初等代数是研究数字和文字的代数运算理论和方法，更确切的说，是研究实数和复数，以

及以它们为系数的多项式的代数运算理论和方法的数学分支学科。


    初等代数是更古老的算术的推广和发展。在古代，当算术里积累了大量的，关于各种数

量问题的解法后，为了寻求有系统的、更普遍的方法，以解决各种数量关系的问题，就产生

了以解方程的原理为中心问题的初等代数。


    代数是由算术演变来的，这是毫无疑问的。至于什么年代产生的代数学这门学科，就很

不容易说清楚了。比如，如果你认为“代数学”是指解ax2+bx+c=0这类用符号表示的方程的

技巧。那么,这种“代数学”是在十六世纪才发展起来的。


    如果我们对代数符号不是要求象现在这样简练，那么，代数学的产生可上溯到更早的年

代。西方人将公元前三世纪古希腊数学家刁藩都看作是代数学的鼻祖。而在中国，用文字来

表达的代数问题出现的就更早了。


    “代数”作为一个数学专有名词、代表一门数学分支在我国正式使用，最早是在1859年

。那年，清代数学家里李善兰和英国人韦列亚力共同翻译了英国人棣么甘所写的一本书，译

本的名称就叫做《代数学》。当然，代数的内容和方法，我国古代早就产生了，比如《九章

算术》中就有方程问题。

    初等代数的中心内容是解方程，因而长期以来都把代数学理解成方程的科学，数学家们

也把主要精力集中在方程的研究上。它的研究方法是高度计算性的。


    要讨论方程，首先遇到的一个问题是如何把实际中的数量关系组成代数式，然后根据等

量关系列出方程。所以初等代数的一个重要内容就是代数式。由于事物中的数量关系的不同

，大体上初等代数形成了整式、分式和根式这三大类代数式。代数式是数的化身，因而在代

数中，它们都可以进行四则运算，服从基本运算定律，而且还可以进行乘方和开方两种新的

运算。通常把这六种运算叫做代数运算，以区别于只包含四种运算的算术运算。


    在初等代数的产生和发展的过程中，通过解方程的研究，也促进了数的概念的进一步发

展，将算术中讨论的整数和分数的概念扩充到有理数的范围，使数包括正负整数、正负分数

和零。这是初等代数的又一重要内容，就是数的概念的扩充。


    有了有理数，初等代数能解决的问题就大大的扩充了。但是，有些方程在有理数范围内

仍然没有解。于是，数的概念在一次扩充到了实数，进而又进一步扩充到了复数。


    那么到了复数范围内是不是仍然有方程没有解，还必须把复数再进行扩展呢？数学家们

说：不用了。这就是代数里的一个著名的定理—代数基本定理。这个定理简单地说就是n次

方程有n个根。1742年12月15日瑞士数学家欧拉曾在一封信中明确地做了陈述，后来另一个

数学家、德国的高斯在1799年给出了严格的证明。


    把上面分析过的内容综合起来，组成初等代数的基本内容就是：


    三种数——有理数、无理数、复数


    三种式——整式、分式、根式


    中心内容是方程——整式方程、分式方程、根式方程和方程组。


    初等代数的内容大体上相当于现代中学设置的代数课程的内容，但又不完全相同。比如

，严格的说，数的概念、排列和组合应归入算术的内容；函数是分析数学的内容；不等式的

解法有点像解方程的方法，但不等式作为一种估算数值的方法，本质上是属于分析数学的范

围；坐标法是研究解析几何的……。这些都只是历史上形成的一种编排方法。


    初等代数是算术的继续和推广，初等代数研究的对象是代数式的运算和方程的求解。代

数运算的特点是只进行有限次的运算。全部初等代数总起来有十条规则。这是学习初等代数

需要理解并掌握的要点。


    这十条规则是：


    五条基本运算律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、分配律；


    两条等式基本性质:等式两边同时加上一个数，等式不变；等式两边同时乘以一个非零

的数，等式不变；


    三条指数律：同底数幂相乘，底数不变指数相加；指数的乘方等于底数不变指数相乘

积的乘方等于乘方的积。


    初等代数学进一步的向两个方面发展，一方面是研究未知数更多的一次方程组；另一方

面是研究未知数次数更高的高次方程。这时候，代数学已由初等代数向着高等代数的方向发

展了。

文章目录
初等代数
基本公式
一元二次方程
不等式
基本
绝对值不等式
均值不等式
运算
指数
对数
复数
数列
等差数列
等比数列
常用前n项和
行列式
基本运算
线性方程组得解
平面几何
三角形
平行四边形
梯形
扇形
正n边形
圆
椭圆
立体几何
圆柱体
圆锥体
圆台
球体
三角函数
弧度与角度关系
定义
基本关系
诱导公式
特殊值
和差公式
倍角公式
积化和差与和差化积公式
边角公式
解析几何
直线
斜率
方程
距离公式

