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  • 文章详细介绍了本质矩阵和基础矩阵的推导过程
  • 用改进的八点算法求基础矩阵,进而求本质矩阵及相机外参。
  • 本质矩阵

    2019-11-28 21:06:30
    本质矩阵 本质矩阵E=t^R,是两个3*3的矩阵的乘积,还是三乘三的矩阵,理论上说有9个未知数,但从其构造形式上看,其具有以下性质: 本质矩阵是由对极约束推到来的,在对极约束中,是等式为零的约束,所以对E乘上不为...

    本质矩阵

    本质矩阵E=t^R,是两个3*3的矩阵的乘积,还是三乘三的矩阵,理论上说有9个未知数,但从其构造形式上看,其具有以下性质:

    1. 本质矩阵是由对极约束推到来的,在对极约束中,是等式为零的约束,所以对E乘上不为零的数对极约束任然成立。
    2. 根据E=t^R,可以得到本质矩阵的奇异值必定为[σ,σ,0],
    3. 另一方面,平移和旋转矩阵各有三个自由度,所以E只有六个自由度,但由于尺度等价性,E实际上只有五个自由度。
      经过上面的三条性质,我们可以知道,想要求本质矩阵E需要用至少五个点建立等式就可以。
      以下介绍八点法:
      x2(T)Ex1=0;
      将矩阵E写成向量的形式,可以得到下式
      [u1v2,u1v2,v1,v1u2,v1v2,v1,u2,v2,1]e=0;
      八点可以得到一个8
      9的线性方程组,然后可以求出E,
      得到E后再利用SVD分解可以得到t和E,最后利用深度大于零可以确定唯一的R和t。
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  • 本质矩阵和基础矩阵

    千次阅读 2020-05-15 20:04:45
    前面的相机矩阵,是针对单个相机的,可我们知道单个相机图片并不能告诉我们物体的深度信息,这时至少需要两个相机,这样在两视图间内在的射影几何关系就是对极几何,而基本矩阵就算对极几何的代数表示。 1.对极几何...

    前面的相机矩阵,是针对单个相机的,可我们知道单个相机图片并不能告诉我们物体的深度信息,这时至少需要两个相机,这样在两视图间内在的射影几何关系就是对极几何,而基本矩阵就算对极几何的代数表示。

    1.对极几何

    如果仅看一个相机,我们并不能知道深度信息,可如果有两个相机的话(就像人有两只眼睛)我们就能得到深度的信息,

    上图O和O'是两个相机中心,P点是物体所在,如果我们只看左边图像 \pi上的点p,我们不能知道物体到底是在哪,点P1、P2或其他地方,可有了右边图像 \pi{}'上的p'我们就能得到物体点P

    在上图,我们把两相机中心的连线OO'成为基线,把他们与观测物体的平面OO'P成为对极平面,对极平面与两相机图像的交线l和l'称为对极线,而OO'与两图像的交点e,e'就是对极点。

    随着观测点P的上下移动,对极平面也会围绕基线旋转

    我们可以看到在左图对极平面旋转时对极点是不变的,而在相机图像上所有对极线都会交于对极点,这个对极点就是另一个相机中心在其图像上的像,当然正如右图所示,对极点可以在图像外。

    2.本质矩阵和基础矩阵

    (1)不同人眼中的哈姆雷特——P及其副本不同坐标系下的表示

    (2)横看成岭侧成峰——多个角度看点P

    本质矩阵E(Essential Matrix):反映【空间一点P的像点】在【不同视角摄像机】下【摄像机坐标系】中的表示之间的关系。

     

    3.本质矩阵、基础矩阵的推导

    第一步:

    第二步:

    第三步:

    4.另一种表述

    原文链接1:https://zhuanlan.zhihu.com/p/33458436

    原文链接2:https://www.zhihu.com/question/27581884

    可参考文章:1:https://blog.csdn.net/xjtuse123/article/details/90312056

    可参考文章2:https://www.cnblogs.com/youzx/p/6385513.html#wiz_toc_9

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  • Visual Studio 2010 基于OpenCV 3.0.0的本质矩阵估计,内含源代码和所需材料,以及程序输出,和相应的环境配置,使用前请先阅读:运行本程序前请看程序说明.md文件(此文件可用文本编辑器打开)。
  • 基础矩阵与本质矩阵反应的是对极几何中一幅图像上的点在另一幅图像上的对应点的的位置关系,本质矩阵则是基本矩阵的一种特殊情况,是在归一化图像坐标下的基本矩阵,可以理解为本质矩阵对应的坐标位于相机坐标系,...

