分类是一种重要的数据分析形式，它提取刻画重要数据类的模型。数据分类是一个两阶段过程，包括学习阶段（构建分类模型）和分类阶段（使用模型预测给定数据的类标号）。
          线性分类： 指存在一个线性方程可以把待分类数据分开，或者说用一个超平面能将正负样本区分开，表达式为 $y=w\text{w}w\cdot x\text{x}x$，这里先说一下超平面，对于二维的情况，可以理解为一条直线，如一次函数。它的分类算法是基于一个线性的预测函数，决策的边界是平的，比如直线和平面。一般的方法有感知器，最小二乘法。
          非线性分类： 指不存在一个线性分类方程把数据分开，它的分类界面没有限制，可以是一个曲面，或者是多个超平面的组合。

          对于分类任务，线性回归模型就无能为力了，但是我们可以在线性模型的函数进行后再加入一层激活函数，这个函数是非线性的，激活函数的反函数叫做链接函数。我们有两种线性分类的方式：

1. 硬分类，我们直接需要输出观测对应的分类。这类模型的代表为：
   • 线性判别分析（Fisher 判别）
   • 感知机（Perceptron）
2. 软分类，产生不同类别的概率，这类算法根据概率方法的不同分为两种
   • 生成式（根据贝叶斯定理先计算参数后验，再进行推断）：高斯判别分析（GDA）和朴素贝叶斯等为代表
     1. Gaussian Discriminate Analysis
     2. Naive Bayes
   • 判别式（直接对条件概率进行建模）：Logistic Regression

---

1 介绍

          感知机（Perceptron）是二分类的线性分类模型，其输入为实例的特征向量，输出为实例的类别，取+1和-1。感知机对应于输入空间(特征空间)中将实例划为正负两类的分离超平面，属于判别模型。感知机预测是用学习得到的感知机模型对新的输入实例进行分类，是神经网络与支持向量机的基础。

---

2 感知机模型

2.1 函数模型

          假设输入空间（特征空间）是 $\mathcal{X}\subseteq {\mathbb{R}}^p$，，输出空间是 Y = { + 1 , − 1 } \mathcal{Y}=\{+1, -1\} Y={+1,−1}，有一可以被线性分类的样本集 T = { ( x i , y i ) } i = 1 N T = \{(\pmb{x}_{i},y_{i})\}_{i=1}^{N} T={(xxxi​,yi​)}i=1N​ ，其中 ${x\text{x}x}_i\in \mathcal{X}$，表示实例的特征向量，对应于输入空间（特征空间）的点；输出 ${y\text{y}y}_i\in \mathcal{Y}$ 表示实例的类别。由输入空间到输出空间的如下函数：
$$\begin{array}{rl}f(x\text{x}x)& =sign(w_1{x}_{i1}+w_2{x}_{i2}+\cdots +w_p{x}_{ip}+b)\\ & =sign({w\text{w}w}^{T}x\text{x}x+b)\end{array}\text{\hspace{1em}(2-1)}$$
          称为感知机。其中 $w\text{w}w$ 和 $b$ 为感知机模型参数，$w\text{w}w\in {\mathbb{R}}^p$ 叫做权值(weight)或权值向量(weight vector)，$b$ 叫作偏置(bias)， $w\text{w}w\cdot x\text{x}x$ 表示 $w\text{w}w$ 和 $x\text{x}x$ 的内积，由内积的运算可知 $w\text{w}w\cdot x\text{x}x={w\text{w}w}^{T}x\text{x}x$。sign是符号函数，即：
$$sign(a)=\{\begin{array}{c}+1a\ge 0\\ -1a<0\end{array}\text{\hspace{1em}(2-2)}$$

          感知机模型的假设函数为 $f(x\text{x}x)$，通过输入特征向量 $x\text{x}x$ 即可判断其所属类别；模型的假设空间是定义在特征空间中的线性分类模型（linear classification moedl）或线性分类器（linear classifier），即函数集合 $\left\{f\mid f(x\text{x}x)={w\text{w}w}^{T}x\text{x}x+b\right\}$。

