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  • 秩1矩阵
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    2016-01-14 10:43:42

    所有的秩1矩阵(Rank 1 matrix)都可转化为:

    Am×n=um×1vTn×1

    一个列向量乘以一个行向量。

    秩1矩阵与线性空间理论

    如何描述一个空间——基与维数;

    比如如下的一个线性子空间, vR4,v1+v2+v3+v4=0 ,所有的 v 构成的子空间 S。它的基和维数分别是多少?

    v1+v2+v3+v4=0 ,改造成方程组的形式:

    Av=0[1,1,1,1]v1v2v3v4=0

    秩1矩阵登堂入室,此时的子空间 S 即为 A=[1,1,1,1]的 零空间(null space)

    而求解null space of Am×n 的维数的一般公式是:

    dimN(A)=nrank(A)=nr

    故此时 S 的维数(也即 A 的核空间的维数)为 41 rank(A)=1 秩1矩阵嘛)。我们接着给出其基的形式,一个主元(第一个位置),三个自由变量(free variable):

    1100,1010,1001

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    矩阵空间

      矩阵空间是对向量空间的扩展,因为矩阵的本质是向量,所以与向量空间类似,也存在矩阵空间。

      在向量空间中,任意两个向量的加法和数乘仍然在该空间内。类似的,所有固定大小的矩阵也组成了矩阵空间,在空间内的任意两个矩阵的加法和数乘也在该空间内。例如,M是所有3×3矩阵构成的空间,空间内的矩阵可以相加,也可以数乘,其结果仍然是3×3矩阵。虽然可以把它们中的两个相乘,但是没人会那么做,因为乘法与向量空间没有关系。

      看起来我们需要随时注意乘法的概念,线性代数中的乘法有别于中学时代标量间的乘法。向量与一个标量相乘,被明确定义为数乘;两个相同维度的向量间存在点积和叉乘,其写法上都与九九乘法表中的乘法类似,但是没有定义两个向量的乘法。虽然矩阵间定义了乘法,但存在限制,只有满足“攘外必先安内”原则的两个矩阵才能相乘。线性代数中的概念众多,学了线性代数后,再也不能愉快地做乘法了。

      “攘外必先安内”:AB两个矩阵相乘,必须满足A的列数等于B的行数:

     

      如果AB能够相乘,必须满足n = p,看起来n和p正好夹在m和q中间,m和q在外围:

      相乘的结果当然是“共同御敌,一致对外”。

      以3×3矩阵构成的空间M为例,M一共有9个元素,M的维度是9。M的标准基是:

    矩阵的子空间

      矩阵的子空间也是对向量子空间的扩展,矩阵子空间需要满足数乘和加法仍处于同一集合内。

      矩阵空间M也有一些特殊的子空间,比如将M空间内的两个对称矩阵相加或数乘,仍然得到对称矩阵;上三角矩阵子空间,将空间内的两个矩阵相加或数乘,仍然得到上三角矩阵。仍然以3×3矩阵构成的空间M为例,看看M中的几个子空间。

    对称矩阵子空间

      设M中的对称子空间是S,6个对称矩阵构成了S的标准基:

     

      S维度是6,表示为:

    上三角矩阵子空间

      设上三角矩阵子空间是U,U的维度也是6,它的维度表示为:

     

      很明显,上三角矩阵的基是:

     

    对角矩阵子空间

      如果一个矩阵既是对称矩阵又是上三角矩阵,则这个矩阵称为对角矩阵(diagonal matrix)。对称矩阵是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵,常写为diag(λ1, λ2,..., λn)。

      主对角线上的元素可以为 0 或其他值,对角线上元素相等的对角矩阵称为数量矩阵;对角线上元素全为1的对角矩阵就是单位矩阵。对角矩阵的运算包括和、差运算、数乘运算、同阶对角阵的乘积运算,且这些运算的结果仍为对角阵。

      对角矩阵A:

      数量矩阵,对称矩阵的对角元线上的元素都相等:

     

      单位矩阵,对称矩阵的对角元线上的元素都为1:

     

      M3×3内的对称矩阵和上三角矩阵的交集是一个对角矩阵,所有对角矩阵也构成一个子空间其维度是3:

     

       很明显,S∩U的标准基是:

    S+U矩阵子空间

      对于S∪U,它或者在对称矩阵子空间S中,或者在上三角矩阵子空间U中,或者在对角矩阵子空间S∩U中。我们对S∪U不感兴趣,主要是的原因是S∪U并不能构成子空间,可以随便举个例子:

      可以看到,U1 + S1是个没什么特点的矩阵,它不属于S∪U,所以不符合子空间的加法封闭性。

      现在,我们将S∪U扩大一点,变成S + U,也就是不单独地取S和U中的矩阵,而是取S中的任一矩阵和U中的任一矩阵,将二者相加:

     

      其结果是整个M空间,即:

     

      当然,S + U的维数也是M的维数:

    矩阵子空间维数的关系

      现在将上面4个矩阵子空间的维数放在一起:

     

      可以看出:

     

    秩1矩阵

      秩1矩阵就是秩为1的矩阵,它的行空间和列空间的维度都是1:

     

      更进一步,秩1矩阵可以表示为一列乘以一行的形式:

      我们之所以对秩1矩阵感兴趣,是因为可以通过秩1矩阵搭建出任意矩阵,比如秩为4的矩阵,可以通过4个秩1矩阵搭建而成。

      如果M是所有5×10矩阵的矩阵空间,那么一个由秩4矩阵组成的子集是否是一个子空间?

