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  • 数学建模最小二乘法

    2019-04-17 21:48:01
    数学建模
  • 常见的确定性时间序列模型有以下几种组合类型: (1)加法模型: (2)乘法模型: (3)混合模型: 或 式中: 为观测目标的观测记录,均值 ,方差 。 若预测时间内无突然变动,且随机变动的方差较小,则有理由认为,...

    五、插值与拟合

    插值和拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似,但插值和拟合的近似要求不同,注意区分。

    插值:在平面上给定一组离散点列满足函数

    ,要求一条近似曲线
    来替代目标函数,且
    近似曲线需经过所有已知数据点。

    拟合:已知有限个离散数据点,求近似函数,但不要求过所有已知数据点,只要求在某种意义上满足在这些数据点上的总偏差最小。

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    左插值;右拟合

    (图源:拟合与插值的区别? - yang元祐的回答 - 知乎 )

    5.1 插值方法

    5.1.1 分段线性插值

    分段线性插值把每两个相邻的节点用直线连接起来,由此形成的折线即分段线性插值函数,记作

    的表达式为
    ,其中

    分段线性插值的计算量小,节点数

    越大,分段越多,插值误差越小。

    5.1.2 拉格朗日插值多项式

    拉格朗日插值函数的基本表达式与分段线性函数一致,

    其基函数为:

    即满足,

    5.1.3 样条插值

    样条插值函数

    由每两个相邻数据点之间的样条函数
    组成。

    (1) 每两个相邻数据点之间的样条函数

    均为
    m次多项式,称组合成的样条插值函数为 m次样条插值函数

    (2) 样条插值函数

    在插值区间上有m-1阶连续导数。(即连接点处光滑可导)

    所以,注意到,分段线性函数是一次样条插值函数。

    以三次样条插值函数为例,

    且需满足:

    5.1.4 插值工具箱

    1. 一维插值函数

    Matlab中现成的一维插值函数interp1,命令为

    y 

    其中:x0,y0是已知数据点;x是插值点;y是插值点的函数值。'method'指插值的方法,默认为线性插值:

    'nearest'最近邻插值

    'linear'线性插值

    'spline'立方样条插值

    'cubic'立方插值

    所有插值方法要求x0单调,当x0等距时可使用快速插值,例如'*nearest'。

    2.三次样条插值

    Matlab中三次样条插值有如下函数:

    y 

    其中:x0,y0是已知数据点;x是插值点;y是插值点的函数值。

    提倡使用csape函数,且csape函数返回值为pp,需要调用fnval()函数来求取插值点的函数值

    详情查看"帮助"文档,doc csape。

    3. 二维插值

    所谓二维插值,则插值函数是二元函数,插值节点为二维变量,即曲面。

    1)插值节点为网格节点

    已知

    个节点:
    ,
    ;
    。求点
    处的插值

    Matlab中计算二维插值的命令为:

    z 

    其中:x0,y0分别为

    维和
    维向量,表示节点;z0为
    矩阵,表示节点值;x和y为一维数组,表示插值点,x与y应是方向不同的向量,即一个是行向量,一个是列向量;z是矩阵,它的行数为y的维数,列数为x的维数,表示得到的插值;'method'的用法同上面的一维插值。

    三次样条插值的二维插值命令为:

    pp 

    5.2 最小二乘法曲线拟合

    5.2.1 线性最小二乘法

    曲线拟合与插值不同,其要求寻求一个函数曲线

    ,使
    在某种准则下与所有数据点最为接近,即曲线拟合得最好。

    线性最小二乘法是解决曲线拟合最常用的方法,其设拟合曲线函数为

    式中:

    为事先选定的一组线性无关的函数;
    为待定系数
    ,且

    已设定了拟合函数的形式,我们需要指定某种拟合准则,来衡量该函数与所有数据点的距离。

    最小二乘法的拟合准则为使

    的距离
    的平方和最小。

    则线性最小二乘法的数学模型表示为:

