精华内容
下载资源
问答
  • 1.一维热传导问题:模型始端是第二类边界条件,末端是第三类边界条件,这离散方程用MATLAB应该怎样编程? 2.一维热传导问题:模型中不同材料结构的接触面处的离散方程用MATLAB应该怎样编程?
  • 数值计算二次大作业——验证次样条函数插值是否有几何不变性(1)给定的插值条件如下:i 0 1 2 3 4 5 6 7Xi 8.125 8.4 9.0 9.485 9.6 9.959 10.17 10.2Yi 0.0774 0.099 0.28 0.60 0.708 1.200 1.800 2.177端点边界...

    数值计算第二次大作业

    ——验证三次样条函数插值是否有几何不变性

    (1)给定的插值条件如下:

    i 0 1 2 3 4 5 6 7

    Xi 8.125 8.4 9.0 9.485 9.6 9.959 10.17 10.2

    Yi 0.0774 0.099 0.28 0.60 0.708 1.200 1.800 2.177

    端点边界条件为第一类边界条件(给定一阶导数):

    .Y' .

    0.01087

    .0.

    '

    Y .100

    .7

    .

    三次样条函数的构造过程如下:

    x1 .

    x2 .

    x3 .

    xn.1 .xn 共

    n个插值节点,则经过数据点

    .

    x1, y1 .

    ,.

    x2, y2 .

    ,.,.xn , yn .

    的三次样条

    S .

    x.

    是一组三次多项式:

    .S .........231111111112,,xabxxcxxdxxxxx.........,

    .

    .

    23

    .

    .

    .

    a ..

    x .

    x .

    c ..

    x .

    d .x .

    x , x ..x , x ,

    .S2 x 2 b22 .

    2 x 2 .

    22 .

    23 .

    .

    (1.1)

    .

    .

    .

    S .x .

    x .3, x ..x , x .

    .

    n.

    ......21111111nnnnnnxabxxcxxd.............

    n .

    n.1 n.1

    .

    由节点处的连续性可知:

    S .

    x ..

    y , S .

    x ..

    y ,i .1, 2, .n .1.

    ii iii.1 i.1

    .a .

    yi , .1, 2, .n .1.

    ii

    .

    .y y ......2321121121121bxxcxxdxx......., (1.2)

    ..

    .

    .

    .y .

    y .

    b .

    x .

    x ..

    c .x .

    x .2 .

    d .x .

    x .3

    .

    nn.1 n.1 nn.1 n.1 nn.1 n.1 nn.1

    由节点处的一阶与二阶光滑性可知:

    Si

    ''""

    11,iiiiiixSxSxS.....

    ..

    .

    .

    ..xi .

    ,i .1, 2, ., n.

    .

    2

    ''

    0 .

    S .x ..

    S .x ..

    b .

    2c .x .

    x ..

    3d .x .

    x ..

    b

    12 221121 121 2

    .

    ..

    .

    2

    ''

    (1.3)

    .0 .

    Sn.2 .

    xn.1 ..

    Sn.1 .

    xn.1 ..

    bn.2 .

    2cn.2 .xn.1 .

    xn.2 ..

    3dn.2 .xn.1 .

    xn.2 ..

    bn.1

    ..

    ""

    .0 .

    S .

    x ..

    S .

    x ..

    2c .

    6d .x .

    x ..

    2c

    1222 1121 2

    .

    .

    .

    .

    .0 .

    Sn

    ""

    211122nnnnxSxc........

    ..

    ..

    6dn.2 .

    xn.1 .

    xn.2 ..

    2cn.1

    又设

    cn .Sn

    "

    1..

    xn .

    2 ,记

    ..

    x .

    x , ..

    y .

    yi , .1, 2, ., n .1 ,则由(1.3)可得:

    ii.1 ii i.1 i

    c .

    c

    i.1 i

    di .

    , i .

    1, 2, ., n .1. (1.4)

    3.i

    从(1.2)解得:

    bi .

    .i .

    ci.i .

    di.i

    212iiiicc....

    .

    .

    .

    ., i .1, 2, ., n .1. (1.5)

    .i .i 3

    将(1.4)与(1.5)代入(1.3)得:

    .

    ..2 .1 .

    ..c .

    2..1 ..

    .

    2 ..2c3 .