      当然不是,因为两个矩阵之和的秩不大于两个矩阵的秩之和。设P是M中两个任意秩4矩阵之和,P的秩可能是5,不在秩4矩阵集合内。虽然P是两个秩4矩阵之和,rank(P) ≤4 + 4 = 8,但由于P仍然在M5×10内,而M5×10中的矩阵的秩不会大于5,所以rank(P)的最大值是5。同理,M中由秩1矩阵组成的子集也不是子空间。

    秩1矩阵与零空间的关系

      假设有一个向量x,x中的分量之和为0:

      很明显x满足零空间的条件,它是某个矩阵的零空间,这个矩阵是什么呢?也就是说对于Ax = 0来说,A是什么?x的维数又是什么?

      先回答最后一个,根据条件S可以确定,x的一个分量可以由另外三个分量表示:

     

      可见x的主变量有1个,自由变量有3个,维数是3。

      再看零空间所属的矩阵,可以很容易判断:

     

      A是秩1矩阵,根据《线性代数14——行空间和左零空间》空间和维数的关系:Am×n的零空间是位于Rn下的 n – r维空间,A的零空间的维数3,x是3维的。

      A的列空间和行空间都是1维的:

      A的左零空间是零向量。

     


    作者:我是8位的

    出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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    今天要介绍一种新的向量空间,即矩阵空间,之前碰到的所有向量空间,都是n维的实数空间,现在我们将矩阵当成向量,比如说将3*3的矩阵看作向量,这相当于从原来的n维为扩展到n*n维,那么明明是矩阵为什么可以看成是向量呢?因为矩阵也服从向量空间的运算,向量能相加,矩阵也能相加,向量能数乘,矩阵也可以数乘,向量可以线性组合,矩阵也可以线性组合。所以说矩阵也可以当成向量来生成空间,这个空间就是矩阵空间。比如说所有3*3的矩阵组成的空间,我们记为矩阵空间M,那么M的子空间有:所有上三角矩阵(upper triangular matrix)组成的空间U、所有的对称矩阵(symmetricmatrix)组成的空间S,所有的对角矩阵(diagonal matrix)组成的空间D(对角矩阵是上三角阵和对称阵的交集),因为两个上三角阵相加还是上三角阵,两个对称阵相加还是对称阵,两个对角阵相加还是对角阵,除此之外,我们还可以得出M空间的维数是9,9个基分别为:


    S空间的维数是6,6个基分别为:


    U空间的维数也是6,基分别为:

    通过将U和S进行组合,我们还可以得到其他子空间,比如前面已经提过的对称阵空间S和上三角阵空间U的交集   得到的对角阵空间D,其维数是3维,但是注意并集 组成的集合不是子空间,要将符号改成“+”,即S+U才构成子空间,如果每次任取S内任一元素加上U内任一元素,我们可以得到所有3*3矩阵,因此这个S+U构成的空间维度是9,这里我们可以发现dim(S)+dim(U)=dim(S交U)+dim(S+U),即S的维度加上U的维度等于它们交的维度加上它们和的维度,以上就是关于矩阵空间的内容,除了向量跟传统的向量有区别,其他都是一样的求法。现在我们再举个比较特殊的例子,假设有一个矩阵空间,它来自于微分方程,该微分方程为d2y/dx2+y=0,其解是y=cos( x) ,y=sin( x),这个微分方程的零空间或解空间就是这两个解的线性组合,也就是y=c1cos(x)+c2sin(x),很铭明显这个向量空间的维数是2,因为它有2个基:cos(x)和sin(x)。举这个例子的目的在于:cos(x)和sin(x)看起来并不像向量,有些像函数,但我们可以称它们为向量,因为其可以做数乘也可以作加法,所以可对它们进行线性组合,这就是线性代数中的向量,基,维数,它们不仅仅局限于我们平常所熟悉的向量形式,也可以用于矩阵甚至函数等,只要它们满足向量的特性。

    秩1矩阵

    关于矩阵的秩r,目前我们已经知道的是它等于矩阵主元的个数,且r<m,r<n,秩1矩阵是一类性质很好但非常简单的矩阵,因此我们在这里对其作一些简单分析。假设现有秩1矩阵   ,经过消元可得知其行空间的基为A的第一行,列空间的基为A的第一列,那么A可以写成两个基相乘的形式,即   ,对于所有的秩1矩阵,这个结论都是成立的,即所有的秩1矩阵都能表示为一列基乘以一行基的形式A=UVT,秩1矩阵就像搭其它矩阵的积木,任何矩阵都可以表示为若干个秩1矩阵的组合,例如如果有一个5*17的矩阵,它的秩为4,那么这个矩阵就可分解为4个秩1矩阵的组合。

