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  • 高观点下的初等数学

    2017-11-12 22:53:25
    Felix Klein是19世纪末20世纪初世界最有影响力的数学学派——哥廷根学派的创始人,他不仅是伟大的数学家,也是现代国际数学教育的奠基人、杰出的数学史家和数学教育家,在数学界享有崇高的声誉和巨大的影响。
  • 初等数学常用公式.pdf

    2020-03-30 17:22:33
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    2014-04-12 10:37:05
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  • 初等数学常用公式

    千次阅读 2019-04-19 13:07:29
    初等数学:三角恒等式,一元二次方程,因式分解,等差数列和等比数列,集合

    因式分解(Factorization)

    a 2 − b 2 = ( a + b ) ( a − b ) a 2 ± 2 a b + b 2 = ( a ± b ) 2 a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 − a b + b 2 ) a 3 − b 3 = ( a − b ) ( a 2 + a b + b 2 ) a n − b n = ( a − b ) ∑ i = 1 n a n − i b i − 1 a^2-b^2=(a+b)(a-b) \\ a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2 \\ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) \\ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) \\ a^n-b^n=(a-b) \displaystyle\sum_{i=1}^n a^{n-i}b^{i-1} a2b2=(a+b)(ab)a2±2ab+b2=(a±b)2a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)a3b3=(ab)(a2+ab+b2)anbn=(ab)i=1nanibi1

    一元二次方程

    a x 2 + b x + c = 0 ( a ≠ 0 ) ax^2+bx+c=0(a\neq0) ax2+bx+c=0(a=0)

    求根公式
    x 1 , 2 = − b ± Δ 2 a , Δ = b 2 − 4 a c x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}, \Delta=b^2-4ac x1,2=2ab±Δ ,Δ=b24ac

    根与系数的关系
    x 1 + x 2 = − b a x 1 x 2 = c a x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\\ x_1x_2=\dfrac{c}{a} x1+x2=abx1x2=ac

    指数与对数

    a n ⋅ a m = a n + m a^n\cdot a^m=a^{n+m} anam=an+m
    a n / a m = a n − m a^n/a^m=a^{n-m} an/am=anm
    ( a n ) m = a m n (a^n)^m=a^{mn} (an)m=amn
    ( a b ) n = a n ⋅ b n (ab)^n=a^n\cdot b^n (ab)n=anbn
    a − n = 1 a n a^{-n}=\dfrac{1}{a^n} an=an1

    log ⁡ a 1 = 0 \log_a1=0 loga1=0
    log ⁡ a x = ln ⁡ x ln ⁡ a \log_ax=\dfrac{\ln x}{\ln a} logax=lnalnx (换底公式)
    log ⁡ a x y = log ⁡ a x + log ⁡ a y \log_axy=\log_ax+\log_ay logaxy=logax+logay
    log ⁡ a x y = log ⁡ a x − log ⁡ a y \log_a\dfrac{x}{y}=\log_ax-\log_ay logayx=logaxlogay
    log ⁡ a x y = y log ⁡ a x \log_ax^y=y\log_ax logaxy=ylogax

    x = e ln ⁡ x x=e^{\ln x} x=elnx

    三角恒等式(Trigonometric Identity)

    平方关系
    sin ⁡ 2 α + cos ⁡ 2 α = 1 \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 sin2α+cos2α=1

    两角和差
    cos ⁡ ( α ± β ) = cos ⁡ α cos ⁡ β ∓ sin ⁡ α sin ⁡ β sin ⁡ ( α ± β ) = sin ⁡ α cos ⁡ β ± cos ⁡ α sin ⁡ β tan ⁡ ( α ± β ) = tan ⁡ α ± tan ⁡ β 1 ∓ tan ⁡ α tan ⁡ β \cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\ \sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\ \tan (\alpha \pm \beta )=\dfrac{\tan \alpha \pm \tan \beta } {1\mp \tan \alpha \tan \beta} cos(α±β)=cosαcosβsinαsinβsin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβtan(α±β)=1tanαtanβtanα±tanβ

    和差化积
    sin ⁡ α + sin ⁡ β = 2 sin ⁡ α + β 2 cos ⁡ α − β 2 sin ⁡ α − sin ⁡ β = 2 cos ⁡ α + β 2 sin ⁡ α − β 2 cos ⁡ α + cos ⁡ β = 2 cos ⁡ α + β 2 cos ⁡ α − β 2 cos ⁡ α − cos ⁡ β = − 2 sin ⁡ α + β 2 sin ⁡ α − β 2 tan ⁡ α + tan ⁡ β = sin ⁡ ( α + β ) cos ⁡ α cos ⁡ β \sin \alpha +\sin \beta =2\sin \dfrac{\alpha +\beta}{2}\cos \dfrac{\alpha -\beta}{2} \\ \sin \alpha -\sin \beta =2\cos \dfrac{\alpha +\beta}{2}\sin \dfrac{\alpha -\beta}{2} \\ \cos \alpha +\cos \beta =2\cos \dfrac{\alpha +\beta}{2}\cos \dfrac{\alpha -\beta}{2} \\ \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \dfrac{\alpha +\beta}{2}\sin \dfrac{\alpha -\beta}{2} \\ \tan\alpha+\tan\beta=\dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta} sinα+sinβ=2sin2α+βcos2αβsinαsinβ=2cos2α+βsin2αβcosα+cosβ=2cos2α+βcos2αβcosαcosβ=2sin2α+βsin2αβtanα+tanβ=cosαcosβsin(α+β)