    3

    11 2 c ...,

    ...2 .1 .

    .

    ..

    (1.6)

    .

    ..n.1 .n.2 .

    ..n.2cn.2 .

    2..n.2 ..n.1 .cn.1 ..n.1cn .

    3...

    .

    .

    ..n.1 .n.2 .

    增加两个端点边界条件,因为

    2c ""

    1111,2nnSxcS....

    .

    .

    xn .

    ,故有:

    1.第零类边界条件:自然样条,

    c1 .

    0, cn .

    0.

    2.第一类边界条件:给定端点一阶导数,设

    S ''

    1111,nxvS...

    ..

    xn ..vn ,则有:

    .2.c ..c .

    3..

    ..

    v .

    .

    .

    ..

    .

    .n .

    11121111111123nnnnnnccv..........

    .

    3.第二类边界条件:给定端点二阶导数,设

    S""

    1111,nxvS...

    ..

    xn ..vn ,则有:

    .2c1 .

    v1.

    2c .

    v

    .nn

    ci .

    c ..

    结合(1.6)及

    展开全文
  • 数学物理方法课程类边界条件主体温度分布详细求解 并含有类边界条件下温度分布的matlab求解(本来应为一类的)
  • 1第三类边界条件的热传导方程 1.1 热传导方程 热传导在一维的各向同性介质里的传播可用以下方程表达: ∂u∂t=a∂2u∂x2(1) \frac{\partial u}{\partial t}=a \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \tag{1} ∂t∂...

    1第三类边界条件的热传导方程

    1.1 热传导方程
    热传导在一维的各向同性介质里的传播可用以下方程表达:
    ∂ u ∂ t = a ∂ 2 u ∂ x 2 (1) \frac{\partial u}{\partial t}=a \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \tag{1} tu=ax22u(1)

    其中, u = u ( x , t ) u=u(x,t) u=u(x,t) a = λ c ρ a=\frac{\lambda}{c\rho} a=cρλ λ \lambda λ表示介质的热传导率, c c c表示介质的比热, ρ \rho ρ表示介质的密度。
    .
    1.2 第三类边界条件
    考察介质放在另一种介质中的情形。外界介质的温度 U U U与所考察介质表面上的温度 u u u往往并不相同,考虑流过所考察介质表面的热量,从所考察内部介质来看它应由 F o u r i e r Fourier Fourier定律确定,即:
    d Q = − λ ∂ u ∂ n d S d t (2) d Q=-\lambda \frac{\partial u}{\partial n} d S d t \tag{2} dQ=λnudSdt(2)
    其中 ∂ u ∂ n \frac{\partial u}{\partial n} nu表示 u u u沿边界 S S S上的单位外法线方向 n n n的方向导数。从外部方面来看则应由牛顿冷却定律决定,即:
    d Q = h ( u − U ) d S d t (3) d Q=h\left(u-U\right) d S d t \tag{3} dQ=h(uU)dSdt(3)
    结合 ( 2 ) ( 3 ) (2)(3) (2)(3)得到第三类边界条件:
    − λ ∂ u ∂ n = h ( u − U ) (4) -\lambda \frac{\partial u}{\partial n}=h\left(u-U\right) \tag{4} λnu=h(uU)(4)


    2网格剖分

    2.1 对符号更细致的说明
    如下图所示,以焊接区域中心的上侧与炉内空气接触处为原点,指向电路板内部为正方向建立 x x x轴,热量沿 x x x轴方向传递。
    在这里插入图片描述
    由于接触面环境温度 U U U是与时间 t t t和物件速度 v v v有关,则实际接触面环境温度写作 U ( v , t ) U(v,t) U(v,t)较为合适,其中 v t vt vt为物件横向移动距离:

