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  • 方向导数、方向向量和梯度的关系推导 在上文中展示了方向导数背后的概念。要点是,给定一个多变量的标量值函数 f:Rn→R(confused?)f:\bold R^n \to \bold R(\color{red}{confused?)}f:Rn→R(confused?) 方向导数 ...

    几个基本数学概念

    • 线性近似(linear approximation):又称线性逼近,在数学中,线性近似是指使用线性函数对一般函数进行近似处理的方法。线性近似就是用线性函数对普通函数进行近似。这个线性函数称为仿射函数。
    • 梯度向量(gradient vector):一个标量函数的偏导数矩阵, f : R n → R ( c o n f u s e d ? ) f:\bold R^n \to \bold R(\color{red}{confused?)} f:RnR(confused?),是一个 1 × n 1 \times n 1×n行矩阵:
      D f ( x ) = [ ∂ f ∂ x 1 ( x ) ∂ f ∂ x 2 ( x ) ∂ f ∂ x 3 ( x ) ⋅ ⋅ ⋅ ∂ f ∂ x n ( x ) ] Df(\bold x) = \begin{bmatrix} {{\bold ∂f}\over{\bold ∂x1}}\small \mathrm {(x)} \normalsize \enspace {{\bold ∂f}\over{\bold ∂x2}}\small \mathrm {(x)} \normalsize \enspace {{\bold ∂f}\over{\bold ∂x3}}\small \mathrm {(x)} \normalsize \cdot\cdot\cdot {{\bold ∂f}\over{\bold ∂xn}}\small \mathrm {(x)} \normalsize\end{bmatrix} Df(x)=[x1f(x)x2f(x)x3f(x)xnf(x)]
      通常我们不能将一个一行的矩阵看作一个向量,但是在这里我们还是将它看作一个向量,便于后面处理
      ∇ f ( x ) = ( ∂ f ∂ x 1 ( x ) ∂ f ∂ x 2 ( x ) ∂ f ∂ x 3 ( x ) ⋅ ⋅ ⋅ ∂ f ∂ x n ( x ) ) \nabla f(\bold x) = \begin{pmatrix} {{\bold ∂f}\over{\bold ∂x1}}\small \mathrm {(x)} \normalsize \enspace {{\bold ∂f}\over{\bold ∂x2}}\small \mathrm {(x)} \normalsize \enspace {{\bold ∂f}\over{\bold ∂x3}}\small \mathrm {(x)} \normalsize \cdot\cdot\cdot {{\bold ∂f}\over{\bold ∂xn}}\small \mathrm {(x)} \normalsize\end{pmatrix} f(x)=(x1f(x)x2f(x)x3f(x)xnf(x))

    方向导数、方向向量和梯度的关系推导

    在上文中展示了方向导数背后的概念。要点是,给定一个多变量的标量值函数 f : R n → R ( c o n f u s e d ? ) f:\bold R^n \to \bold R(\color{red}{confused?)} f:RnR(confused?)

    1. 方向导数 D u f D_uf Duf是在任意给定单位向量 u \bold u uf斜率的偏微分统一形式。
    2. 梯度 ∇ f \nabla f f是最大向上斜率对应方向上的一个向量,并且它的长度方向导数在这个方向上的长度
    3. 方向导数是梯度和单位向量点乘结果: D u f = ∇ f ⋅ u D_uf = \nabla f \cdot \bold u Duf=fu

    这个介绍缺少一个重要的信息:梯度的切确含义是什么?怎样从f计算出它?实际上计算梯度还是相当简单的,当然你得知道一个函数可导意味着什么。

    在点 x = a \bold x= \bold a x=a一个函数 f ( x ) f(\bold x) f(x)可导意味着什么?这个函数在一个极小区间基本上线性得,这是微积分得基本概念,比如这里必须可以线性逼近。
    L ( x ) = f ( a ) + D f ( a ) ( x − a ) L(\bold x) = f(\bold a) + Df(\bold a)(\bold x-\bold a) L(x)=f(a)+Df(a)(xa)
    对于所有靠近 a \bold a a x \bold x x,这个值与 f ( x ) f(\bold x) f(x)非常近似。可导的定义意味着,对所有从 a \bold a a出发的方向, f ( x ) f(\bold x) f(x) L ( x ) L(\bold x) L(x)有相同的斜率。这样我们就可以用 L L L来代替 f f f来计算在 x \bold x x点上f的方向导数。

