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  • 极大连通子图与极小连通子图(带图讲解)

    万次阅读 多人点赞 2018-12-29 15:29:10
    首先我们先对什么连通图做一个基本了解 连通图:

    因为本人对于这一块知识存在疑惑,在学习了相关知识后将自己的理解分享给大家,如有错误,欢迎纠正。
    首先我们先明确一下,极小连通子图与极大连通子图是在无向图中进行讨论的。
    极大强连通子图是在有向图中进行讨论的,不存在极小强连通子图。

    无向图

    连通图
    无向图中,若从定点V1到V2有路径,则称顶点V1和V2是连通的。如果图中任意一对顶点都是连通的,则称此图是连通图。(连通的无向图)
    在这里插入图片描述
    极大连通子图
    1.连通图只有一个极大连通子图,就是它本身。(是唯一的)
    2.非连通图有多个极大连通子图。(非连通图的极大连通子图叫做连通分量,每个分量都是一个连通图)
    3.称为极大是因为如果此时加入任何一个不在图的点集中的点都会导致它不再连通。
    下图为非连通图,图中有两个极大连通子图(连通分量)。
    在这里插入图片描述
    极小连通子图
    1.一个连通图的生成树是该连通图顶点集确定的极小连通子图。(同一个连通图可以有不同的生成树,所以生成树不是唯一的)
    (极小连通子图只存在于连通图中)
    2.用边把极小连通子图中所有节点给连起来,若有n个节点,则有n-1条边。如下图生成树有6个节点,有5条边。
    3.之所以称为极小是因为此时如果删除一条边,就无法构成生成树,也就是说给极小连通子图的每个边都是不可少的。
    4.如果在生成树上添加一条边,一定会构成一个环。
    也就是说只要能连通图的所有顶点而又不产生回路的任何子图都是它的生成树。
    在这里插入图片描述
    总结来说:极大连通子图是讨论连通分量的,极小连通子图是讨论生成树的。
    .
    .
    在这里顺带提一下强连通图和极大强连通子图。

    强连通图

    强连通图:在有向图中,若对于每一对顶点Vi和Vj,都存在一条从Vi到Vj和从Vj到Vi的路径,则称此图为强连通图。(连通的有向图)
    在这里插入图片描述
    有n个顶点的强连通图最多有n(n-1)条标,最少有n条边。(4个顶点的强连通图图示如上图和下图)
    在这里插入图片描述
    极大强连通子图:
    1.强连通图的极大强连通子图为其本身。(是唯一的)
    2.非强连通图有多个极大强连通子图。(非强连通图的极大强连通子图叫做强连通分量)
    极小强连通子图:不存在这个概念

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  • 极大连通子图和极小连通子图的定义及讲解

    万次阅读 多人点赞 2017-12-19 10:27:26
    之前学习到图论的时候,对于极大连通子图和极小联通子图的概念不是特别理解,上网查找以后发现网上并没有给出特别详细,浅显易懂的讲解,为了帮助大家更好的理解这两个概念,我做了一些比较详细的总结,希望能帮到...

    之前学习到图论的时候,对于极大连通子图和极小联通子图的概念不是特别理解,上网查找以后发现网上并没有给出特别详细,浅显易懂的讲解,为了帮助大家更好的理解这两个概念,我做了一些比较详细的总结,希望能帮到大家。


    首先,我们了解一个相关的概念(重要):

    连通分量(connected component):向图中的极大连通子图(maximal connected subgraph)称为原图的连通分量

    从这个概念中我们可以知道极大连通子图连通分量图(undirected graph)这个前提下是等同的概念。


    那我们来看看离散书上对于连通分量的定义:

    CONNECTED COMPONENTS

    A connected component of a graphG is a connected subgraph ofG that is not a proper subgraph of another connected subgraph ofG.

    That is, a connected component of a graphGis a maximal connected subgraph of G.

