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  • 参数空间直角坐标系坐标转换
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    2019-05-09 15:42:02

    一、引言
    在测绘领域中,经常遇到不同空间直角坐标系之间转换的问题,比如在空间大地测量,摄影测量以及GIS,GPS在测量中经常会用到WGS-84坐标系与我国北京54坐标系或与地方坐标系之间的转换,空间直角坐标转换的七参数模型主要有1.布尔莎模型;2.莫洛琴斯基模型;3.武测模型。
    目前大多实际应用多采用布尔莎模型(即包含3个坐标平移参数,3个角度旋转参数和1个尺度缩放参数),以下将讨论基于布尔莎模型的小旋转角,以及大旋转角的空间直角坐标的转换问题。
    二、空间直角坐标系坐标转换原理
    2.1 空间直角坐标系的概念
    空间直角坐标系的坐标原点为椭球的中心,X轴为赤道面和起始子午面的交线;将在赤道面上并与X轴垂直的方向定为Y轴;坐标系的Z轴为椭球的旋转轴,由此构成右手直角坐标系O-XYZ。在空间直角坐标系中,空间中某点的坐标用该点在三个坐标轴上的投影表示,和大地坐标系是一一对应的
    2.2 布尔莎模型
    如图所示,设有两个空间直角坐标系O-XYZ和O’-X’Y’Z’,这两个坐标系的原点不相一致,即存在三个平移参数、、,它们是O-XYZ坐标系原点O在O’-X’Y’Z’中的坐标;当各坐标轴相互不平行,即存在三个旋转参数、、;两个坐标系的尺度也不一致,设O-XYZ的尺度为1,而设O’-X’Y’Z’的尺度为1+m,尺度变化为m。
    采用布尔沙模型将O’-X’Y’Z’下坐标转换为O-XYZ下坐标的步骤为:
    (1)将O-XYZ绕X轴顺时针旋转角,使经过旋转后的Y轴与O’-X’Y’Z’平面平行;
    (2)将O-XYZ绕Y轴顺时针旋转角,使经过旋转后的 Z轴与 O’-X’Y’Z’平面平行;
    (3)将O-XYZ绕Z轴顺时针旋转角,使经过旋转后的X轴与O’-X’Y’Z’平面平行;此时O-XYZ的三个坐标轴己与O’-X’Y’Z’中相应的坐标轴平行;
    (4)将O-XYZ的原点分别沿X移动,Y移动和Z移动,使原坐标系与O’-X’Y’Z’的原点重合。
    (5)将O-XYZ中的长度单位缩放l+m倍,使其与O’-X’Y’Z’的长度单位一致。

    可用数学公式将该转换过程表达如下:
    (2.1)
    其中:

    今令:
    (2.2)
    其中:

    通常情况,不同基准的大地坐标系之间的3个欧勒角都是非常小,属于微小量,因此可用等价无穷小替换化简R矩阵;,,,,,
    这样矩阵R可表示为:
    (2.3)
    从而采用布尔沙模型将O-XYZ下坐标转换为O’-X’Y’Z’下坐标的公式可表示为:
    (2.4)
    将上式进一步整转换值可写为如下形式:
    (2.5)
    这样,只要至少已知三个点的两个坐标系的坐标就可以确定中的七个参数(△X,△Y, △Z,,,,m),从而确定两个坐标系的转换关系模型。因为满足计算条件的最少的三个公共点对应着9个方程,所以七个转换参数必须通过平差进行计算。
    根据上式列出计算七参数的数学模型,由于测量中包含误差,由上式可以得到关于每个公共点的七参数的误差方程
    (2.6)
    根据上式列出所有n()个公共点的误差方程,再将上式写成矩阵的形式
    (2.7)
    形式的误差方程组,一般定义P为单位阵,则可以利用间接平差的方法计算七个转换参数。
    其中:
    ——改正数向量
    ——待求参数向量
    ——系数矩阵
    ——常数项向量
    ——权矩阵(一般为单位阵)
    根据间接平差的最小二乘原理,为原则,可得间接平差的法方程为:
    (2.8)
    其解为:
    (2.9)

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  • 参数空间与假设空间

    千次阅读 2019-02-18 09:15:39
    假设空间:是指所有可能的模型组成的一个空间,一般无穷...参数空间:模型一般有参数决定,所有参数可能的取值组合 因此,我们在从假设空间中找出来一个最佳的模型实际上就是从参数空间中找出来最佳的一个参数 ...

