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  • 本文将推导出一些与...公式六十九:我们将两公式分开,就是为了提醒读者在向量运算时使用公式六十八,平面几何运算时使用公式六十九。因为向量既可以是平面向量,也可以是空间向量,所以公式六十八在空间中依然...

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    本文将推导出一些与向量和立体几何相关的三角形面积公式。

    以三角形ABC的一个顶点为起点,另外两个顶点为终点,则有六个向量,我们分别求出它们的数量积:

    我们记

    ,从以上三式中可以解出:

    ,再代入秦九韶公式中,可得:

    公式六十八。

    公式六十九

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    我们将两个公式分开,就是为了提醒读者在向量运算时使用公式六十八,平面几何运算时使用公式六十九。因为向量既可以是平面向量,也可以是空间向量,所以公式六十八在空间中依然成立。特别的,当向量以坐标形式表示时,计算尤为简洁。

    对于空间向量,《三角形的面积公式七叙》中已经给出了向量积的公式,这里,我们再给出一个用第四点指向三个顶点的向量的公式。

    公式七十

    22e535985afd1b5121f78ae373c03d51.png

    其中O为不与A、B、C重合的一点。

    证明如下:

    00fba69e09cb182a424ebbc09e87ebcd.png

    道理很简单,不必详述,一般情况下,O都会选择坐标原点。

    接下来,我们再探讨一个立体几何问题。

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    如上图所示,O-ABC是一个直角四面体,即OA,OB,OC两两相互垂直,长度分别为a',b',c'。h为O到面ABC的距离,即以O为顶点,面ABC为底面的四面体的高,我们来求解一下三角形ABC的面积和高h。三角形ABC的量表示方式不变。

    由勾股定理:

    带入秦九韶公式:

    记为公式七十一

    同时,我们发现:

    于是:

    即:

    记为公式七十二。同时我们可以把此式看成立体几何的勾股定理,直角四面体对应于直角三角形,边长对应于面的面积,这种把线看成是面的类比,用在立体几何中,有时候会显得特别有用,我们将会在日后说到四面体时详细论述。

    将四面体的体积以面ABC为底面和以面BOC为底面,分别做体积公式,

    即:

    即:

    即:

    于是:

    变形可以得到:

    总结:向量形式的公式在有关向量的问题中会显得比较有用,直角四面体相关的面积公式可以看成是一类特殊问题的求解,它所反映出来的与平面几何中的对应关系是值得深入讨论的,记住这些相似的公式,往往可以给我们解决问题带来全新的思路。

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  • 想法背后有这样一个定理:你在大量随机变量上多次重复一实验时,它们的分布总和将非常接近正态性(normality)。 人的身高是一基于其他随机变量(比如一人所消耗的营养量、他们居住的环境以及他们的基因等)的...
    f85c35e289a7fb518117d23f4dd4e6da.gif关注数学,关注AI,关注我们公众号ID:Math-AI 56237c9f992e48e89726291a2c3376a7.png f85c35e289a7fb518117d23f4dd4e6da.gif 33e41b46f9f8a85ade862187dc1f26eb.gif 1a98acc199a35250b64bf41c72e420cb.png 我们从高中就开始学正态分布,现在做数据分析、机器学习还是离不开它,那你有没有想过正态分布有什么特别之处?为什么那么多关于数据科学和机器学习的文章都围绕正态分布展开?本文作者专门写了一篇文章,试着用易于理解的方式阐明正态分布的概念。 机器学习的世界是以概率分布为中心的,而概率分布的核心是正态分布。本文说明了什么是正态分布,以及为什么正态分布的使用如此广泛,尤其是对数据科学家和机器学习专家来说。 我会从最基础的内容开始解释,以便读者们理解为什么正态分布如此重要。 文章结构如下:
    • 什么是概率分布?
    • 什么是正态分布?
    • 为什么变量如此青睐正态分布
    • 如何用 Python 查看查看特征的分布?
    • 其它分布变一变也能近似正态分布

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    Unsplash,由 timJ 发布。

    先让我们来看一点背景知识:

    1. 首先,要注意的最重要的一点是,正态分布也被称为高斯分布。

    2. 它是以天才卡尔·弗里德里希·高斯(Carl Friedrich Gauss)的名字命名的。

    3. 最后需要注意的是,简单的预测模型一般都是最常用的模型,因为它们易于解释,也易于理解。现在补充一点:正态分布因为简单而流行。

    因此,正态概率分布很值得我们去花时间了解。

    什么是概率分布?