初等代数
基本公式

一元二次方程

不等式
基本

绝对值不等式

均值不等式

运算
指数

对数


复数

数列
等差数列

等比数列

常用前n项和

行列式
基本运算

线性方程组得解


平面几何
三角形


平行四边形


梯形


扇形


正n边形


圆


椭圆


立体几何
圆柱体


圆锥体


圆台


球体


三角函数
弧度与角度关系

定义

基本关系

诱导公式

特殊值

和差公式

倍角公式

积化和差与和差化积公式

边角公式

解析几何
直线

斜率
$k = \tan \alpha$
方程

距离公式

数学边界
前言
这几天对比考研的高等数学和行测的数学运算，再结合我之前所认为的知识边界概念。对数学进行简单分级。
文章目录
数学边界
前言
定位知识边界的起因
我对知识边界的认识
地图认识
圆圈认识
数学边界
初中数学（萌芽）
高中数学（常量数学、初等数学）
大学数学（变量数学、高等数学）
研究生数学
总结

定位知识边界的起因
在初二那会我就想定位知识的领域，但是奈何初中水平体会不了也看不懂之后的知识结构，大三那会我也想定位知识的领域和边界，但是没有进行下去。今天我把我那未完成的工作做一个了结。
大三写的初稿：细述科学1——知识脉络。可惜定位太大，搜集资料太难。
大三写的另外一个角度的初稿：但是总觉得不满意就没发。

这段时间写博客的时候也常常回顾自己对知识的认识。积累了一段时间，今天打算开个头。
我对知识边界的认识
地图认识

知识都是相互关联的。就像地图，大地图包含小地图。基础通用学科包含专业细化学科。
知识世界就像现实世界，我们认识世界需要地图。在显示世界有星座图、有世界地图、有中国地图、有北京市地图。在知识世界也也一样，有自然科学的地图、有数学的地图、有微积分的地图；

知识就像一块迷雾区域，书本就像地图，当我们拿地图去走这些迷雾区域的时候就可以点亮这片区域，进而掌握知识。
在知识的这一片迷雾区域，我觉得有四个大的区域，分别是数学、美学、管理学、情绪学；然后在这四个大区域中还有他们各自的衍生区域，数学区域有理性自然科学（物理、化学、生物学）、美学区域有感性自然科学（音乐、美术、语言）、管理学有理性社会科学（历史、经济、政治）、情绪学有感性社会科学（心理学、行为学）。
本来有人认为知识应该划分为自然科学和社会科学。但是自然科学好找共性，社会科学不好找共性，只是笼而统之说是社会演变过程中诞生的学科就是社会科学。找不到共性就不好统一，知识就是破碎不连贯的，这样不好形成知识体系，不便追本溯源。
于是我根据已有的社会科学，我按照它们不同的共性将其划分为三类。（情绪学没有基础学科，就是一个概念）

一类是美学，包括音乐、美术、语言；
一类是情绪学，包括哲学、心理学、行为学；
一类是管理学，包括经济学、法学、史学；


美学的本质是一种期待，当人对一种有规律的事情做出了预期，并且这个事情还达到这个预期，人的大脑就会产生多巴胺，进而会产生一种满足感。美学通过视觉（美术）、听觉（音乐）、文字（语言、文学）来让人满足这种期待。应用场景有古代就有的音乐、美术、文学和现在的影视。但是本质一直没变。就是让人产生一种期待，然后符合这种期待。
情绪学是一门控制自身以及他人情绪的学科。原理也是基于期待的。当某一件事情符合人的期望，人就会产生正面的情感，如果不符合人的期望，人就会产生负面的情感。美学可以控制这种期待，进而掌握人的情绪。应用场景有用鼓动性的话与图片鼓动人们购物或者选举。
管理学一门研究如何完成特定期待的学科。通过一系列计划与决策、组织与合作、监督与改进来协调有限资源做到目标。

