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  • 拉普拉斯积分
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    2017-04-19 15:19:13

    拉普拉斯方法又称为拉普拉斯近似(Laplace Approximation)。它可以用来计算一元或多元积分。
    这里的思想类似于上篇博客中所讲的使用Laplace近似分布一样,这里把 baf(x)dx 中的 f(x) 看成是一个分布(需要正规化),然后使用一个正态分布近似这个分布,这样就可以得到原来积分的近似了。
    拉普拉斯方法是有局限性的:被积分的函数有一个峰值,并且和正态曲线长的像。这种情况下的近似才能比较精确。
    对于概率密度函数,(无论一维还是多维),大部分都是一个峰值。或者因为中心极限定理,统计量均值的分布和正态函数很像,也是一个峰值。因此拉普拉斯方法的用处还是很多的。此外,拉普拉斯方法计算很快。比如在线性混合效果模型中,拉普拉斯方法是用的最广的方法,也可能是唯一能在实际中使用的方法[2-4]。

    [1]维基百科 http://en.wikipedia.org/wiki/Laplaces_method
    [2]Approximate Inference in Generalized Linear Mixed Models. N. E. Breslow and D. G. Clayton. Journal of the American Statistical Association Vol. 88, No. 421 (Mar., 1993) , pp. 9-25
    [3]Variance component testing in generalised linear models with random effects. XIHONG LIN. Biometrika (1997) 84 (2): 309-326.
    [4]lme4 package Douglas Bates et al. http://cran.r-project.org/web/packages/lme4/lme4.pdf (see nAGQ parameter)

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    注:笔记,肯请批评指正。
    积分常数的推导借助于二体运动方程]:
    r ¨ + μ r r 3 = 0 \ddot{\mathbf{r}}+\mu \frac{\mathbf{r}}{r^{3}}=0 r¨+μr3r=0

    1. 角动量积分 h \mathbf{h} h

    角动量定义为 h = r × v \mathbf{h}=\mathbf{r}\times \mathbf{v} h=r×v

    对它求导得, h ˙ = v × v + r × r ¨ \dot{\mathbf{h}}=\mathbf{v}\times \mathbf{v}+\mathbf{r}\times \ddot{\mathbf{r}} h˙=v×v+r×r¨
    其中,前一部分相同向量叉乘得0;且由二体运动方程可知,和同向,二者叉乘同样的0。

    由此可知, h = r × v = c \mathbf{h}=\mathbf{r}\times \mathbf{v}=c h=r×v=c
    根据[[航天器轨道方程]] 的定义可以得到角动量积分和轨道集合参量半通径 p p p的关系,即 h = p μ h=\sqrt{p\mu} h=pμ

    2. 能量积分

    在二体运动方程右乘 v \mathbf{v} v , 得 r ˙ ⋅ r ¨ + μ r ⋅ r ˙ r 3 = 0 \dot{\mathbf{r}}\cdot\ddot{\mathbf{r}}+\mu \frac{\mathbf{r}\cdot\dot{\mathbf{r}}}{r^{3}}=0 r˙r¨+μr3rr˙=0
    根据[[矢量计算]]公式1: a ⋅ a ˙ = a a ˙ = ( 1 2 a 2 ) ˙ \mathbf{a}\cdot\dot{\mathbf{a}}=a\dot{a}=(\dot{\frac{1}{2}a^{2})} aa˙=aa˙=(21a2)˙ ( 1 2 v 2 ) ˙ + μ r 3 ( r r ˙ ) = 0 (\dot{\frac{1}{2}v^{2})}+\frac{\mu}{r^{3}}(r\dot{r})=0 (21v2)˙+r3μ(rr˙)=0
    ( 1 2 v 2 ) ˙ + ( − μ r ) ˙ = 0 (\dot{\frac{1}{2}v^{2})}+\dot{(-\frac{\mu}{r})}=0 (21v2)˙+(rμ)˙=0
    得到积分常量 E \mathbf{E} E
    E = 1 2 v 2 − μ r \mathbf{E}=\frac{1}{2}v^{2}-\frac{\mu}{r} E=21v2rμ