    想象我们正在自己的数据科学项目中构建感兴趣的预测模型:

    • 如果我们想准确地预测变量,那么首先我们要了解目标变量的基本行为。

    • 我们先要确定目标变量可能输出的结果,以及这个可能的输出结果是离散值(孤立值)还是连续值(无限值)。简单点解释就是,如果我们要评估骰子的行为,那么第一步是要知道它可以取 1 到 6 之间的任一整数值(离散值)。

    • 然后下一步是开始为事件(值)分配概率。因此,如果一个值不会出现,则概率为 0%。

    概率越高,事件发生的可能性就越大。

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    Unsplash,Brett Jordan 发布

    举个例子,我们可以大量重复一个实验,并记录我们检索到的变量值,这样概率分布就会慢慢展现在我们的面前。

    每次实验产生一个值,这些值可以分配到类别/桶中了。对每个桶来说,我们可以记录变量值出现在桶里的次数。例如,我们可以扔 10,000 次骰子,每次骰子会产生 6 个可能的值,我们可以创建 6 个桶。并记录每个值出现的次数。

    我们可以根据这些值作图。所作曲线就是概率分布曲线,目标变量得到一个值的概率就是该变量的概率分布。

    理解了值的分布方式后,就可以开始估计事件的概率了,甚至可以使用公式(概率分布函数)。因此,我们可以更好地理解它的行为。概率分布依赖于样本的矩,比如平均值、标准差、偏度及峰度。如果对所有概率求和,总和为 100%。

    现实世界中存在很多概率分布,最常用的是「正态分布」。

    什么是正态概率分布

    如果对概率分布作图,得到一条倒钟形曲线,样本的平均值、众数以及中位数是相等的,那么该变量就是正态分布的。

    这是正态分布钟形曲线的示例:

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    上面是一个变量的高斯分布图形,像神经网络那样上百万的参数量,每个参数都有自己独立的分布形状,还有极其恐怖的联合分布形状。这种高维联合分布就主导了不同任务的表现,因此理解和估计目标变量的概率分布是很重要的。

    以下变量非常接近正态分布:

    1. 人群的身高

    2. 成年人的血压

    3. 扩散后的粒子的位置

    4. 测量误差

    5. 人群的鞋码

    6. 员工回家所需时间

    此外,我们周围的大部分变量都呈置信度为 x% 的正态分布(x<100)。所以说,生活中经常出现的各种变量,差不多都能用高斯分布描述。

    好理解的正态分布

    正态分布是只依赖数据集中两个参数的分布,这两个参数分别是:样本的平均值和标准差。

    • 平均值——样本中所有点的平均值。

    • 标准差——表示数据集与样本均值的偏离程度。

    分布的这一特性让统计人员省事不少,因此预测任何呈正态分布的变量准确率通常都很高。值得注意的是,一旦你研究过自然界中大多数变量的概率分布,你会发现它们都大致遵循正态分布。

    正态分布很好解释。因为:

    1. 分布的均值、众数和中位数是相等的;

    2. 我们只要用平均值和标准差就可以解释整个分布。

    为什么这么多变量近似正态分布?

    为什么样本一多,那么总会有一堆样本都非常普通?这个想法背后有这样一个定理:你在大量随机变量上多次重复一个实验时,它们的分布总和将非常接近正态性(normality)。

    人的身高是一个基于其他随机变量(比如一个人所消耗的营养量、他们居住的环境以及他们的基因等)的随机变量,这些随机变量的分布总和最终是非常接近正态的。这就是中心极限定理。

    我们从前文了解到,正态分布是许多随机分布的和。如果我们对正态分布密度函数作图,那所作曲线有如下特性:

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    这个钟形曲线平均值为 100,标准差为 1。

    • 平均值是曲线的中心。这是曲线的最高点,因为大多数点都在平均值附近;

    • 曲线两侧点的数量是相等的。曲线中心的点数量最多;

    • 曲线下的面积是变量能取的所有值的概率和;

    • 因此曲线下面的总面积为 100%。

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    上图介绍了非常出名的 3σ原则,即:

    • 约有 68.2% 的点落在 ±1 个标准差的范围内

    • 约有 95.5% 的点落在 ±2 个标准差的范围内

    • 约有 99.7% 的点落在 ±3 个标准差的范围内。

    这样我们就可以轻松地估计出变量的波动性,还可以给出一个置信水平,估计它可能取的值是多少。例如,在上面的灰色钟型曲线中,变量值出现在 101~99 之间的概率约为 68.2%。想象一下,当你根据这样的信息做决定时,你的信心有多充足。