    积化和差
    sin ⁡ α cos ⁡ β = 1 2 [ sin ⁡ ( α + β ) + sin ⁡ ( α − β ) ] cos ⁡ α sin ⁡ β = 1 2 [ sin ⁡ ( α + β ) − sin ⁡ ( α − β ) ] cos ⁡ α cos ⁡ β = 1 2 [ cos ⁡ ( α + β ) + cos ⁡ ( α − β ) ] sin ⁡ α sin ⁡ β = − 1 2 [ cos ⁡ ( α + β ) − cos ⁡ ( α − β ) ] \sin \alpha \cos \beta =\dfrac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )] \\ \cos \alpha \sin \beta =\dfrac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )] \\ \cos \alpha \cos \beta =\dfrac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )] \\ \sin \alpha \sin \beta =-\dfrac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )] sinαcosβ=21[sin(α+β)+sin(αβ)]cosαsinβ=21[sin(α+β)sin(αβ)]cosαcosβ=21[cos(α+β)+cos(αβ)]sinαsinβ=21[cos(α+β)cos(αβ)]

    倍角公式
    sin ⁡ 2 α = 2 sin ⁡ α cos ⁡ α = 2 tan ⁡ α + cot ⁡ α cos ⁡ 2 α = cos ⁡ 2 α − sin ⁡ 2 α tan ⁡ 2 α = 2 tan ⁡ α 1 − tan ⁡ 2 α cot ⁡ 2 α = cot ⁡ 2 α − 1 2 cot ⁡ α sin ⁡ 3 α = 3 sin ⁡ α − 4 sin ⁡ 3 α cos ⁡ 3 α = 4 cos ⁡ 3 α − 3 cos ⁡ α tan ⁡ 3 α = 3 tan ⁡ α − tan ⁡ 3 α 1 − 3 tan ⁡ 2 α cot ⁡ 3 α = cot ⁡ 3 α − 3 cot ⁡ α 3 cot ⁡ α − 1 \sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha =\dfrac{2}{\tan \alpha +\cot \alpha} \\ \cos 2\alpha=\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha \\ \tan 2\alpha =\dfrac{2\tan \alpha}{1-\tan^2 \alpha} \\ \cot 2\alpha=\dfrac{\cot^2\alpha -1}{2\cot \alpha} \\ \sin 3\alpha=3\sin \alpha -4\sin^3 \alpha \\ \cos 3\alpha=4\cos^3 \alpha-3\cos \alpha \\ \tan 3\alpha=\dfrac{3\tan \alpha -\tan^3 \alpha}{1-3\tan^2 \alpha} \\ \cot 3\alpha=\dfrac{\cot^3 \alpha -3\cot \alpha}{3\cot \alpha -1} sin2α=2sinαcosα=tanα+cotα2cos2α=cos2αsin2αtan2α=1tan2α2tanαcot2α=2cotαcot2α1sin3α=3sinα4sin3αcos3α=4cos3α3cosαtan3α=13tan2α3tanαtan3αcot3α=3cotα1cot3α3cotα

    半角公式 (正负由 α 2 \dfrac{\alpha}{2} 2α所在的象限决定)
    sin ⁡ α 2 = ± 1 − cos ⁡ α 2 cos ⁡ α 2 = ± 1 + cos ⁡ α 2 tan ⁡ α 2 = ± 1 − cos ⁡ α 1 + cos ⁡ α = sin ⁡ α 1 + cos ⁡ α = 1 − cos ⁡ α sin ⁡ α cot ⁡ α 2 = ± 1 + cos ⁡ α 1 − cos ⁡ α = 1 + cos ⁡ α sin ⁡ α = sin ⁡ α 1 − cot ⁡ α \sin \dfrac{\alpha}{2}=\pm \sqrt{\dfrac{1-\cos \alpha }{2}} \\ \cos\dfrac{\alpha}{2}=\pm \sqrt{\dfrac{1+\cos \alpha }{2}} \\ \tan \dfrac{\alpha}{2}=\pm \sqrt {\dfrac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}=\dfrac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}=\dfrac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha} \\ \cot\dfrac{\alpha}{2}=\pm \sqrt {\dfrac{1+\cos \alpha}{1-\cos \alpha}}=\dfrac{1+\cos \alpha}{\sin \alpha} =\dfrac{\sin \alpha}{1-\cot \alpha} sin2α=±21cosα cos2α=±21+cosα tan2α=±1+cosα1cosα =1+cosαsinα=sinα1cosαcot2α=±1cosα1+cosα =sinα1+cosα=1cotαsinα