    在这里插入图片描述

    因此我们可以将第一部分热传导方程进行如下整理:
    .
    2.2 方程整理
    内部(热传导):
    ∂ u ( x , t ) ∂ t = a ∂ 2 u ( x , t ) ∂ x 2 \frac{\partial u(x, t)}{\partial t}=a \frac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial x^{2}} tu(x,t)=ax22u(x,t)
    上下两边界(第三边界条件):
    − λ ∂ u ( x , t ) ∂ t ∣ x = 0 + h u ( x , t ) ∣ x = 0 = h U ( v , t ) λ ∂ u ( x , t ) ∂ t ∣ x = d + h u ( x , t ) ∣ x = d = h U ( v , t ) \begin{aligned} &-\left.\lambda \frac{\partial u(x, t)}{\partial t}\right|_{x=0}+\left.h u(x, t)\right|_{x=0}=h U(v, t) \\ &\left.\quad\lambda \frac{\partial u(x, t)}{\partial t}\right|_{x=d}+\left.h u(x, t)\right|_{x=d}=h U(v, t) \end{aligned} λtu(x,t)x=0+hu(x,t)x=0=hU(v,t)λtu(x,t)x=d+hu(x,t)x=d=hU(v,t)
    初值条件:
    t = 0 t=0 t=0时,我们认为电路板温度与生产车间的温度 T 0 T_0 T0保持一致,故初值条件为:
    u ( x , 0 ) = T 0 u(x,0)=T_0 u(x,0)=T0
    整理:
    { ∂ u ( x , t ) ∂ t = a ∂ 2 u ( x , t ) ∂ x 2 − λ ∂ u ( x , t ) ∂ t ∣ x = 0 + h u ( x , t ) ∣ x = 0 = h U ( v , t ) λ ∂ u ( x , t ) ∂ t ∣ x = d + h u ( x , t ) ∣ x = d = h U ( v , t ) u ( x , 0 ) = T 0 \left\{\begin{array}{c} \frac{\partial u(x, t)}{\partial t}=a \frac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial x^{2}} \\ -\left.\lambda \frac{\partial u(x, t)}{\partial t}\right|_{x=0}+\left.h u(x, t)\right|_{x=0}=h U(v, t) \\ \begin{array}{c} \left.\quad\lambda \frac{\partial u(x, t)}{\partial t}\right|_{x=d}+\left.h u(x, t)\right|_{x=d}=h U(v, t) \\ u(x, 0)=T_{0} \end{array} \end{array}\right. tu(x,t)=ax22u(x,t)λtu(x,t)x=0+hu(x,t)x=0=hU(v,t)λtu(x,t)x=d+hu(x,t)x=d=hU(v,t)u(x,0)=T0
    .
    2.3 网格拆分
    我们对于方向 x x x及方向 t t t进行网格拆分,为叙述简便起见我们记 u k , j = u ( x k , t j ) u_{k,j}=u(x_k,t_j) uk,j=u(xk,tj),其中: k = 0 , 1 , … , n , j = 0 , 1 , … , m , n = [ d Δ x ] , m = ∣ L v Δ t ⌋ \left.k=0,1, \ldots, n, j=0,1, \ldots, m, \quad n=\left[\frac{d}{\Delta x}\right], m=\mid \frac{L}{v \Delta t}\right\rfloor k=0,1,,n,j=0,1,,m,n=[Δxd],m=vΔtL
    在这里插入图片描述
    初始条件:
    u k , 0 = u ( x k , 0 ) = T 0 ( k = 0 , 1 , … , n ) u_{k, 0}=u\left(x_{k}, 0\right)=T_{0} \quad(k=0,1, \ldots, n) uk,0=u(xk,0)=T0(k=0,1,,n)

    内部(热传导):

    ∂ u ∂ t \frac{\partial u}{\partial t} tu采用向后差分公式:

    ∂ u ∂ t ∣ ( k , j ) = u k , j − u k , j − 1 Δ t + O ( Δ t ) \left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_{(k, j)}=\frac{u_{k, j}-u_{k, j-1}}{\Delta t}+O(\Delta t) tu(k,j)=Δtuk,juk,j1+O(Δt)

    ∂ 2 u ∂ x 2 \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} x22u采用二阶中心差商公式:
    ∂ 2 u ∂ x 2 ∣ ( k , j ) = u k + 1 , j − 2 u k , j + u k − 1 , j Δ x 2 + O ( Δ x 2 ) \left.\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}\right|_{(k, j)}=\frac{u_{k+1, j}-2 u_{k, j}+u_{k-1, j}}{\Delta x^{2}}+O\left(\Delta x^{2}\right) x22u(k,j)=Δx2uk+1,j2uk,j+uk1,j+O(Δx2)
    则上述一维热传导方程式可表示为:

    u k , j − u k , j − 1 Δ t − a u k + 1 , j − 2 u k , j + u k − 1 , j Δ x 2 = O ( Δ t + Δ x 2 ) \frac{u_{k, j}-u_{k, j-1}}{\Delta t}-a \frac{u_{k+1, j}-2 u_{k, j}+u_{k-1, j}}{\Delta x^{2}}=O\left(\Delta t+\Delta x^{2}\right) Δtuk,juk,j1aΔx2uk+1,j2uk,j+uk1,j=O(Δt+Δx2)
    近似为:

    u k , j − u k , j − 1 Δ t − a u k + 1 , j − 2 u k , j + u k − 1 , j Δ x 2 = 0 \frac{u_{k, j}-u_{k, j-1}}{\Delta t}-a \frac{u_{k+1, j}-2 u_{k, j}+u_{k-1, j}}{\Delta x^{2}}=0 Δtuk,juk,j1aΔx2uk+1,j2uk,j+uk1,j=0
    上下两边界(第三边界条件):
    相似的我们可以获得边界处温度变化方程:
    { − u 1 , j − u 0 , j Δ x + γ u 0 , j = γ U ( v , t j ) u n , j − u n − 1 , j Δ x + γ u n , j = γ U ( v , t j ) \left\{\begin{array}{l} -\frac{u_{1, j}-u_{0, j}}{\Delta x}+\gamma u_{0, j}=\gamma U\left(v, t_{j}\right) \\ \frac{u_{n, j}-u_{n-1, j}}{\Delta x}+\gamma u_{n, j}=\gamma U\left(v, t_{j}\right) \end{array}\right. {Δxu1,ju0,j+γu0,j=γU(v,tj)Δxun,jun1,j+γun,j=γU(v,tj)
    其中 γ = h λ \gamma=\frac{h}{\lambda} γ=λh


    3三对角矩阵

    依据上述差分近似方程,我们可以列出形式如下的三对角递推线性非齐次方程组:
    A u j + 1 → = u j → + f j → A = ( 1 + 2 F 0 − F o 1 + B i − F o 0 ⋯ 0 0 − F 0 1 + 2 F o − F o ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 + 2 F o − F o 0 0 0 ⋯ − F o 1 + 2 F o − F o 1 + B i ) , u j ‾ = ( u 1 , j u 2 , j ⋮ ⋮ u n − 2 , j u n − 1 , j ) , f j → = ( U ( v , t j ) 0 ⋮ ⋮ 0 U ( v , t j ) ) , ( j = 0 , … , m ) A \overrightarrow{u_{j+1}}=\overrightarrow{u_{j}}+\overrightarrow{f_{j}} \\ A=\left(\begin{array}{cccccc} 1+2 F_{0}-\frac{F_{o}}{1+B i} & -F_{o} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ -F_{0} & 1+2 F_{o} & -F_{o} & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1+2 F_{o} & -F_{o} \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -F_{o} & 1+2 F_{o}-\frac{F_{o}}{1+B i} \end{array}\right), \overline{u_{j}}=\left(\begin{array}{c} u_{1, j} \\ u_{2, j} \\ \vdots \\ \vdots \\ u_{n-2, j} \\ u_{n-1, j} \end{array}\right), \overrightarrow{f_{j}}=\left(\begin{array}{c} U\left(v, t_{j}\right) \\ 0 \\ \vdots \\ \vdots \\ 0 \\ U\left(v, t_{j}\right) \end{array}\right), \\ (j=0, \ldots, m) Auj+1 =uj +fj A=1+2F01+BiFoF000Fo1+2Fo000Fo00001+2FoFo00Fo1+2Fo1+BiFo,uj=u1,ju2,jun2,jun1,j,fj =U(v,tj)00U(v,tj),(j=0,,m)
    其中 F o = a Δ t Δ x 2 , B i = γ Δ x = h λ Δ x F_{o}=\frac{a \Delta t}{\Delta x^{2}}, \quad B i=\gamma \Delta x=\frac{h}{\lambda} \Delta x Fo=Δx2aΔt,Bi=γΔx=λhΔx分别为传热学中的网格傅里叶数和网格毕奥数。