    式(7)的优化问题可以很容易地通过极值的必要条件

    ,得到关于待定系数
    的方程组求解。

    关于拟合函数中的

    函数的选取,通常为以下几类:

    1)直线

    2)多项式

    3)双曲线(一支)

    4)指数曲线

    5.2.2 最小二乘法的Matlab实现

    Matlab自带了

    次多项式拟合的命令,其中

    Matlab命令为:

    a 

    5.3 最小二乘优化

    最小二乘优化问题的数学模型:

    对于最小二乘优化问题,Matlab提供了多种函数供使用:lsqlin、lsqcurvefit、lsqnonlin、lsqnonneg。

    5.3.1 lsqlin函数

    求解

    Matlab命令为:

    x 

    5.3.2 lsqcurvefit函数

    给定输入输出数列xdata, ydata,求参量x,使得

    Matlab中的函数为:

    x 

    其中:fun为定义函数

    的M文件。

    5.3.3 lsqnonlin函数

    已知函数向量

    ,求
    使得

    Matlab中的函数为

    x 

    其中:fun是定义向量函数

    的M文件。

    5.3.4 lsqnonneg函数

    求解非负的

    ,使得

    Matlab中的命令为

    x 

    八、时间序列

    将预测对象按时间顺序排列起来,构成所谓的时间序列,从这一组时间序列过去的变化规律中,推断今后变化的可能性及变化趋势、变化规律,就是时间序列预测法。

    时间序列预测法:优点简单易行,精度较好,易组合;缺点不能反映事物的内在联系,不能分析两个因素的相关关系,只适用于短期预测

    8.1 确定性时间序列分析方法

    一个时间序列往往是以下几种基本变化形式的叠加或耦合:

    (1)长期趋势变动。指时间序列朝着一定的方向持续上升或下降,或停留在某一水平上的倾向,反映了客观事物的主要变化趋势。

    (2)季节变动。

    (3)循环变动。通常是指周期为一年以上,由非季节因素引起的涨落起伏波形相似的波动。

    (4)不规则变动。通常分为突然变动和随机变动。

    表示
    长期趋势项
    表示
    季节变动趋势项
    表示
    循环变动趋势项
    表示
    随机干扰项。常见的确定性时间序列模型有以下几种组合类型:

    (1)加法模型

    (2)乘法模型

    (3)混合模型

    式中:

    为观测目标的观测记录,均值
    ,方差

    若预测时间内无突然变动,且随机变动的方差较小,则有理由认为,过去和现在的演变趋势将延续到未来

    下面介绍几种经验方法,来预测时间序列。

    8.1.1 移动平均法

    一次移动平均计算公式:

    二次移动平均计算公式:

    一次移动平均法的预测模型为:

    趋势移动平均法的预测模型:

    式中:

    移动平均法只适合做近期预测,而且是预测目标的发展趋势变化不大的情况。

    8.1.2 指数平滑法

    指数平滑法可对各期观测值依照时间顺序进行加权平均作为预测值,且具有简单的递推形式。

    指数平滑法根据平滑次数的不同,又分为一次指数平滑法、二次指数平滑法和三次指数平滑法等。

    1.一次指数平滑法

    预测模型为:

    直观上看,下一时刻的预测值为上一时刻预测值加上

    倍上一时刻的预测误差。

    展开来看:

    式(18)表明,

    为过去全部历史数据的加权平均,加权系数分别为
    ,等,且显然有:

    由于该加权系数符合指数规律,且具有平滑数据的功能,故称之为指数平滑。

    2.二次指数平滑法

    二次指数平滑法即在一次平滑的基础上,把一次平滑的结果再作为新数据进行第二次指数平滑。

    计算公式为

    当时间序列从某时期开始具有直线趋势时,可用直线趋势模型

    进行预测。

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  • 数学建模为了让更多人认识数模我们决定推出这篇推文希望这篇推文能够带你快速了解数学建模????/ P A R T 1「 什么是数学模型」在了解什么是数学建模之前,我们应该先知道什么是数学模型。其实早在进入大学之前,我们...
    9eca777cc2643e4415f80c5f7f27241e.gif