    辅助角公式
    a sin ⁡ α + b cos ⁡ α = a 2 + b 2 sin ⁡ ( α + arctan ⁡ b a ) a sin ⁡ α + b cos ⁡ α = a 2 + b 2 cos ⁡ ( α − arctan ⁡ a b ) a\sin \alpha +b\cos \alpha =\sqrt{a^2+b^2}\sin (\alpha +\arctan\frac{b}{a}) \\ a\sin \alpha +b\cos \alpha =\sqrt{a^2+b^2}\cos (\alpha -\arctan\frac{a}{b}) asinα+bcosα=a2+b2 sin(α+arctanab)asinα+bcosα=a2+b2 cos(αarctanba)

    万能公式
    sin ⁡ α = 2 tan ⁡ α 2 1 + tan ⁡ 2 α 2 cos ⁡ α = 1 − tan ⁡ 2 α 2 1 + tan ⁡ 2 α 2 tan ⁡ α = 2 tan ⁡ α 2 1 − tan ⁡ 2 α 2 \sin\alpha=\dfrac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1+\tan ^2\frac{\alpha}{2}} \\ \cos\alpha=\dfrac{1-\tan ^2\frac{\alpha}{2}}{1+\tan ^2\frac{\alpha}{2}} \\ \tan\alpha=\dfrac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1-\tan ^2\frac{\alpha}{2}} sinα=1+tan22α2tan2αcosα=1+tan22α1tan22αtanα=1tan22α2tan2α

    降幂公式
    sin ⁡ 2 α = 1 2 ( 1 − cos ⁡ 2 α ) cos ⁡ 2 α = 1 2 ( 1 + cos ⁡ 2 α ) tan ⁡ 2 α = 1 − cos ⁡ 2 α 1 + cos ⁡ 2 α \sin^2 \alpha=\frac{1}{2}(1-\cos 2\alpha) \\ \cos^2 \alpha=\frac{1}{2}(1+\cos 2\alpha)\\ \tan^2 \alpha=\dfrac{1-\cos 2\alpha}{1+\cos 2\alpha} sin2α=21(1cos2α)cos2α=21(1+cos2α)tan2α=1+cos2α1cos2α

    正弦定理(R为外接圆半径)
    a sin ⁡ A = b sin ⁡ B = c sin ⁡ C = 2 R \dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R sinAa=sinBb=sinCc=2R

    余弦定理
    c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ C c^2=a^2+b^2-2ab\cos C c2=a2+b22abcosC

    数列(Series)

    等差数列
    通项公式: a n = a 1 + ( n − 1 ) d a_n=a_1+(n-1)d an=a1+(n1)d
    求和公式: S n = n ( a 1 + a n ) 2 S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2} Sn=2n(a1+an)

    等比数列
    通项公式: a n = a 1 q n − 1 ( a n ≠ 0 , q ≠ 0 ) a_n=a_1q^{n-1}(a_n\neq0,q\neq0) an=a1qn1(an=0,q=0)
    求和公式: S n = { a 1 ( 1 − q n ) 1 − q if  q ≠ 1 n a 1 if  q = 1 S_n=\begin{cases} \dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q} &\text{if } q\neq1 \\ na_1 &\text{if } q=1 \end{cases} Sn=1qa1(1qn)na1if q=1if q=1

    排列和组合(Arrangement and Combination)

    阶乘: n ! = 1 × 2 × ⋯ ( n − 2 ) ( n − 1 ) n n!=1\times2\times\cdots (n-2)(n-1)n n!=1×2×(n2)(n1)n
    排列: A n m = n ! ( n − m ) ! A_n^m=\dfrac{n!}{(n-m)!} Anm=(nm)!n!
    组合: ∁ n m = A n m m ! = n ! m ! ( n − m ) ! \complement_n^m=\dfrac{A_n^m}{m!}=\dfrac{n!}{m!(n-m)!} nm=m!Anm=m!(nm)!n!

