精华内容
下载资源
问答
  • 切比雪夫大数定律证明
    2022-06-27 13:05:41

    大数定律

    在概率论中,大数定律 (LLN) 是描述大量执行相同实验的结果的定理。 根据规律,大量试验所得结果的平均值应接近预期值,并随着试验次数的增加而趋于接近预期值。

    LLN 很重要,因为它保证了一些随机事件的平均值的长期稳定结果。例如,虽然赌场可能会在轮盘赌的单次旋转中赔钱,但其收益将趋向于在大量旋转中的可预测百分比。 玩家的任何连胜最终都会被游戏的参数所克服。 要注意的是,该定律仅在考虑大量观察时才适用(如名称所示)。 没有原理关系的是少数观察结果会与预期值一致,或者一个值的连续性会立即被其他值“平衡”。

    另外是要注意,LLN 仅适用于平均值。因此,虽然

    lim ⁡ n → ∞ ∑ i = 1 n X i n = X ˉ \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{X_{i}}{n}=\bar{X} nlimi=1nnXi=Xˉ

    其他看起来相似未经验证的公式,例如与“理论结果”的原始偏差:

    ∑ i = 1 n X i − n × X ˉ \sum_{i=1}^{n} X_{i}-n \times \bar{X} i=1nXin×Xˉ

    它不仅不会随着 n n n 的增加而收敛到零,反而随着 n n n 的增加,它的绝对值也趋于增加。

    模拟

    为了完整起见,下面的模拟将按照以下逻辑估计 π \pi π 的值:

    知道圆的面积是 π r 2 \pi r^{2} πr2,我们知道半径 ( r r r ) 为 1 的圆的面积只是 π \pi π 。 如果我们将圆完美地放置在边长为 2 的正方形(即面积为 4)的内部,我们知道圆的面积与正方形的面积之比为 π 4 \frac{\pi}{4} 4π

    因此,如果我们随机向一个尺寸相同的飞镖板多次投掷飞镖,那么圆内的飞镖与击中正方形的飞镖的比率应该接近 π 4 \frac{\pi}{4} 4π。如果我们将这个比率乘以 4,我们就得到了 π \pi π 的估计值。

    # Create a dartboard 
    dart_board <- ggplot() + 
     geom_circle(aes(x0 = 0, y0 = 0, r = 1), fill = "black") + 
     geom_circle(aes(x0 = 0, y0 = 0, r = 0.99), fill = "red") + 
     geom_circle(aes(x0 = 0, y0 = 0, r = 0.7), fill = "lightyellow") + 
     geom_circle(aes(x0 = 0, y0 = 0, r = 0.2), fill = "red") + 
     geom_circle(aes(x0 = 0, y0 = 0, r = 0.1), fill = "darkgreen") + 
     coord_fixed() + 
     geom_segment(aes(x=-1,xend=1,y=1,yend=1)) + 
     geom_segment(aes(x=-1,xend=1,y=-1,yend=-1)) + 
     geom_segment(aes(x=1,xend=1,y=-1,yend=1)) + 
     geom_segment(aes(x=-1,xend=-1,y=-1,yend=1)) + 
     xlab("x")+ylab("y")+ 
     theme_bw() 
     
    dart_board
    

    绘制收敛趋势图

    源代码

    Python切比雪夫不等式验证大数定律

    参阅 - 亚图跨际

    更多相关内容
  • 切比雪夫大数定律

    千次阅读 2020-11-16 15:06:23
    切比雪夫大数定律 切比雪夫大数定律是指,假设存在nnn个相互独立的随机变量,当nnn趋近于无穷时,这nnn个随机变量的平均值也会趋近于这nnn个随机变量期望的平均值。切比雪夫大数定律相比起一般我们听到的大数定律更...

