一、什么是浮点数

浮点数让小数点的位置根据需要而浮动。它跟定点数不一样，定点数的小数点是固定的，默认在一个位置上。

 公式

可以将其看成科学计数法来理解，即 103=1.03×102 。但是在浮点表示法中r一般是2而不是10（表示在二进制下）。

E叫做阶码（Exponent），用来控制小数点的位置。M叫做尾数（Mantissa），是一个纯小数（整数部分为0的小数），表示小数点后的数值。
比如还用回十进制r=10，M=0.4567，E=-4，那么N=0.00004567
这里E的值表示小数点向左移动4位

 格式

若阶码和尾数都用补码表示
则获得浮点数的一般格式： 

其中各位都是二进制位，取0或1。
es和ms是符号位。es为1时，表示×2的负数次方，也就是小数点向左移；es为0时，表示×2的正数次方也就是小数点向右移。ms为1时，表示这个数是负数，即N为负数。
例如：
这里若ms=0b0、m为0b1011，

推理：关于浮点数的表示与运算章节中，补码规格化后的负数所能表示的范围

一、记住形式1.0xx，现要找最大的负数

二、假设现在仅4位（符号位占一位），毫无疑问就是-0.001，原码表示就是1.001（最低位为0时-0在原码中也是0），可是然后规格化得1.111，不符合形式

三、（推理）这个数取反+1要变成1.0xx，那么原码必须是1.1xx（因为若原码是1.0xx，取反加一后还要是1.0，则只有1.000，但个数是0不是负数）

四、由上一步可知最大的负数应尝试取到1.100，可是补码是1.111还是不符合，因此再尝试1.101，此时补码是1.011，得到结果

结论：规格化浮点数的补码规格化后负数为1.0xx形式且其最大值表示为1.01……1（不仅四位的话中间……处全补1）

反思：为何形式是1.0xx呢？（1是负数符号没毛病，但为何就不能是1.1？）

反证：若取1.1xx，则可取1.111，这个补码的原码是1.001，表示的数是-0.001，这时问题就出现了，究竟何为规格化？

规格化：通过调整一个非规格化浮点数的尾数和阶码的大小，使非零的浮点数在尾数的最高数位上保证是一个有效值，当基数为2时，尾数M的绝对值满足1/2<=|M|<=1

判断：凭最后一句尾数M的要求就可以理解为何形式是1.0xx了

再问：为何使非零的浮点数在尾数的最高数位上保证是一个有效值，尾数M绝对值就是大于1/2？（或者应该反过来说，为何尾数M绝对值就是大于1/2，可以保证最高数有效？）

易知：这是规定而来的，试想若能小于1/2，则最高位就是0了（尾数都是小数部分，相当于二进制下小数点后一位），那又怎么知道到第几位会有效？若设为>=1/4，那为何不是1/8呢？所以大于等于1/2是有道理的，可以保证最高位是1

延伸：这就不难理解了

原码与补码的正数规格化形式都是0.1xx，MAX=0.111，MIN=0.100（范围就是1/2到（1-2^-n））

负数时原码可以表示的形式是1.1xx，因为最大值1.100，最小值1.111（范围就是（1-2^-n）到1/2）

负数时补码可以表示的形式是1.0xx，因为最大值1.011，最小值1.000（范围是-1到-(1/2+2^-n)），注意1.000是-1的补码，补码中负0 是表示负得最多的数（即最小的负数）

转自：补码表示的浮点数的规格化及示数范围

一、规格化

对二进制浮点数N = m x rm ^ e（rm为尾数的基），若尾数m满足1/2≤|m|＜1，即尾数最高位数字为“1”，则为规格化的数。

对补码来说：如果是正数，尾数的最高位为“1”；如果是负数，尾数的最高位应为“0”（即1.0x...x），或为“1”而以后各位全为“0”（即1.10...0）。前者小于-1/2，后者正好等于-1/2。

为了机器判断方便，在补码表示中，往往不把-1/2列入规格化的数。这样，补码规格化数规定如下：

对正数m ≥ 0，如果 1 ＞ m ≥ 1/2，称为规格化数，其补码表示形式为：0.1x...x ；对负数x＜0，如果 -1/2＞ m ≥ -1（注意：补码表示的时候可取-1），称为规格化数，其补码表示形式为：1.0x...x。 其中x表示可任取“0”或“1”。

因此，机器只要判断运算结果的符号位与第一位数字是否相同，便可知道是否是规格化的数。

二、示数范围

1个浮点数需要用以下6个参数来表示：

* 尾数的基rm。在不同的数制中，可以分别取值为 rm = 2、4、8、16、10。

* 尾数的值m。

* 尾数的长度p。p的值与尾数采用的基rm有关，p位长的尾数的rm进制数的尾数为p' = p / [ log2(rm) ]。

* 阶码的基re。一般取re = 2。

* 阶码的值e。

* 阶码的长度q。由于re = 2，因此q的值就是e的二进制数的位数。

（1）当尾数的值m采用原码表示时，规格化浮点数N的示数范围为

(rm ^ (-1)) x (rm ^ ( - re ^ q)) ≤ N ≤ (1 - rm ^ ( -p')) x (rm ^ ( re ^ q -1))

（2）当尾数的值m采用补码表示时，规格化浮点数N的示数范围在正数区间与m采用原码表示时相同，在负数区间的示数范围为

- (rm ^ (re ^ q -1)) ≤ N ≤ - (rm ^ (-1) + rm ^ (-p)) x (rm ^ ( - re ^ q))