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  • 100个著名初等数学问题.历史和解,逻辑思考问题,感兴趣的同学可以下载。
  • 将前所未知的R(N)外数误为R(N)内数使数学几百年来一直将无穷多各异数轴(图像)误为同一轴、将无穷多假N误为N、将根本不是N的真子集误为N的真子集,从而使康脱推出错上加错的更重大错误:无穷集可~其真子集。
  • http://book.douban.com/subject/1649230/
  • 接上篇《初等数学复习之方程和方程组》,二倍角公式,听着耳熟,但已经忘干净了。

    接上篇《初等数学复习之方程和方程组》,二倍角公式,听着耳熟,但已经忘干净了。

    基本初等函数:常值函数、指数函数、三角函数、幂函数、反函数、对数函数 (记忆为 常   指三  幂反对)

    常值函数,这个就不说了,基本上就是平行于x轴或y轴的直线。

     

    指数函数:底数是常量,指数是变量

    形如  底数

    性质:都通过(0,1)这一点,并且所有指数函数值都是大于0的。

      时,函数单调增加;

              时,函数单调减少;

    不用记,只要脑补一下,类似的图形就可以了

     特殊的指数写法:

    指数的运算法则:

         

     

     

      

     

    三角函数:

    正弦函数:

      性质:
      1.正弦函数的有界性,绝对值小于等于1
      2.正弦函数具有周期性,最小正周期为2π
      3.正弦函数关于原点对称,是奇函数(关于原点对称)

    余弦函数;

    性质:前两个与正弦函数一样

    3.余弦函数关于y轴对称,是偶函数(关于y轴对称)

    正弦与余弦定义域都是全体实数。

    正切函数:tanθ=sinθ/cosθ

      1.正切函数是无界的(如π/2左边是趋于正无穷,在右边是趋于负无穷)
      2.正切函数具有周期性,最小正周期为π
      3.正切函数是奇函数

    这里要明白,不等于的含义,这些不等于的点都是取不到的,举个例子。可以从图形上看到,tanx只是无限接近于π/2,所以这个点是取不到的。

    余切函数:

    性质:与正切一样。它的定义域是除kπ以外的点。

     

     

    三角函数的恒等式(三角公式)与积分公式一样,多看看

      同角三角函数基本关系式
      (1)倒数关系:
      
      (2)商的关系
      
    切化弦公式

      (3)平方关系
      
      (三角恒等式) 

    两角和的正弦和余弦公式
      
      
      
      

    两角差的正弦和余弦公式
      
      

     
      

     倍角公式
      

            

    降幂公式,很重要。
                

    积化和差公式

                   

                         

    注:与和差化积对应,一般记一种就可以,如何推导的呢????看下面的口决中后面的部分就可以了,如:a=(a+b)/2+(a-b)/2   b=(a+b)/2-(a-b)/2,个人觉得记下面的好算,有用。

     

    特殊角的三角函数值:

     

    幂函数:底数是变量,指数是常量

    形如的函数为幂函数。

    性质: 

    为正整数时,幂函数的定义域是

    为负整数时,幂函数的定义域是:除0以外的所有实数

    对任意实数,曲线都通过平面上的点(1,1)

    从图形到性质:重点:
      

    遇到\frac{1}{\sqrt{x}}该分步进行,不能想当然的写成是x^{\frac{1}{2}}.

    第一步:先求根号x的分式表示,x^{\frac{1}{2}}

    第二步,再将其看作整体,求\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}的分式表示,x^{-\frac{1}{2}}.

     

    反三角函数:

    arcsinx含义:给定一个正弦值就是反求角度。这个角范围是[-π/2 ,π/2]。sin(arcsinx)=x;//最后这一点的理解,x是代表一个正弦值。x∈[-1,1]。

    arccosx含义:给定一个余弦值就是反求角度。这个角范围是[0 ,π]。cos(arccosx)=x;//x∈[-1,1]。

    arctanx:其他同理,角范围是[-π/2 ,π/2]。正切值范围x∈R

    arccotx: 其他同理,角范围是[0 ,π],余切值范围x∈R

    对数函数:指数函数的反函数。

    表示 a的多少次方=x,实际就是求多少次方。对数函数的定义域是(0,+∞),都通过(1,0)点。

    y=lgx:表示的是以10为底的对数

    y=lnx:表示的是以e为底的对数。

     

     对数函数有下列性质:设a,b,c,x,y为任意正数,(a≠1,c≠1),α为任意实数,
      
      (1)
    ;(c≠1)换底公式
      (2)

      (3)
      (4)

      (5)

    幂指函数:底数与指数都是变量

    形如

    化简:lny=ln=g(x) lnf(x)

    y=e^(g(x)lnf(x);//主要掌握这种变形的方法

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  • 这是关于数学建模里初等数学建模方法的课件,介绍很详细,是山东大学的内部资料,你绝对不会后悔。
  • 100个著名初等数学问题

    千次阅读 2017-04-16 15:39:49
    100个著名初等数学问题    (无图) 第01题 阿基米德分牛问题Archimedes' Problema Bovinum  太阳神有一牛群,由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成. 在公牛中,白牛数多于棕牛数,多出之数相当于黑牛数的1...