    A graphG that is not connectedhas two or more connected components that are disjointand haveGas their union.

    译文:

    连通分量:
    图G的连通分量是G的连通子图(两个点,第一,子图;第二,连通),并且它不是G的另一连通子图的一个子图,

    也就是说图G的连通分量是G的极大连通子图(极大地概念在这儿得到体现,既连通分量是图G中并不被其他连通子图

    包含的连通子图,极大在这儿不能被错误的理解为数量上的某种极大属性,而应该理解为一种不被包含的属性,所以

    图G可以有多个连通分量)

    补充:强连通图只有一个强连通分量,即本身(熟悉强连通图这个知识点的小伙伴应该能很容易的理解这个定论)。

    不连通的图G有两个或多个不相交的连通分量(具体理解为图G可以分为两个或多个不相交的

    连通子图,就像一块蛋糕可以被分为两块或者更多块),并且有图G作为它们的合集。


    为了更好的理解概念,我们来看一个具体的例子:

    What are the connected components of the graphH shown in Figure 3?
    Solution:The graphH is the union of three disjoint connected subgraphs H1 , H2, andH3, shown
    in Figure 3. These three subgraphs are the connected components ofH.


    在这个例题里,显而易见H是一个不连通图,因为d与c,e与h之间都没有连通,所以H应该会有两个或者更多的连通分量,
    从图里可知

    它们分别是H1,H2,H3,而图G就是H1,H2,H3的合集。


    备注:由于时间关系,极小连通分量的讲解我会在下次补上,觉得有帮助的小伙伴请记得支持我一下。如有不对的或者不完善的地方,

    也欢迎各位指教。


    原创不易,请一起保护著作权。

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  • 无向图 连通 在无向图中,若从顶点v到顶点w有路径存在,则称v和w是连通的。(连通是两个顶点之间存在路径,注意是路径...连通分量(也就是极大连通子图) 无向图中极大连通子图称为连通分量。 无向图分为连通图...

    无向图

    • 连通
      在无向图中,若从顶点v到顶点w有路径存在,则称v和w是连通的。(连通是两个顶点之间存在路径,注意是路径不是边,是顶点之间的关系)

    • 连通图与非连通图

      若图中任意两个顶点都是连通的,那么就称这个无向图是连通图,否则是非连通图。(若一个图中有n个顶点,并且边数小于n-1,则此图一定是非连通图)

    • 连通分量(也就是极大连通子图)
      无向图中极大连通子图称为连通分量。
      无向图分为连通图和非连通图:

      • 对于连通无向图:只有一个连通分量也就是只有一个极大连通子图,就是它本身。

      • 对于非连通图:不连通的无向图又可以分为若干个连通子图,其中有这样的连通子图,它包含了图中尽可能多的顶点以及尽可能多的边以至于它再加上一个点或者边之后它就不连通了,此时这个图就是极大连通子图。
        这里是其中一种理解,但是书上的概念太少了,我又查找其他关于连通分量的概念: 图G的连通分量是G的连通子图,并且它不是G的另一连通子图的一个子图,这时称图G的这个连通分量是G的极大连通子图。

      • 综上
        连通分量(极大连通子图)是图的一个不被另外任何一个连通子图所包含子图
        故:
        1、连通图的极大连通子图就是它本身。
        2、非连通图中有多个连通分量也就是可以有多个极大连通子图。

    • 极小连通子图

      • 极小连通子图和图中的另外一个定义生成树有关,即一个连通图的生成树是该连通图的顶点集所确定的极小连通子图。
      • 极小连通子图为图的某一个顶点子集所确定的连通子图中,包含边最少且包含全部顶点连通子图
      • “极小”是因为此时如果删除一条边,就无法构成生成树。
    • 综上
      1、极小连通子图只在无向图中才有
      2、极小连通子图中包含图中全部的顶点(和极大不同,极大不要求包含所有的顶点)
      3、用边将极小连通图中的所有边都连接起来
      4、极小连通子图和生成树的概念不是等价的,生成是包含图中全部顶点的一个极小连通子