    切比雪夫大数定律

    切比雪夫大数定律是指,假设存在 n n n个相互独立的随机变量,当 n n n趋近于无穷时,这 n n n个随机变量的平均值也会趋近于这 n n n个随机变量期望的平均值。切比雪夫大数定律相比起一般我们听到的大数定律更一般,不仅能够解释独立同分布随机变量的大数定律,也能够解释独立但不同分布随机变量的大数定律。切比雪夫不等式有以下形式:
    lim ⁡ n → ∞ P { ∣ 1 n ∑ i = 1 n X i − 1 n ∑ i = 1 n E ( X i ) ∣ ≥ 0 } = 0 \lim_{n\rightarrow\infin} P\{|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n E(X_i)|\ge 0\}=0 nlimP{n1i=1nXin1i=1nE(Xi)0}=0
    max ⁡ D ( X i ) = C \max D(X_i)=C maxD(Xi)=C
    关于这个式子,首先我们将 n n n个随机变量的平均值看作一个新的随机变量,那么关于这个新的随机变量我们可以得到其期望和方差如下:
    E ( 1 n ∑ i = 1 n X i ) = 1 n ∑ i = 1 n E ( X i ) E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nE(X_i) E(n1i=1nXi)=n1i=1nE(Xi)
    D ( 1 n ∑ i = 1 n X i ) = 1 n 2 ∑ i = 1 n D ( X i ) ≤ n C n 2 = C n D(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i)=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^nD(X_i)\le\frac{nC}{n^2}=\frac{C}{n} D(n1i=1nXi)=n21i=1nD(Xi)n2nC=nC
    已知切比雪夫不等式:
    P { ∣ X − μ ∣ ≥ ϵ } ≤ σ 2 ϵ 2 P\{|X-\mu|\ge\epsilon\}\le\frac{\sigma^2}{\epsilon^2} P{Xμϵ}ϵ2σ2
    将这个随机变量及其期望和方差代入切比雪夫不等式得到:
    P { ∣ 1 n ∑ i = 1 n X i − 1 n ∑ i = 1 n E ( X i ) ∣ ≥ ϵ } ≤ C n ϵ 2 P\{|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nE(X_i)|\ge\epsilon\}\le\frac{C}{n\epsilon^2} P{n1i=1nXin1i=1nE(Xi)ϵ}nϵ2C
    关于上式,当 n n n趋近于正无穷时,右边趋近于0,所以切比雪夫大数定律得证。

    展开全文
  • 1. 问题引入 2. 依概率收敛 3. 大数定律 4. 切比雪夫大数定律 5. 切比雪夫不等式

     

    1. 问题引入

     

    2. 依概率收敛

     

    3. 大数定律

     

    4. 切比雪夫大数定律

     

    5. 切比雪夫不等式

     

    展开全文
  • 切比雪夫不等式,大数定律(定义,一般表述,分类,表现形式,依概率收敛,对比记忆),中心极限定理
  • 切比雪夫定理的证明

    千次阅读 2019-09-26 23:56:01
    证明过程,其中包含了对初等函数的定义、对阿贝尔积分的一些初步探讨、刘维尔的一个初等可积判断定理和最终切比雪夫关于二项微分式积分 初等可积性 的定理。 切比雪夫定理 :设 \[\int x^m(a+bx^n)^p\mathrm{d...
  • 【笔记】大数定理证明

    千次阅读 2018-12-27 15:07:15
    证明大数定理,需要先证明切比雪夫(Chebyshev)不等式。 Chebyshev不等式证明 定理 设随机变量X具有数学期望E(x)=μE(x)=\muE(x)=μ,方差为D(x)=σ2D(x) =\sigma^2D(x)=σ2,则对任意正数ε\varepsilonε,不等式 ...
  • 而研究大量的随机现象,常常采用极限形式,由此导致对极限定理进行研究,极限定理的内容很广泛,其中最重要有两种:大数定律和中心极限定理。 大数定律 客观背景:(随机现象最根本的性质之一)大量的随机现象中...
  • 大数定律

    万次阅读 2018-12-01 16:34:56
    随机事件的概率是对大量的重复试验中随机事件的频率具有稳定性这一客观规律抽象的结果。...概率论中用来阐述大量随机现象平均结果的稳定性的理论称为大数定律。 1、伯努利大数定律  2、常用的几个...
  • 人们在长期的实践中发现,虽然个别事件在某次试验中可能发生也可能不发生,但...切比雪夫不等式 设随机变量X的数学期望,方差,对任意的,有 即 例题: 已知随机变量X的数学期望E(X)=100,方差D(X)=10,试估...
  • 大数定理简单来说,指得是某个随机事件在单次试验中可能发生也可能不发生,但在大量重复实验中往往呈现出明显的...大数定律告诉我们能用频率近似代替概率;能用样本均值近似代替总体均值。很好得解决了现实问题。大...
  • 大数定律、中心极限定理