2.2 几何解释

          线性方程：${w\text{w}w}^{T}x\text{x}x+b=0$ 对应于特征空间 ${\mathbb{R}}^p$ 中的一个超平面 $S$，其中 $w\text{w}w$ 是从超平面的法向量，$b$ 是超平面的截距。这个超平面将特征空间划分为两个部分。位于两部分的点（特征向量）分别被分为正、负两类。因此，超平面 $S$ 成为分离超平面（separating hyperplane），如图1.1所示。

图1.1 感知机模型

          在这里为什么 $w\text{w}w$ 是超平面法向量？
          证明：超平面为 ${w\text{w}w}^{T}x\text{x}x+b=0$，设超平面上两个点 ${x\text{x}x}_1，{x\text{x}x}_2$，则有
　　$$\{\begin{array}{ll}{w\text{w}w}^T{x\text{x}x}_1+b=0,& \text{①}\\ {w\text{w}w}^T{x\text{x}x}_2+b=0,& \text{②}\end{array}\text{\hspace{1em}(2-3)}$$
          由 ① - ② 可得：
$${w\text{w}w}^T({x\text{x}x}_1-{x\text{x}x}_2)=0\text{\hspace{1em}(2-4)}$$
          由于 ${x\text{x}x}_1-{x\text{x}x}_2$ 仍是平面上的点，而 对于任意 ${x\text{x}x}_1，{x\text{x}x}_2$，式子都成立，所以 $w\text{w}w$ 是超平面法向量。

x i ∈ R p , y i { − 1 , + 1 } (2-5) \pmb{x}_{i}\in \mathbb{R}^{p},y_{i}\left \{-1,+1\right \} \tag{2-5} xxxi​∈Rp,yi​{−1,+1}(2-5)

          感知机算法使用随机梯度下降法（SGD）来在特征空间 ${\mathbb{R}}^p$ 寻找一个超平面 $w^{T}x+b=0$ 来将数据划分为正、负两类，其中 $w\in {\mathbb{R}}^p$，是超平面的法向量。

          超平面是纯粹的数学概念，不是物理概念，它是平面中的直线、空间中的平面的推广，只有当维度大于3，才称为“超”平面。通常，在1维空间里超平面为数轴上的一个点，在2维空间中的超平面是一条线，在3维空间中的超平面是一个平面。一个超平面可以将它所在的空间分为两半, 它的法向量指向的那一半对应的一面是它的正面, 另一面则是它的反面。

---

3 感知机学习策略

3.1 数据集的线性可分

          给定数据集 T = { ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , ⋯   , ( x N , y N ) } T=\left\{\left(\pmb{x}_{1}, y_{1}\right),\left(\pmb{x}_{2}, y_{2}\right), \cdots,\left(\pmb{x}_{N}, y_{N}\right)\right\} T={(xxx1​,y1​),(xxx2​,y2​),⋯,(xxxN​,yN​)}，其中 $x_i\in \mathcal{X}={\mathbb{R}}^p$， y i ∈ Y = { + 1 , − 1 } ， i = 1 , 2 , ⋯   , N y_{i} \in \mathcal{Y}=\{+1,-1\}，i=1,2, \cdots, N yi​∈Y={+1,−1}，i=1,2,⋯,N，如果存在某个超平面 $S$ 满足：
$${w\text{w}w}^{T}x\text{x}x+b=0$$

          能将数据集的正实例点和负实例点完全正确地划分到超平面的两侧，即对所有 $y_i=+1$ 的实例 ${x\text{x}x}_i$，有 ${w\text{w}w}^T{x\text{x}x}_i+b>0$；对所有 $y_i=-1$ 的实例 ${x\text{x}x}_i$，有${w\text{w}w}^T{x\text{x}x}_i+b<0$，则称数据集 $T$ 为线性可分数据集；否则，称数据集 $T$ 线性不可分。
          在学习感知机模型中，需要确保数据集线性可分，才能够找到一个完全将正实例点和负实例点正确分开的分离超平面，即才能够确定感知机模型参数 $w\text{w}w，b$。