    总结
    1、极大连通子图是讨论连通分量的,极小连通子图是讨论生成树的.
    2、极大要求的是边和顶点都可能的多,极小要求的是包含图中全部顶点的连通子图的边尽可能少。

    有向图

    • 强连通
      在有向图中,若从顶点v到顶点w有路径存在,则称v和w是连通的。(连通是两个顶点之间存在路径,注意是路径不是边,是顶点之间的关系)

    • 强连通图
      在有向图中,若图中任意一对顶点都是强连通的,则称此有向图为强连通图。

    • 连通分量
      图中的极大强连通子图称为强连通分量。

    有向图中只有极大强连通图的概念没有极小强连通图。

    注:有向图的概念和无向图的类似不再赘述。

    • 综上
      1、强连通图的极大强连通子图是其本身。
      2、非强连通有多个极大强连通子图,就是强连通分量。
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  • 关于极大连通子图与极小连通子图的解释

    万次阅读 多人点赞 2018-09-06 20:51:33
    对于极大连通子图,我们可以把它分成3各部分来看 1.必须是子图(子图中的顶点、边都是原图的子集) 2.连通(对于两个顶点u、v,如果存在u到v的边,那这两个点就是连通的) 3.极大 个人觉得问题主要在于这个极大...

    对于极大连通子图,我们可以把它分成3各部分来看

    1.必须是子图(子图中的顶点、边都是原图的子集)
    2.连通(对于两个顶点u、v,如果存在u到v的边,那这两个点就是连通的)
    3.极大

    个人觉得问题主要在于这个极大的理解。这个极大是指的边数(edge)极大,这个极大是在原图的边中的极大(也就是说,子图里面已经包括了原图中所有和子图中顶点有关的边)。之所以用极大而不用最大,是因为不一定只有一个连通分量,这个和数学中的极大值以及最大值的区别是一样的。

    我想最大的困惑在于极大的判断。我们假设已经有了一个连通子图G,其顶点集为V,边集为E。如果E包含了在原图中和所有和V有关的边,那我们就认为它是极大连通子图。通常情况下,如果我们删除E中的某些边,该子图仍然是连通,当我们删除了所有能删除的边(再删除就会导致不连通),并且它仍然是连通的,我们就认为它是极小连通子图。

    综上

    对于极大和极小,个人理解为:在一个连通子图中,包含和顶点有关所有的边(the more the better),那就是极大连通子图;如果包含了必不可少的边(the less the better),那就是极小连通子图。

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  • 在学习数据结构图时,自己对极大连通子图、极小连通子图的理解,如有不妥,希望大家指正: 1、极大连通子图(即连通分量)、极小连通子图都为图的连通子图,极大即包含边最多,极小即包含边最少; 2、对于连通图 ...
  • 极大连通子图,极小连通子图

    千次阅读 2019-07-09 17:15:02
    https://blog.csdn.net/qq_37134008/article/details/85325251
  • 首先要先弄清楚有向图中弧、无向图中边以及路径的概念;    为了加深自己的理解,再来两个题目练练手呢     注:以上题目节选自《2018年数据结构考研复习指导》(王道考研)...
  • 找出一个图中所有的强连通子图

    千次阅读 2013-05-17 17:01:46
    一个 strongly connected component就是一个有向图中最大的强连通子图。下图中就有三个强连通子图: 应用kosaraju算法,可以在O(v+e)的时间内找到强连通子图。下面是kosaraju算法的具体步骤: 1,创建一个...
  • Tarjan算法(连通子图)