    假设空间:是指所有可能的模型组成的一个空间,一般无穷多个
    参数空间:模型一般有参数决定,所有参数可能的取值组合
    因此,我们在从假设空间中找出来一个最佳的模型实际上就是从参数空间中找出来最佳的一个参数
    PS:版本空间:与已知数据集一致的所有假设的子集集合

    在这里插入图片描述
    绿色加号代表正类样本,红色小圈代表负类样本,GB与SB之间所围成的区域就是版本空间

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  • 通常来说,损失函数都是高维的函数,难以可视化为人类可以分辨的二维或者三维形式,因此这里介绍一种通过在高维空间中切片的损失函数可视化手段,并且讨论下模型的参数空间。 如有谬误请联系指出,转载请注明出处。...

    前言:

    在深度学习中我们总是不可避免会碰到各种各样的损失函数,通常来说,损失函数都是高维的函数,难以可视化为人类可以分辨的二维或者三维形式,因此这里介绍一种通过在高维空间中切片的损失函数可视化手段,并且讨论下模型的参数空间。如有谬误请联系指出,转载请注明出处。

    ∇ \nabla 联系方式:

    e-mail: FesianXu@gmail.com

    QQ: 973926198

    github: https://github.com/FesianXu

    知乎专栏: 计算机视觉/计算机图形理论与应用

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    模型的参数空间

    我们知道,在机器学习,特别是深度学习中,整个模型有着数以万计,百万计的参数,包括有权值,偏置等,这些参数通常来说都是实数,如果用 θ \theta θ表示模型的所有参数,既是 θ ∈ R N \theta \in \mathbb{R}^N θRN,其中 N N N就可以表示模型的参数量。我们可以知道, θ \theta θ的每个分量都是可以自由取值的,当每个分量遍历了所有可能的取值时,我们不妨把模型的所有可能参数取值看成一个空间,名为参数空间(parameter space),用符号 P \mathcal{P} P表示。 也就是说,我们模型中的每一个可能的参数组合 θ \theta θ,都有 θ ∈ P N \theta \in \mathcal{P}^N θPN。为了方便起见,我们接下来的讨论将 N N N设为3,也就是说我们下面讨论的模型只有三个参数。其参数空间绘制出来如下所示:
    3dpspace

    因为这个空间中的每个点(元素)都代表着一个可能的参数组合,因此都可以看成一个假设相同的模型。我们如下图可以发现,不同参数组合之间可以自由移动,比如从当前的 θ 1 \theta_1 θ1移动到 θ 2 \theta_2 θ2,这个就是模型参数的更新过程。
    update

    其实我们也可以简单地发现,空间 P \mathcal{P} P其实是一个线性空间,因为无论是数乘还是加法在这个空间都是封闭的,同时,我认为这个空间不是内积空间,因为在参数空间定义内积似乎没有意义,不确定是否是赋范空间,希望有了解的朋友指出。不管怎么说,因为这个参数空间是一个线性空间,我们可以用空间的非线性相关基底表示空间中的任意一个点了。特别的,我们考虑这个空间中的一个平面 S ∈ R 2 \mathcal{S} \in \mathbb{R}^2 SR2,这个平面可以由初始点 θ 0 \theta_0 θ0和两个非线性相关的空间向量 θ 1 \theta_1 θ1, θ 2 \theta_2 θ2组成,既是 θ ∈ S , θ = a θ 1 + b θ 2 + θ 0 \theta \in \mathcal{S}, \theta = a\theta_1+b\theta_2+\theta_0 θS,θ=aθ1+bθ2+θ0,画出图如下所示:
    s_space

    其实我们可以发现,这个时候,本来是可以在整个3维空间 P \mathcal{P} P中进行参数搜索的,通过限制,或者说正则化手段,将其限制在了只能在一个平面 S \mathcal{S} S上进行参数搜索。