    初入大学校园的你

    也许还未弄清楚高数是什么

    但就开始隐约从高数老师口中

    得知一个崭新的名词😰

    数学建模

    为了让更多人认识数模

    我们决定推出这篇推文

    希望这篇推文

    能够带你快速了解数学建模👇

    /  P A R T   1 

    「 什么是数学模型 」

    在了解什么是数学建模之前,我们应该先知道什么是数学模型。其实早在进入大学之前,我们就或多或少地接触过数学模型。如速度、时间与位移之间关系的模型:S=Vt。重力加速度的模型:S=1/2a^2。这些由数字、字母或其它数学符号组成的,描述现实对象数量规律的数学公式、图像或算法,都称为数学模型。

    「 举个例子」

    为了更好的理解数学模型,我们可以举个例子来加以说明。譬如我们在初中就接触过的“航行问题”。 甲乙两地相距750Km,船从甲到乙顺水航行需30h,从乙到甲逆水航行需50h,问,船速和水速各多少。 我们用x,y分别代表船速和水速,接着由题意可得到下图: d0fcf1646243247595b3fd8ca715e2d6.png

    船从甲地移动至乙地时,船的速度方向与水的速度方向相同,所以这时船的实际速度为x+y,接着利用速度、时间与位移的公式,即可得到;

           (x+y)×30=750      模型一

    接着继续对船从乙地移动至甲地时的运动状况进行讨论,这时船的速度方向与水的速度方向相反,所以这时船的实际速度为x-y,接着再利用速度、时间与位移的公式,即可得到;

           (x-y)×50=750      模型二

    在这里,模型一与模型二就是这道“航行问题”的数学模型。

    「 关于数学建模 」

    而在了解了数学模型后,我们离走进数学建模就只剩一步了!我们依旧以“航行问题”为例,对刚刚提出的模型进行求解,得到x=20km/h,y=5km/h。之后我们再回头看,从我们令x,y分别代表船速和水速到我们求解出x和y的具体值的整个过程,实际上就是一个数学建模的过程。

    我们根据题目,论述出我们的解题思路,利用了哪些原理,得到了哪些模型,最后根据模型进行解模,得到答案。这一完整过程即是数学建模。

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    (建模流程图)

    /  P A R T   2 

    「 数学建模解决的问题 」

    说完了数学建模的过程,我们再来聊聊数学建模解决的问题。数学建模涉及的领域很广泛,几乎所有实际问题都可以通过一定的方式转化为一道数学建模问题。其中,大多数的问题可以归结为这三个方面。优化类问题、预测类问题和评价类问题。

    「 优化类问题 」

    其实早在高中的学习中我们就接触过优化类问题,线性规划体现的就是优化思想。而在实际中,从企业的生产方案制定到工厂的资源配置,再到生产过程中的最优控制、排队策略等,都属于优化问题。在解决这类问题时,我们常常会用到运筹学的思想,对于一些问题,还会用到现代优化算法。下图为迭代路径图,红色为牛顿法迭代路径,绿色为梯度下降法的迭代路径。

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    (迭代路径图)

    「 预测类问题 」

    预测类问题在生活中也比较常见,比如银行需要预测股市的行情、企业做投资规划时需要预测行业未来发展变化等。由于经济发展的需要,专门解决这类问题的理论体系也非常完善,比如我们高中就学习过的最小二乘法。此外比较常见的方法还有时间序列模型,灰色预测模型等。下图为常见的线性拟合图。 81c160489cc3e6d6885444bd0ea6660a.png (线性拟合图)