    100个著名初等数学问题 
     
    (注:缺插图;第27题后题目全红为几何体,大字红题目为射影几何题

    第01题 阿基米德分牛问题Archimedes' Problema Bovinum 

    太阳神有一牛群,由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成.
    在公牛中,白牛数多于棕牛数,多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3;黑牛数多于棕牛数,多出之数相当于花牛数的1/4+1/5;花牛数多于棕牛数,多出之数相当于白牛数的1/6+1/7.
    在母牛中,白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4;黑牛数是全体花牛数1/4+1/5;花牛数是全体棕牛数的1/5+1/6;棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7.

    问这牛群是怎样组成的? 


    第02题 德·梅齐里亚克的法码问题The Weight Problem of Bachet de Meziriac 

    一位商人有一个40磅的砝码,由于跌落在地而碎成4块.后来,称得每块碎片的重量都是整磅数,而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整数磅的重物.

    问这4块砝码碎片各重多少?


    第03题 牛顿的草地与母牛问题Newton's Problem of the Fields and Cows 

    a头母牛将b块地上的牧草在c天内吃完了;
    a'头母牛将b'块地上的牧草在c'天内吃完了;
    a"头母牛将b"块地上的牧草在c"天内吃完了;

    求出从a到c"9个数量之间的关系?


    第04题贝韦克的七个7的问题Berwick's Problem of the Seven Sevens 

    在下面除法例题中,被除数被除数除尽:
    * * 7 * * * * * * * ÷ * * * * 7 * = * * 7 * *
    * * * * * *
    * * * * * 7 *
    * * * * * * *
    * 7 * * * *
    * 7 * * * *
    * * * * * * *
    * * * * 7 * *
    * * * * * *
    * * * * * *

    用星号(*)标出的那些数位上的数字偶然被擦掉了,那些不见了的是些什么数字呢?


    第05题 柯克曼的女学生问题Kirkman's Schoolgirl Problem 

    某寄宿学校有十五名女生,她们经常每天三人一行地散步,问要怎样安排才能使每个女生同其他每个女生同一行中散步,并恰好每周一次?


    第06题 伯努利-欧拉关于装错信封的问题The Bernoulli-Euler Problem of the Misaddressed letters


    求n个元素的排列,要求在排列中没有一个元素处于它应当占有的位置.


    第07题 欧拉关于多边形的剖分问题Euler's Problem of Polygon Division 


    可以有多少种方法用对角线把一个n边多边形(平面凸多边形)剖分成三角形?


    第08题鲁卡斯的配偶夫妇问题Lucas' Problem of the Married Couples 


    n对夫妇围圆桌而坐,其座次是两个妇人之间坐一个男人,而没有一个男人和自己的妻子并坐,问有多少种坐法?


    第09题 卡亚姆的二项展开式Omar Khayyam's Binomial Expansion 


    当n是任意正整数时,求以a和b的幂表示的二项式a+b的n次幂.


    第10题 柯西的平均值定理Cauchy's Mean Theorem 


    求证n个正数的几何平均值不大于这些数的算术平均值.


    第11题 伯努利幂之和的问题Bernoulli's Power Sum Problem 


    确定指数p为正整数时最初n个自然数的p次幂的和S=1p+2p+3p+...+np.


    第12题欧拉数The Euler Number 


    求函数φ(x)=(1+1/x)x及Φ(x)=(1+1/x)x+1当x无限增大时的极限值.


    第13题 牛顿指数级数Newton's Exponential Series 


    将指数函数ex变换成各项为x的幂的级数.


    第14题 麦凯特尔对数级数Nicolaus Mercator's Logarithmic Series 

    不用对数表,计算一个给定数的对数.


    第15题 牛顿正弦及余弦级数Newton's Sine and Cosine Series 

    不用查表计算已知角的正弦及余弦三角函数.


    第16题 正割与正切级数的安德烈推导法Andre's Derivation of the Secant and Tangent Series 
    在n个数1,2,3,...,n的一个排列c1,c2,...,cn中,如果没有一个元素ci的值介于两个邻近的值ci-1和ci+1之间,则称c1,c2,...,cn为1,2,3,...,n的一个屈折排列. 

    试利用屈折排列推导正割与正切的级数.


    第17题 格雷戈里的反正切级数Gregory's Arc Tangent Series 

    已知三条边,不用查表求三角形的各角.


    第18题 德布封的针问题Buffon's Needle Problem 

    在台面上画出一组间距为d的平行线,把长度为l(小于d)的一根针任意投掷在台面上,问针触及两平行线之一的概率如何?


    第19题 费马-欧拉素数定理The Fermat-Euler Prime Number Theorem 

    每个可表示为4n+1形式的素数,只能用一种两数平方和的形式来表示.