    千次阅读 2018-08-25 16:15:21
    非强连通图有向图的极大连通子图,称为 强连通分量 (strongly connected components)。 下图中,子图{1,2,3,4}为一个强连通分量,因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。 直接根据...
  • 【原创】tarjan算法初步(强连通子图缩点) tarjan算法的思路不是一般的绕!!(不过既然是求强连通子图这样的回路也就可以稍微原谅了。。) 但是研究tarjan之前总得知道强连通分量是什么吧。。 上百度查查:  有...
  • ccf 高速公路(连通子图)

    千次阅读 2015-12-17 20:22:43
    非强连通图有向图的极大连通子图,称为 强连通分量 (strongly connected components)。 下图中,子图{1,2,3,4}为一个强连通分量,因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。 ...
  • 极大团”(maximal clique)是不被任何更大的团包含的一类图团。实际上,大尺寸的团很稀少,团的存在要求图G本身相当稠密,但现实世界的网络多是稀疏的。 团的概念存在各种弱化了条件的版本。例如,图G的k核(k-core)...
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  • 一个强连通分量,也就是一个有向图中的一个极大连通子图极大连通子图?这是啥? 首先嘛,它是一个强连通图!然后就没有然后了。我本来以为“极大”似乎是什么强连通图的plus版本?结果发现一个强连通图有且...
  • 本文是《刘汝佳算法竞赛》的双连通分量... 极大连通子图:对于一个连通图,极大连通子图就是其连通分量也就是 其本身,非连通图有多个连通分量则就有多个极大连通子图。主要理解的是极大,极大指的是这个连通子图不...
  • tarjan求强连通分量

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  • 连通分量: 一个非连通图的 连通分量 是指这个非连通分量的极大连通子图-------连通分量是针对 非连通图 来说的 一个非连通图的连通分量具备以下几个要点: 连通图&&子图&&极大的 极大:--------...
  • 彻底理解连通!!

    2015-10-27 13:31:01
    有向图强连通分量的Tarjan算法 [有向图强连通分量] ...非强连通图有向图的极大连通子图,称为强连通分量(strongly connected components)。 下图中,子图{1,2,3,4}为一个强连通分量,因为顶点1,2,
  • 什么是连通分量

    千次阅读 2021-01-02 20:43:43
    在无向图中bai,如果从顶点duvi到顶点vj有路zhi径,则称vi和vj连通。如dao果图中任意两个顶点zhuan之间都连通shu,则称该图为连通图,否则,将其中的较大连通子图...否则,将其中的极大连通子图称为强连通分量。 ...
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    2021-07-18 20:50:12
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    千次阅读 2017-02-23 11:43:32
    Tarjan是一个对图的分析的强有力的算法,主要应用有:有向图的强连通分量、无向图的割点桥与双连通分量、LCA...一个图的极大连通子图称为改图的强连通分量。Tarjan算法求解强连通分量通过Tarjan算法可以得到每个点属于
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  • 否则,称该图为非连通图,则其中的极大连通子图称为连通分量,这里所谓的极大是指子图中包含的顶点个数极大。 例如:一个无向图有5个顶点,1-3-5是连通的,2是连通的,4是连通的,则这个无向图有3个连通分量。Inp
  • [有向图强连通分量] 看到一篇讲义,觉得分析得还不错,转载下来在有向...非强连通图有向图的极大连通子图,称为强连通分量(strongly connected components)。下图中,子图{1,2,3,4}为一个强连通分量,因为顶点1,2,3,
  • 在有向图G中,如果两个定点u,v间存在一条u到v的路径,也存在一条v...这里,极大连通子图可以理解为一个子图是强连通图,且它的任意子图都不是强联通。 我们来看下面几张图。 这是强连通图。 这是强连通分量。...
  • 连通分量

    2017-04-05 07:43:56
    定义是 一个无向图中的每一个极大点双连通子图称作此无向图的点双连通分量。一直都不知道什么是极大点双连通子图....画出来的图发现和网上找的一个图类似 但是不明白两个点的这种不是双连通图啊..而且一个割点的...

空空如也

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极大连通子图怎么理解