某种角度说，社会科学是一门研究人的期望的科学。

贪婪与侥幸是一种期望；趋利避害是一种期望；

圆圈认识

从认识的探索程度划分，知识像一个圆圈。中间部分是大多数人能接触到的，边缘部分是顶端人接触的；

从中国受教育程度来看，如果把人类探索知识的领域画个圈，初中知识的人在中间的一大块，然后高中知识比初中知识再大一圈，接着大学知识比高中知识又大一圈，最后硕士研究生就是在快靠近边缘的那批人，博士研究生就是突破边缘的那批人。
换一种小说的话来说，初中阶段是炼体期，吊打普通人类，高中阶段是筑基期，吊打普通炼体期，大学阶段是金丹期，吊打筑基期，研究生阶段就是元婴期。上层的知识可以降维打击下层。
用游戏的话来说，初中阶段是新手期，大家都在新生村，刷语数英、政史地、理化生的技能点。技能点及格后，一部分人直接开始走高职，开始职业之路；还有一部分人走高中继续刷技能点，然后读大学，开始走职业之路；
这些职业很有意思。有书生职业，笔写春秋；有画师职业，绘画，搞宣传；有程序员，编程，搞开发；有财务，理财，投资；各行各业都有各自的一套技能体系。

随着人类社会的发展，知识领域这个圈势必会越来越大，知识细分也会越来越细。

数学边界

言归正传，太大的涉及面太广，不太好一次性写好，所以我以小见大。从数学的角度来认识知识。

我打算按照初中数学、高中数学、大学数学、研究生数学这四个阶段的数学来划分数学边界。列举各阶段的数学的内容和天花板，同时也找这个天花板领域最灿烂的那批数学家作为参考。

下文有一部分是我大三时候写的，但是没写链接，内容不好考究，可能有错误的地方，一切以权威为准。
我但是按阶段、代表人物、内容三部分写。

初中数学（萌芽）

萌芽时期（公元前5世纪）：建立自然数的概念，创造了简单的计算法，认识简单的几何图形；算术与几何尚未分开；

代表人物：毕达哥拉斯
约公元前580-约前500年。
因为向往东方的智慧，经过万水千山，游历了当时世界上两个文化水准极高的文明古国——巴比伦和印度，以及埃及（有争议），吸收了美索不达米亚文明和印度文明的文化。后来他就到意大利的南部传授数学及宣传他的哲学思想，并和他的信徒们组成了一个所谓“毕达哥拉斯学派”的政治和宗教团体。
代表作：黄金分割、有理数（根号二）、勾股定理
代表人物：欧几里得
参考文章：欧几里得（古希腊数学家几何之父）
约公元前330年-公元前275年。
在欧几里德以前，古希腊人已经积bai累了大量du的几何知识，并开始用逻辑推理的方法去证明zhi一些几何命题的结论。欧几里德将早期许多没有联系和未予严谨证明的定理加以整理，写下《几何原本》一书，标志着欧氏几何学的建立。这部划时代的著作共分13卷，465个命题。其中有八卷讲述几何学，包含了现今中学所学的平面几何和立体几何的内容。但《几何原本》的意义却绝不限于其内容的重要，或者其对诸定理的出色证明。真正重要的是欧几里德在书中创造的公理化方法。
代表人物：阿基米德
参考文章：阿基米德（古希腊哲学家、数学家、物理学家）
公元前287年-前212年。
阿基米德对数学和物理的发展做出了巨大的贡献，为社会进步和人类发展做出了不可磨灭的影响，即使牛顿和爱因斯坦也都曾从他身上汲取过智慧和灵感，他是“理论天才与实验天才合于一人的理想化身”，文艺复兴时期的达芬奇和伽利略等人都拿他来做自己的楷模。
代表作：浮力原理、杠杆原理、机械原理、几何学；方法论；
代表人物：斐波那契（1175-1250）
代表作：计算之书、斐波那契数；引入阿拉伯数字；
高中数学（常量数学、初等数学）

常量数学（初等数学）时期（公元17世纪）：形成了初等数学的主要分支：算术、几何、代数、三角。该时期的基本成果，构成高中数学的主要内容。

内容：

1.集合与函数（指、对、幂）
2.几何与解析几何（直线、圆、坐标）
3.算法、统计与概率
4.三角函数与平面向量
5解三角形、数列与不等式
6.逻辑用语、圆锥曲线与空间向量

代表人物：笛卡尔
1596-1650
代表作：解析几何；坐标系；几何学；
大学数学（变量数学、高等数学）

变量数学（高等数学）时期（公元19 世纪）：如解析几何、微积分、微分方程，高等代数、概率论等，构成了大学数学的主要内容。

大学数学的主体是微积分。
代表人物：艾萨克·牛顿
1643年-1727年
代表作：万有引力、三大运动定理、微积分、金本位
代表人物：伯努利
1667-1748
代表作：微积分学、微分方程、变分法、统计学；
代表人物：欧拉
1707年-1783年
代表作：无穷小分析引论、微分学原理、积分学原理；
代表人物：拉格朗日（1736-1813）
代表人物：柯西（1789-1857）
内容：