3.2 损失函数

          假设训练数据集是线性可分的，感知机学习的目的是求得一个能够将训练集整实例点和负实例点完全正确分开的分离超平面。为了找出这样的超平面，即确定感知机模型参数 $w\text{w}w$ 和 $b$, 需要确定一个学习策略，即定义（经验）损失函数并将损失函数极小化。

          损失函数的一个自然选择是误分类点的个数，即 $L(w\text{w}w)={\sum }_{i=1}^{N}I\left\{-y_i({w\text{w}w}^T{x\text{x}x}_i+b)>0\right\}$，但是这样的损失函数是不可导的，不易优化。因此采用另一种损失函数，即误分类点到超平面的总距离。

          感知机的思想是错误驱动。对于误分类的数据 $(x_i,y_i)$ 来说，因为当 ${w\text{w}w}^T{x\text{x}x}_i+b>0$ 时，$y_i=-1$，而当 ${w\text{w}w}^T{x\text{x}x}_i+b<0$ 时，$y_i=1$ ，所以满足以下关系：
$$-y_i({w\text{w}w}^T{x\text{x}x}_i+b)>0\text{\hspace{1em}(3-1)}$$

          由点到线的距离公式可知，我们设直线 $L$ 方程为 $Ax+By+C=0$，点 $P$ 为 $(x_0,y_0)$，则点 $P$ 到直线 $L$ 的距离为：
$$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\text{\hspace{1em}(3-2)}$$

          设输入空间上任意一点 $x\text{x}x$ 到超平面 $S$ 的距离，也就是在超平面法向量 $w\text{w}w$ 上的投影长度，在超平面上取一点 $x^{\prime }$：
$$d=\frac{|{w\text{w}w}^T(x\text{x}x-{x\text{x}x}^{\prime })|}{||w\text{w}w||}=\frac{|{w\text{w}w}^{T}x\text{x}x+b|}{||w\text{w}w||}\text{\hspace{1em}(3-3)}$$

          误分类点 ${x\text{x}x}_i$ 到超平面 $S$ 的距离是
$$-\frac{1}{||w\text{w}w||}{y}_i({w\text{w}w}^T{x\text{x}x}_i+b)\text{\hspace{1em}(3-4)}$$
          假设超平面 $S$ 的误分类点集合为 $M$，那么所有误分类点到超平面 $S$ 的总距离为
$$-\frac{1}{||w\text{w}w||}\sum _{{\mathbf{x}}_i\in M}{y}_i({w\text{w}w}^T{x\text{x}x}_i+b)\text{\hspace{1em}(3-5)}$$

          不考虑 $\frac{1}{||\mathbf{w}||}$，就得到感知机学习的损失函数。

          感知机 $sign({w\text{w}w}^{T}x\text{x}x+b)$ 学习的损失函数定义为
$$L(w\text{w}w,b)=-\sum _{{\mathbf{x}}_i\in M}{y}_i({w\text{w}w}^T{x\text{x}x}_i+b)\text{\hspace{1em}(3-6)}$$

          由上面的式子，我们可以看到，损失函数是非负的。如果没有误分类点，损失函数值是0；误分类点越少，误分类点距离超平面越近，损失函数值越小。一个特定的样本点的损失函数，在误分类时是参数 $w\text{w}w,b$ 的线性函数，在正确分类时是0。因此，给定训练数据集 $T$， 损失函数 $L(w\text{w}w,b)$ 是 $w\text{w}w,b$ 的连续可导函数。损失函数的优化目标，就是期望使误分类的所有样本，到超平面的距离之和最小。