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    a_1 \\ \vdots\\ a_n \end{bmatrix}, \quad b = \begin{bmatrix} b_1 \\ \vdots\\ b_n \end{bmatrix} a=⎣⎢⎡​a1​⋮an​​⎦⎥⎤​,b=⎣⎢⎡​b1​⋮bn​​⎦⎥⎤​ aTb=∑i=1naibi,abT=[a1b1⋯a1bn⋯⋯⋯anb1⋯...

    a = [ a 1 ⋮ a n ] , b = [ b 1 ⋮ b n ] a = \begin{bmatrix} a_1 \\ \vdots\\ a_n \end{bmatrix}, \quad b = \begin{bmatrix} b_1 \\ \vdots\\ b_n \end{bmatrix} a=a1an,b=b1bn
    a T b = ∑ i = 1 n a i b i , a b T = [ a 1 b 1 ⋯ a 1 b n ⋯ ⋯ ⋯ a n b 1 ⋯ a n b n ] , a^T b = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i, \quad ab^T = \begin{bmatrix} a_1b_1 & \cdots & a_1 b_n \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ a_n b_1 & \cdots & a_n b_n \end{bmatrix}, aTb=i=1naibi,abT=a1b1anb1a1bnanbn,
    a b T ab^T abT的秩为1,其所有行或列都线性相关,只有一个非零特征值: λ ( a b T ) = a T b \lambda(ab^T) = a^Tb λ(abT)=aTb.


    列变换

    [ a 1 b 1 ⋯ a 1 b n ⋯ ⋯ ⋯ a n b 1 ⋯ a n b n ] [ 1 − b 2 b 1 − b 3 b 1 ⋯ − b n b 1 1 0 ⋯ 0 ⋱ ⋱ ⋮ 1 0 1 ] = [ a 1 b 1 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ a n b 1 ⋯ 0 ] \begin{bmatrix} a_1b_1 & \cdots & a_1 b_n \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ a_n b_1 & \cdots & a_n b_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -\frac{b_2}{b_1} &-\frac{b_3}{b_1} & \cdots& -\frac{b_n}{b_1} \\ &1& 0 & \cdots & 0 \\ & & \ddots &\ddots&\vdots\\ &&&1& 0\\ &&&&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1b_1 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ a_n b_1 & \cdots &0 \end{bmatrix} a1b1anb1a1bnanbn1b1b21b1b301b1bn001=a1b1anb100

    行变换

    [ 1 − a 2 a 1 1 − a 3 a 1 0 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ − a n a 1 0 ⋯ 0 1 ] [ a 1 b 1 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ a n b 1 ⋯ 0 ] = [ a 1 b 1 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 ⋯ 0 ] \begin{bmatrix} 1 & & & & \\ -\frac{a_2}{a_1}&1& && \\ -\frac{a_3}{a_1}& 0 & 1 && \\ \vdots &\vdots&\ddots&\ddots&\\ -\frac{a_n}{a_1} &0&\cdots&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1b_1 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ a_n b_1 & \cdots &0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1b_1 & 0 &\cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots &0 \end{bmatrix} 1a1a2a1a3a1an100101a1b1anb100=a1b100000000

    P a 1 = [ 1 − a 2 a 1 1 − a 3 a 1 0 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ − a n a 1 0 ⋯ 0 1 ] , P b 1 = [ 1 − b 2 b 1 − b 3 b 1 ⋯ − b n b 1 1 0 ⋯ 0 ⋱ ⋱ ⋮ 1 0 1 ] P_{a1} = \begin{bmatrix} 1 & & & & \\ -\frac{a_2}{a_1}&1& && \\ -\frac{a_3}{a_1}& 0 & 1 && \\ \vdots &\vdots&\ddots&\ddots&\\ -\frac{a_n}{a_1} &0&\cdots&0&1 \end{bmatrix}, P_{b1} = \begin{bmatrix} 1 & -\frac{b_2}{b_1} &-\frac{b_3}{b_1} & \cdots& -\frac{b_n}{b_1} \\ &1& 0 & \cdots & 0 \\ & & \ddots &\ddots&\vdots\\ &&&1& 0\\ &&&&1 \end{bmatrix} Pa1=1a1a2a1a3a1an100101,Pb1=1b1b21b1b301b1bn001

    特征分解与对角化

    ( a b T ) a = a ( b T a ) = ( a T b ) a (ab^T)a = a(b^Ta) = (a^Tb)a (abT)a=a(bTa)=(aTb)a
    说明 a a a 是特征值 a T b a^Tb aTb 对应的特征向量,剩下 n − 1 n-1 n1个特征向量只要满足和 b b b正交即可!

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