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  • 线性代数知识点总结

    2017-12-04 21:17:02
    线性代数是数学的一个分支,它的研究对象是向量,向量空间(或称线性空间),线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题;因而,线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中;通过解析几何,...
  • 线性代数知识点总结.pdf
  • 思维导图——线性代数知识点总结

    千次阅读 2020-05-21 21:18:52
    线性代数知识点总结 期末,总结了线性代数的相关知识点。

    线性代数知识点总结

    期末,总结了线性代数的相关知识点。
    

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  • 该讲义配套的书籍是同济大学线性代数第五版,是大学一年级的基础教程。
  • 线性代数知识点总结.doc
  • 线性代数知识点总结汇总.docx
  • 线性代数知识点总结归纳.doc
  • 线性代数知识点总结第一章.doc
  • 线性代数知识点总结第二章.doc
  • 线性代数知识点总结(第3章).pdf
  • 2015考研线性代数知识点总结(免费).pdf
  • 线性代数基础知识

    2018-09-27 08:18:29
    线性代数基础知识。。
  • 基础线性代数知识点总结与回顾(四):线性空间 骨骼图: #其实,线性空间是向量空间内容的扩展。 首先我把向量空间的内容截图搬过来,便于你们的比较与对照。 线性空间 设V是实数域k上的线性空间,W是V的非空子集...

    基础线性代数知识点总结与回顾(四):线性空间

    骨骼图:
    在这里插入图片描述
    #其实,线性空间是向量空间内容的扩展。

    首先我把向量空间的内容截图搬过来,便于你们的比较与对照。
    在这里插入图片描述
    线性空间

    设V是实数域k上的线性空间,W是V的非空子集,如果W对V中定义的加法和数乘运算都封闭,则称W是V的子空间。
    对比向量空间的子空间概念发现,n维向量空间被替换为线性空间V。

    设V是线性空间,如果V中存在n个线性无关的向量,而任意n+1个向量都线性相关,则称线性空间V是n维线性空间,而这n个线性无关的向量称为线性空间V的一组
    在这里插入图片描述是线性空间在这里插入图片描述的一组基,在这里插入图片描述有:在这里插入图片描述
    则称,x1,x2,…,xn为向量在这里插入图片描述在基在这里插入图片描述
    下的坐标

    我们知道,一个秩为r的n维矩阵,它有r个线性无关的向量,但是这r个向量组的组成不唯一,但它们都称为基,这就引出来了基变换引发的坐标变换的内容。
    过渡矩阵
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    是三维线性空间的两组基。若:
    在这里插入图片描述
    称,C是由基在这里插入图片描述到基在这里插入图片描述的过渡矩阵。
    若r在基在这里插入图片描述下的坐标为在这里插入图片描述
    r在基在这里插入图片描述下的坐标为在这里插入图片描述

    则X=CY:
    在这里插入图片描述

    线性变换
    设M和N是两个非空集合,如果给定一个法则在这里插入图片描述,使得M中的每一个元素 在这里插入图片描述都有N中的一个确定元素在这里插入图片描述
    与它对应,则在这里插入图片描述是集合M到N的一个映射。

    在这里插入图片描述是线性空间V的一个变换,如果在这里插入图片描述对加法和数乘都封闭,则称在这里插入图片描述是线性空间V上的线性变换。

    线性变换保持向量的线性组合关系不变。 也就是说,线性变换将线性相关的向量组映射成线性相关的向量组。即:如果在这里插入图片描述线性相关,则:在这里插入图片描述线性相关。

    线性变换的矩阵表示:
    如果:在这里插入图片描述
    记:在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    为线性变换在这里插入图片描述在基在这里插入图片描述下的矩阵。

    线性空间中有两组基:在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    ,基在这里插入图片描述到基在这里插入图片描述的过渡矩阵为C,线性空间中线性变换在这里插入图片描述在这两组基下的矩阵依次为A和B,则在这里插入图片描述

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  • 大学生线性代数--知识点总结
  • 线性代数知识点总结之行列式

    千次阅读 2019-01-31 17:23:27
    线性代数知识点总结之行列式 本章知识图解: 对图解的初级补充与完善 1.1.1.1.1.1.排列:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列(permutation...

    线性代数知识点总结之行列式

    本章知识图解:

    在这里插入图片描述

    对图解的初级补充与完善

    1.1.1.1.1.1.排列:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列(permutation);
    1.1.1.1.1.2.全排列:n个不同的元素排成一列称为n个元素的全排列。即在排列的定义中m=n的情况就是全排列;
    1.1.1.1.1.3.1.对换的定义:在排列中将任意两个元素对换,其余不动,称为对换;
    1.1.1.1.1.3.2.对换的性质:①、一个排列中的任意两个元素对换,排列的逆序数改变奇偶性;②、奇排列变成标准排列(标准排列就是按照从小到达的顺序排成的一列)的对换次数为奇数,偶排列变成标准排列的对换次数为偶数;
    1.1.1.1.1.逆序:排列中的某两个元素的先后次序与标准次序(某种规则规定的次序)不同,就说有一个逆序;
    1.1.1.1.逆序数:①定义:一个排列a,b,c,d,…中所有的逆序的综合称为这个排列的逆序数,记作 τ ( a , b , c , d , . . . ) \tau(a,b,c,d,...) τ(a,b,c,d,...);② τ \tau τ为奇数,称为奇排列, τ \tau τ为偶数,称为偶排列;③逆序数公式:(1) τ ( a , b , c , d , . . . ) = b 前 面 比 b 大 的 数 的 个 数 + c 前 面 比 c 大 的 个 数 + . . . \tau(a,b,c,d,...)=b前面比b大的数的个数+c前面比c大的个数+... τ(a,b,c,d,...)=bb+cc+...;
    (2) τ ( a , b , c , d , . . . ) = b 后 面 比 b 小 的 数 的 个 数 + c 后 面 比 c 小 的 个 数 + . . . \tau(a,b,c,d,...)=b后面比b小的数的个数+c后面比c小的个数+... τ(a,b,c,d,...)=bb+cc+...
    1.2.1.1.余子式的定义:在n阶行列式中,把ai,j所在的第i行第j列划去后,留下的n-1阶行列式称为ai,j的余子式,记作Mi,j;
    1.2.1.2.代数余子式的定义:ai,j的代数余子式Ai,j=(-1)i+jMi,j;
    1.2.1.3.代数余子式的性质: ∑ k = 1 n a k i A k j = D δ i j = D , 当 i = j ; = 0 , 当 i ≠ j \sum_{k=1}^na_{ki}A_{kj}=D\delta_{ij}=D,当i=j;=0,当i≠j k=1nakiAkj=Dδij=D,i=j;=0,i̸=j ∑ k = 1 n a i k A j k = D δ i j \sum_{k=1}^na_{ik}A_{jk}=D\delta_{ij} k=1naikAjk=Dδij也有相同的结论;