          感知机学习的策略是在假设空间中选取使损失函数式（3-6）最小的模型参数 $w\text{w}w,b$，即感知机模型。

          在空间里，向量可以看做是一个点（以原点为起始点的向量），对于分离超平面方程里的向量 $x\text{x}x$，就可以看做由坐标原点到超平面任意“点”的向量。

---

4 感知机学习算法

4.1 原始形式

          感知机学习算法是误分类驱动的，具体采用随机梯度下降法（ stochastic gradient descent）。首先，任意选取一个超平面 ${w\text{w}w}_0，b_0$，然后用梯度下降法不断地极小化目标函数（3-6）。极小化过程中不是一次使 $M$ 中所有误分类点的梯度下降，而是一次随机选取一个误分类点使其梯度下降。
          假设误分类点集合 $M$ 是固定的，则损失函数 $L(w\text{w}w,b)$ 的梯度为：
$$\begin{gathered} {▽}_{\mathbf{w}}L(\mathbf{w},b)=\frac{\partial L(\mathbf{w},b)}{\partial \mathbf{w}}=-\sum _{{\mathbf{x}}_i\in M}{y}_i{\mathbf{x}}_i \\ {▽}_{b}L(\mathbf{w},b)=\frac{\partial L(\mathbf{w},b)}{\partial b}=-\sum _{{\mathbf{x}}_i\in M}{y}_i\text{\hspace{1em}(4-1)} \end{gathered}$$

          如果样本非常多的情况下，计算复杂度较高，但是，实际上我们并不需要绝对的损失函数下降的方向，我们只需要损失函数的期望值下降，但是计算期望需要知道真实的概率分布，我们实际只能根据训练数据抽样来估算这个概率分布（经验风险）：
$${\mathbb{E}}_{\mathcal{D}}[{\mathbb{E}}_{\hat{p}}[{\nabla }_{\mathbf{w}}L(\mathbf{w})]]={\mathbb{E}}_{\mathcal{D}}[\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{\nabla }_{\mathbf{w}}L(\mathbf{w})]$$
          我们知道， $N$ 越大，样本近似真实分布越准确，但是对于一个标准差为 $\sigma$ 的数据，可以确定的标准差仅和 $\sqrt{N}$ 成反比，而计算速度却和 $N$ 成正比。因此可以每次使用较少样本，则在数学期望的意义上损失降低的同时，有可以提高计算速度，如果每次只使用一个错误样本，我们有下面的更新策略：
          随机选取一个误分类点 $({x\text{x}x}_i,y_i)$，对 $w\text{w}w,b$ 进行更新：
$$\begin{gathered} \mathbf{w}\leftarrow \mathbf{w}+\eta y_i{\mathbf{x}}_i \\ b\leftarrow \mathbf{w}b+\eta y_i\text{\hspace{1em}(4-2)} \end{gathered}$$

          式中 $\eta (0<\eta \le 1)$ 是步长，在统计学习中又称为学习率（learning rate）。步长越长，下降越快，如果步长过长，会跨过极小点导致发散；如果步长过小，消耗时间会很长。通过迭代可以期待损失函数 $L(w\text{w}w,b)$ 不断减小，直到为0。最终得到的超平面并不唯一，随着选取的初值不同或选取不同的误分类点，我们得到的超平面也不一定相同。

          使用单个观测更新可以在一定程度上增加不确定度，从而减轻陷入局部最小的可能。

1. 感知机学习算法的原始形式

输入： T = { ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , … , ( x N , y N ) } x i ∈ X = R p , y i ∈ Y = { − 1 , + 1 } , i = 1 , 2 , … , N ;    0 < η ≤ 1 T=\{(\pmb{x}_1,y_1),(\pmb{x}_2,y_2),\dots,(\pmb{x}_N,y_N)\}\quad \pmb{x}_i\in \mathcal X=\mathbb R^p , y_i\in \mathcal Y =\{-1,+1\}, i=1,2,\dots,N; \ \ 0<\eta\leq 1 T={(xxx1​,y1​),(xxx2​,y2​),…,(xxxN​,yN​)}xxxi​∈X=Rp,yi​∈Y={−1,+1},i=1,2,…,N;  0<η≤1