    第20题 费马方程The Fermat Equation 

    求方程x2-dy2=1的整数解,其中d为非二次正整数.


    第21题 费马-高斯不可能性定理The Fermat-Gauss Impossibility Theorem 

    证明两个立方数的和不可能为一立方数.


    第22题 二次互反律The Quadratic Reciprocity Law 

    (欧拉-勒让德-高斯定理)奇素数p与q的勒让德互反符号取决于公式

    (p/q)·(q/p)=(-1)[(p-1)/2]·[(q-1)/2].


    第23题 高斯的代数基本定理Gauss' Fundamental Theorem of Algebra 

    每一个n次的方程zn+c1zn-1+c2zn-2+...+cn=0具有n个根.


    第24题 斯图谟的根的个数问题Sturm's Problem of the Number of Roots 

    求实系数代数方程在已知区间上的实根的个数.


    第25题 阿贝尔不可能性定理Abel's Impossibility Theorem 

    高于四次的方程一般不可能有代数解法.


    第26题 赫米特-林德曼超越性定理The Hermite-Lindemann Transcedence Theorem 

    系数A不等于零,指数α为互不相等的代数数的表达式A1eα1+A2eα2+A3eα3+...不可能等于零.


    第27题 欧拉直线Euler's Straight Line 

    在所有三角形中,外接圆的圆心,各中线的交点和各高的交点在一直线-欧拉线上,而且三点的分隔为:各高线的交点(垂心)至各中线的交点(重心)的距离两倍于外接圆的圆心至各中线的交点的距离.


    第28题 费尔巴哈圆The Feuerbach Circle 

    三角形中三边的三个中点、三个高的垂足和高的交点到各顶点的线段的三个中点在一个圆上.


    第29题 卡斯蒂朗问题Castillon's Problem 

    将各边通过三个已知点的一个三角形内接于一个已知圆.


    第30题 马尔法蒂问题Malfatti's Problem 

    在一个已知三角形内画三个圆,每个圆与其他两个圆以及三角形的两边相切.


    第31题 蒙日问题Monge's Problem 

    画一个圆,使其与三已知圆正交.


    第32题 阿波洛尼斯相切问题The Tangency Problem of Apollonius. 

    画一个与三个已知圆相切的圆.


    第33题 马索若尼圆规问题Macheroni's Compass Problem. 

    证明任何可用圆规和直尺所作的图均可只用圆规作出.


    第34题 斯坦纳直尺问题Steiner's Straight-edge Problem 

    证明任何一个可以用圆规和直尺作出的图,如果在平面内给出一个定圆,只用直尺便可作出.


    第35题 德里安倍立方问题The Deliaii Cube-doubling Problem 

    画出体积为一已知立方体两倍的立方体的一边.


    第36题 三等分一个角Trisection of an Angle 

    把一个角分成三个相等的角.


    第37题 正十七边形The Regular Heptadecagon 

    画一正十七边形.


    第38题 阿基米德π值确定法Archimedes' Determination of the Number Pi 

    设圆的外切和内接正2vn边形的周长分别为av和bv,便依次得到多边形周长的阿基米德数列:a0,b0,a1,b1,a2,b2,...其中av+1是av、bv的调和中项,bv+1是bv、av+1的等比中项. 假如已知初始两项,利用这个规则便能计算出数列的所有项. 这个方法叫作阿基米德算法.


    第39题 富斯弦切四边形问题Fuss' Problem of the Chord-Tangent Quadrilateral 


    找出半径与双心四边形的外接圆和内切圆连心线之间的关系.(注:一个双心或弦切四边形的定义是既内接于一个圆而同时又外切于另一个圆的四边形)


    第40题 测量附题Annex to a Survey 

    利用已知点的方位来确定地球表面未知但可到达的点的位置.


    第41题 阿尔哈森弹子问题Alhazen's Billiard Problem 

    在一个已知圆内,作出一个其两腰通过圆内两个已知点的等腰三角形.


    第42题 由共轭半径作椭圆An Ellipse from Conjugate Radii 

    已知两个共轭半径的大小和位置,作椭圆.


    第43题 在平行四边形内作椭圆An Ellipse in a Parallelogram, 

    在规定的平行四边形内作一内切椭圆,它与该平行四边形切于一边界点.


    第44题 由四条切线作抛物线A Parabola from Four Tangents 

    已知抛物线的四条切线,作抛物线.


    第45题 由四点作抛物线A Parabola from Four Points. 

    过四个已知点作抛物线.


    第46题 由四点作双曲线A Hyperbola from Four Points. 

    已知直角(等轴)双曲线上四点,作出这条双曲线.


    第47题 范·施古登轨迹题Van Schooten's Locus Problem 

    平面上的固定三角形的两个顶点沿平面上一个角的两个边滑动,第三个顶点的轨迹是什么?