    基础矩阵与本质矩阵

    基础矩阵与本质矩阵反应的是对极几何中一幅图像上的点在另一幅图像上的对应点的的位置关系,本质矩阵则是基本矩阵的一种特殊情况,是在归一化图像坐标下的基本矩阵,可以理解为本质矩阵对应的坐标位于相机坐标系,基础矩阵对应的坐标位于图像平面坐标系,具体见:
    https://blog.csdn.net/kokerf/article/details/72191054

    单应矩阵

    单应矩阵反应的也是两幅图像上点的对应关系,详见:
    https://blog.csdn.net/myarrow/article/details/53316397

    单应矩阵与基础矩阵/本质矩阵的区别

    单应矩阵反应的是世界坐标系下平面上的点之间的对应关系,就是现实平面上的点到相机平面上的点的射影变换矩阵,具有8个自由度,就是说单应矩阵就是射影变换。相反,本质矩阵或基础矩阵则没有这个限制。见下图:
    这里写图片描述
    而基础矩阵或本质矩阵反应的则是图像平面点x对应的真实点X在另一幅图像的投影点x’在对极线上的关系。

    - 单应矩阵与本质矩阵/基础矩阵都能分解得到R和T,有什么区别?


    本质矩阵:
    基础矩阵: 这里写图片描述
    单应矩阵: 这里写图片描述n,d)表示世界坐标系中一个平面的坐标。

    对上述3个矩阵进行运动分解,即可得到双目摄像头之间的相互位置关系。但需要注意的是,分解出来的平移向量T只代表平移的方向,不能代表实际平移量的大小。

    • 单应矩阵的求解需要世界坐标系中平面上的点进行求解,为什么Opencv中函数直接找特征点进行H矩阵求解?

    C++函数的接口:

    Mat findHomography( const Mat& srcPoints, const Mat& dstPoints,  
    Mat& status, int method=0,  
    double ransacReprojThreshold=3 );  
    Mat findHomography( const Mat& srcPoints, const Mat& dstPoints,  
    vector<uchar>& status, int method=0,  
    double ransacReprojThreshold=3 );  
    Mat findHomography( const Mat& srcPoints, const Mat& dstPoints,  
    int method=0, double ransacReprojThreshold=3 );  

    1、srcPoints,dstPoints为CV_32FC2或者vector类型
    2、method:0表示使用所有点的常规方法;CV_RANSAC 基于RANSAC鲁棒性的方法;CV_LMEDS 最小中值鲁棒性方法
    3、ransacReprojThreshod 仅在RANSAC方法中使用,一个点对被认为是内层围值(非异常值)所允许的最大投影误差。
    4、status,可选的输出掩码,用在CV_RANSAC或者CV_LMEDS方法中。注意输入掩码将被忽略。
    这个函数找到并且返回源图像平面和目的图像平面之间的透视变换矩阵H:使得下面的返回投影误差(back-projection)最小:
    如果参数method设置为默认值0,该函数使用一个简单的最小二乘方案来计算初始的单应性估计。

    然而,如果不是所有的点对(srcPoints,dstPoints)都适应这个严格的透视变换。(也就是说,有一些异常值),这个初始估计值将很差。在这种情况下,我们可以使用两个鲁棒性算法中的一个。RANSCA和LMEDS这两个方法都尝试不同的随机的相对应点对的子集,每四对点集一组,使用这个子集和一个简单的最小二乘算法来估计单应性矩阵,然后计算得到单应性矩阵的质量quality/goodness。(对于RANSAC方法是内层围点的数量,对于LMeDs是中间的重投影误差)。然后最好的子集用来产生单应性矩阵的初始化估计和inliers/outliers的掩码。

    本质矩阵分解失效情况

    利用图像之间的匹配特征点进行本质矩阵的计算,当图像Resize后,要进行以下两点的改变:
    1、相机的内参乘相应的缩放系数;
    2、在resize后的图中检测到的特征点的坐标乘相应的缩放系数,还原到原始图像中的坐标(会有比较大的误差)。