    使用方向导数的定义,我们能计算沿着 u \bold u u方向,在 a \bold a a f f f的方向导数:
    D u f ( a ) = D u L ( a ) = lim ⁡ h → 0 L ( a + h u ) − L ( a ) h = lim ⁡ h → 0 f ( a ) + D f ( a ) ( a + h u − a ) − ( f ( a ) + D f ( a ) ( a − a ) ) h = lim ⁡ h → 0 D f ( a ) ( h u ) h = lim ⁡ h → 0 D f ( a ) u = D f ( a ) u \begin{aligned} D_uf(\bold a) &= D_uL(\bold a) = \lim_{\mathclap{h\to0}} {{L(\bold a+h\bold u) - L(\bold a)} \over {h}}\\ &= \lim_{\mathclap{h\to0}} {{f(\bold a) + Df(\bold a)({\bold a + h\bold u - \bold a}) - (f(\bold a) + Df(\bold a)(\bold a-\bold a))} \over {h}}\\ &= \lim_{\mathclap{h\to0}} {{Df(\bold a)({h\bold u}) } \over {h}} = \lim_{\mathclap{h\to0}} {{Df(\bold a){\bold u} } } = Df(\bold a)u \end{aligned} Duf(a)=DuL(a)=h0limhL(a+hu)L(a)=h0limhf(a)+Df(a)(a+hua)(f(a)+Df(a)(aa))=h0limhDf(a)(hu)=h0limDf(a)u=Df(a)u
    因为 D f ( x ) Df(\bold x) Df(x)是一个 1 × n 1 \times n 1×n的行向量,并且u是一个 n × 1 n \times 1 n×1的列向量,它们相乘将会得到一个标量。我们也可以重写这个公式,把它表示两个向量的点乘形式。把 1 × n 1 \times n 1×n偏导数矩阵写成一个向量,并将其记录为 ∇ f \nabla f f,并将其称为梯度。我们可以得到方向导数:
    D u f ( a ) = ∇ f ( a ) ⋅ u D_uf(\bold a) = \nabla f(\bold a) \cdot \bold u Duf(a)=f(a)u

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  • 高等数学——方向导数的计算公式

    万次阅读 2021-06-07 09:35:39
  • 如果不愿意看文字描述的,这里推荐一个视频 方向导数和梯度的直观理解。 什么是梯度?? 可以这么想象一下,大地平面为XOY所在平面(z=0),你现在处于山坡上的某点P(x,y,z),你怎样才能最快时间跑下山坡呢? 分析一下:...

    如果不愿意看文字描述的,这里推荐一个视频 方向导数和梯度的直观理解,里面有动态图解,很直观很形象。

    --------------------------------------------------------------------

    1.什么是梯度??

    百度百科对梯度的解释是:梯度的本意是一个向量(矢量),表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值,即函数在该点处沿着该方向(此梯度的方向)变化最快,变化率最大(为该梯度的模)。
    梯度方向是函数值增长最快的方向。


    看了上面的定义:我就糊涂了,怎么导数还有最大值最小值之分吗?某点的导数不是一个定值?不是斜率吗?这就是我数学基础不扎实的后果。其实,我的疑问是思维局限于一元函数的导数了,需要好好补习一下多元函数的方向导数梯度的知识。

    下面是摘自百度百科对梯度的定义:在这里插入图片描述


    2.梯度的直观理解:

    可以想象一下,大地平面为 X O Y XOY XOY所在平面( z = 0 z=0 z=0),你现在处于山坡上的某点 P ( x , y , z ) P(x,y,z) P(x,y,z),你怎样才能最快时间跑下山坡呢?
    分析一下:假设你的速度v一直都是 5 m / s 5m/s 5m/s不变,这座山假设为一个圆锥型,跑下山坡就是 Z = 0 Z=0 Z=0。很明显,你站在P点有很多方向可以跑,只有山坡朝下的方向可以跑下山坡,但是你从每个方向跑下山坡的时间各不一样,怎样才能最快到达地面呢?

    你的直觉和经验告诉你,沿着山顶点和你所站的位置的连线跑下去,就是最快的路线。这条连线的向下方向就是负梯度方向。由于梯度方向是函数值增长最快的方向,所以向下跑最快的方向的就是负梯度方向,向上跑让函数值增大的才是梯度方向。你所在点P的其中某一方向的一阶导数,就是该方向的方向导数【这个一阶导数并不是分别求x和y的偏导 ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y \frac{\partial{f}}{\partial{x}},\frac{\partial{f}}{\partial{y}} xf,yf,而是 f x ∗ c o s A + f y ∗ c o s B \color{red}f_x*cosA+f_y*cosB fxcosA+fycosB,也即 ∂ f ∂ x ∗ c o s A + ∂ f ∂ y ∗ c o s B \color{red}\frac{\partial{f}}{\partial{x}}*cosA+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}*cosB xfcosA+yfcosB,其中A和B分别是这个方向与X轴夹角和与Y轴夹角,并且 A + B = 90 ° A+B=90° A+B=90°】,方向导数的方向由A和B共同决定,方向导数的值是一个实数,不是向量,方向导数取得最大值的方向就是梯度方向