    第48题 卡丹旋轮问题Cardan's Spur Wheel Problem. 

    一个圆盘沿着半径为其两倍的另一个圆盘的内缘滚动时,这个圆盘上标定的一点所描出的轨迹是什么?


    第49题 牛顿椭圆问题Newton's Ellipse Problem. 

    确定内切于一个已知(凸)四边形的所有椭圆的中心的轨迹.


    第50题 彭赛列-布里昂匈双曲线问题The Poncelet-Brianchon Hyperbola Problem 

    确定内接于直角(等边)双曲线的所有三角形的顶垂线交点的轨迹.


    第51题 作为包络的抛物线A Parabola as Envelope 

    从角的顶点,在角的一条边上连续n次截取任意线段e,在另一条边上连续n次截取线段f,并将线段的端点注以数字,从顶点开始,分别为0,1,2,...,n和n,n-1,...,2,1,0.

    求证具有相同数字的点的连线的包络为一条抛物线.


    第52题 星形线The Astroid 

    直线上两个标定的点沿着两条固定的互相垂直的轴滑动,求这条直线的包络.


    第53题 斯坦纳的三点内摆线Steiner's Three-pointed Hypocycloid 

    确定一个三角形的华莱士(Wallace)线的包络.


    第54题 一个四边形的最接近圆的外接椭圆The Most Nearly Circular Ellipse Circumscribing a Quadrilateral 

    一个已知四边形的所有外接椭圆中,哪一个与圆的偏差最小?


    第55题 圆锥曲线的曲率The Curvature of Conic Sections 

    确定一个圆锥曲线的曲率.


    第56题 阿基米德对抛物线面积的推算Archimedes' Squaring of a Parabola 

    确定包含在抛物线内的面积.


    第57题 推算双曲线的面积Squaring a Hyperbola 

    确定双曲线被截得的部分所含的面积.


    第58题 求抛物线的长Rectification of a Parabola 

    确定抛物线弧的长度.
    第59题 笛沙格同调定理(同调三角形定理)Desargues' Homology Theorem (Theorem of Homologous Triangles) 

    如果两个三角形的对应顶点连线通过一点,则这两个三角形的对应边交点位于一条直线上.

    反之,如果两个三角形的对应边交点位于一条直线上,则这两个三角形的对应顶点连线通过一点.


    第60题 斯坦纳的二重元素作图法Steiner's Double Element Construction 

    由三对对应元素所给定的重迭射影形,作出它的二重元素.


    第61题 帕斯卡六边形定理Pascal's Hexagon Theorem 

    求证内接于圆锥曲线的六边形中,三双对边的交点在一直线上.


    第62题 布里昂匈六线形定理Brianchon's Hexagram Theorem 

    求证外切于圆锥曲线的六线形中,三条对顶线通过一点.


    第63题 笛沙格对合定理Desargues' Involution Theorem 

    一条直线与一个完全四点形*的三双对边的交点与外接于该四点形的圆锥曲线构成一个对合的四个点偶. 一个点与一个完全四线形*的三双对顶点的连线和从该点向内切于该四线形的圆锥曲线所引的切线构成一个对合的四个射线偶.

    *一个完全四点形(四线形)实际上含有四点(线)1,2,3,4和它们的六条连线交点23,14,31,24,12,34;其中23与14、31与24、12与34称为对边(对顶点).


    第64题 由五个元素得到的圆锥曲线A Conic Section from Five Elements 

    求作一个圆锥曲线,它的五个元素--点和切线--是已知的.


    第65题 一条圆锥曲线和一条直线A Conic Section and a Straight Line 

    一条已知直线与一条具有五个已知元素--点和切线--的圆锥曲线相交,求作它们的交点.


    第66题 一条圆锥曲线和一定点A Conic Section and a Point 

    已知一点及一条具有五个已知元素--点和切线--的圆锥曲线,作出从该点列到该曲线的切线.


    第67题 斯坦纳的用平面分割空间Steiner's Division of Space by Planes 

    n个平面最多可将整个空间分割成多少份?


    第68题 欧拉四面体问题Euler's Tetrahedron Problem 

    以六条棱表示四面体的体积.


    第69题 偏斜直线之间的最短距离The Shortest Distance Between Skew Lines 

    计算两条已知偏斜直线之间的角和距离.


    第70题 四面体的外接球The Sphere Circumscribing a Tetrahedron 

    确定一个已知所有六条棱的四面体的外接球的半径.


    第71题 五种正则体The Five Regular Solids 

    将一个球面分成全等的球面正多边形.


    第72题 正方形作为四边形的一个映象The Square as an Image of a Quadrilateral 

    证明每个四边形都可以看作是一个正方形的透视映象.


