十大模型

评价类问题

任何评价类模型都是有主观性的

确定评价指标，形成评价体系以选择最佳方案

知网找相关文献
找不到文献就小组头脑风暴

层析分析法出场

层次分析法提供了一个很好的把定性问题定量化分析的方法，它本质上是一种思维方式，把复杂的问题拆解为多个影响因素的定量分析，克服了决策者主观判断的缺点，利用AHP可以进行更有效，高效和可靠可行的决策。

他的关键是把人类的判断转化为两两之间重要程度的比较上，通过两两比较的方法确定出所有影响因素的相对重要程度的总排序，从而把难于量化的定性判断量化为重要程度。

层次分析法的判断矩阵（正互反矩阵）

它是一个两两比较矩阵


一致矩阵

在使用判断矩阵求权重之前，必须对其进行一致性检验

线代中，一致矩阵就是要所有元素大于0，主对角线元素全为1，各行成倍数关系的方阵。

显然，rank肯定是1，只有1个非零特征值，因为所有特征值的和等于迹，所以这个非零特征值就是 n， 对应特征值实际上就是一致矩阵的第一列

A = [1,2,4;
    1/2,1,2;
    1/4,1/2,1]
[V,D] = eig(A)  % 求出A的特征值D和特征向量V
A*[1;1/2;1/4] - 3*[1;1/2;1/4]   % 验证[1;1/2;1/4]是否为特征值3对应的特征向量,即上图的最后一行，实际上就是一致矩阵的第一列

输出结果

>> EIG_consistent_matrix

A =

    1.0000    2.0000    4.0000
    0.5000    1.0000    2.0000
    0.2500    0.5000    1.0000


V =

   -0.9631    0.8729         0
    0.2408    0.4364   -0.8944
    0.1204    0.2182    0.4472


D =

   -0.0000         0         0
         0    3.0000         0
         0         0         0


ans =

     0
     0
     0

>> 

a = [1:1:8]
b = []
for i = 1:size(a,2) % 列数
    A = [1,2,a(i);1/2,1,2;1/a(i),1/2,1]
    b = [b,max(eig(A))]
end
plot(a,b)

>> PPT_1

a =

     1     2     3     4     5     6     7     8


b =

     []


A =

    1.0000    2.0000    1.0000
    0.5000    1.0000    2.0000
    1.0000    0.5000    1.0000


b =

    3.2174


A =

    1.0000    2.0000    2.0000
    0.5000    1.0000    2.0000
    0.5000    0.5000    1.0000


b =

    3.2174    3.0536


A =

    1.0000    2.0000    3.0000
    0.5000    1.0000    2.0000
    0.3333    0.5000    1.0000


b =

    3.2174    3.0536    3.0092


A =

    1.0000    2.0000    4.0000
    0.5000    1.0000    2.0000
    0.2500    0.5000    1.0000


b =

    3.2174    3.0536    3.0092    3.0000


A =

    1.0000    2.0000    5.0000
    0.5000    1.0000    2.0000
    0.2000    0.5000    1.0000


b =

    3.2174    3.0536    3.0092    3.0000    3.0055


A =

    1.0000    2.0000    6.0000
    0.5000    1.0000    2.0000
    0.1667    0.5000    1.0000


b =

    3.2174    3.0536    3.0092    3.0000    3.0055    3.0183


A =

    1.0000    2.0000    7.0000
    0.5000    1.0000    2.0000
    0.1429    0.5000    1.0000


b =

    3.2174    3.0536    3.0092    3.0000    3.0055    3.0183    3.0349


A =

    1.0000    2.0000    8.0000
    0.5000    1.0000    2.0000
    0.1250    0.5000    1.0000


b =

    3.2174    3.0536    3.0092    3.0000    3.0055    3.0183    3.0349    3.0536

>> 

可以看到A为下面这个矩阵时一致性最好

A =

    1.0000    2.0000    4.0000
    0.5000    1.0000    2.0000
    0.2500    0.5000    1.0000