    根据[[航天器轨道方程]] ,远近地点速度和位置矢量垂直的特性,可以得到能量积分与轨道几何参量的关系。

    带入 r p = P 1 + e r_{p}=\frac{P}{1+e} rp=1+eP , v p = p ( 1 + e ) v_{p}=\sqrt{p}(1+e) vp=p (1+e) , 且 a = P 1 − e 2 a=\frac{P}{1-e^{2}} a=1e2P
    E = v 2 2 − μ r = V p 2 2 − μ r p = μ 2 p ( 1 + 2 e + e 2 ) − μ 2 P ( 2 + 2 e ) = μ 2 p ( e 2 − 1 ) = − μ 2 1 − e 2 p = − μ 2 a \begin{aligned} &E=\frac{v^{2}}{2}-\frac{\mu}{r} \\ &=\frac{V_{p}^{2}}{2}-\frac{\mu}{r_{p}} \\ &=\frac{\mu}{2 p}\left(1+2 e+e^{2}\right)-\frac{\mu}{2 P}(2+2 e) \\ &=\frac{\mu}{2 p}\left(e^{2}-1\right) \\ &=-\frac{\mu}{2} \frac{1-e^{2}}{p} \\ &=-\frac{\mu}{2 a} \end{aligned} E=2v2rμ=2Vp2rpμ=2pμ(1+2e+e2)2Pμ(2+2e)=2pμ(e21)=2μp1e2=2aμ

    E = − μ 2 a E=-\frac{\mu}{2 a} E=2aμ

    3. 拉普拉斯积分 L L L

    在二体运动方程左侧叉乘角动量 h = r × v h=\mathbf{r}\times \mathbf{v} h=r×v,得 h × r ¨ + μ r 3 ( r × v × r ) = 0 \mathbf{h}\times\ddot{\mathbf{r}}+ \frac{\mu}{r^{3}}(\mathbf{r}\times\mathbf{v}\times\mathbf{r})=0 h×r¨+r3μ(r×v×r)=0

    第一部分 h ⃗ × r ⃗ ¨ = d d t ( h ⃗ × v ⃗ ) = − d d t ( v ⃗ × h ⃗ ) \vec{h} \times \ddot{\vec{r }}=\frac{d}{d t}(\vec{h} \times \vec{v})=-\frac{d}{d t}(\vec{v} \times \vec{h}) h ×r ¨=dtd(h ×v )=dtd(v ×h )
    第二部分,根据矢量计算公式
    μ r 3 ( r ⃗ × r ⃗ ˙ × r ⃗ ) = μ r 3 [ ( r ⃗ r ⃗ ) ⋅ r ⃗ ˙ − ( r ⃗ ˙ r ⃗ ) ⋅ r ⃗ ] = μ r 3 ( r 2 r ⃗ ˙ − r r ˙ r ⃗ ) = μ ( 1 r r ⃗ ˙ − 1 r 2 r ˙ r ⃗ ) = μ d d t ( 1 r r ⃗ ) \begin{aligned} & \frac{\mu}{r^{3}}(\vec{r} \times \dot{\vec{r}} \times \vec{r}) \\ =& \frac{\mu}{r^{3}}[(\vec{r} \vec{r}) \cdot \dot{\vec{r}}-(\dot{\vec{r}} \vec{r}) \cdot \vec{r}] \\ =& \frac{\mu}{r^{3}}\left(r^{2} \dot{\vec{r}}-r \dot{r} \vec{r}\right) \\ =& \mu\left(\frac{1}{r} \dot{\vec{r}}-\frac{1}{r^{2}} \dot{r} \vec{r}\right) \\ =& \mu \frac{d}{d t}\left(\frac{1}{r} \vec{r}\right) \end{aligned} ====r3μ(r ×r ˙×r )r3μ[(r r )r ˙(r ˙r )r ]r3μ(r2r ˙rr˙r )μ(r1r ˙r21r˙r )μdtd(r1r )
    综合可得
    − d d t ( v ⃗ × h ⃗ ) + d d t ( μ r r ⃗ ) = 0 -\frac{d}{d t}(\vec{v} \times \vec{h})+\frac{d}{d t}\left(\frac{\mu}{r} \vec{r}\right)=0 dtd(v ×h )+dtd(rμr )=0
    即推导出拉普拉斯常量
    L ⃗ = v ⃗ × h ⃗ − μ r r ⃗ \vec{L}=\vec{v} \times \vec{h}-\frac{\mu}{r} \vec{r} L =v ×h rμr