    这个行为正是正则的作用,通过引入一些假设或者说偏好,将模型过大的参数空间限制在一个偏好空间中,从而实现更好的泛化和搜索。当然我这里为了可视化方便举的是3维的例子,其实扩展到 N N N维也是一样的。我们接下来考察在 N N N维参数空间中,利用刚才讨论的参数空间的线性特质进行损失函数的可视化。


    损失函数的二维可视化

    在模型中因为参数数以万计甚至数以百万计,而且我们的损失函数是关于参数的一个函数,因此损失函数也是个极其高高维的函数,难以可视化,但是,通过切片的手段,我们可以可视化出损失函数的一个切片出来,定性观察其局部特性。我们看下如何进行切片。

    考虑一个损失函数 L ( ⋅ ) ∈ R \mathcal{L}(\cdot) \in \mathbb{R} L()R,假设其映射为 L : P → R \mathcal{L}: \mathcal{P} \rightarrow \mathbb{R} L:PR,也就是将每一个权值函数都映射到了一个相应的损失值(当然中间需要通过模型函数 f ( ⋅ ) f(\cdot) f()的作用,这里省略了),假设我们的初始参数为 θ 0 \theta_0 θ0,那么假设两个方向的基底,分别为 θ 1 \theta_1 θ1 θ 2 \theta_2 θ2,那么在这个由 θ 1 \theta_1 θ1 θ 2 \theta_2 θ2为基底的平面中,每一个新的参数都可以表示为 θ = θ 0 + a θ 1 + b θ 2 \theta = \theta_0+a\theta_1+b\theta_2 θ=θ0+aθ1+bθ2,也就说我们的损失函数可以从初始的 L ( θ 0 ) \mathcal{L}(\theta_0) L(θ0)更新到 L ( θ 0 + a θ 1 + b θ 2 ) \mathcal{L}( \theta_0+a\theta_1+b\theta_2) L(θ0+aθ1+bθ2),这个过程,只要当初始值 θ 0 \theta_0 θ0和基底 θ 1 \theta_1 θ1 θ 2 \theta_2 θ2决定了(其实初始值可以随机选),就完全由 a , b a,b a,b两个值决定了,因此可以将其画成一个平面图,如下所示[2]:
    loss2d
    进一步分析我们可以知道,这个过程其实相当于对损失函数进行了一个切片的操作,如下图所示:
    clip

    因此,这个由 a , b a,b a,b组成的等高线图可以表示整个高维度损失函数的一个切面,提供损失函数的局部信息,当然不能描述整个损失函数,但是不失为一个提供参考的好方法。下图是SVM损失函数依据此方法的可视化结果[1],左图具有正则约束,而右图没有:
    svm

    总结来说,这种方法通过用 a , b a,b a,b两个维度代表了整个高维度的损失函数,达到了可视化的目的。


    再看正则化

    正则,常常在统计学和机器学习中提及,其本质是引入一些先验的知识,数据额外的知识解决一些病态(ill-posed)的问题,以缓解过拟合的现象[4]。这个过程中,给参数空间提供了偏好,减小了参数空间的大小,我们以后有机会再继续细谈不同正则的假设的解决的问题,我们这里主要考虑的是,怎么提供正则?我们观察下面图:
    reg

    我们容易发现,其实参数空间中的每一个点都映射到了损失函数上,其参数空间上的平移相当于损失函数上的“上坡”或者“下坡”,因此损失函数的最小化体现在参数空间上就是参数在寻找一个最优值。那么我们不难推理出,其实参数空间和损失函数是相关的,我们对参数空间进行正则也就是进行偏好假设,在损失函数上,其实就相当于加上一个正则项,控制损失函数的形状罢了。对于在考虑损失函数的情况下加上正则,可以考虑在损失函数中添加正则项,对于考虑参数空间的正则,可以考虑不同的特殊网络结构,这两种方法都是常见的添加正则的方法。

    我们以后文章中将会看到,诸如dropout, L2 weight decay, L1 sparse, stochastic depth, weight sharing, sparse connection等等无一不是在我提到的这两种方法中考虑的。


    Reference

    [1]: 最优化基础:损失函数可视化、折页损失函数 & 梯度计算

    [2]: Li H, Xu Z, Taylor G, et al. Visualizing the loss landscape of neural nets[J]. arXiv preprint arXiv:1712.09913, 2017.