    • 上面的 A + B = 90 ° A+B=90° A+B=90°是针对二维 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)来说,是因为每个方向为单位向量 ( c o s A , c o s B ) (cosA , cosB) (cosA,cosB),所以 ( c o s A ) 2 + ( c o s B ) 2 = 1 \color{red}(cosA)^2 + (cosB)^2 = 1 (cosA)2+(cosB)2=1可以推出 A + B = 90 ° A+B=90° A+B=90°
    • 对于三维 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)的话,每个方向为单位向量 ( c o s A , c o s B , c o s C ) (cosA , cosB, cosC) (cosA,cosBcosC),就有 ( c o s A ) 2 + ( c o s B ) 2 + ( c o s C ) 2 = 1 \color{red}(cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2 = 1 (cosA)2+(cosB)2+(cosC)2=1,这A、B、C的角度就不是 90 ° 90° 90°了。

    不要简单得把梯度方向理解为某点的斜率或一阶导数(上面360°的每个方向都有一阶导数),因为斜率是一元一次表达式 f ( x ) = 5 x + 7 f(x)=5x+7 f(x)=5x+7在某点的斜率,或一阶导数是在一元表达式如 f ( x ) = 2 x 4 + 5 x + 7 f(x)=2x^4+5x+7 f(x)=2x4+5x+7某点的一阶导数。而梯度不限于一元,它是多个维度的变化最快的方向。

    梯度是一个矢量,有大小和方向。

    --------------------------------------------------------------------
    下面的公式图片源自B站视频 方向导数和梯度的直观理解

    3.方向导数定义

    在这里插入图片描述

    4.偏导数就是方向导数的一个特例:

    f ( x , y ) \color{red}f(x,y) f(x,y)在x方向的偏导数 f x ( x , y ) \color{red}f_x(x,y) fx(x,y),就是当y值不变,自变量沿着x方向变化的时候, f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)的变化率。
    如果x,y都变化, f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)的变化率的值就是方向导数
    在这里插入图片描述

    --------------------------------------------------------------------

    5.方向导数证明:

    为证明方便,以二维为例:
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    同理,三维的方向导数为:
    在这里插入图片描述

    --------------------------------------------------------------------

    6.梯度的定义

    在这里插入图片描述

    根据方向导数推导梯度:

    在这里插入图片描述
    当上面的 θ = 0 \color{red}\theta=0 θ=0 时,方向导数最大,等于梯度的模。

    偏导数就是方向导数的一个特例,方向导数的有个特殊的方向,在这个特殊的方向下,方向导数会最大,此时方向导数就是后面要讲到的梯度,就是各个维度的偏导数组成。
    --------------------------------------------------------------------

    7.举例:

    下面是求方向导数,不是求梯度,别搞混了。如果是求梯度,题目就不会指定 ( 2 , − 1 , − 2 ) (2,-1,-2) (2,1,2)这个方向了,因为某点的梯度方向是唯一的,不能由你指定方向。
    在这里插入图片描述
    上面的三维函数 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)的方向导数为梯度向量 ( u x , u y , u z ) \color{red}(u_x, u_y, u_z) (ux,uy,uz) 与方向向量 ( c o s A , c o s B , c o s C ) (cosA , cosB, cosC) (cosA,cosBcosC) 做内积。其中梯度向量 ( u x , u y , u z ) (u_x, u_y, u_z) (ux,uy,uz) 的每个元素是各个方向的偏导数。方向向量 ( c o s A , c o s B , c o s C ) (cosA , cosB, cosC) (cosA,cosBcosC) 满足 ( c o s A ) 2 + ( c o s B ) 2 + ( c o s C ) 2 = 1 \color{red}(cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2 = 1 (cosA)2+(cosB)2+(cosC)2=1

    梯度就是方向导数的模取得最大值时的向量。

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  • 方向导数与梯度

    万次阅读 2017-03-29 15:06:40
    方向导数与梯度   一、方向导数 现在我们来讨论函数在一点沿某一方向的变化率问题. 定义 设函数在点的某一邻域内有定义.自点引射线.设轴正向到射线的转角为(逆时针方向:0;顺时针方向:0),并设'(+△,...

     方向导数与梯度

     


    一、方向导数

    现在我们来讨论函数在一点沿某一方向的变化率问题.