    由[[航天器轨道方程]] r = p 1 + e cos ⁡ θ r=\frac{p}{1+e \cos \theta} r=1+ecosθp可知,当 θ = 0 , L ⃗ , r ⃗ \theta=0, \vec{L}, \vec{r} θ=0,L ,r 同向时, r = p 1 + e = r p r=\frac{p}{1+e}=r_{p} r=1+ep=rp为近地点矢量,即拉普拉斯积分指向近地点。同时,由圆锥曲线方程可知,其大小 L = e μ L=e\mu L=eμ

    4. 耦合关系

    1. 方向上,拉普拉斯常量位于轨道面内,垂直于角动量积分。向量r,v,h相互垂直,关系如下图
      ![[rvh.excalidraw.png]]

    2. 大小上,拉普拉斯常量有约束
      L 2 = 2 E h 2 + μ 2 L^{2}=2 E h^{2}+\mu^{2} L2=2Eh2+μ2
      在近地点有 h = r v h=rv h=rv,则
      L 2 = ( v h − μ ) 2 = v 2 h 2 − 2 v h μ + μ 2 L^{2}=(v h-\mu)^{2}=v^{2} h^{2}-2 v h \mu+\mu^{2} L2=(vhμ)2=v2h22vhμ+μ2

    2 E h 2 = 2 ( 1 2 v 2 − μ r ) h 2 = v 2 h 2 − 2 μ h 2 r = v 2 h 2 − 2 μ r v h r \begin{aligned} 2 E h^{2} &=2\left(\frac{1}{2} v^{2}-\frac{\mu}{r}\right) h^{2} \\ &=v^{2} h^{2}-\frac{2 \mu h^{2}}{r} \\ &=v^{2} h^{2}-\frac{2 \mu r v h}{r} \end{aligned} 2Eh2=2(21v2rμ)h2=v2h2r2μh2=v2h2r2μrvh

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    概率论之 拉普拉斯分布

    拉普拉斯分布

    遵循拉普拉斯分布的随机变量的概率密度函数公式如下:
    p ( x ) = 1 2 λ e − ∣ x − μ ∣ λ p(x)=\frac {1}{2\lambda}e^\frac{-|x-\mu|}{\lambda} p(x)=2λ1eλxμ

    形如正态分布,但顶端是一个尖,出现极端值的概率也显著大于正态分布:

    性质

    拉普拉斯分布的均值为 μ \mu μ,方差为 2 λ 2 2\lambda^2 2λ2,标准差为 2 λ \sqrt 2\lambda 2 λ

    图像如下:
    在这里插入图片描述

    代码

    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    
    def laplace_distribution(x: np.ndarray, mu=0, lamb=2):
        p = 1 / (2 * lamb) * np.exp(-np.abs(x - mu) / lamb)
    
        return p
    
    
    if __name__ == '__main__':
        x_ = np.linspace(-5, 5, 1000)
        p_1 = laplace_distribution(x_, 0, 1)
        p_2 = laplace_distribution(x_, 0, 3)
        p_3 = laplace_distribution(x_, 1, 2)
    
        plt.figure()
        plt.plot(x_, p_1)
        plt.plot(x_, p_2)
        plt.plot(x_, p_3)
        plt.show()
    