    4MATLAB模拟

    4.1 模拟问题再描述

    某回焊炉内有11个小温区及炉前区域和炉后区域,每个小温区长度为30.5 cm,相邻小温区之间有5 cm的间隙,炉前区域和炉后区域长度均为25 cm:
    在这里插入图片描述
    各温区设定的温度分别为175ºC(小温区1 ~ 5)、195ºC(小温区6)、235ºC(小温区7)、255ºC(小温区8 ~ 9)及25ºC(小温区10 ~ 11);传送带的过炉速度为70 cm/min;焊接区域的厚度为0.15 mm。温度传感器在焊接区域中心的温度达到30ºC时开始工作,电路板进入回焊炉开始计时。

    假设 a = 4.41 × 1 0 − 5   m 2 / s , γ = 3.53 × 1 0 − 2   m − 1 a=4.41 \times 10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}, \gamma=3.53 \times 10^{-2} \mathrm{~m}^{-1} a=4.41×105 m2/s,γ=3.53×102 m1
    F o = 196000 , B i = 5.3 e − 08 F_o=196000,Bi=5.3e-08 Fo=196000,Bi=5.3e08

    以下使用MATLAB模拟在该条件下焊接元件中心区域温度变化:

    4.2 相关代码

    function reflowProfile
    % @author : slandarer
    
    % 参数定义及计算 ==========================================================
    % 温区相关数据 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
    warmZone.Len=30.5;      % 温区长度(cm)           
    warmZone.SepLen=5;      % 温区间隙长度(cm)           
    warmZone.ForeLen=25;    % 炉前区域长度(cm)       
    warmZone.BackLen=25;    % 炉后区域长度(cm)       
    warmZone.Num=11;        % 温区数量     
    % 温区总长=温区长度*温区数量+间隙长度*(温区数量-1)+炉前长度+炉后长度
    % warmZone.TotalLen=30.5*11+5*10+25+25;
    warmZone.TotalLen=warmZone.Len*warmZone.Num+...
                      warmZone.SepLen*(warmZone.Num-1)+...
                      warmZone.ForeLen+...
                      warmZone.BackLen;
    
    % 每个大温区包含哪几个小温区
    warmZone.Zone{1}=[1 2 3 4 5];               
    warmZone.Zone{2}=6;                         
    warmZone.Zone{3}=7;
    warmZone.Zone{4}=[8 9];
    warmZone.Zone{5}=[10 11];      
    
    % 设置每个温区温度
    warmZone.Temp(warmZone.Zone{1})=175;
    warmZone.Temp(warmZone.Zone{2})=195;
    warmZone.Temp(warmZone.Zone{3})=235;
    warmZone.Temp(warmZone.Zone{4})=255;
    warmZone.Temp(warmZone.Zone{5})=25;
    
    
    % 电路板相关数据 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
    ccBoard.v_cm_min=70;     % 电路板移动速度(cm/min)
    ccBoard.v_cm_s=70/60;    % 电路板移动速度(cm/s)  
    ccBoard.d=0.15;          % 焊接区域厚度(mm)      
    ccBoard.Temp0=25;        % 电路板初始温度(C)
    
    % 以下属性在该篇博文中并未用到
    % ccBoard.Lim.ChangeRate=[-3 3];  % 温度变化率上下限
    % ccBoard.Lim.RiseTime=[60 120];  % 温度上升过程中在150ºC~190ºC的时间限制
    % ccBoard.Lim.PeakTime=[40 90];   % 温度大于217ºC的时间上下限
    % ccBoard.Lim.PeakTemp=[240 250]; % 峰值温度上下限
    
    
    % 其他相关参数计算- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
    totalTime=warmZone.TotalLen./ccBoard.v_cm_s;
    disp(['焊接区域位于回焊炉内部时长:',num2str(totalTime)]) 
    
    % 获取各个温区拐点和中点位置(用于插值外界温度曲线)
    wzPosList(3:3:3*warmZone.Num)=(1:warmZone.Num).*(warmZone.Len+warmZone.SepLen);
    wzPosList(2:3:3*warmZone.Num)=wzPosList(3:3:3*warmZone.Num)-warmZone.SepLen;
    wzPosList(1:3:3*warmZone.Num)=wzPosList(3:3:3*warmZone.Num)-warmZone.SepLen-warmZone.Len/2;
    wzPosList(end)=[];
    