然后终于要求解打分的权重求解方法了

评价类问题通过打分的方式求解，打分选定了几个指标，那么每个指标到底占多少权重，不好定量确定，可以通过层次分析法科学地计算权重。

首先把所有指标两两比较，写出判断矩阵，然后检查判断矩阵的一致性，即最大特征值和n的差别程度，定量是用$CR=\frac{CI}{RI}$和0.1比较。

经过检验，如果判断矩阵就是一致矩阵（最大特征值就等于n），那么每个指标在所有方案的权重直接使用第一列的归一化数据就可以，因为每一列归一化计算结果是一样的！！这是一致矩阵本身特性决定的。

如果判断矩阵不是一致矩阵但是一致性检验通过了（CI<0.1），则有下面三种方法求权重：

如何调整判断矩阵使之满足一致性检验

如果没通过一致性检验，则需要调整判断矩阵

1. 算术平均法

这时候每一列归一化结果就不一样了

抽象一点总结

2. 几何平均法

3. 特征值法

他的思想就是模仿一致性矩阵，非常好理解

每一个指标关于所有方案的最后的判断矩阵：

每一个指标关于所有方案的最后的计算结果

所有指标的判断矩阵

disp('请输入判断矩阵A')
A=input('A=');
[n,n] = size(A);
% % % % % % % % % % % % %方法1： 算术平均法求权重% % % % % % % % % % % % %
Sum_A = sum(A);
SUM_A = repmat(Sum_A,n,1);
Stand_A = A ./ SUM_A;
Stand_A = A ./ Sum_A; % 这样也可以的  

disp('算术平均法求权重的结果为：');
disp(sum(Stand_A,2)./n)
% % % % % % % % % % % % %方法2： 几何平均法求权重% % % % % % % % % % % % %
Prduct_A = prod(A,2);
Prduct_n_A = Prduct_A .^ (1/n);
disp('几何平均法求权重的结果为：');
disp(Prduct_n_A ./ sum(Prduct_n_A))
% % % % % % % % % % % % %方法3： 特征值法求权重% % % % % % % % % % % % %
[V,D] = eig(A);
Max_eig = max(max(D));
[r,c]=find(D == Max_eig , 1);
disp('特征值法求权重的结果为：');
disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) )
% % % % % % % % % % % % %下面是计算一致性比例CR的环节% % % % % % % % % % % % %
CI = (Max_eig - n) / (n-1);
RI=[0 0.0001 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];  %注意哦，这里的RI最多支持 n = 15
% 这里n=2时，一定是一致矩阵，所以CI = 0，我们为了避免分母为0，将这里的第二个元素改为了很接近0的正数
CR=CI/RI(n);
disp('一致性指标CI=');disp(CI);
disp('一致性比例CR=');disp(CR);
if CR<0.10
    disp('因为CR<0.10，所以该判断矩阵A的一致性可以接受!');
else
    disp('注意：CR >= 0.10，因此该判断矩阵A需要进行修改!');
end

输出

请输入判断矩阵A
A=[1 1/2 4 3 3;2 1 7 5 5;1/4 1/7 1 1/2 1/3;1/3 1/5 2 1 1;1/3 1/5 3 1 1]
算术平均法求权重的结果为：
    0.2623
    0.4744
    0.0545
    0.0985
    0.1103

几何平均法求权重的结果为：
    0.2636
    0.4773
    0.0531
    0.0988
    0.1072

特征值法求权重的结果为：
    0.2636
    0.4758
    0.0538
    0.0981
    0.1087

一致性指标CI=
    0.0180

一致性比例CR=
    0.0161

因为CR<0.10，所以该判断矩阵A的一致性可以接受!

最终的权重矩阵

计算各个方案的得分

这里最好用excel计算，简单的多

AHP的一些应用

AHP的局限性

使用AHP方法，则不能使用太多评价指标，过多会导致判断矩阵很难满足一致性检验，导致无法计算权重

练习题目

总结
离建模国赛只有7天了，今天花了三个小时把层次分析法学习了，清风老师的资料确实非常有效，钱花的很值得，非常感谢他，代码和理论都特别好，明天继续学习其他模型，加深对建模的理解，希望能拿个好成绩

ps: 最后遗憾拿了国三，D题工矿曲线，告诫大家不要过于沉迷在写代码和解题上，论文是唯一呈现载体（附件的源代码和图片等不一定有人看），方案的创新和高大上，以及讲故事写问文章的能力是一样重要的。本人离提交作品还剩半小时还在颤抖着双手攻坚最后一点代码，结果我们队的方案不够高级，论文不够优美，品尝了遗憾的滋味······

