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  • 层次分析法——确定指标权重、解决评价类问题
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    2022-01-09 22:53:59

    “评价类问题可以用打分解决。”

    譬如我们想对A、B、C三个景点进行评分,若题目没给数据可查阅文献(显得专业)得到关于景点评分的几个指标,显然,不同指标对景点的评价高低影响程度不同,即需确定下表中的值:

    指标权值景点A景点B景点C
    景色
    花费
    居住
    饮食
    交通

    我们可用1-9表示重要程度,如下:

    标度含义
    1表示两个因素相比,具有同样重要性
    3表示两个因素相比,一个因素比另一个稍微重要
    5表示两个因素相比,一个因素比另一个稍明显要
    7表示两个因素相比,一个因素比另一个强烈重要
    9表示两个因素相比,一个因素比另一个极端重要
    2,4,6,8上述两相邻判断的中值
    倒数A和B相比如果标度为3,那么B和A相比就是1/3

    (注:这里的重要性有时解释为满意度更方便理解)


    首先解决第一个问题:确定各个指标的权值。我们用aij表示与指标j相比,i的重要程度。

    景色花费居住饮食交通
    景色11/3432
    花费31655
    居住1/41/611/21/3
    饮食1/31/5211
    交通1/21/5311

     根据五个指标的重要程度我们可得到关于A、B两个景点的一个5×5的正互反矩阵(称满足_{^{}}aij>0且aij×aji = 1的矩阵为正互反矩阵)。实际上,上面这个矩阵就是层次分析法中的判断矩阵。

    第二个问题:对于每个指标,如何给A、B、C三个景点打分?

    举个栗子:

    景色景点A景点B景点C
    景点A125
    景点B1/213
    景点C1/51/31

    但这样比较得出的结果主观性很强,完全正确吗?我们举个极端的例子:

    如上,景点A比景点B景色稍微好些,景点A和景点C景色一样好,景点B比景点C景色稍微好些,显然出现了不一致现象,这就是主观判断可能导致的矛盾(如果把3换成更大的数那么不一致现象会更加严重),那怎么去判断是否出现了矛盾呢?

    我们知道,aij = i的重要程度 / j的重要程度 , ajk = j的重要程度 / k的重要程度 , 如果一致,那么有aik = aij × ajk 。而上述例子不满足该条件,因此出现了矛盾。我们称满足该条件的矩阵为一致矩阵。

    我们现在已经知道:若矩阵中每个元素aij>0且满足aij×aji = 1,则称该矩阵为正互反矩阵。若正互反矩阵满足aij×ajk = aik,则我们称其为一致矩阵。

    因此,在层次分析法中,我们构造的判断矩阵均是正互反矩阵,在使用判断矩阵求权值前,必须对其进行一致性检验。

    一致性矩阵:

    (可发现各行各列成倍数关系)

    引理:n阶正互反矩阵为一致矩阵时当且仅当最大特征值λ = n;当正互反矩阵非一致时,一定满足最大特征值λ > n,且判断矩阵越不一致时,最大特征值与n相差就越大.

    实际中,得到的矩阵就是一致矩阵的情况很小,我们引入一致性指标CI.

    CI = (λ_max - n) / (n-1)

    然后查找对应的平均随机一致性指标RI,再计算一致性比例CR,CR = CI / RI。如果CR < 0.1,则可认为判断矩阵的一致性可以接受,否则需要对判断矩阵进行修正。


    一致矩阵怎么计算得分(权值)?

    注意,得分(权值)一定要进行归一化处理:景点A = 1/(1+0.5+0.25);景点B = 0.5/(1+0.5+0.25);景点C = 0.25/(1+0.5+0.25).

    判断矩阵怎么计算得分(权值)?