    定义 设函数在点的某一邻域内有定义.自点引射线.设轴正向到射线的转角为(逆时针方向:0;顺时针方向:0),并设'(+△,+△)为上的另一点且'∈.我们考虑函数的增量(+△,+△)-'两点间的距离的比值.当'沿着趋于时,如果这个比的极限存在,则称这极限为函数在点沿方向的方向导数,记作,即

                                  (1)

    从定义可知,当函数在点的偏导数xy存在时,函数在点沿着轴正向=轴正向=的方向导数存在且其值依次为xy,函数在点沿轴负向=轴负向=的方向导数也存在且其值依次为-x、-y.

    关于方向导数的存在及计算,我们有下面的定理.

    定理  如果函数在点是可微分的,那末函数在该点沿任一方向的方向导数都存在,且有

                                                        (2)

    其中轴到方向的转角.

    证  根据函数在点可微分的假定,函数的增量可以表达为

               少一个△y

    两边各除以,得到

                          

    所以                  

    这就证明了方向导数存在且其值为

                               

    例8-26 求函数=在点处沿从点到点 方向的方向导数.

    解  这里方向即向量=的方向,因此轴到方向的转角

    因为                  

    在点 ,,.故所求方向导数

                      

    例8-27 设由原点到点的向径为轴到的转角为轴到射线的转角为,求,其中=   .    

    解  因为     

                     .

    所以             

    由例8-26可知,当时,,即沿着向径本身方向的方向导数为1;而当时,, 即沿着与向径垂直方向的方向导数为零.

    对于三元函数=来说,它在空间一点沿着方向 (设方向的方向角为的方向导数,同样可以定义为

                                   (3)

    其中,△=,△=,△=.

    同样可以证明,如果函数在所考虑的点处可微分,那末函数在该点沿着方向的方向导数为

                         

    二、 梯度

    1.梯度的定义

    与方向导数有关联的一个概念是函数的梯度.

    定义 设函数在平面区域内具有一阶连续偏导数,则对于每一点,都可定出一个向量

                                  

    这向量称为函数=在点的梯度,记作,即

                         

    如果设是与方向同方向的单位向量,则由方向导数的计算公式可知

                

    这里,(^,e)表示向量的夹角.由此可以看出,就是梯度在射线上的投影,当方向与梯度的方向一致时,有

                           (^,1,

    从而有最大值.所以沿梯度方向的方向导数达到最大值,也就是说,梯度的方向是函数在这点增长最快的方向.因此,我们可以得到如下结论:

    函数在某点的梯度是这样一个向量,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值.

    由梯度的定义可知,梯度的模为

                        

    不为零时,那末轴到梯度的转角的正切为

                                     

    我们知道,一般说来二元函数在几何上表示一个曲面,这曲面被平面z=c(c是常数)所截得的曲线的方程为

                                    

    这条曲线面上的投影是一条平面曲线(图8―10),它在平面直角坐标系中的方程为

                                    

    对于曲线上的一切点,已给函数的函数值都是,所以我们称平面曲线为函数的等高线.

    由于等高线上任一点处的法线的斜率为

                             ,

    所以梯度                       

    为等高线上点处的法向量,因此我们可得到梯度与等高线的下述关系:函数在点的梯度的方向与过点的等高线在这点的法线的一个方向相同,且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线(图8―10),而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数.这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向.

    例8-28  求

    解 这里   

       因为      

    所以   

    3.数量场与向量场

    如果对于空间区域内的任一点,都有一个确定的数量,则称在这空间区域内确定了一个数量场(例如温度场、密度场)等.一个数量场可用一个数量函数来确定.如果与点相对应的是一个向量,则称在这空间区域内确定了一个向量场(例如力场,速度场等).一个向量场可用一个向量函数来确定,而

                      ,

    其中是点的数量函数.

    利用场的概念,我们可以说向量函数确定了一个向量场——梯度场,它是由数量场产生的.通常称函数为这个向量场的势.而这个向量场又称为势场.必须注意,任意一个向量场不一定是势场,因为它不一定是某个数量函数的梯度场.

    小结:本节主要研究函数在一点沿某一方向的变化率问题,给出方向导数的定义及其相关的梯度的定义,推导出方向导数和梯度的求法,并通过梯度的意义介绍了等高线、等量面、数量场与向量场等概念.

    作业:

    1.求函数在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,2+)的方向的方向导数.

    2.求函数在抛物线上点(1,2)处,沿着这抛物线在该点处偏向x轴正向的切线方向的方向导数.

    3.求函数在点处沿曲线在这点的内法线方向的方向导数.

     

    reference:

    http://netedu.xauat.edu.cn/jpkc/netedu/jpkc/gdsx/homepage/5jxsd/51/513/5308/530807.htm

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