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  • 浮点数补码规格化
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    2021-04-29 17:02:26

    浮点数加减运算后,规格化:
    这里我们重点讨论右规的情况:
    若尾数为10.XXXX或者01.XXXX表明运算结果溢出,必须使尾数变小,阶码变大,尾数右移(小数点左移),称之为向右规格化。
    切记补码的规格化似乎并不属于算术移动,也不属于逻辑移动,也就是单纯的尾数移动。
    这里尾数是包括数符位的,所以最后数符位的就填原本的0或1就行。
    10.XXXX变为11.0XXX
    01.XXXX变为00.1XXX

    左规就很简单了:
    若尾数为00.0XXX或者11.1XXX,左移使之最终变成00.1XX或者11.0XX。

    总结:一般补码移动没有交代具体的移动方式,就当成单纯的尾数移动,不用考虑算术移动,还是逻辑移动。

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    一、什么是浮点数

    浮点数让小数点的位置根据需要而浮动。它跟定点数不一样,定点数的小数点是固定的,默认在一个位置上。

     公式

    可以将其看成科学计数法来理解,即 103=1.03×102 。但是在浮点表示法中r一般是2而不是10(表示在二进制下)。

    E叫做阶码(Exponent),用来控制小数点的位置。M叫做尾数(Mantissa),是一个纯小数(整数部分为0的小数),表示小数点后的数值。
    比如还用回十进制r=10,M=0.4567,E=-4,那么N=0.00004567
    这里E的值表示小数点向左移动4位

     格式

    若阶码和尾数都用补码表示
    则获得浮点数的一般格式: 

    其中各位都是二进制位,取0或1。
    es和ms是符号位。es为1时,表示×2的负数次方,也就是小数点向左移;es为0时,表示×2的正数次方也就是小数点向右移。ms为1时,表示这个数是负数,即N为负数。
    例如:
    这里若ms=0b0、m为0b1011,

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    推理:关于浮点数的表示与运算章节中,补码规格化后的负数所能表示的范围

    一、记住形式1.0xx,现要找最大的负数

    二、假设现在仅4位(符号位占一位),毫无疑问就是-0.001,原码表示就是1.001(最低位为0时-0在原码中也是0),可是然后规格化得1.111,不符合形式

    三、(推理)这个数取反+1要变成1.0xx,那么原码必须是1.1xx(因为若原码是1.0xx,取反加一后还要是1.0,则只有1.000,但个数是0不是负数)

    四、由上一步可知最大的负数应尝试取到1.100,可是补码是1.111还是不符合,因此再尝试1.101,此时补码是1.011,得到结果

    结论:规格化浮点数的补码规格化后负数为1.0xx形式且其最大值表示为1.01……1(不仅四位的话中间……处全补1)

    反思:为何形式是1.0xx呢?(1是负数符号没毛病,但为何就不能是1.1?)

    反证:若取1.1xx,则可取1.111,这个补码的原码是1.001,表示的数是-0.001,这时问题就出现了,究竟何为规格化?

    规格化:通过调整一个非规格化浮点数的尾数和阶码的大小,使非零的浮点数在尾数的最高数位上保证是一个有效值,当基数为2时,尾数M的绝对值满足1/2<=|M|<=1

    判断:凭最后一句尾数M的要求就可以理解为何形式是1.0xx了

    再问:为何使非零的浮点数在尾数的最高数位上保证是一个有效值,尾数M绝对值就是大于1/2?(或者应该反过来说,为何尾数M绝对值就是大于1/2,可以保证最高数有效?)

    易知:这是规定而来的,试想若能小于1/2,则最高位就是0了(尾数都是小数部分,相当于二进制下小数点后一位),那又怎么知道到第几位会有效?若设为>=1/4,那为何不是1/8呢?所以大于等于1/2是有道理的,可以保证最高位是1

    延伸:这就不难理解了

    原码与补码的正数规格化形式都是0.1xx,MAX=0.111,MIN=0.100(范围就是1/2到(1-2^-n))

    负数时原码可以表示的形式是1.1xx,因为最大值1.100,最小值1.111(范围就是(1-2^-n)到1/2)

    负数时补码可以表示的形式是1.0xx,因为最大值1.011,最小值1.000(范围是-1到-(1/2+2^-n)),注意1.000是-1的补码,补码中负0 是表示负得最多的数(即最小的负数)

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    转自:补码表示的浮点数的规格化及示数范围


    一、规格化

    对二进制浮点数N = m x rm ^ e(rm为尾数的基),若尾数m满足1/2≤|m|<1,即尾数最高位数字为“1”,则为规格化的数。

    补码来说:如果是正数,尾数的最高位为“1”;如果是负数,尾数的最高位应为“0”(即1.0x...x),或为“1”而以后各位全为“0”(即1.10...0)。前者小于-1/2,后者正好等于-1/2。

    为了机器判断方便,在补码表示中,往往不把-1/2列入规格化的数。这样,补码规格化数规定如下:

    对正数m ≥ 0,如果 1 > m ≥ 1/2,称为规格化数,其补码表示形式为:0.1x...x ;对负数x<0,如果 -1/2> m ≥ -1(注意:补码表示的时候可取-1),称为规格化数,其补码表示形式为:1.0x...x。 其中x表示可任取“0”或“1”。

    因此,机器只要判断运算结果的符号位与第一位数字是否相同,便可知道是否是规格化的数。


    二、示数范围

    1个浮点数需要用以下6个参数来表示:

    * 尾数的基rm。在不同的数制中,可以分别取值为 rm = 2、4、8、16、10。

    * 尾数的值m。

    * 尾数的长度p。p的值与尾数采用的基rm有关,p位长的尾数的rm进制数的尾数为p' = p / [ log2(rm) ]。

    * 阶码的基re。一般取re = 2。

    * 阶码的值e。

    * 阶码的长度q。由于re = 2,因此q的值就是e的二进制数的位数。

    (1)当尾数的值m采用原码表示时,规格化浮点数N的示数范围为

    (rm ^ (-1)) x (rm ^ ( - re ^ q)) ≤ N ≤ (1 - rm ^ ( -p')) x (rm ^ ( re ^ q -1))

    (2)当尾数的值m采用补码表示时,规格化浮点数N的示数范围在正数区间与m采用原码表示时相同,在负数区间的示数范围为

    - (rm ^ (re ^ q -1)) ≤ N ≤ - (rm ^ (-1) + rm ^ (-p)) x (rm ^ ( - re ^ q))

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