输出：$w\text{w}w,b;f(x\text{x}x)=sign({w\text{w}w}^{T}x\text{x}x+b)$

1. 选取初值 ${w\text{w}w}_0,b_0$

2. 训练集中选取数据 $({x\text{x}x}_i,y_i)$

3. 如果 $y_i({w\text{w}w}^T{x\text{x}x}_i+b)⩽0$
   $$\begin{gathered} w\text{w}w\leftarrow w\text{w}w+\eta y_i{x\text{x}x}_i \\ b\leftarrow b+\eta y_i \end{gathered}$$

4. 转至(2)，直至训练集中没有误分类点

          这种学习算法直观上有如下解释： 当一个样本被误分类时，就调整 $w\text{w}w$ 和 $b$ 的值，使超平面 $S$ 向误分类点的一侧移动，以减少该误分类点到超平面的距离，直至超平面越过该点使之被正确分类。
          注意这个原始形式中的迭代公式，可以对 ${x\text{x}x}_i$ 补1，将 $w\text{w}w$ 和 $b$ 合并在一起，合在一起的这个叫做扩充权重向量，《统计学习方法》上有提到。

2. 算法的收敛性

          为了便于叙述与推导，将偏置 $b$ 并入权重向量 $w\text{w}w$ ，记作 $\widehat{w\text{w}w}=({w\text{w}w}^T,b{)}^T$ 同样也将输入向量加以扩充，加进常数 1，记作 $\widehat{x\text{x}x}=({x\text{x}x}^T,1{)}^T$ 这样，$\hat{x}\in {\mathbb{R}}^{p+1},\hat{w}\in {\mathbb{R}}^{p+1}$。显然，$\widehat{w\text{w}w}\cdot \widehat{x\text{x}x}=w\text{w}w\cdot x\text{x}x+b$。

          定理一 （Novikoff）：设训练数据集 T = { ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , ⋯   , ( x N , y N ) } T=\left\{\left(\pmb{x}_{1}, y_{1}\right),\left(\pmb{x}_{2}, y_{2}\right), \cdots,\left(\pmb{x}_{N}, y_{N}\right)\right\} T={(xxx1​,y1​),(xxx2​,y2​),⋯,(xxxN​,yN​)} 是线性可分的，其中 $x_i\in \mathcal{X}={\mathbb{R}}^p$， y i ∈ Y = { + 1 , − 1 } ， i = 1 , 2 , ⋯   , N y_{i} \in \mathcal{Y}=\{+1,-1\}，i=1,2, \cdots, N yi​∈Y={+1,−1}，i=1,2,⋯,N，则

          （1）存在满足条件 $|{\widehat{w\text{w}w}}_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}\Vert =1$ 的超平面 ${\widehat{w\text{w}w}}_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}\cdot \widehat{x\text{x}x}={w\text{w}w}_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}\cdot x\text{x}x+b_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}=0$ 将训练数据集完全正确分开；且存在 $\gamma >0$，对所有 $i=1,2,\cdots ,N$
$$y_i({\widehat{w\text{w}w}}_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}\cdot {\widehat{x\text{x}x}}_i)=y_i({w\text{w}w}_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}\cdot {x\text{x}x}_i+b_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}})⩾\gamma \text{\hspace{1em}(4-3)}$$

          （2）令 $R={\max }_{1⩽i⩽N}\Vert {\widehat{x\text{x}x}}_i\Vert$，则感知机算法在训练数据集上的误分类次数 $k$ 满足不等式
$$k⩽{\left(\frac{R}{\gamma }\right)}^2\text{\hspace{1em}(4-4)}$$

          根据这两个定理可知，对于线性可分数据集，感知机学习算法原始形式收敛，即经过有限次迭代可以得到一个将训练数据集完全正确划分的分离超平面及感知机模型。Novikoff定理的证明过程可以参考：Convergence Proof for the Perceptron Algorithm

          为什么采用随机梯度下降法而基于所有样本的梯度和均值的批量梯度下降法（BGD）是行不通的？主要在于我们的损失函数里面有限定，只有误分类的M集合里面的样本才能参与损失函数的优化。所以我们不能用最普通的批量梯度下降，只能采用随机梯度下降（SGD），但在较大规模的数据上，常用的是小批量随机梯度下降法。