    1)算术平均法:仅使用第一列数据计算得到A1、B1、C1;仅使用第二列数据计算得到A2、B2、C2;仅使用第三列数据计算得到A3、B3、C3。最后求算术平均权重。

    2)几何平均分求权重。

    3)特征值法求权重(就是仿照一致矩阵的求法)。(使用较多)

    总结:

    层次分析法第一步:分析系统中各因素之间的关系,建立系统的递阶层次结构——目标层、准则层、方案层.(注意:如果用到了层次分析法,那么层次结构图一定要放在论文中);

    层次分析法第二步:对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较,构造判断矩阵.(注意:任何评价类模型都具有主观性,理想情况是专家群体判断,但现实情况都是自己填的),准则层——方案层的判断矩阵数值要结合实际来填写;

    层次分析法第三步:由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重(建议三种方法都用,再综合分析,使得出的结论更全面、更有效),并进行一致性检验,检验通过权重才能用。

    层次分析法的局限性:1、评价的决策层不能太多,太多的话n会很大,判断矩阵和一致矩阵差异可能会很大。2、如果决策层中指标的数据是已知的,就不能再用层次分析法了。

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    一、层次分析法

    层次分析法AHP,就是将指标分层次,根据问题的性质和要达到的总目标,把复杂问题分解成一系列的指标,并按照逻辑关系分为不同的层级,从而形成递阶层次结构。
    然后通过两两比较的方式(判断矩阵),确定每一层指标对于上一层指标的影响力大小,线性加权求得评价总目标值。

    方案
    1. 决策层级
    2. 根据判断矩阵,求取相对权重
    3. 一致性检验
    4. 合格即可

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    ps:
    判断矩阵
    在这里插入图片描述
    AHP存在的问题
    在这里插入图片描述

    二、网络层次分析法

    网络分析法的英文术语为 Analytic Network Process,简称 ANP,是美国 Saaty 教授在 1996 年提出的一种决策方法,该方法的提出是基于层次分析法,是一种 适应非独立递阶层次结构的方法。ANP 相对于 AHP 而言,用网络结构代替了层 次结构,同时会将要素间的相关性考虑进去,用非线性结构代替线性层次结构, 还加入了反馈机制,并考虑到低层要素对于高层要素的支配作用。
    在这里插入图片描述

    方案:

    分析问题

    1. 分析问题
    2. 构造控制层、、网络层结构
    3. 两两比较,构建所有元素Cj的影响力判断矩阵(1 or 0),即超矩阵
    4. 两两比较,各个元素的重要性矩阵
    5. 确定超矩阵各元素组的权重
    6. 计算加权超矩阵

    两者的不同点:

    ANP考虑了各个元素组与元素之间的互相影响

    本文源自清华大学课件——层次分析法AHP和网络分析法ANP

    三、模煳层次分析法 FAHP

    重要性矩阵从1~9,变为了0.1 ~ 0.9,0.1 ~ 0.5是从极端不重要到同等重要,0.5 ~ 0.9是从同等重要到极端重要,标度的间隔差只有0.1,难以表现因素间的极端重要性。

    四、双基点法 TOPSIS

    【基本原理】通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来排序,若评价对象最靠近最优解,同时又远离最劣解,则为最好

    【缺点】可能某元素只是恰好跟目标曲线相似,不一定是有关联。不一定是因果关系。

    展开全文
  • 电脑MATLAB软件方法/步骤【建立层次结构模型】⑴、目标层:这一层次中只有一个元素,一般它是分析问题的预定目标或理想结果,因此也称为目标层。⑵、准则层:这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节,它可以由...

    电脑

    MATLAB软件

    方法/步骤

    【建立层次结构模型】

    ⑴、目标层:这一层次中只有一个元素,一般它是分析问题的预定目标或理想结果,因此也称为目标层。

    ⑵、准则层:这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节,它可以由若干个层次组成,包括所需考虑的准则、子准则,因此也称为准则层。

    ⑶、方案层:这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等,因此也称为方案层。

    80943767f80c9d44f5be5bf66f0f1efa.png

    【构造出各层次中的所有比较矩阵】

    确定影响旅游地选择的准则层中诸因子景点观赏性、住宿条件、饮食价格、交通费用所占的比重时,遇到的主要困难是这些比重常常不易定量化。即如何计算影响旅

    游地选择的准则层、、、四个因素的权重?因为相对于把所有的因素放在一起比较,两个因素两两进行比较要容易的多。所以,层次分析法通过准则层四个因素对目

    标层的影响程度两两进行比较,并将其比较结果进行量化得到一个比较矩阵。比如,对于旅游方案而言,比较景点观赏性因素与住宿条件因素的影响程度。如果影响

    程度相同,则量化值为1;如果比的影响程度稍强其量化值为3,……。如果比的影响量化值为3,则反过来比的影响量化值为3的倒数1/3。具体影响程度量化

    值如图所示:

    将四种因素就旅游方案进行两两比较,根据比较的影响程度得出下列两两比较表格如下:

    e733a9e7c332a769fe953d0ac7dbe013.png

    435f1760539c52cf0f083c31c6d0c184.png

    【层次单排序及一致性检验】将所得的跟各种因素进行比较的结果通过一致性随机指标的满足情况进行对比。(一致性随机指标为固定值)

    n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

    RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51

    e6d84748bd89ed735662d9f67572cf6f.png

    【层次总排序及一致性检验】这是在多层次分析的过程中需要进行的操作,分为决策层、指标层,只是进一步将单排序内容进行操作一次。

    (本题不涉及,故没有操作内容展示)

    【根据比较矩阵可得各层次的权重值,从而得到各方案的得分排名】这是根据矩阵的一致性检验的结果通过MATLAB软件编程进行解决的。

    (编程程序见附录-7)

    83283a65447ea068a836fb732f311d1f.png

    【说明结论】需要对所得出的结果进行分析,带入实际问题进行检验,如果所得出的结论和实际相差很大,便可以舍去。重新建立模型进行解决(如:模糊评价法)

    本题就是优先选择去杭州

    【程序(附录)】

    由matlab程序,可求矩阵A的最大特征根,及相对应的特征向量。

    clear;

    clc;

    A=[1,3,7,5;1/3,1,3,3;1/7,1/3,1,1/3;1/5,1/3,3,1];%输入比较矩阵

    n=length(A);%说明矩阵大小

    [b,lam]=eig(A);%求特征方程,特征根

    max_lam=max(abs(eig(A)));%找出最大特征根

    CI=(max_lam-n)/(n-1)%

    RI=[0,0,0.58,0.9,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45,1.49,1.51];%一致性随机指标

    RI(n)

    CR=CI/RI(n)

    END

    注意事项

    层次分析法特别适用于社会、生活、经济系统决策中。

    是系统科学中常用的一种系统分析方法,要多练习,掌握。

    能合理地将定性与定量的决策结合起来,按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。

    展开全文
  • 层次分析法

    千次阅读 2021-01-22 18:06:33
    层次分析法(AHP) 层次分析法(The analytic hierarchy process),主要用于解决数学建模中评价类问题。 评价类问题是数学建模中较为常见的一类问题,解决这一类问题的途径有很多,但我认为最简单而又高效的方式是...

    层次分析法(AHP)

    层次分析法(The analytic hierarchy process),主要用于解决数学建模中评价类问题。

    评价类问题是数学建模中较为常见的一类问题,解决这一类问题的途径有很多,但我认为最简单而又高效的方式是以“评分”来解决。

    但是评分的标准是什么呢?又该以怎样的方式评分?这就引申出了这一关键算法——层次分析法。

    层次分析法的步骤:

    Step 1:分析系统中各因素之间的关系,建立系统的“递阶层次结构”

    逻辑图演示
    这里需要说明的是,不同问题中,对于某一方案,对于决定的它的影响因素的个数可能是不一样的

    例如上图,影响方案1的因素有因素1,2,3…,但是影响方案2的因素只有因素1,3…,以此类推。

    但是解决办法的核心思想是一致的,不一样只是最后求“总得分”的方式。

    Step 2:对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性,进行两两比较,构造“判断矩阵”

    在这一步骤中,我们需要思考,如何确定“对于同一层次的各元素”关于“上一层次中某一准则”的重要性,这里就要引入标度的概念。

    “分而治之”的思想

    问题:一次性考虑N个指标之间的关系,往往考虑不周
    解决方法:每两个指标进行比较,最终根据两两比较的结果推算最终权重
    标度图
    进行全部的比较之后,便可以得到这样一个矩阵:
    判断矩阵
    我们称这样的矩阵为判断矩阵,不难看出,这是一个“n×n”的方阵,记为A,对应元素为aij

    判断矩阵的特点:

    1、aij表示的意义是,与j指标相比,i的重要程度;
    2、当i=j时,两个指标相同,因而一样重要,记为1;
    3、aij>0且满足aij×aji=1。

    Matlab中的代码实现:

    %判断矩阵
    %判断一个矩阵是否为判断矩阵 正互反矩阵
    
    a=0;   %初始化矩阵的行数
    b=0;   %初始化矩阵的列数
    a=input('请输入矩阵的行数:');
    b=input('请输入矩阵的列数:');
    
    if(a ~= b)
            disp('不是判断矩阵!');
    else
            %初始化判断矩阵
            c=zeros(a,b);
            c=input('请依次输入矩阵的元素:');
           
            k=0;
            for i=1:a
                for j=1:a
                    if(c(i,j) ~= c(j,i))
                        k=1;
                    end
                end
            end  
            
            if(k==0)
                disp('是判断矩阵!');
            else
                disp('不是判断矩阵!');
            end   
    end
    

    Step 3:根据判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重,并进行一致性检验(一致性检验合格后,所求权重才可使用)

    这里我们先引入一致矩阵的概念:
    若判断矩阵满足aij×ajk=aik,则我们称其为“一致矩阵”

    例如:
    非一致矩阵
    一致矩阵
    可以发现,一致矩阵的每一行(列)的元素成比例
    (在实际的数学建模中,我们往往是以此来判断是否为“一致矩阵”)。

    Matlab中的代码实现:

    %一致矩阵
    %判断一个“判断矩阵”是否为“一致矩阵”
    
    a=0;
    a=input('请输入判断矩阵的阶数:');
    
    b=zeros(a,a);
    b=input('请依次输入判断矩阵的每个元素:');
    
    %判断变量 设定初始值为0
    c=0;
    
    % Step1 a(ij)>0
    for i=1:a
        for j=1:a
            if(b(i,j) <= 0)
                c=1;
            end
        end
    end
    
    % Step2 a(11)=a(22)=...a(nn)=1
    for i=1:a
        if(b(a,a) ~= 1)
            c=1;
        end
    end
    
    % Step3 [a(i1),a(i2)...a(in)]=k[a(11),a(22)...a(nn)]
    for i=1:(a-2)
        d=b(i,1)/b(i+1,1);
        e=b(i+1,1)/b(i+2,1);
        if(d ~= e)
            c=1;
        end
    end
    
    if(c==0)
        disp('该判断矩阵为一致矩阵!');
    else
        disp('该判断矩阵不是一致矩阵!');
    end
    

    一致性检验的步骤:

    一致性检验步骤

    注:

    1、λmax是判断矩阵的最大特征值;

    2、n是判断矩阵的迹;

    Matlab中的代码实现:

    %一致性检验
    %一致矩阵为方阵“ 且r(A)=1” “ A有一个特征值为tr(A)” “ 其余全为0%前提准备
    a=0;
    a=input('请输入判断矩阵的阶数:');
    
    b=zeros(a,a);
    b=input('请输入判断矩阵的各个元素:');
    
    % 计算判断矩阵的最大特征值
    [x,y]=eig(b);
    z=diag(y);
    m=max(z);
    
    %计算矩阵的迹 即tr(A) 函数trace(A)
    t=trace(b);
    
    
    %正式步骤 
    
    %Step1 计算“一致性指标 CI”
    CI=(m-t)/(t-1);
    
    %Step2 查找对应的“平均随机一致性指标RI”
    if t==1
        RI=0;
        
    elseif t==2
        RI=0;
        
    elseif t==3
        RI=0.52;
        
    elseif t==4
        RI=0.89;
        
    elseif t==5
        RI=1.12;
        
    elseif t==6
        RI=1.26;
        
    elseif t==7
        RI=1.36;
        
    elseif t==8
        RI=1.41;
        
    elseif t==9
        RI=1.46;
        
    elseif t==10
        RI=1.49;
        
    elseif t==11
        RI=1.52;
        
    elseif t==12
        RI=1.54;
        
    elseif t==13
        RI=1.56;
        
    elseif t==14
        RI=1.58;
        
    elseif t==15
        RI=1.59;
    end
    
    %Step3 计算一致性比例“CR” CR=CI/RI
    CR=CI/RI;
    
    
    if(CR<0.1)
        disp('一致性比例CR:');
        disp(CR);
        disp('一致性可以接受');
    else
        disp('一致性比例CR:'); 
        disp(CR);
        disp('判断矩阵偏差过大,需要修改!');
    end
    

    如果判断矩阵的CR偏大,该如何修改呢?