    % 获取各个温区拐点和中点位置温度(用于插值外界温度曲线)
    wzTempList(3:3:3*warmZone.Num)=warmZone.Temp;
    wzTempList(2:3:3*warmZone.Num)=warmZone.Temp;
    wzTempList(1:3:3*warmZone.Num)=warmZone.Temp;
    
    % 这里用end-6是因为依据题目所给图像,最后10~11温区并不是直接到25度,也需要插值
    posNodes=[0 warmZone.ForeLen warmZone.ForeLen+wzPosList(1:end-6),...
                warmZone.ForeLen+warmZone.BackLen+wzPosList(end)]; % 位置节点
    % timeNodes=posNodes./ccBoard.v_cm_s;                            % 时间节点
    tempNodes=[ccBoard.Temp0 wzTempList(1:end-6) ccBoard.Temp0];   % 温度节点
    
    % 用于进行温度插值
    % interp1(posNodes,tempNodes,pos);
    timeSet=0:0.01:totalTime;                 % 将时间进行细分
    posSet=timeSet.*ccBoard.v_cm_s;           % 元件中心位置
    U=interp1(posNodes,tempNodes,posSet);     % 元件中心位置接触面环境温度
    
    
    % 三对角矩阵构建 ==========================================================
    N=101;  % 将元件细分的取的样点数,取奇数是希望中间点恰巧被取到
    
    u=25.*ones(N,1);  % 元件温度分布,初始每一处都是25A=zeros(N,N);     % 初始化三对角矩阵
    
    Fo=196000;        % 网格傅里叶数
    Bi=5.3e-08;       % 网格毕奥数
    
    % 三对角矩阵赋值
    A(diag(1:N)~=0)=1+2*Fo;
    A(diag(1:N-1,1)~=0)=-Fo;
    A(diag(1:N-1,-1)~=0)=-Fo;
    A(1,1)=A(1,1)-Fo/(1+Bi);
    A(end,end)=A(end,end)-Fo/(1+Bi);
    
    invA=eye(N)/A;    % 三对角矩阵的逆矩阵
    
    
    
    % 数据计算 ================================================================
    for i=1:length(timeSet)
        f=zeros(N,1); % 由外界温度决定的附加项
        f([1,N])=U(i)*Fo*Bi/(1+Bi);
        u(:,i+1)=invA*u(:,i)+invA*f;
    end
    
    % 获取中间处温度,这里向上向下取整是应对N取偶数的情况
    mid_u=(u(floor((N+1)/2),:)+u(ceil((N+1)/2),:))./2;
    
    
    
    % 绘图 ====================================================================
    % 绘制炉温曲线 
    plot(timeSet,mid_u(1:end-1),'LineWidth',1.5)
    
    % axes属性设置
    ax=gca;
    hold(ax,'on');
    box on
    grid on
    ax.LineWidth = 1;
    ax.XLim=[0,373];
    ax.GridLineStyle='--';
    % X轴标签
    ax.XLabel.String='t(s)';
    ax.XLabel.FontSize=13;
    ax.XLabel.FontName='Cambria';
    % Y轴标签
    ax.YLabel.String='T(^{\circ}C)';
    ax.YLabel.FontSize=13;
    ax.YLabel.FontName='Cambria';
    
    % 绘制217ºC温度线
    plot(timeSet([1,end]),[217 217],'LineWidth',1.5,...
        'Color',[.6,.6,.6],'LineStyle','--')
    
    
    end
    

    4.3 模拟结果
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述


    5后言

    本篇文章虽然只讲解了如何基于三对角矩阵求解热传导方程,但实际上国赛题目2020A所有问题基本上都是在学会会了该方法的基础上,在一定的限制条件下对部分参数进行更改和搜索以找出最优参数组,在此不做详述。

    展开全文
  • 类边界条件弦的横振动方程 * 回顾 1、Delta函数及其性质 2、Laplace变换及其性质 3、Laplace变换的应用 (线性性质、位移性质、延迟性质、相似性质、 微分性质、积分性质、卷积性质) 七章 数学物理定解问题 ...