    「 评价类问题 」

     我们在实际生活中,经常需要对某种事物进行评价,比如评价城市A和城市B经济发展水平。这时如果城市A的GDP总量和增速高于城市B,我们就可以说城市A的经济发展水平显著高于B。但是当我们需要对一些复杂的事物进行评分和比较时,比如城市的开放水平,人才吸引力水平等。就常常需要自己建立指标、查找大量数据和使用合理的方法来进行评价。下图为常见的模型评价曲线图。

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    (模型评价曲线图)

    /  P A R T   3 

    「 如何更好地学习数学建模」

    • 阅读数学建模书籍

      1、姜启源,谢金星、叶俊《数学建模(第三版)》,高等教育出版社。

      2、司守奎《数学建模算法与应用》,国防工业出版社。

    • 加入数学建模课程

      同学们可以在选课中选择梅良才老师的数学建模通选课,即使没有选上也可以在周四第11-12节到MB306旁听。

    • 参加数学建模竞赛

      学校每年都会统一组织参加数学建模类比赛。例如:数模校内赛,国赛和美赛。

    • 关注数学建模协会

      数学建模协会由一群热爱数模的同学组成。在这里不仅有良好的数模氛围,还有全北理珠最好的数学建模资源。

    /  P A R T 4 

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    编辑-李庆禧

    审核-聂   羽

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  • 假设 y = f(x),那么每个x应该会...最小二乘法就是常用的一种配线方式。最小二乘法是一种数学优化技术,它通过最小误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。最小二乘法常用于曲线拟合。下面,我们通过一个例子来...

    假设 y = f(x),那么每个x应该会对应一个y。对一个未知公式的 f(x)系统,在科学实验中,常常需要测量两个变量的多组数据,然后找出他们的近似函数关系。通常,我们把这种处理数据的方法称之为经验配线,所找到的函数关系称为经验公式。最小二乘法就是最常用的一种配线方式。

    最小二乘法是一种数学优化技术,它通过最小误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。最小二乘法常用于曲线拟合。

    下面,我们通过一个例子来研究最小二乘法函数polyfit的使用。

    首先,我们通过数据采集,得到一组y和x数据的对应关系并绘制成曲线。

    x = [88    88    96    98    99   101   101   102   102   104   105   106   107   109   111   113   113   113   116   119   121   121   126   128   128   132   134   140   140   141   141  145   147   148  150   153   154   154   154   155   158   160   161   165   166   168   172   174];
    
    y = [2.5882       2.7059       2.8729       2.8834       2.9814       3.0909       3.1638       3.2353       3.3929       3.5404       3.6158       3.7569       3.8235        3.865   3.8824       3.9286       3.9394       4.1765       4.2353       4.3558       4.5856       4.6061       4.6584       4.7059       4.7826       4.8066       4.8214       4.8824   4.9697       5.0847        5.092        5.092       5.1381       5.1553       5.1786       5.2381       5.2727       5.4118       5.4237       5.5882       5.5932       5.8564   5.9627        6.135       6.4972       6.6071       6.6471       6.8485];
    
    plot(x,y,'o');

    7f3450c62e634a92ba169d6825eeafc5.png
    原始采样数据

    通过polyfit进行一阶拟合

    x = [88    88    96    98    99   101   101   102   102   104   105   106   107   109   111   113   113   113   116   119   121   121   126   128   128   132   134   140   140   141   141  145   147   148  150   153   154   154   154   155   158   160   161   165   166   168   172   174];
    
    y = [2.5882       2.7059       2.8729       2.8834       2.9814       3.0909       3.1638       3.2353       3.3929       3.5404       3.6158       3.7569       3.8235        3.865   3.8824       3.9286       3.9394       4.1765       4.2353       4.3558       4.5856       4.6061       4.6584       4.7059       4.7826       4.8066       4.8214       4.8824   4.9697       5.0847        5.092        5.092       5.1381       5.1553       5.1786       5.2381       5.2727       5.4118       5.4237       5.5882       5.5932       5.8564   5.9627        6.135       6.4972       6.6071       6.6471       6.8485];
    