    
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  • 拉普拉斯近似

    千次阅读 2017-08-26 17:18:52
    问题背景 很多时候,无法确定一个概率分布...拉普拉斯近似便是一种简单且广泛应用的近似方法,并且是很多采样方法的基础思想。 拉普拉斯近似 该方法的目的是找到一组定义在连续变量变量上的高斯近似,假设任一单一连

    问题背景

    很多时候,无法确定一个概率分布的具体密度函数,因而在对这种分布进行后续操作(例如,作为贝叶斯学派求后验概率)时难度很大,无法进行。这时候则需要对这种无法精确知道分布函数的概率进行近似处理成已知的概率分布,从而方便计算或操作。拉普拉斯近似便是一种简单且广泛应用的近似方法,并且是很多采样方法的基础思想。

    拉普拉斯近似

    该方法的目的是找到一组定义在连续变量变量上的高斯近似,假设任一单一连续变量 z ,假设分布p(z)的定义为:

    p(z)=1Zf(z)
    其中 Z 是归一化系数,为Z=f(z)dz(联系 softmax ), Z 是未知的。拉普拉斯方法的目的是寻找一个高斯分布q(z)来近似 p(z) ,它的中心位于 q(z) 的众数位置,即寻找一个点 z0 使得 p(z0)=0 ,也等价于:
    df(z)dz|z=z0=0
    考虑高斯分布的密度函数形式,它的对数有着变量的二次形式,故 lnf(z) 进行泰勒展开有:
    lnf(z)=lnf(z0)12A(zz0)2+Rn
    其中
    A=d2dz2lnf(z)|z=z0
    忽略余式 Rn ,并在两边同时取指数有:
    f(z)=f(z0)exp{A2(zz0)2}
    对比标准高斯分布函数,可以得到归一化的高斯分布 q(z)
    q(z)=(A2π)12exp{A2(zz0)2}
    从这个式子可以看见(1)最后的近似高斯与原先 p(z) 的归一化系数 Z 无关,(2)A>0时近似才有定义。也就是说 z=z0 p(z0) 具有波峰,对应 f(z0) 局部最大值,并且 f(z0) 的二阶导数小于0。

    多维近似

    将单变量的拉普拉斯近似进行推广,去近似 M 维空间上z的概率分布 p(z)=f(z)Z ,这里 z Z 是向量,同理在驻点 z0 有:

    lnf(z)=lnf(z0)12(zz0)TA(zz0)
    其中 A MM Hessian 矩阵,定义为:
    A=lnf(z)|z=z0
    其中 为梯度算子,同理,两边取指数有:
    f(z)=f(z0)exp{12(zz0)TA(zz0)}
    最后考虑多维高斯分布形式,有:
    q(z)=|A|122πM2exp{12(zz0)TA(zz0)}=N(z|z0,A1)
    同样, A 需要是正定的。

    归一化系数的近似

    前面说到在进行拉普拉斯近似的时候,归一化系数 Z 是不需要知道的,但在某些时候需要用到Z,我们同样可以都它进行近似。因为:

    Z=f(z)dz
    利用前面的对 f(z) 的泰勒展开,可得:
    Z=f(z0)exp{12}(zz0)TA(zz0)dz
    也就是:
    Z=f(z0)2πM2A12
    这里从2式到3式使用了概率积分为1的性质,所以后面的积分是多维高斯密度函数中归一化系数的倒数。

    总结

    拉普拉斯近似只需要寻找到众数 z0 ,然后该点处的黑塞矩阵, z0 可以用优化算法得到,但往往在实际中,会存在多峰情况的分布,那么可以对不同的波峰进行拉普拉斯近似。在应⽤拉普拉斯⽅法时,真实概率分布的归⼀化常数 Z 不必事先知道。根据中⼼极限定理,我们可以预见模型的后验概率会随着观测数据点的增多⽽越来越近似于⾼斯分布,因此我们可以预见在数据点相对较多的情况下,拉普拉斯近似会更有⽤。

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拉普拉斯积分