    答:根据“一致矩阵”的定义,修改个别数据。

    计算“一致矩阵”中的权重:

    例如:
    一致矩阵中的计算权重
    Matlab中的代码实现:

    %计算一致矩阵的权重
    %进行归一化处理便可实现
    
    a=0;
    a=input('请输入一致矩阵的阶数:');
    
    b=zeros(a,a);
    b=input('请输入一致矩阵的各个元素:');
    
    %原则上任何一行/列都可以实现
    %我这里用第一列
    s=0;
    for i=1:a
        s=s+b(i,1);
    end
    
    for i=1:a
        c(i)=b(i,1)/s;
    end
    
    

    计算“判断矩阵”中的权重:

    这里以这样的一个矩阵为例子:
    判断矩阵

    方法1:算术平均法

    Step1. 将判断矩阵按照列(行)进行归一化(每一个元素除以其所在列(行)的和);

    Step2. 将归一化的各列相加(按行求和);

    Step3. 将相加后得到的向量中每个元素除以n即可以得到权重。

    例如:
    方法1
    Matlab中的代码实现:

    %计算判断矩阵的权重
    
    %第一种方法 “算术平均法求权重”
    
    %分别根据第1-n列/行的权重,求平均值。
    
    a=0;
    a=input('请输入判断矩阵的阶数:');
    
    b=zeros(a,a);
    b=input('请输入判断矩阵的各个元素:');
    
    %Step1 计算每一列的总和
    for i=1:a
        c(i)=0;
        for j=1:a
            c(i)=c(i)+b(j,i);
        end
    end
    
    %Step2 计算每一列的权重
    for i=1:a
        for j=1:a
            d(j,i)=b(j,i)/c(i);
        end
    end
    
    %Step3 计算算术平均权重
    for i=1:a
        e(i)=0;
        for j=1:a
            e(i)=e(i)+d(i,j);
        end
        f(i)=e(i)/a;
    end
    
    方法2:几何平均法

    Step1. 将判断矩阵的元素按照行相乘得到一个新的列向量;

    Step2. 将新的向量每个分量开n次方;

    Step3. 对该列向量进行归一化即可得到权重向量。

    例如:
    方法2
    Matlab中的代码实现:

    %计算判断矩阵的权重
    
    %第二种方法 几何平均法求权重
    
    a=0;
    a=input('请输入判断矩阵的阶数:');
    
    b=zeros(a,a);
    b=input('请输入判断矩阵的各个元素:');
    
    %Step1 将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
    for i=1:a
        c(i)=1;
        for j=1:a
            c(i)=b(i,j)*c(i);
        end
    end
    
    %Step2 将新的列向量的每个分量开n次方 (n为A的阶数)
    for i=1:a
        c(i)=power(c(i),1/a);
    end
    
    %Step3 进行归一化处理
    s=0;
    for i=1:a
        s=c(i)+s;
    end
    
    for i=1:a
        d(i)=c(i)/s;
    end
    
    方法3:特征值法

    Step1. 求出判断矩阵的特征向量;

    Step2. 对求出的特征向量进行归一化处理即可得到权重向量。

    例如:
    方法3
    Matlab中的代码实现:

    %计算判断矩阵的权重
    
    %第三种方法 特征值法求权重(使用最多)
    
    a=0;
    a=input('请输入判断矩阵的阶数:');
    
    b=zeros(a,a);
    b=input('请输入判断矩阵的各个元素:');
    
    %Step1 求出A对应的特征向量
    [x,y]=eig(b);
    %x为对应的特征向量 y为对应的特征值
    
    %Step2 对求出的特征向量进行归一化处理
    s=0;
    for i=1:a
       s=s+x(i);
    end
    
    for i=1:a
        t(i)=x(i)/s;
    end
    
    对比3种方法求得的结果:

    对比结果

    Step 4:计算各层元素元素对系统目标的合成权重,并进行排序

    将最终所得的结果填入表中,然后进行“算分”,便实现了用“层次分析法”实现评价问题。

    例如:
    得分

    层次分析方法的局限性:

    1、评价的决策层不能太多,太多的话,导致n会很大,因而判断矩阵和一致矩阵的差异可能会很大;

    2、如果决策层中指标的数据是已知的,那么便不能用“层次分析法”来评价,需要用TOPSIS法来评价。

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空空如也

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三级指标层次分析法