    对图解的补充与完善的下一步任务

    想要让知识之间彻底的融会贯通,单凭这一个图解是远远不够的。需要从思维的想明白两个问题:

    1. 定义是如何决定性质的:搞清楚这一点才能真的懂得每一个性质的由来,才能真的理解每一个性质,而不是单单靠记忆;
    2. 性质是怎么应用到计算中的:行列式的理解重点在于性质,而应用的重点在于计算。将性质应用到计算中才能发挥性质的作用。

    另外,本章另外一个重点就是计算行列式。这个专题要放到我的“线性代数习题总结之行列式”这一篇中讲解。
    所以,就此篇文章需要日后完善的重点就是以性质为思考核心的知识串联。

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  • 线性代数的讲义 各章总结知识点贯穿各章总结知识点贯穿
  • 基础线性代数知识点总结与回顾(四):向量空间和二次型 骨骼图: 向量空间

    基础线性代数知识点总结与回顾(三):向量空间和二次型

    骨骼图:
    在这里插入图片描述

    向量空间

    对加法、数乘封闭。
    W——n维向量的非空集合,且满足:

    • 在这里插入图片描述
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    则:W为n维向量空间的子空间。

    如果向量空间V中的向量(a1,a2,a3…am)满足:

    • a1,a2,a3…am线性无关
    • V中任意(贝塔)均可由a1,a2,a3…am线性表出。即:
      在这里插入图片描述
      则称a1,a2,a3…am是向量空间V的,m是向量空间的维数,称V是m维向量空间。称x1,x2,…,xm是向量(贝塔)在基(a1,a2,a3…am)下的坐标。

    过渡矩阵:

    基(a1,a2,a3)——>基(b1,b2,b3):
    [b1,b2,b3]=[a1,a2,a3]*C,C称为过渡矩阵。

    向量的内积:在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    单位化:在这里插入图片描述
    柯西-施瓦茨不等式:在这里插入图片描述
    等号当且仅当在这里插入图片描述线性相关时成立。
    在这里插入图片描述正交,在这里插入图片描述
    定理: 若n维向量a1,a2,…,an是一组两两正交的非零向量,则a1,a2,…,an线性无关。

    施密特(Schmidt)正交化:
    在这里插入图片描述线性无关:

    • List item
    • List item
    • List item

    在这里插入图片描述

    特征值(eignvalue)、特征向量(eignvector):
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述为特征值,在这里插入图片描述为特征向量。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    若A可逆:
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述但是AB与BA的特征向量不同。

    在这里插入图片描述

    不同特征值对应的特征向量线性无关。
    A可逆,A的n个特征值全不为0。

    二次型

    二次型及其矩阵表示:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    二次型的秩: r(f)=r(A)

    合同: 如果在这里插入图片描述,其中C可逆,称矩阵A、B合同,记:在这里插入图片描述
    合同性质: 反身性,对称性,可传递性。

    标准型:
    在这里插入图片描述
    任何一个二次型都能通过坐标变换化成标准型。

    • 配方法
    • 正交变换(**重要)
      A实对称,存在正交矩阵Q,使得在这里插入图片描述
      这里Q可以看作特征向量,在这里插入图片描述可以看作特征值组成的对角矩阵。
      为了更直观,上面式子可以进行变形:
      在这里插入图片描述
      这样就一目了然了。

    定理: 任意一个二次型在这里插入图片描述,其中在这里插入图片描述
    ,总存在正交变换x=py,(p为A的特征向量,是正交矩阵),使得二次型化为标准型:
    在这里插入图片描述
    其中,在这里插入图片描述是A的n个特征根。

    规范性:
    首先它必须是标准型,其次它只能由1,-1,0组成。
    例如:
    在这里插入图片描述
    任意一个n元二次型在这里插入图片描述都存在坐标变换X=CZ,使f化为规范型。

    正惯性指数p,负惯性指数q(针对标准型)
    在这里插入图片描述
    惯定性定理: 对一个二次型,经过坐标变换化为标准型,其正惯性指数p,负惯性指数q是唯一确定的。
    实对称矩阵A和B合同(等价于)

    在这里插入图片描述
    正定二次型: 设二次型在这里插入图片描述
    ,如果在这里插入图片描述
    恒有f(x)>0,则称f为正定二次型,二次型矩阵A称为正定矩阵。(f(x)>=0:半正定)
    是否与E合同是正定的必要条件。

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  • 基础线性代数知识点总结与回顾 骨骼图:
  • 线性代数知识点

    2017-04-28 10:42:57

空空如也

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线性代数知识点总结