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  • 哈夫曼树和哈夫曼编码唯一吗?
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    2021-12-11 21:58:24

    哈夫曼树和编码都不唯一!只有树的WPL(带权路径长度)才是唯一的!

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  • 哈夫曼树是WPL最小的二叉树,比它大的都哈夫曼树,由此可见哈夫曼树也是最优二叉树 构造哈夫曼树 每次选2个叶子结点权值最小的合并,并将2个权值的和作为新的根结点的权值 由此可见,如果有n个结点,会有n-1...

    哈夫曼树

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    1. 概念

      • 哈夫曼树也是二叉树
      • 叶子结点的权值,权值比如重要性,某种含义的数字
      • 叶子结点的带权路径长度 = 根到该结点的路径长度(也可以说是该叶子结点的父亲结点的高度)*该结点的权值
      • 树的带权路径长度WPL = 树中所有叶子结点的带权路径长度之和
      • 哈夫曼树是WPL最小的二叉树,比它大的都不叫哈夫曼树,由此可见哈夫曼树也是最优二叉树
    2. 构造哈夫曼树

      • 每次选2个叶子结点权值最小的合并,并将2个权值的和作为新的根结点的权值
      • 由此可见,如果有n个结点,会有n-1次合并,也就是会多出n-1个非叶子结点,整个二叉树的结点=n + n -1 = 2n-1
      • 哈夫曼树不唯一,但是WPL的值都是最小值
    3. 哈弗曼编码

      • 将字符出现频次作为字符结点的权值,权值越大的叶子结点我们放在离根节点最近的地方,可以使得WPL值最小,来构造哈夫曼树,由此可见也可以压缩数据
      • 前缀编码,没有一个编码是另外一个编码的前缀,这个作用是我们可以顺序识别一串二进制代表的意思,没有歧义
      • 固定长度编码,每个字符用等长的二进制表示
      • 可变长编码,允许不同字符用不等长的二进制表示

    例子,构造哈夫曼树过程
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  • 哈夫曼树

    万次阅读 多人点赞 2017-08-05 23:34:19
    哈夫曼树不可能存在度为1的结点 生成哈夫曼树的第一步就是在结点集合中找到两个权值最小的结点,然后生成一棵二叉树 树中任意节点的权值一定大于自己的左右孩子,但能保证一定小于其他下一任结点的权值。设...

    哈夫曼树节点个数一定是奇数
    假设哈夫曼树是二叉的话,则度为0的结点个数为N,度为2的结点个数为N-1,则结点总数为2N-1。


    哈夫曼树的形态不是唯一的,但是它的带权路径长度WPL是唯一的。
    如:3,5,6
    可以构造出
    14
    8 6
    3 5

    14
    6 8
    3 5
    这两种形态,所以哈夫曼树形态不唯一


    哈夫曼树不可能存在度为1的结点
    生成哈夫曼树的第一步就是在结点集合中找到两个权值最小的结点,然后生成一棵二叉树
    树中任意节点的权值一定大于自己的左右孩子,但不能保证一定不小于其他下一任结点的权值。

    设哈夫曼树中的叶子结点总数为m,若用二叉链表作为存储结构,则该哈夫曼树中总共有()个空指针域。

    哈夫曼树不存在入度为1 的结点,所以n0=n2+1
    设哈夫曼树中的叶子结点总数为m,若用二叉链表作为存储结构,则该哈夫曼树中总共有(2m)个空指针域; n0=m
    树的二叉链表存储结构就是孩子-兄弟表示法。
    孩子-兄弟表示法:数据域是结点,如A; 有两个指针域:1)指向长子 2)指向右兄弟
    哈夫曼树的孩子-兄弟表示法的空指针域有三种情况:(1)叶子结点长子域一定为空m个(2)根节点的右兄弟域一定为空 1个 (3)除去根节点外,哈夫曼树的其余结点个数中有一半结点的右兄弟域为空 (n总-1)/2=n2
    所以空指针域=m+1+n2=2m

    哈夫曼树权值结点的父结点实际上是没有值的


    
    一棵哈夫曼树共有215个结点,对其进行哈夫曼编码,共能得到()个不同的码字

    哈夫曼树并不是满二叉树,是正则二叉树(也叫正规二叉树),即其中只有度为0和度为2的结点
    因为n0 = n2 + 1,n = n0 + n2; 所以 n = 2n0 - 1,即n0 = (n + 1) / 2;叶子结点n0对应的即是不同的编码。
    至于满二叉树当然也是正则二叉树的特例。

    展开全文
  • 5.15 哈夫曼树

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    一、带权路径长度 【定义】 结点的权:有某种现实含义的数值(如:表示结点的重要性等) 结点的带权路径的长度(WPL):从树的...二、哈夫曼树的定义(哈夫曼树 也称 最优二叉树) 【定义】在含有n个带权叶结点的二叉树中

    一、带权路径长度

    【定义】

    结点的权:有某种现实含义的数值(如:表示结点的重要性等)

    结点的带权路径的长度(WPL):从树的根到该结点的路径长度(经过的边数)与该结点上**权值**的乘积

    树的带权路径长度:树中所有叶子结点的带权路径长度之和(WPL,Weighted Path Length)
    W P L = ∑ i = 1 n w i l i WPL=\sum\limits_{i=1}^{n}{w_il_i} WPL=i=1nwili

    二、哈夫曼树的定义(哈夫曼树 也称 最优二叉树)

    【定义】在含有n个带权叶结点的二叉树中,其中**带权路径长度(WPL)最小的二叉树**称为哈夫曼树

    ★★★三、哈夫曼树的构造

    给定n个权值分别为W1,W2,W3···Wn的结点,构造哈夫曼树的算法描述如下:

    1)将这n个结点分别作为n棵仅含有一个结点的二叉树,构成森林F

    2)构造一个新的结点,从F中选取两棵根结点权值最小的树作为新结点的左、右子树,并且将新结点的权值置为左、右子树上根结点的权值之和

    3)从F中删除刚才选出的两棵树,同时将新得到的树加入F中

    4)重复2)、3),直到F中只剩下一棵树为止

    【特点】

    ①每个初始结点最终都会成为叶子结点,且权值越小的结点,到根节点的路径长度越大

    ②哈夫曼树的结点总数为2n-1(n个初始结点,需要构造n-1次,即会多出n-1个分支结点)

    ③哈夫曼树中不存在度为1的结点

    ④哈夫曼树并不唯一,但是WPL(带权路径长度)必然相同且最优

    ★★四、哈夫曼编码(可用于数据压缩)

    可变长度编码——允许对不同字符用不等长的二进制位表示

    若没有一个编码是另一个编码的前缀,则称这样的编码为——前缀编码

    由哈夫曼树得到的哈夫曼编码:字符集中的每个字符作为一个叶子结点,各个字符出现的频度作为结点的权值,根据之前介绍的方法构造哈夫曼树(可以将左孩子指针看作1/0,将右孩子指针看作0/1,即:左0右1 或者 左1右0,得到相应的编码)

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