数学建模——层次分析法（Matlab）【评价类问题】

建立递阶层次结构

将决策问题分解为三个层次，最上层为目标层O，即…;最下层为方案层，即…;中间层为准则层，即…;(如图一所示)

构造判断矩阵

对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，依据下表，构造出判断矩阵（O-C，C1-A，C2-A，C3-A）。
构造出的判断矩阵满足下列两个条件：

且满足主对角线元素为1

一致性检验

下面展示一些 内联代码片。

// clear;clc
disp('请输入判断矩阵A： ')%输入判断矩阵

检验原因如下例所示：通过Matlab的函数进行一致性检验：

检验结果若是一致，则可进入下一步。若不一致，则将原判断矩阵往一致矩阵上调整，将矩阵改为各行成倍数关系。

下面展示一些 内联代码片。

//[V,D] = eig(A)
Max_eig = max(max(D))
CI = (Max_eig - n) / (n-1);
RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];  %注意哦，这里的RI最多支持 n = 15
CR=CI/RI(n);
disp('一致性指标CI=');disp(CI);
disp('一致性比例CR=');disp(CR);
if CR<0.10
    disp('因为CR < 0.10，所以该判断矩阵A的一致性可以接受!');
else
    disp('注意：CR >= 0.10，因此该判断矩阵A需要进行修改!');
end

计算总权重并排序

通过Matlab，使用算术平均法、几何平均法、特征值法求到归一化后的
特征向量。（三种方法一起使用，但是最后还是使用特征值法的答案）。

下面展示一些 内联代码片。

// %% 方法1：算术平均法求权重
% 第一步：将判断矩阵按照列归一化（每一个元素除以其所在列的和）
Sum_A = sum(A)

[n,n] = size(A)  % 也可以写成n = size(A,1)
% 因为我们的判断矩阵A是一个方阵，所以这里的r和c相同，我们可以就用同一个字母n表示
SUM_A = repmat(Sum_A,n,1)   %repeat matrix的缩写
% 另外一种替代的方法如下：
    SUM_A = [];
    for i = 1:n   %循环哦，这一行后面不能加冒号（和Python不同），这里表示循环n次
        SUM_A = [SUM_A; Sum_A]
    end
clc;A
SUM_A
Stand_A = A ./ SUM_A
% 这里我们直接将两个矩阵对应的元素相除即可

% 第二步：将归一化的各列相加(按行求和)
sum(Stand_A,2)

% 第三步：将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量
disp('算术平均法求权重的结果为：');
disp(sum(Stand_A,2) / n)
% 首先对标准化后的矩阵按照行求和，得到一个列向量
% 然后再将这个列向量的每个元素同时除以n即可（注意这里也可以用./哦）

%% 方法2：几何平均法求权重
% 第一步：将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
clc;A
Prduct_A = prod(A,2)
% prod函数和sum函数类似，一个用于乘，一个用于加  dim = 2 维度是行

% 第二步：将新的向量的每个分量开n次方
Prduct_n_A = Prduct_A .^ (1/n)
% 这里对每个元素进行乘方操作，因此要加.号哦。  ^符号表示乘方哦  这里是开n次方，所以我们等价求1/n次方

% 第三步：对该列向量进行归一化即可得到权重向量
% 将这个列向量中的每一个元素除以这一个向量的和即可
disp('几何平均法求权重的结果为：');
disp(Prduct_n_A ./ sum(Prduct_n_A))

%% 方法3：特征值法求权重
% 第一步：求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量
clc
[V,D] = eig(A)    %V是特征向量, D是由特征值构成的对角矩阵（除了对角线元素外，其余位置元素全为0）
Max_eig = max(max(D)) %也可以写成max(D(:))哦~
% 那么怎么找到最大特征值所在的位置了？ 需要用到find函数，它可以用来返回向量或者矩阵中不为0的元素的位置索引。
% 那么问题来了，我们要得到最大特征值的位置，就需要将包含所有特征值的这个对角矩阵D中，不等于最大特征值的位置全变为0
% 这时候可以用到矩阵与常数的大小判断运算
D == Max_eig
[r,c] = find(D == Max_eig , 1)
% 找到D中第一个与最大特征值相等的元素的位置，记录它的行和列。