3. 代码实现

import numpy as np
class Model:#定义感知机学习类
    def __init__(self):
        #构造时初始值化w = (0 ,0), b = 0
        self.w = np.zeros(len(data[0]) - 1,dtype=np.float32) #初始化参数 w , b,和学习率
        self.b = 0
        #学习率=1
        self.l_rate = 100# self.data = data
    def sign(self,x, w,b):
        #定义感知机模型函数
        y = np.dot(x,w) + b
        return y
    #随机梯度下降法
    def fit(self, X_train, y_train):
        is_wrong = False #判断是否有误分类点
        while not is_wrong:
            wrong_count = 0 #记录误分类点数目
            for d in range( len( X_train) ):
                x= X_train[d]
                y = y_train[d]
                #选取—个点进行判断
                if y * self.sign(x, self.w,self.b)<=0: #判断是不是误分类点的标志
                    self.w = self.w + self.l_rate * np.dot(y,x)#更新参数
                    self.b = self.b + self.l_rate * y
                    wrong_count += 1 #误分类点数目加一
            if wrong_count == 0:
                is_wrong = True  #没有误分类点
        return ' Perceptron Model! '

4.2 对偶形式

          感知机算法对偶形式的目的是降低运算量，但是并不是在任何情况下都能降低运算量，而是在特征空间的维度很高时才能发挥作用。 每次感知机梯度下降算法的迭代都是选择一个误分类样本数据来更新 $w\text{w}w、b$ 参数。最终经过若干次的迭代后得到最终的结果。对于从来都没有误分类过的样本，它被选择参与 $w\text{w}w、b$ 迭代的次数是 $0$，假设样本点 $({x\text{x}x}_i,y_i)\in M$ 在迭代更新 $w\text{w}w、b$ 时被使用了 $k_i$ 次，则 $w\text{w}w、b$ 关于 $({x\text{x}x}_i,y_i)\in M$ 的增量分别是 ${\alpha }_i{y}_i{x\text{x}x}_i$ 和 ${\alpha }_i{y}_i$（${\alpha }_i=k_i\eta \ge 0$），因此在原始感知机算法中，算法最后收敛时的 $w\text{w}w、b$ 为：

$$\begin{array}{rl}w\text{w}w& \leftarrow \sum _{i=1}^N{\alpha }_i{y}_i{x\text{x}x}_i\\ b& \leftarrow \sum _{i=1}^N{\alpha }_i{y}_i\end{array}\text{\hspace{1em}(4-5)}$$

          可以理解为从原始形式中的不断更新参数 $w\text{w}w$ 和 $b$ 变成了学习某一点被误分类的次数 $k_i$（样本点 $({x\text{x}x}_i,y_i)\in M$ 由于误分类进行更新的次数）。
          综上可以给出对偶形式下的参数迭代算法流程：

输入： T = { ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , … , ( x N , y N ) } x i ∈ X = R p , y i ∈ Y = { − 1 , + 1 } , i = 1 , 2 , … , N ; 学 习 率 η （ 0 < η ≤ 1 ） T=\{(\pmb{x}_1,y_1),(\pmb{x}_2,y_2),\dots,(\pmb{x}_N,y_N)\}\quad \pmb{x}_i \in \mathcal{X}=\mathbb{R}^p , y_i \in \mathcal{Y} =\{-1,+1\}, i=1,2,\dots, N; 学习率 \eta（0< \eta \leq 1） T={(xxx1​,y1​),(xxx2​,y2​),…,(xxxN​,yN​)}xxxi​∈X=Rp,yi​∈Y={−1,+1},i=1,2,…,N;学习率η（0<η≤1）

输出：
$$\begin{gathered} \alpha \text{α}\alpha ,b;f(x\text{x}x)=sign\left(\sum _{j=1}^N{\alpha }_j{y}_j{x\text{x}x}_j\cdot x\text{x}x+b\right) \\ \alpha \text{α}\alpha =({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_N{)}^T \end{gathered}$$