    概率分布函数

    正态分布的概率密度函数是:

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    概率密度函数本质上是连续随机变量取某些值的概率。例如想知道变量出现在 0 到 1 之间,它的概率就能通过概率密度函数求出。

    • 如果你用计算好的概率密度函数绘制概率分布曲线,那么给定范围的曲线下的面积就描述了目标变量在该范围内的概率。

    • 概率分布函数是根据多个参数(如变量的平均值或标准差)计算得到的。

    • 我们可以用概率分布函数求出随机变量在一个范围内取值的相对概率。举个例子,我们可以记录股票的日收益,把它们分到合适的桶中,然后找出未来收益概率在 20~40% 的股票。

    • 标准差越大,样本波动越大。

    如何用 Python 找出特征分布?

    我用过的最简单的方法是在 Pandas 的 DataFrame 中加载所有特征,然后直接调用它的方法找出特征的概率分布:

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    这里的 bins 表示分布的柱状数量。当然上面并不是一个正态分布,那么当变量满足正态分布时,它意味着什么?

    这意味着,如果你把大量分布不同的随机变量加在一起,你的新变量最终也服从正态分布,这就是中心极限定理的魅力。此外,服从正态分布的变量会一直服从正态分布。举个例子,如果 A 和 B 是两个服从正态分布的变量,那么:

    • AxB 服从正态分布;

    • A+B 服从正态分布。

    变量还是乖乖地变成正态分布吧

    如果样本满足某个未知的分布,那么通过一系列操作,它总是能变成正态分布。相反,标准正态分布的叠加与转换,也一定能变化为任意未知分布。从标准正态转换到未知分布,就是很多机器学习模型希望做到的,不论是视觉中的 VAE 或 GAN,还是其它领域的模型。

    但对于传统统计学,我们更希望将特征的分布转换成正态分布,因为正态分布简单又好算呀。下面展示了几种转换为标准正态的方法,像相信变换什么的,在高中都有学过。

    1. 线性变换

    我们收集到作为变量的样本后,就可以用下面的公式对样本做线性变换,从而计算出 

    • Z 分数

    • 计算平均值

    • 计算标准差

    用下式根据每一个值 x 计算出 Z

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    以前 x 可能服从某个未知分布,但是归一化后的 Z 是服从正态分布的。嗯,这就是做批量归一化或其它归一化的好处吧。

    2.Box-cox 变换

    你可以用 Python 的 SciPy 包将数据转换成正态分布:

    scipy.stats.boxcox(x, lmbda=None, alpha=None)

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    3.YEO-JOHBSON 变换

    此外,也可以用强大的 yeo-johnson 变换。Python 的 sci-kit learn 提供了合适的函数:

    sklearn.preprocessing.PowerTransformer(method=’yeo-johnson’, standardize=True, copy=True)

    最后,非常重要的一点是,在没有做任何分析的情况下假设变量服从正态分布是很不明智的。

    以遵循泊松分布(Poisson distribution)、t 分布(student-t 分布)或二项分布(Binomial distribution)的样本为例,如果错误地假设变量服从正态分布可能会得到错误的结果。

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  • 动量定理公式中的Δ(mv)是研究对象的动量的增量,是过程终态的动量减去过程始态的动量(要考虑方向),切不能颠倒始、终态的顺序。 4.动量定理公式中的等号表明合外力的冲量与研究对象的动量增量的数值相等,方向一致...

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    1动量

    1、动量:运动物体的质量和速度的乘积叫做动量。

    是矢量,方向与速度方向相同;动量的合成与分解,按平行四边形法则、三角形法则.是状态量。

    通常说物体的动量是指运动物体某一时刻的动量,计算物体此时的动量应取这一时刻的瞬时速度。

    是相对量;物体的动量亦与参照物的选取有关,常情况下,指相对地面的动量。单位是kg·m/s;

    2、动量和动能的区别和联系

    动量是矢量,而动能是标量。因此,物体的动量变化时,其动能不一定变化;而物体的动能变化时,其动量一定变化。

    因动量是矢量,故引起动量变化的原因也是矢量,即物体受到外力的冲量;动能是标量,引起动能变化的原因亦是标量,即外力对物体做功。

    动量和动能都与物体的质量和速度有关,两者从不同的角度描述了运动物体的特性,且二者大小间存在关系式:P2=2mEk

    3、动量的变化及其计算方法

    动量的变化是指物体末态的动量减去初态的动量,是矢量,对应于某一过程(或某一段时间),是一个非常重要的物理量。

    其计算方法:

    (1)ΔP=Pt一P0,主要计算P0、Pt在一条直线上的情况。

    (2)利用动量定理  ΔP=F·t,通常用来解决P0、Pt;不在一条直线上或F为恒力的情况。

    2冲量

    1、冲量:力和力的作用时间的乘积叫做该力的冲量。

    是矢量,如果在力的作用时间内,力的方向不变,则力的方向就是冲量的方向;冲量的合成与分解,按平行四边形法则与三角形法则。

    冲量不仅由力的决定,还由力的作用时间决定。而力和时间都跟参照物的选择无关,所以力的冲量也与参照物的选择无关。单位是N·s;

    2、冲量的计算方法

    (1)I=F·t.采用定义式直接计算、主要解决恒力的冲量计算问题。

    (2)利用动量定理 Ft=ΔP.主要解决变力的冲量计算问题,但要注意上式中F为合外力(或某一方向上的合外力)。

    3动量定理

    1、动量定理:物体受到合外力的冲量等于物体动量的变化

    Ft=mv/一mv或 Ft=p/-p;该定理由牛顿第二定律推导出来:(质点m在短时间Δt内受合力为F合,合力的冲量是F合Δt;质点的初、未动量是 mv0、mvt,动量的变化量是ΔP=Δ(mv)=mvt-mv0.根据动量定理得:F合=Δ(mv)/Δt)

    2.单位:牛·秒与千克米/秒统一:l千克米/秒=1千克米/秒2·秒=牛·秒;

    3.理解

    (1)上式中F为研究对象所受的包括重力在内的所有外力的合力。

    (2)动量定理中的冲量和动量都是矢量。

    定理的表达式为一矢量式,等号的两边不但大小相同,而且方向相同,在高中阶段,动量定理的应用只限于一维的情况。

    这时可规定一个正方向,注意力和速度的正负,这样就把大量运算转化为代数运算。

    (3)动量定理的研究对象一般是单个质点。求变力的冲量时,可借助动量定理求,不可直接用冲量定义式。

    4.应用动量定理的思路:

    (1)明确研究对象和受力的时间(明确质量m和时间t);

    (2)分析对象受力和对象初、末速度(明确冲量I合,和初、未动量P0,Pt);

    (3)规定正方向,目的是将矢量运算转化为代数运算;

    (4)根据动量定理列方程

    (5)解方程。

    5.系统、内力和外力

    (1)系统:相互作用的物体组成系统。

    (2)内力:系统内物体相互间的作用力

    (3)外力:外物对系统内物体的作用力

    两球碰撞得出的结论的条件:

    两球碰撞时除了它们相互间的作用力(系统的内力)外,还受到各自的重力和支持力的作用,使它们彼此平衡。

    气垫导轨与两滑块间的摩擦可以不计,所以说m1和m2系统不受外力,或说它们所受的合外力为零。

    注意:内力和外力随系统的变化而变化。

    4动量定理应用的注意事项

    1.动量定理的研究对象是单个物体或可看作单个物体的系统,当研究对象为物体系时,物体系的总动量的增量等于相应时间内物体系所受外力的合力的冲量,所谓物体系总动量的增量是指系统内各个的体动量变化量的矢量和。

    而物体系所受的合外力的冲量是把系统内各个物体所受的一切外力的冲量的矢量和。

    2.动量定理公式中的F是研究对象所受的包括重力在内的所有外力的合力。它可以是恒力,也可以是变力。当合外力为变力时F则是合外力对作用时间的平均值。

    3.动量定理公式中的Δ(mv)是研究对象的动量的增量,是过程终态的动量减去过程始态的动量(要考虑方向),切不能颠倒始、终态的顺序。

    4.动量定理公式中的等号表明合外力的冲量与研究对象的动量增量的数值相等,方向一致,单位相同。

    但不能认为合外力的冲量就是动量的增量,合外力的冲量是导致研究对象运动改变的外因,而动量的增量却是研究对象受外部冲量作用后的必然结果。

    用动量定理解题,只能选取地球或相对地球做匀速直线运动的物体做参照物。

    忽视冲量和动量的方向性,造成I与P正负取值的混乱,或忽视动量的相对性,选取相对地球做变速运动的物体做参照物,是解题错误的常见情况。

    5动量守恒定律

    1、内容:相互作用的物体,如果不受外力或所受外力的合力为零,它们的总动量保持不变,即作用前的总动量与作用后的总动量相等.