    %一阶拟合
    coefficient=polyfit(x,y,1);
    
    %将拟合后系数带入公式 Y = P(1)*X^N + P(2)*X^(N-1) + ... + P(N)*X + P(N+1)
    yn=polyval(coefficient,x);
    
    plot(x,y,'o');hold on;
    plot(x,yn,'-k');hold on;
    legend(sprintf("x-y"),sprintf("yn = (%f)x + (%f)",coefficient(1,1),coefficient(1,2)));

    bb4764ad8d172884fecfda1517d6956c.png
    1阶拟合的曲线效果

    通过polyfit进行二阶拟合

    x = [88    88    96    98    99   101   101   102   102   104   105   106   107   109   111   113   113   113   116   119   121   121   126   128   128   132   134   140   140   141   141  145   147   148  150   153   154   154   154   155   158   160   161   165   166   168   172   174];
    
    y = [2.5882       2.7059       2.8729       2.8834       2.9814       3.0909       3.1638       3.2353       3.3929       3.5404       3.6158       3.7569       3.8235        3.865   3.8824       3.9286       3.9394       4.1765       4.2353       4.3558       4.5856       4.6061       4.6584       4.7059       4.7826       4.8066       4.8214       4.8824   4.9697       5.0847        5.092        5.092       5.1381       5.1553       5.1786       5.2381       5.2727       5.4118       5.4237       5.5882       5.5932       5.8564   5.9627        6.135       6.4972       6.6071       6.6471       6.8485];
    
    %二阶拟合
    coefficient=polyfit(x,y,2);
    
    %将拟合后系数带入公式 Y = P(1)*X^N + P(2)*X^(N-1) + ... + P(N)*X + P(N+1)
    yn=polyval(coefficient,x);
    
    plot(x,y,'o');hold on;
    plot(x,yn,'-k');hold on;
    legend(sprintf("x-y"),sprintf("yn = (%f)x² + (%f)x + (%f)",coefficient(1,1),coefficient(1,2),coefficient(1,3)));

    aac2d4803239fc1faf978155d538ffd2.png

    同理,可得到更多阶拟合的效果

    73f60e74b83d7e689b608a30d7656f92.png
    3阶拟合

    68f012d85c2e2ebc25a437a3aee70ee1.png
    6阶拟合

    由此可见,在系统允许的条件下,阶数越多,拟合出来的曲线越逼近真实的测量曲线。这个工作要是放在人工设计里实现,将会是一个非常繁琐的事情,最小二乘法恰恰非常适合解决这类曲线拟合的工作。

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  • 01 研究问题 在构建多重线性回归模型时,需要满足4个条件:因变量与自变量之间存在线性关系(Line),各观测值之间相互独立(Independence),残差近似正态分布(Normality),残差的方差齐(Equal variance),即LINE原则。...

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    01 研究问题

    在构建多重线性回归模型时,需要满足4个条件:因变量与自变量之间存在线性关系(Line),各观测值之间相互独立(Independence),残差近似正态分布(Normality),残差的方差齐(Equal variance),即LINE原则。如果不满足方差齐性时,应该如何解决?

    首先如何判断残差的方差齐?即残差的大小不随预测值水平的变化而变化,通常在分析残差的时候,可以通过绘制普通残差或者标准化残差与预测值的散点图进行判断。若残差方差齐,则如下图中a的情况,不论预测值的大小,残差都具有相同的分布,其不随预测值的变化而变化。而如果残差不齐,则如下图b所示,残差的分布随着变量的取值的增大而呈现扩散趋势。

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    02 方法说明

    在多重线性回归中,我们采用的是普通最小二乘法(OLS)估计参数,对模型中每个观测点是同等看待的。但是在有些研究问题中,例如调查某种疾病的发病率,以地区为观测单位,地区的人数越多,得到的发病率就越稳定,因变量的变异程度就越小,而地区人数越少,得到的发病率就越大。在这种情况下,因变量的变异程度会随着自身数值或者其他变量的变化而变化,从而不满足残差方差齐性的条件。