1. $\alpha \text{α}\alpha \leftarrow 0,b\leftarrow 0$

2. 训练集中选取数据 $({x\text{x}x}_i,y_i)$

3. 如果 $y_i\left({\sum }_{j=1}^N{\alpha }_j{y}_j{x\text{x}x}_j\cdot {x\text{x}x}_i+b\right)⩽0$
   $$\begin{gathered} {\alpha }_i\leftarrow {\alpha }_i+\eta \\ b\leftarrow b+\eta y_i \end{gathered}$$

4. 转至(2)，直至训练集中没有误分类点

          其中 ${x\text{x}x}_i\cdot {x\text{x}x}_j$表示做内积运算，迭代更新至无误分类样本数据即可。在迭代更新时可以发现当某样本数据点在算法更新时使用次数越多，意味着它距离分离超平面越近，也就越难以正确分类，换言之，这类样本数据点对感知机算法学习的效果影响最大 。

1. Gram matrix
          对偶形式中，训练实例仅以内积的形式出现。为了方便可预先将训练集中的实例间的内积计算出来并以矩阵的形式存储，这个矩阵就是所谓的Gram矩阵：
$$G\text{G}G=[{x\text{x}x}_i\cdot {x\text{x}x}_j{]}_{N\times N}=\left[\begin{array}{cccc}{x\text{x}x}_1\cdot {x\text{x}x}_1& {x\text{x}x}_1\cdot {x\text{x}x}_2& \dots & {x\text{x}x}_1\cdot {x\text{x}x}_N\\ {x\text{x}x}_2\cdot {x\text{x}x}_1& {x\text{x}x}_2\cdot {x\text{x}x}_2& \dots & {x\text{x}x}_2\cdot {x\text{x}x}_N\\ \dots & \cdots & \dots & \cdots \\ {x\text{x}x}_N\cdot {x\text{x}x}_1& {x\text{x}x}_N\cdot {x\text{x}x}_1& \dots & {x\text{x}x}_N\cdot {x\text{x}x}_N\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(4-6)}$$

          在对偶形式中引入了Gram矩阵来存储内积，可以提高运算速度， 而反观原始形式，每次参数改变，所有的矩阵计算全部需要计算，导致计算量比对偶形式要大很多， 这就是对偶形式的高效之处。

2. 代码实现

def fit( self,X,y):
    #权重和偏置初始化
    self.alpha = np.zeros ( X.shape[0])
    self.b =0
    train_complete_flag = False
    Gram = np.dot(X, X.T) #存放样本两两内积的Gram矩阵（特点)
    while not train_complete_flag:
        error_count = 0
        for i in range ( X.shape[0]):
            x_, y_ = X[i],y[i]
            #有—个点当分类错误时,更新alpha_i和偏置
            tmp_sum = np.dot(np.multiply(self.alpha,y),Gram[ :, i])
            #进行误分类点判断
            if y_* (tmp_sum+ self.b) <= 0:
                self.alpha[i] += self.lr
                self.b += self.lr * y_
                error_count += 1
        if not error_count:
            train_complete_flag = True#训练完成后计算权重
            self.w = np.dot(np.multiply (self.alpha,y),X)

5 训练过程

线性可分的训练过程：

线性不可分的训练过程：

6 总结

6.1 原始形式和对偶形式

1. 对比
          假设特征空间是 ${\mathbb{R}}^p$，样本数据为 $N$， $N\ll p$。当考虑原始形式的感知机算法时，每轮迭代中至少要判断某个输入样本数据点是不是误分类点，既对于 $({x\text{x}x}_i,y_i)$，是否有 $y_i({w\text{w}w}^T{x\text{x}x}_i+b)⩽0$。这里的运算量主要集中在求输入特征 ${x\text{x}x}_i$ 和权值向量$w\text{w}w$ 的内积上，时间复杂度为 $O(p)$，当特征空间维度非常高时，原始感知机算法效率很低；而在对偶形式的感知机算法中，对于输入数据点 $({x\text{x}x}_i,y_i)$ 是否为误分类点的条件转化为
$$y_i\left(\sum _{j=1}^N{\alpha }_j{y}_j{x\text{x}x}_j\cdot {x\text{x}x}_i+b\right)⩽0$$