    第73题 波尔凯-许瓦尔兹定理The Pohlke-Schwartz Theorem 

    一个平面上不全在同一条直线上的四个任意点,可认为是与一个已知四面体相似的四面体的各隅角的斜映射.


    第74题 高斯轴测法基本定理Gauss' Fundamental Theorem of Axonometry 

    正轴测法的高斯基本定理:如果在一个三面角的正投影中,把映象平面作为复平面,三面角顶点的投影作为零点,边的各端点的投影作为平面的复数,那么这些数的平方和等于零.


    第75题 希帕查斯球极平面射影Hipparchus' Stereographic Projection 

    试举出一种把地球上的圆转换为地图上圆的保形地图射影法.


    第76题 麦卡托投影The Mercator Projection 

    画一个保形地理地图,其坐标方格是由直角方格组成的.


    第77题 航海斜驶线问题The Problem of the Loxodrome 

    确定地球表面两点间斜驶线的经度.


    第78题 海上船位置的确定Determining the Position of a Ship at Sea 

    利用天文经线推算法确定船在海上的位置.


    第79题 高斯双高度问题Gauss' Two-Altitude Problem 

    根据已知两星球的高度以确定时间及位置.


    第80题 高斯三高度问题Gauss' Three-Altitude Problem 

    从在已知三星球获得同高度瞬间的时间间隔,确定观察瞬间,观察点的纬度及星球的高度.


    第81题 刻卜勒方程The Kepler Equation 

    根据行星的平均近点角,计算偏心及真近点角.


    第82题 星落Star Setting 

    对给定地点和日期,计算一已知星落的时间和方位角.


    第83题 日晷问题The Problem of the Sundial 

    制作一个日晷.


    第84题 日影曲线The Shadow Curve 

    当直杆置于纬度φ的地点及该日太阳的赤纬有δ值时,确定在一天过程中由杆的一点投影所描绘的曲线.


    第85题 日食和月食Solar and Lunar Eclipses 

    如果对于充分接近日食时间的两个瞬间太阳和月亮的赤经、赤纬以及其半径均为已知,确定日食的开始和结束,以及太阳表面被隐蔽部分的最大值.


    第86题 恒星及会合运转周期Sidereal and Synodic Revolution Periods 

    确定已知恒星运转周期的两共面旋转射线的会合运转周期.


    第87题 行星的顺向和逆向运动Progressive and Retrograde Motion of Planets 

    行星什么时候从顺向转为逆向运动(或反过来,从逆向转为顺向运动)?


    第88题 兰伯特慧星问题Lambert's Comet Prolem 

    借助焦半径及连接弧端点的弦,来表示慧星描绘抛物线轨道的一段弧所需的时间.


    第89题 与欧拉数有关的斯坦纳问题Steiner's Problem Concerning the Euler Number 

    如果x为正变数,x取何值时,x的x次方根为最大?


    第90题 法格乃诺关于高的基点的问题Fagnano's Altitude Base Point Problem 

    在已知锐角三角形中,作周长最小的内接三角形.


    第91题 费马对托里拆利提出的问题Fermat's Problem for Torricelli 

    试求一点,使它到已知三角形的三个顶点距离之和为最小.


    第92题 逆风变换航向Tacking Under a Headwind 

    帆船如何能顶着北风以最快的速度向正北航行?


    第93题 蜂巢(雷阿乌姆尔问题)The Honeybee Cell (Problem by Reaumur) 

    试采用由三个全等的菱形作成的顶盖来封闭一个正六棱柱,使所得的这一个立体有预定的容积,而其表面积为最小.


    第94题 雷奇奥莫塔努斯的极大值问题Regiomontanus' Maximum Problem 

    在地球表面的什么部位,一根垂直的悬杆呈现最长?(即在什么部位,可见角为最大?)


    第95题 金星的最大亮度The Maximum Brightness of Venus 

    在什么位置金星有最大亮度?


    第96题 地球轨道内的慧星A Comet Inside the Earth's Orbit 

    慧星在地球的轨道内最多能停留多少天?


    第97题 最短晨昏蒙影问题The Problem of the Shortest Twilight 

    在已知纬度的地方,一年之中的哪一天晨昏蒙影最短?


    第98题 斯坦纳的椭圆问题Steiner's Ellipse Problem 

    在所有能外接(内切)于一个已知三角形的椭圆中,哪一个椭圆有最小(最大)的面积?


    第99题 斯坦纳的圆问题Steiner's Circle Problem 

    在所有等周的(即有相等周长的)平面图形中,圆有最大的面积.

    反之:在有相等面积的所有平面图形中,圆有最小的周长.


    第100题 斯坦纳的球问题Steiner's Sphere Problem 

    在表面积相等的所有立体中,球具有最大体积.

    在体积相等的所有立体中,球具有最小的表面.


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