1.高数：函数与极限、导数与微分、中值定理与导数应用、不定积分、定积分、定积分应用、微分方程、空间解析几何与向量代数、多元微分学、重积分、曲线积分与曲面积分、无穷级数。广泛用于物理领域。
2.线代：行列式（计算）、矩阵（等价、降秩、求逆）、向量空间（线性相关、标准正交基）、线性方程组、矩阵的相似对角化（求正交矩阵、特征值）、二次型（正负定、特征向量）广泛用于图像处理的计算中。
3.概率论与数理统计：概率论基本知识（贝叶斯公式）、随机变量及其分布（概率密度函数）、多维随机变量及其分布（条件概率密度）、随机变量的数字特征（数学期望与方差）、大数定律及中心极限定理、样本及抽样分布、参数估计（最大似然估计）、假设检验（U检验法）、方差分析。广泛用于大数据分析领域。
4.离散数学：命题逻辑、谓词逻辑、几何与关系、函数、图论。广泛用于人工智能。
5.机器学习：强化学习、深度学习、迁移学习。广泛用于人工智能。

研究生数学

现代数学时期（19世纪70年代 ）：康托的“集合论”（点集拓扑学）；柯西的“数学分析”（高级微积分）；希尔伯特的“公理化体系”；高斯的“非欧几何”； “抽象代数”（线性代数）；黎曼开创的“现代微分几何”等

代表人物：高斯
1777年-1855年
代表作品：最小二乘法、标准正态分布；微分几何学；
卡尔.皮尔逊（1857-1936）：统计学权威，一枝独秀（9世纪末到20世纪20年代初期）。大样本的数理统计的巅峰，体系核心是矩法。在大样本的数理统计上大放异彩。
费歇尔（1890-1962）：与卡尔.皮尔逊争锋相对。将眼光放在小样本的数理统计上，继卡尔.皮尔逊之后的统计学大佬。是20世纪成就最大的统计学家，是以卡尔.皮尔逊为代表的旧统计学，朝向以他为代表的新统计学的转变中的关键人物。
奈曼（1894-1981）：年轻时对纯数学有强烈的兴趣并有很高的素养。1926年会见了费歇尔，在卡尔.皮尔逊那里进修了一年，最后离开，对那里的统计学表示失望，认为没有多少数学。奈曼格外重视统计学中数学严格性的观点。1938年4月应美国加州伯克利大学数学系的招聘担任该系教师。这成了美国统计学发展以及他个人的转折点。
图灵（1912-1964）：图灵验算、密码学、人工智能、计算机领域；
内容：

数论：按照研究方法来说，可以分成初等数论、解析数论、代数数论和几何数论四个部分。
几何拓扑学：属于几何学的范畴，内容有哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等
射影几何是研究图形的射影性质，即它们经过射影变换后，依然保持不变的图形性质的几何学分支学科。应用于绘图学、建筑学与绘画。
视觉效果应用：构成上的美观（黄金比例）、构成上的合理（透视图）、色彩搭配；

总结
今天初略整理一下。以后再完善。
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初等数学
因式分解(Factorization)
一元二次方程
指数与对数
三角恒等式(Trigonometric Identity)
数列(Series)
排列和组合(Arrangement and Combination)

因式分解(Factorization)
$a^2-b^2=(a+b)(a-b) \\
a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2 \\
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) \\
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) \\
a^n-b^n=(a-b)
\displaystyle\sum_{i=1}^n a^{n-i}b^{i-1}$
一元二次方程
$ax^2+bx+c=0(a\neq0)$
求根公式

$x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}, \Delta=b^2-4ac$
根与系数的关系

$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\\ x_1x_2=\dfrac{c}{a}$
指数与对数
$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$

$a^n/a^m=a^{n-m}$

$(a^n)^m=a^{mn}$

$(ab)^n=a^n\cdot b^n$

$a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$
$\log_a1=0$

$\log_ax=\dfrac{\ln x}{\ln a}$ (换底公式)