          注意到这里所有输入样本数据都仅仅以内积的形式出现，所以我们可以预先计算出输入样本数据两两之间的内积，得到所谓的 $Gram$ 矩阵 $G=[(x^{(i)},x^{(j)}){]}_{N\times N}$。这样一来每次做误分类点检测时候只需要在 $Gram$ 矩阵里查找就能获取内积 $({x\text{x}x}_i,{x\text{x}x}_j)$，所以这个误分类点检测的时间复杂度是 $O(1)$。也就是说，对偶形式的感知机算法，把每轮迭代的时间复杂度从特征空间维度 $p$ 转移到了样本数据数量 $N$上。

2. 选择

• 在向量维数（特征数）过高时，计算内积非常耗时，应选择对偶形式算法加速。
• 在向量个数（样本数）过多时，每次计算累计和就没有必要，应选择原始算法。

6.2 思考

          损失函数那里为什么可以不考虑 $\frac{1}{||\mathbf{w}||}$，不会有影响吗？

1. 感知机处理线性可分数据集，二分类， Y = { + 1 , − 1 } Y=\{+1,-1\} Y={+1,−1} ，所以涉及到的乘以 $y_i$ 的操作实际贡献的是符号；

2. 损失函数 $L(w\text{w}w,b)=-{\sum }_{{\mathbf{x}}_i\in M}{y}_i(\mathbf{w}\cdot {\mathbf{x}}_i+b)$，其中 $M$ 是错分的点集合，线性可分的数据集肯定能找到超平面 $S$， 所以这个损失函数最值是0。

3. 如果正确分类， $y_i(\mathbf{w}\cdot {\mathbf{x}}_i+b)=|\mathbf{w}\cdot {\mathbf{x}}_i+b|$ ，错误分类的话，为了保证正数就加个负号，这就是损失函数里面那个负号，这个就是函数间隔；

4. $\frac{1}{||\mathbf{w}||}$ 用来归一化超平面法向量，得到几何间隔，也就是点到超平面的距离， 函数间隔和几何间隔的差异在于同一个超平面 $(\mathbf{w},b)$ 参数等比例放大成 $(k\mathbf{w},kb)$ 之后，虽然表示的同一个超平面，但是点到超平面的函数间隔也放大了，但是几何间隔是不变的；

5. 具体算法实现的时候，$\mathbf{w}$ 要初始化，然后每次迭代针对错分点进行调整，既然要初始化，那如果初始化个 $||\mathbf{w}||=1$ 的情况也就不用纠结了，和不考虑 $\frac{1}{||\mathbf{w}||}$ 是一样的了；

          如果只考虑损失函数的最值，不考虑 $\frac{1}{||\mathbf{w}||}$ 就没啥影响，还可以减少计算量。

          补充： 可以用感知机实现一些简单的逻辑运算（与、与非、或），可以参考：深度学习——感知机（perceptron）图文详解。感知机算法收敛的一个基本条件就是：样本是线性可分的。如果这个条件不成立的话，那么感知机算法就无法收敛。为了在样本线性不可分的情况下，感知机也可以收敛于一个相对理想的解，这里提出感知机袋式算法（Pocket algorithm），可以参考：PLA算法和Pocket算法原理及Python实现

---

参考

• 超平面和法向量：https://blog.csdn.net/lilong117194/article/details/78209862
• 超平面是什么？——理解超平面：https://blog.csdn.net/dengheCSDN/article/details/77313758
• 感知机原理(Perceptron)：https://www.cnblogs.com/huangyc/p/9706575.html
• 机器学习入门之《统计学习方法》笔记整理——感知机：https://blog.csdn.net/qq_30611601/article/details/79313609
• 机器学习——感知机：https://www.cnblogs.com/BlairGrowing/p/14791795.html