    动量守恒定律适用的条件   

    ①系统不受外力或所受合外力为零.

    ②当内力远大于外力时.

    ③某一方向不受外力或所受合外力为零,或该方向上内力远大于外力时,该方向的动量守恒.

    3、常见的表达式

    ①p/=p,其中p/、p分别表示系统的末动量和初动量,表示系统作用前的总动量等于作用后的总动量。

    ②Δp=0 ,表示系统总动量的增量等于零。

    ③Δp1=-Δp2,其中Δp1、Δp2分别表示系统内两个物体初、末动量的变化量,表示两个物体组成的系统,各自动量的增量大小相等、方向相反。

    (4)注意点:

    ① 研究对象:几个相互作用的物体组成的系统(如:碰撞)。

    ② 矢量性:以上表达式是矢量表达式,列式前应先规定正方向;

    ③ 同一性(即所用速度都是相对同一参考系、同一时刻而言的)

    ④ 条件:系统不受外力,或受合外力为0。要正确区分内力和外力;

    条件的延伸:

    a.当F内>>F外时,系统动量可视为守恒;(如爆炸问题。)

    b.若系统受到的合外力不为零,但在某个方向上的合外力为零,则这个方向的动量守恒。

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    中值定理与洛必达法则拉格朗日中值定理柯西中值定理洛必达法则 本课程来自深度之眼,部分截图来自课程视频。 【第二章 微积分】2.1导数中的中值定理 在线LaTeX公式编辑器 任务详解: 这节课主要介绍了函数的导数,...
  • 如前面的例子,通过抽样我们可以得到很多组样本均值(例子里是5组),而样本均值又构成一新的分布,这分布的均值等于总体均值,这分布的方差等于总体方差除以n,于是就得到了下面的公式: σ X ‾ 2 = σ 2 ...
  • 奈奎斯特定理和香农第二定理

    千次阅读 2020-02-23 11:08:00
    讲奈奎斯特定理,先讲一下门函数和Sa函数的傅里叶变换 即不管是Sa函数还是门函数,时域主瓣宽度为a,频率为b=1/a时,傅里叶变换主瓣宽度为2b。 右图,当传码率为fB时,即码元间隔Tb=1/fB时,一Sa函数的主瓣宽度...
  • 在学习的过程中,我经常会将频率和概率、均值和期望这两对概念搞混,这次总结一下,希望能对其他同学有所帮助。 1频率和概率 我们首先来看一常见的误区。 当我们抛一门硬币50次的时候,出现20次正面朝上,30次...
  • 大数定理和中心极限定理

    千次阅读 2018-03-09 22:50:10
    从上面这个公式我们可以看出它的意思是,无数随机变量的均值与期望值之间的差大于0的概率接近于0 ,这就意味着当迭代次数达到一定数量的时候,均值是等于期望的,这就是“大数”解释为“迭代次数很大的时候”的...
  • 中心极限定理 - 正态分布

    千次阅读 2020-06-09 23:20:09
    简单而言,对于任意分布,只要随机变量之间相互独立,从这些随机变量中随机抽n值,然后求均值,并重复足够多的次数后,这些均值服从正态分布! 核心核心要点:(1)任意分布;(2)随机变量之间相互独立;(3)...
  • 在Smarandache函数S(n)及因子积数列{Pd(n)}的基础上,构造并研究了∑n≤x(S(Pf(n))-1/2d(n)P(n))2的一种均值分布性质,利用初等方法和素数定理研究了混合均值问题,给出了它的一较强的渐进公式
  • 阅读大概需要5分钟作者朱曦炽编辑 zenRRan链接https://www.zhuxichi.com/2017/02/14/CentralLimitTheorem/导读中心极限定理是...
  • 贝叶斯统计与贝叶斯公式

    千次阅读 2019-06-02 09:20:16
    典型例子是:许多渠道显示,地震发生时伴随的一常见现象是动物园里的动物普遍地焦躁不安。于是,有些人就把动物焦躁不安作为地震预测的一强有力的手段。更有甚者,一旦发现动物普遍地焦躁不安,直接就说,...
  • 大数定律与中心极限定理

    万次阅读 2018-03-09 20:20:41
    中心极限定理说明,在适当的条件下,大量相互独立随机变量的均值经标准化后依分布收敛于正态分布。关于详细的一些公式参考下面2幅图。这里我解释一下下图红框中的公式:当 n → ∞ n\rightarrow \infty 时, Z n Z...

空空如也

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均值定理六个公式