    第二类边界条件

    弦的横振动方程 * 回顾 1、Delta函数及其性质 2、Laplace变换及其性质 3、Laplace变换的应用 (线性性质、位移性质、延迟性质、相似性质、 微分性质、积分性质、卷积性质) 第七章 数学物理定解问题 物理学中常见的数学物理方程 静电势和引力势满足的Laplace方程或Poisson方程 波的传播问题中的波动方程 热传导问题和扩散问题中的热传导方程 连续介质力学中的Navier-Stokes方程组和Euler方程组 描写电磁场运动变化的Maxwell方程组 作为微观物质运动规律的Schr?dinger和Dirac方程 弹性力学中的de Saint-Venant方程组 二阶线性偏微分方程(组) 静电势的Laplace方程或Poisson方程 由静电场的性质: 或者: 在均匀导体中,静电势满足Laplace方程: 在有电荷分布的区域,静电势满足Poisson方程: (静电场方程) 稳定问题 1. 弦的微小横振动 考察一根长为 且两端固定、水平拉紧的弦. 讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题.要确定弦的运动方程,需要明确: 确定弦的运动方程 (2)被研究的物理量遵循哪些物理定理?牛顿第二定律. (3)按物理定理写出数学物理方程 要研究的物理量是什么? 弦沿垂直方向的位移 注意: 物理问题涉及的因素较多,往往还需要引入适当假设使方程简化以便求解. 数学物理方程必须反映弦上任一位置上的垂直位移所遵循的普遍规律,所以考察点需具有一般性。 根据牛顿第二定律 方向运动的方程可以描述为: 作用于小段 的纵向合力应该为零: 仅考虑微小的横振动, 夹角 为很小的量,忽略 及其以上的高阶小量,则根据级数展开式有 注意到: 故得 这样,我们就得到(忽略弦的重力): 因此在微小横振动条件下,可得出 又因为: 综上,可得: 弦(自由)振动方程 (弦中的张力不随 x 变化) 如果弦振动过程中受到横向外力的作用,则振动方程应为: 弦的受迫振动方程 均匀杆的纵振动方程 均匀杆中 x 处 dx 段的运动方程为 可得   这就是杆的纵振动方程. 热传导方程 k 是热传导系数,c是比热,ρ是密度。 扩散方程 D 是扩散系数。 量子力学中的Schr?dinger方程 如果势能函数不显含时间,则上述方程简化为: 含时Schr?dinger方程 定态Schr?dinger方程 边界条件与初始条件 由物理学规律出发得到的数学物理方程是某一类(或几类) 物理现象所必需遵循的,并不能唯一地、确定地描写某一个具体 的物理过程。例如从Newton第二运动定律得到的动力学方程并不 能唯一地确定质点的运动;完全确定质点的运动还需要有初始条 件。 一般地,要完全描写一个具有确定解的物理问题,在数学上 就是要构成一个定解问题。除了微分方程之外,构成定解问题还 必须有边界条件和初始条件。边界条件用于确定体系和外界的相 互作用,初始条件用于确定体系的历史状况。 初始条件 初始条件用于确定体系的历史状况,当所考察的物理现象 是随时间变化的时候,需要确定体系的初始条件来唯一确定地 描述该现象。(稳定问题不需要初始条件) 如对于传导或扩散过程,需要初始条件确定体系的初始状态: 对于振动过程,所需初始条件则需要包含速度的信息: 边界条件 体系的边界会影响体系的物理状态, 体系的边界情况由边界 条件确定. 边界条件反应体系和外界的界面上的情况. 常见的边界条件可以分为三类 第一类边界条件 第二类边界条件 第三类边界条件 *

    展开全文
  • 案例:已知如下数据,且端点约束条件为 和 ,求函数值 和 。 x -1.00 -0.54 0.13 1.12 1.89 2.06 2.54 2.82 3.50 -2.46 -5.26 -1.87 0.05 1.65 2.69 4.5...

    目录

    1.理论铺垫

    2.计算步骤

    3.MATLAB代码


    案例:已知如下数据,且端点约束条件为f^{'}(-1)=5f^{'}(3.50)=29.16,求函数值f(-0.02)