% 第二步：对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重
V(:,c)
disp('特征值法求权重的结果为：');
disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) )
% 我们先根据上面找到的最大特征值的列数c找到对应的特征向量，然后再进行标准化。

将A1-4按照大小顺序排序，得到最终的权重。

编辑不易，大家观看以后请点赞，如果我有哪里写错了，请大家指点。

层次分析法

一、相关问题

层次分析法一般用于评价类问题
选择哪种方案最好、哪种决策最优

摘自2016国赛B题

二、层次分析法解题方法

1.分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构

2.对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，构造两两比较矩阵（判断矩阵）

3. 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验（检验通过权重才能用）

4 . 根据权重矩阵计算得分，并进行排序

三、层次分析法解题实例

题目：
小明高考之后想去旅行，挑选了几个城市，分别是北京、杭州和上海，小明预算只可以去一个城市。请确定评价指标、形成评价体系来帮小明确定最佳的方案。

1.系统的递阶层次结构建立

（1）层次分析法中标准层次结构

（2）递阶层次结构建立

目标层：选择最适合小明的旅游地
准则层：景色、花费、住宿、饮食、交通（根据题目实际情况，其它题目中可查找文献等）
方案层：北京、杭州、上海

2.构造判断矩阵

（1）目标层-准则层（O–C判断矩阵）

对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，构造两两比较矩阵
对于上述问题，就需要我们将准则层中的5个准则进行两两对比，根据两者相比的之后一个比一个的重要程度填写判断矩阵
注意：此表格要求让专家来填，实际中可以根据具体问题分析。

以上表中C3行C4列为例，值为1/2，表示C3()比C4()的重要程度为1/2，即C4()比C3()的重要程度为2.
数值反应的重要程度多数情况下可以参见下表：

（2）准则层-决策层（O–P判断矩阵）

准则-决策层是在对每一个准则对应的决策进行两两比较，根据（1）中的表格来填写OP判断矩阵

3. 一致性检验与权重计算

（1）判断矩阵的一致性检验

计算方法如下，其中lamda_max为判断矩阵的特征值，n为指标个数。
在MATLAB中可以使用eig函数求取特征值和特征向量

（2）权重的计算

对于上述矩阵的权重的计算方法有算术平均值法、几何平均值法和特征值法。
算数平均值法即通过求取算术平均值的方法来计算权重，具体计算步骤如下：

几何平均值法即通过几何的方法，对判断矩阵整体进行平均计算来计算权重，计算步骤如下：

特征值法即通过矩阵的最大特征值和特征向量来求权重，计算步骤如下：

在此接上述例题使用算术平均法计算权重
对于景色，北京、上海和杭州的权重分别为（通过判断矩阵第一列计算）
北京：1/（1+0.5+0.25）= 0.5714
上海：0.5/（1+0.5+0.25）=0.2857
杭州：0.25/（1+0.5+0.25）=0.1429
由于矩阵共有三列，可以按照上述过程求三列的值并取平均值
————————————————————————————————————————————
我们通过对五个指标判断矩阵求取权重可以得到五个指标的权重，按照上述例子可以求得各个城市对于各种指标的权重。最终我们可以得到如下的表格（只按照矩阵第一列进行简单计算！！）

————————————————————————————————————————————
当进行了上述过程之后层次分析法基本完成，我们通过权重矩阵来进行加权计算各个城市的综合得分，来评价三个城市的最优选择。

四、层次分析法局限性

(1)主观影响因素大

层次分析法（AHP)主观因素的影响很大，在很大程度上依赖于人们的经验，它的工作只能排除在整体计算的过程中严重的非一致性，但是并不能排除决策者的主观因素。

(2) 判断较为粗糙

此方法比较、判断过程较为粗糙，不能用于精度要求较高的决策问题。

(3) 评价的决策层有限

层次分析法对于评价的决策层不能太多，决策层数量n较大在判读矩阵一致性差异时可能会很大，在调整时会比较困难。由于一致性检验中一致性指标RI表共计15个，因此我们一般选择此方法计算决策层为15以内的模型。

文中部分示例来源于网络，只用于学习交流！

MATLAB学习：
知乎专栏–数据可视化和数据分析中matlab的使用

MATLAB学习交流群(MATLAB学习资料)：953314432