x4);s4=(exp(t4-x4)/tr)-exp(t4-x4)/td).*sin(2*pi*fc*x4);s4=zeros(1,t4/step),s4;p=tn/step;n=0.1*randn(1,p); %产生白噪信号n=n,0;s5=0.1*sin(2*pi*x); %产生周期性干扰信号s6=s4+n+s5; sd=liu_denoise(s6);sub。

    14、plot(311);plot(x,s4);title(单个局放脉冲仿真波形);subplot(312);plot(x,mix_signal);title(染噪后波形);subplot(313);plot(x,sd);title(小波去噪后波形);小波去噪对比图5 结束语从上述的利用小波分析对非线性信号的处理中可以看出,小波变换是一种信号的时频分析方法,有很多优点,很适合探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分,有效区分信号中的突变部分和噪声。小波变换正广泛应用在各种领域里,通过Matlab编制程序进行给定信号的噪声抑制和非平稳信号的噪声消除。基于小波变换的消噪方法是一种提取有用信号、展示噪声和突变信号的优越方法,具有广阔的实用价值。

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  • 手把手教你用SPSS做聚类分析

    千次阅读 2020-12-30 19:40:56
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  • 人脸超分辨方向确定

    千次阅读 2021-01-25 10:50:26
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空空如也

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多分辨分析