    理论上可以直接使用估计基础矩阵(Fundamental matrix)的方法来估计本质矩阵,如:8点算法,7点算法,及与之结合的最小中值法,RANSAC(随机抽样一致)法等。但是实际中使用这些方法估计出的本质矩阵的结果并不太令人满意,尤其当匹配点对趋于共面时和平移量较小时,这些方法获得的结果完全就不能用。如果用于标定的匹配点对,是在一个平面上的话,这些方法将完全失效,(比如,检测到的特征点本来就比较少,有可能就处于同一个平面上,再比如,本来在大图上计算是没有问题的,但是对图像进行Resize后,再进行特征点的检测,就会出现匹配点平移量很小的情况,也导致失效。)因为平面是一种退化结构或者叫临界曲线(Critical surfaces)。而且在opencv3之前的opencv版本只提供了求取基础矩阵F的API,虽然cv::stereoCalibrate(…)可以得到双目标定结果以及本质矩阵E,但该方法是使用平面标定版辅助的plane2plane(单应性矩阵)估计出各相机的外参数,然后由外参数直接计算出图像相互之间的旋转矩阵R和平移量t,此时获取的刚体运动参数自由度为6。(https://blog.csdn.net/j10527/article/details/51295099)

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  • ORB-SLAM点云地图中相机的位姿初始化,无论算法工作在平面场景,还是非平面场景下,都能够完成初始化的工作。其中主要是使用了适用于平面场景的单应性矩阵H和适用于非平面场景的基础矩阵F,...

    ORB-SLAM点云地图中相机的位姿初始化,无论算法工作在平面场景,还是非平面场景下,都能够完成初始化的工作。其中主要是使用了适用于平面场景的单应性矩阵H和适用于非平面场景的基础矩阵F,程序中通过一个评分规则来选择适合的模型,恢复相机的旋转矩阵R和平移矩阵t

    那么下面主要讲解关于对极几何中的基础矩阵,本质矩阵,和单应矩阵之间的区别与联系。

    对极几何(Epipolar Geometry)描述的是两幅视图之间的内在射影关系,与外部场景无关,只依赖于摄像机内参数和这两幅视图之间的相对位姿。

    两视图的对极几何可以理解为图像平面与以基线为轴的平面束相交的几何关系,其中主要有几种概念:

    (1)基线(base line):两个相机中心的连线CC'称为基线。

    (2)对极点(epipolar):ee'是对极点,是基线与两个成像平面的交点,也就是两个相机在另一个成像平面上的像点。

    (3)对极平面(epipolar  plane):过基线的平面都称之为对极平面,其中两个相机的中心C和C',三维点X,以及三维点在两个相机成像点xx'这五点必定在同一对极平面上,当三维点X变化时,对极平面绕着基线旋转,形成对极平面束。

    (4)对极线(epipolar line):是对极平面和成像平面的交线,所有的对极线都相交于极点。

    那么由对极几何的基本性质引出了对极约束的概念,对极约束是指在平面2上的p点在平面1上的对应点一定在基线I'上,这句话说明了对极约束是一个点到直线的射影映射关系。如图所示:

    根据对极约束可以引出本质矩阵和基础矩阵。在已知相机标定的情况下,假设有一个三维坐标点P(X,Y,Z)在两个视图上的点分别为p1,p2,由于第一个相机的中心作为世界坐标系的原点,也就是说第一个相机没有旋转R和平移t,通过小孔相机模型有:

                          p1=KP,       p2=K(RP+t)

    其中,K是相机的内参,R,t是第二个相机相对于第一个相机的旋转和平移。

    从p1=KP可以得到

    带入到第二个式子得到

    两边同时乘以K_1得到

    设x1,和x2表示为

    带入到x2=Rx1+t中,两边同时左乘向量t的反对称矩阵t×,由于t×t=0,消除t,

    两边再同时左乘xT2

    由于t×x2是向量t和向量x2的叉积,同时垂直于向量t和向量x2,所以左边的式子为0得到:

    将x1,x2替掉

    上式是对极约束的一种表示,该式子中仅包含像点,相机的旋转和平移,中间的矩阵就是基础矩阵F:

    当K已知时提取中间的矩阵得到本质矩阵E,E矩阵同样表示的是对极约束的关系,只不过它不再涉及相机内参,只由两视图之间的姿态关系决定:

    F矩阵的性质有三:

    1, 3*3且自由度为7的矩阵

    2,kF 为基础矩阵,相差一个尺度自由度

    3,F矩阵的秩为2

    基础矩阵的求解方法:

    1,直接线性变换法(8点法+最小二乘法)

    2,RANSAC-估计基础矩阵

    求解基础矩阵后,我们实际上是想求R和t.所以还是要继续求解本质矩阵直到分解出R,t

    E矩阵的性质:

    (1)3*3且自由度为5的矩阵

    (2)因为只包含R,t共有6个自由度,又因为尺度等价去掉一个自由度

    (3)本质矩阵E的奇异值 必定为[ delta delta,0]T 的形式 

    ORB-SLAM中通过E、F矩阵就可以利用两视图中的匹配点求解出相对姿态了,不过这个方法存在一个问题——当两个视图的相机中心相同时,也就是R,t中的t为0,这时对极几何的基础也就不成立了,可知E、F均为0无法求解。这时就需要使用平面间的单应性H矩阵恢复R,t。

    单应性矩阵Homogeneous是射影几何中的一个术语,又称之为射影变换。本质上是一个数学概念,一般所说的单应矩阵是平面上的单应性矩阵,主要用来解决两个问题:

    (1)表述真实世界中一个平面与他对应图像的透视变换

    (2)通过透视变换实现图像从一个视图变换到另一个视图的转换。

    把一个射影平面上的点(三维齐次矢量)映射到另一个射影平面上,并且把直接射影为直线,具有保线性,总的来说单应是关于三维齐次矢量的一种线性变换,如图所示,两个平面之间的关系可以用一个3*3的非奇异矩阵H表示x1=Hx2,H表示单应矩阵,定义了八个自由度。这种关系定义为平面单应性。

    假设已经取得了两图像之间的单应,则可单应矩阵HH可以将两幅图像关联起来:

    其中,(u1,v1,1)T(u1,v1,1)T表示图像1中的像点,(u2,v2,1)T(u2,v2,1)T是图像2中的像点,也就是可以通过单应矩阵H将图像2变换到图像1,该功能有很多实际的应用,例如图像的校正、对齐以及在SLAM中估计两个相机间的运动。并保持某些性质的不变性,显然具有保线性。

    而在视觉slam中一般为同一相机在不同的位姿得到同一平面的图像有以下公式

    以上公式如何推导而来呢?假设使用同一相机在不同的位姿下拍摄了同一平面,如图:

    上图表示场景中的平面π在两相机的成像,设平面π在第一个相机坐标系下的单位法向量为N,其到第一个相机中心(坐标原点)的距离为d,则平面π可表示为:

    变换为

    其中,X1是三维点P在第一相机坐标系下的坐标,其在第二个相机坐标系下的坐标为X2,则

    将上面式子结合起来有

    得到了同一平面两个不同相机坐标系的单应矩阵

    单应矩阵求解方法:

    (1)直接线性变换法。

    (2)RANSAC-估计单应矩阵

    平面的单应矩阵和对极约束的F矩阵的区别

    两图像间的对极约束和场景的结构无关,可以理解对极约束对于任意场景结构的两幅图像都是成立的,约束是不能给出两幅图像上的像点的一一对应关系,但是可以给出点对应的必要条件,另一幅图像上对应的像点位于对应的对极线上。基础矩阵F描述的实际是一种点和直线的映射关系,而不是一种点对点的约束关系,并不能给出另一个点的确切位置。

    平面间的单应矩阵,并不像对极约束完全不需要场景的结构信息,它对场景的结构有了要求,场景的点必须在同一个平面上,因此单应矩阵H也就能够对两图像上对应点的提供更多的约束,知道了某点在一幅图像的像点位置后,可以通过单应矩阵,求得其在另一幅图像中像点的确切位置。

    单应矩阵的应用场景是相机只有旋转而无平移的时候,两视图的对极约束不成立,基础矩阵F为零矩阵,这时候需要使用单应矩阵H,场景中的点都在同一个平面上,可以使用单应矩阵计算像点的匹配点。 相机的平移距离相对于场景的深度较小的时候,也可以使用单应矩阵H。

    本文内容推导大部分来自《视觉SLAM14讲》。如有补充请大家积极留言,并且希望大家能够在阅读论文或者有推荐的论文或者开源代码,只要和点云相关,都可以留言给群主,如果有必要将会出与你推荐相关的资料。希望大家能够积极参与分享。如有侵权请第一时间联系本平台,将及时删除。

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