    展开全文
  • 实验二 类边界条件三次样条差值多项式实验二 类边界条件三次样条差值多项式实验二 类边界条件三次样条差值多项式实验二 类边界条件三次样条差值多项式
  • 类边界条件三次样条插值多项式,计算机数值方法实验,包含实验原理、目的内容、源程序代码、运行结果截图....
  • 目录前言1. 一边界2. 二边界3. 实例分析1. 一小问2. 二小问4....前言   根据上篇文章链接:  数值分析(二) 次样条插值法matlab程序 其中只提及到了自然边界条件情况下的matlab代码,...代码边界matlab
  • PAGE PAGE #/ 4 一边界条件源代码 function y=yt1(x0,y0,f_0,f_n,x) (1) %类边界条件次样条插值 %xi 所求点 %yi 所求点函数值 %x已知插值点 %y已知插值点函数值 %f_0 左端点一次导数值 %f_n 右端点一次导...
  • 对于如下模型:采用如下离散格式:对于边界条件的处理:计算结果:1. 2. 选取几个面的切片图:
  • 这个代码是本人文章数值分析...代码主要写的是次样条插值函数边界边界的代码,其中还有实例分析,若对本人代码还有不了的可以去看本人写的文章。大家注意是matlab程序,如果要写C/C++的同学也可以参考。
  • 自编的次样条插值matlab程序(含多种边界条件)自编的次样条插值matlab程序(含多种边界条件)数值计算二次大作业——验证次样条函数插值是否有几何不变性(1)给定的插值条件如下:i 0 1 2 3 4 5 6 7Xi 8.125 8.4...
  • 实现次样条插值,给定从Xo到Xn的点,再给定边界条件,运用数学方法求出该次样条函数。其中,边界条件有两种,一种:给定边界的一阶导数;二种:给定边界的二阶导数。 二:实验工具 MATLAB .实验思路 实验...
  • 假设你有一个函数 u,xx=f.... 那么这个程序将在给定多个边界条件的情况下为 u(x) 解决这个问题。 这是我为学校所做的事情,目的是为了超越自己而获得额外的学分。 请享用
  • matlab中实现次样条插值,在周期边界条件下,以龙格函数为例。
  • 实现次样条函数插值(边界条件或自然样条),可直接运行
  • 本文通过适当的保形映射来改变求解域的边界条件,从而使变换域上的边界值问题易于求解或已知,从而可以得出拉普拉斯方程的第三类边界值。容易解决; 它的电位分布是已知的。 此外,使用MATLAB软件绘制了电场线和等...
  • MATLAB离散点边界曲线的绘制

    千次阅读 2018-11-09 20:40:47
    一大堆离散点有时候需要绘制边缘点,这时候可以用到boundary函数,这是MATLAB的自带函数,用机械臂的工作空间为例绘制边界曲线图: %建立机器人模型 % theta d a alpha offset L1=Link([0 0 2 0 0 ]); %定义连杆的D-...
  • 第三章 元胞数组 MATLAB元胞数组(cell)可以将浮点型、字符型、结构数组等不同类型的数据放在同一个存储单元中 [c,1]cell中插入数字1 cell2mat(c(2)) — cell类型转换为矩阵 读取图片 %% 读取图片 clc, ...
  • PDE中的边界条件

    千次阅读 2019-09-25 14:00:44
    边界条件:就是微分方程的解在边界满足的条件 简单总结: 狄利克雷边界条件:在边界该微分方程的解是一个常数,y=C/A 诺伊曼边界条件:给出了微分方程解的导函数的值,y’=C/B ...
  • 由于本章内容繁杂,篇幅较长,故分成了四部分来讲解,各部分主要内容分别为:...这里是第三部分,主要讲解在同位网格SIMPLE算法中,在组装动量方程和压力修正方程时,不同类型的边界条件是如何考虑和添加(处理)的。
  • 对格子Boltzmann方法求解含第三类边界条件的扩散方程进行了理论和数值研究,构造了一种新的基于bounce-back的边界处理数值格式,用来处理复杂边界问题。借助渐近分析,证明了新方法的数值相容性。用数值算例从不同角度...
  • function [ result ] = TDW_multiclass( ...% 该函数是基于one-vs-one方法的得到的处理多问题的TDW分类器 % trainX 训练样本的特征向量构成的n行m列矩阵,每一行是一个样本 % trainY 训练样本的标签构成的n行...
  • 在有限元仿真运算时,经常碰到的是对PDE方程的求解...为了确定方程的解,就必须提供足够的初始条件边界条件。 (1)初值条件如果方程要求未知量y(x)及其导数y'(x)在自变量的同一点x=x0取给定的值,即y(x0)=y0,y'...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 5,245
精华内容 2,098
关键字:

第三类边界条件matlab

matlab 订阅