$\log_axy=\log_ax+\log_ay$

$\log_a\dfrac{x}{y}=\log_ax-\log_ay$

$\log_ax^y=y\log_ax$
$x=e^{\ln x}$
三角恒等式(Trigonometric Identity)
平方关系

$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$
两角和差

$\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha  \cos \beta \mp \sin \alpha   \sin \beta            \\
\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha   \cos \beta \pm \cos \alpha   \sin \beta           \\
\tan (\alpha \pm \beta )=\dfrac{\tan \alpha \pm \tan \beta } {1\mp \tan \alpha   \tan \beta}$
和差化积

$\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \dfrac{\alpha +\beta}{2}\cos \dfrac{\alpha -\beta}{2}       \\
\sin \alpha -\sin \beta =2\cos \dfrac{\alpha +\beta}{2}\sin \dfrac{\alpha -\beta}{2}       \\
\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \dfrac{\alpha +\beta}{2}\cos \dfrac{\alpha -\beta}{2}       \\
\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \dfrac{\alpha +\beta}{2}\sin \dfrac{\alpha -\beta}{2} \\ 
\tan\alpha+\tan\beta=\dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$
积化和差

$\sin \alpha   \cos \beta =\dfrac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )]       \\
\cos \alpha   \sin \beta =\dfrac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )]       \\
\cos \alpha   \cos \beta =\dfrac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )]       \\
\sin \alpha   \sin \beta =-\dfrac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )]$
倍角公式

$\sin 2\alpha=2\sin \alpha   \cos \alpha =\dfrac{2}{\tan \alpha +\cot \alpha}  \\
\cos 2\alpha=\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha   \\
\tan 2\alpha =\dfrac{2\tan \alpha}{1-\tan^2 \alpha}   \\
\cot 2\alpha=\dfrac{\cot^2\alpha -1}{2\cot \alpha} \\
\sin 3\alpha=3\sin \alpha -4\sin^3 \alpha  \\
\cos 3\alpha=4\cos^3 \alpha-3\cos \alpha   \\
\tan 3\alpha=\dfrac{3\tan \alpha -\tan^3 \alpha}{1-3\tan^2 \alpha}  \\
\cot 3\alpha=\dfrac{\cot^3 \alpha -3\cot \alpha}{3\cot \alpha -1}$
半角公式 （正负由$\dfrac{\alpha}{2}$所在的象限决定）

$\sin \dfrac{\alpha}{2}=\pm \sqrt{\dfrac{1-\cos \alpha }{2}} \\
\cos\dfrac{\alpha}{2}=\pm \sqrt{\dfrac{1+\cos \alpha }{2}} \\
\tan \dfrac{\alpha}{2}=\pm \sqrt {\dfrac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}=\dfrac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}=\dfrac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}  \\
\cot\dfrac{\alpha}{2}=\pm \sqrt {\dfrac{1+\cos \alpha}{1-\cos \alpha}}=\dfrac{1+\cos \alpha}{\sin \alpha} =\dfrac{\sin \alpha}{1-\cot \alpha}$
辅助角公式

$a\sin \alpha +b\cos \alpha =\sqrt{a^2+b^2}\sin (\alpha +\arctan\frac{b}{a}) \\
a\sin \alpha +b\cos \alpha =\sqrt{a^2+b^2}\cos (\alpha -\arctan\frac{a}{b})$
万能公式

$\sin\alpha=\dfrac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1+\tan ^2\frac{\alpha}{2}}  \\
\cos\alpha=\dfrac{1-\tan ^2\frac{\alpha}{2}}{1+\tan ^2\frac{\alpha}{2}}  \\
\tan\alpha=\dfrac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1-\tan ^2\frac{\alpha}{2}}$
降幂公式

$\sin^2 \alpha=\frac{1}{2}(1-\cos 2\alpha) \\
\cos^2 \alpha=\frac{1}{2}(1+\cos 2\alpha)\\
\tan^2 \alpha=\dfrac{1-\cos 2\alpha}{1+\cos 2\alpha}$
正弦定理(R为外接圆半径)

$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$
余弦定理

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$
数列(Series)
等差数列

通项公式：$a_n=a_1+(n-1)d$

求和公式：$S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$
等比数列

通项公式：$a_n=a_1q^{n-1}(a_n\neq0,q\neq0)$

求和公式：$S_n=\begin{cases} \dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q} &\text{if } q\neq1 \\ na_1 &\text{if } q=1 \end{cases}$
排列和组合(Arrangement and Combination)
阶乘：$n!=1\times2\times\cdots (n-2)(n-1)n$

排列：$A_n^m=\dfrac{n!}{(n-m)!}$

组合：$\complement_n^m=\dfrac{A_n^m}{m!}=\dfrac{n!}{m!(n-m)!}$