    千次阅读 2020-08-17 22:18:18
    一、大数定律 大数定律的一般形式: , 翻译:当 n 趋近无穷大时,随机变量的均值会收敛至随机变量期望的均值 值得注意的是,大数定律的一般形式是一个性质,不是一个定律...在切比雪夫大数定律中有独立性假设,...
  • 数理统计× 切比雪夫不等式× 大数定律× 伯努利定理× 中心极限定理×
  • 通俗的说,切比雪夫大数定律:均值依概率收敛到均值的数学期望。 满足三个条件:相互独立,方差存在,且有上界。 通俗的理解: 在抛硬币中,抛出的次数趋向于无穷大时(n趋向于无穷大),正反面出现的概率是相同的...
  • 大数定律理解

    千次阅读 2016-10-08 20:28:49
    概率论中的大数定律都发端于伯努利的工作。下面我们来回顾下这个问题:假设袋中有 aa 个白球,bb 个黑球, p=aa+bp={a \over {a +b}} 。有放回的从袋中抽球 NN 次,记录抽到白球的次数为 XX,我们用 XNX \over N 去...
  • 2.1 大数定律 样本均值在样本数量n→∞n\to \inftyn→∞趋近期望值 Xnˉ=∑i=1nxin; \bar{X_n}=\frac{\sum_{i=1}^nx_i }{n}; Xn​ˉ​=n∑i=1n​xi​​; Xnˉ→E(x) \bar{X_n} \to {E(x)} Xn​ˉ​→E(x) Xnˉ→u \...
  • 文章目录切比雪夫不等式大数定律中心极限定理 切比雪夫不等式 题干特征: 求的P里面有不等式 求的概率的事件是某个绝对值 求的P里面的不等式符号与外面的不等式符号相反 满足以上特征就要用到切比雪夫不等式。 ...
  • Law Of Large Numbers - 大数定律 - 大数定理 ...大数定律并不是经验规律,而是在一些附加条件上经严格证明了的定理,它是一种自然规律因而通常不叫定理而是大数定律。 如果统计数据足够大,那么事物出现
  • 大数定律与中心极限定理

    千次阅读 2021-09-23 17:27:17
    极限定理是概率论的基本理论,在理论研究和应用中起着重要的作用,其中最重要的是称为“大数定律”与“中心极限定理”的一些定理。大数定律是叙述随机变量序列的前一些项的算术平均值在某种条件下收敛到这些项的均值...
  • 切比雪夫不等式及其证明

    万次阅读 多人点赞 2019-09-20 21:54:12
    切比雪夫不等式及其证明 定理 设随机变量XXX具有数学期望E(X)=μE(X)=\muE(X)=μ,方差D(X)=σ2D(X)=\sigma^2D(X)=σ2,则对∀ϵ≥0\forall\epsilon\ge0∀ϵ≥0,不等式 P{∣X−μ∣≥ϵ}≤σ2ϵ2 P \{ | X- \mu | \ge ...
  • 抽样分布、大数定律与中心极限定理 抽样分布 抽样分布即为统计量的分布 。 抽样分布与概率分布比较 相同点:都是概率分布 不同点: 分类角度不同,常见的概率分布是从分布形态角度出发进行分类的,而抽样分布则是...
  • 1.大数定理 在实验条件不变的情况下,重复实验多次,那么随机事件出现的频率近似等于它的概率。例如,扔硬币实验中,扔1万次硬币,正面朝上的概率近似等于5000 2.中心极限定理 样本的均值约等于总体的均值,任意...
  • 通俗理解大数定律、中心极限定理

    千次阅读 2021-05-16 09:32:33
    期望类似与矩 切比雪夫大数定律 前提:含义 算数平均值依概率收敛于数学期望 例子 我们不说抛硬币这么“单一”的事情——我们这次说做实验测重力加速度。测的方法有很多,但最后得出的数据应该都是在 附近徘徊,...
  • 大数定律 切比雪夫不等式 设随机变量X具有数学期望,方差,则对于任意正数,有...切比雪夫大数定律: 设是一个随机变量序列,如果存在常数C,使得,则对于任意正数有,也就是说。 贝努利大数定律 设 是n次独立...
  • 切比雪夫不等式是马尔科夫不等式的特殊情况,因此首先看下马尔科夫不等式 2.1 马尔科夫不等式 其不等式表示如下: P(X≥a)≤E(X)aP(X\ge a)\le{E(X)\over a}P(X≥a)≤aE(X)​,其中 X≥0X\ge0X≥0 2.1.1 直观感受 ...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 602
精华内容 240
热门标签
关键字:

切比雪夫大数定律证明