    [3]: Dinh L, Pascanu R, Bengio S, et al. Sharp minima can generalize for deep nets[J]. arXiv preprint arXiv:1703.04933, 2017.

    [4]: Regularization (mathematics)

    展开全文
  • 三维空间中圆的参数方程

    万次阅读 2019-01-01 22:02:51
    三维空间中,以点为圆心、以向量为法向量、半径为 r 的圆(见下图), 它的参数方程为:其中,与分别对应单位向量与,它们既垂直于,又互相垂直;随着从0变化到,通过参数方程可以得到圆上每一个点的坐标。与是...

    三维空间中,以点三维空间中圆的参数方程为圆心、以向量三维空间中圆的参数方程为法向量、半径为 r 的圆(见下图),

    ä¸ç»´ç©ºé´ä¸­åçåæ°æ¹ç¨

    它的参数方程为:
    三维空间中圆的参数方程

    三维空间中圆的参数方程

    三维空间中圆的参数方程

    其中,三维空间中圆的参数方程三维空间中圆的参数方程分别对应单位向量三维空间中圆的参数方程三维空间中圆的参数方程,它们既垂直于三维空间中圆的参数方程,又互相垂直;随着三维空间中圆的参数方程从0变化到三维空间中圆的参数方程
    ,通过参数方程可以得到圆上每一个点的坐标。

    三维空间中圆的参数方程三维空间中圆的参数方程是满足既垂直于三维空间中圆的参数方程,又互相垂直的任意单位向量。怎么样快速得到满足条件的三维空间中圆的参数方程三维空间中圆的参数方程呢?这时候应该充分利用叉乘运算的特点,因为两个向量的叉乘结果只要不为零,叉乘结果总是垂直于原来的这两个向量。具体如下:

    三维空间中圆的参数方程的方法:三维空间中圆的参数方程叉乘坐标向量三维空间中圆的参数方程。如果叉乘结果不为零,那么它必然垂直于三维空间中圆的参数方程,把它单位化后就得到三维空间中圆的参数方程;如果叉乘结果恰好为零,再用三维空间中圆的参数方程叉乘剩下两个坐标向量三维空间中圆的参数方程三维空间中圆的参数方程中任意一个,单位化叉乘结果,得到三维空间中圆的参数方程

    三维空间中圆的参数方程的方法:三维空间中圆的参数方程叉乘上一步得到的三维空间中圆的参数方程,叉乘结果必然垂直于三维空间中圆的参数方程三维空间中圆的参数方程,单位化叉乘结果,就得到三维空间中圆的参数方程

    接下来,利用Matlab软件对三维空间中圆的参数方程进行测试。代码如下:

    n=[1 1 1]; %法向量n
    r=1; %圆的半径为1
    c=[1 1 1]; %圆心的坐标
    theta=(0:2*pi/100:2*pi)'; %theta角从0到2*pi
    a=cross(n,[1 0 0]); %n与i叉乘,求取a向量
    if ~any(a) %如果a为零向量,将n与j叉乘
        a=cross(n,[0 1 0]);
    end
    b=cross(n,a); %求取b向量
    a=a/norm(a); %单位化a向量
    b=b/norm(b); %单位化b向量

    c1=c(1)*ones(size(theta,1),1);
    c2=c(2)*ones(size(theta,1),1);
    c3=c(3)*ones(size(theta,1),1);

    x=c1+r*a(1)*cos(theta)+r*b(1)*sin(theta);%圆上各点的x坐标
    y=c2+r*a(2)*cos(theta)+r*b(2)*sin(theta);%圆上各点的y坐标
    z=c3+r*a(3)*cos(theta)+r*b(3)*sin(theta);%圆上各点的z坐标

    plot3(x,y,z)
    xlabel('x轴')
    ylabel('y轴')
    zlabel('z轴')

    Matlab运行结果如下图:

    ä¸ç»´ç©ºé´ä¸­åçåæ°æ¹ç¨

    展开全文
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