    为了解决这个问题,我们采用加权最小二乘法(WLS)的方法来估计模型参数,即在模型拟合时,根据数据变异程度的大小赋予不用的权重,对于变异程度较小,测量更准确的数据赋予较大的权重,对于变异程度较大,测量不稳定的数据则赋予较小的权重,从而使加权后回归直线的残差平方和最小,确保模型有更好的预测价值。

    03 加载数据

    某研究人员研究PM2.5浓度与癌症发病率之间的关联性,以地区为观测单位,收集40个地区的癌症发病率,PM2.5年平均浓度,人口数量(万),地区来源(农村=0,城市=1)等信息。(数据为模拟数据)

    4007494d3319e914474410a5ef39ea3a.png

    04 方差齐检验

    dt <- read.csv('data.csv',stringsAsFactors=F)
    fit <- lm(dt$Cancer~.,data=dt)  #构建多元线性回归
    #图形可视化展示
    plot(rstandard(fit)~fitted(fit),xlab='y_fit',ylab = 'y.rst',main='fit')
    #采用car包中ncvTest()检验
    car::ncvTest(fit)  ##p = 0.025278 

    a03cc7ccdbeabfbcb8da7833e3689aa0.png

    由上图左一可看出,标准化残差的变异程度会随着预测值的增大而增大,呈现扩散趋势,表明残差不满足方差齐性的假设。同时,我们采用函数来检验方差是否恒定,结果P值<0.05,表明不满足方差不变的假设。因此需要优化模型。

    05 构建加权最小二乘法模型

    AIC_ <- c();ID <- c()
    for(i in seq(0,5,0.5)){
    fit.w <- lm(Cancer~.,weights = 1/Population^i,data = dt)
    AIC_ <- c(AIC_,AIC(fit.w));ID <- c(ID,i)}
    i <- ID[which.min(AIC_)] ##i =2.5
    fit.w <- lm(Cancer~PM2.5+Population+District,weights = 1/Population^i,data = dt)
    #做残差图
    plot(rstandard(fit.w)~fitted(fit.w),xlab='y_fit',ylab = 'y.rst',main='fit.w')
    car::ncvTest(fit.w) #p = 0.70338
    AIC(fit,fit.w)  ##426.61;413.84

    根据专业知识和经验判断,Population可能是导致残差不满足方差齐性的重要因素,因此需要对该变量进行加权。由于残差随着预测值增大而增大,因此作一个for循环,幂指数i从0到5,步长为0.5,用来定义weights参数中权重变量的指数,一共构建11个方程,根据AIC选择最优的拟合指数。

    结果显示幂指数为2.5的时候AIC值最小,以此指数构建的模型残差图如上图右一所示,残差不随预测值的变化而变化,且函数检验的方差P>0.05,说明残差满足方差齐性的检验。同时,对比两个模型的AIC值,可发现校正后的模型AIC值变小,说明该模型优于原模型。

    06 模型结果

    本例模型结果显示PM2.5平均浓度、不同地区来源(District)和不同人口数量对癌症的发病率的影响都有统计学显著性(P<0.05),其偏回归系数较普通最小二乘法更为稳健。

    #Coefficients:
    #             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
    #(Intercept) -501.2529   151.2624  -3.314  0.00211 ** 
    #PM2.5          4.5189     1.4006   3.226  0.00267 ** 
    #Population     1.1607     0.1983   5.854 1.09e-06 ***
    #District      30.5269    11.9389   2.557  0.01492 *
    #
    #Residual standard error: 0.1334 on 36 degrees of freedom
    #Multiple R-squared:  0.7889,  Adjusted R-squared:  0.7714 
    #F-statistic: 44.86 on 3 and 36 DF,  p-value: 3.018e-12

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