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    整数线性规划

    初步讨论
    1. 先不考虑 x i ∈ Z x_i\in Z xiZ的条件,求解原问题
    2. 根据1中解的情况寻找到 x i ∈ Z x_i\in Z xiZ的一个最优解
      • 枚举法(在可行域中找到所有的整数点,然后代入目标函数,求出最优解)的局限性太大,需要引入像引入单纯形法一样引入某种方法来处理整数问题
      • 分支定界法和割平面法
    分支定界法
    • 本质:可以理解为一种二分比较,把可行域分成两个部分,在两个可行域进行比较,在两个可行域得出结果之后如果过满足条件则停止,否则继续分割可行域,逐步减小目标函数值的上界和增大下界,直到满足要求为止

    • e.g. max ⁡ z = 40 x 1 + 90 x 2 ,   s . t . { 9 x 1 + 7 x 2 ≤ 56 7 x 1 + 20 x 2 ≤ 70 x i ≥ 0 , x i ∈ Z \max z=40x_1+90x_2 , ~s.t. \left\{\begin{array}{c} 9x_1+7x_2\le 56\\ 7x_1+20x_2\le 70\\ x_i\ge 0,x_i\in Z \end{array}\right. maxz=40x1+90x2, s.t.9x1+7x2567x1+20x270xi0,xiZ

      1. 首先不考虑 x i ∈ Z x_i\in Z xiZ的约束条件,即问题 B B B max ⁡ z = 40 x 1 + 90 x 2 s . t . { 9 x 1 + 7 x 2 ≤ 56 7 x 1 + 20 x 2 ≤ 70 x i ≥ 0 \begin{array}{l}\max z=40x_1+90x_2 \\ s.t.\left\{\begin{array}{c} 9x_1+7x_2\le 56\\ 7x_1+20x_2\le 70\\ x_i\ge 0 \end{array}\right.\end{array} maxz=40x1+90x2s.t.9x1+7x2567x1+20x270xi0,求得此问题的最优解: x ∗ = ( 4.81 , 1.82 ) T ,   z ∗ = 356 x^*=(4.81,1.82)^T,~z^*=356 x=(4.81,1.82)T, z=356

      2. 基于 x 1 x_1 x1,对原问题增加两个约束条件 x 1 ≤ 4 , x 1 ≥ 5 x_1\le 4,x_1\ge 5 x14,x15(也可以对 x 2 x_2 x2增加约束条件),从而将原问题分解为两个子问题 B 1 B_1 B1 B 2 B_2 B2,不考虑整数条件解问题 B 1 B_1 B1 B 2 B_2 B2,得到各自的最优解
        B 1 :   x ∗ = ( 4 , 2.1 ) T , z ∗ = 349 B_1:~x^*=(4,2.1)^T,z^*=349 B1: x=(4,2.1)T,z=349 B 2 :   x ∗ = ( 5 , 1.57 ) T , z ∗ = 341 B_2:~x^*=(5,1.57)^T,z^*=341 B2: x=(5,1.57)T,z=341

        注:若 B B B没有可行解则直接停止;若 B B B的最优解符合整数条件,则直接得到最优解

      3. 得到 0 ≤ z ∗ ≤ 349 0\le z^*\le 349 0z349,继续对问题 B 1 B_1 B1 B 2 B_2 B2进行分解,由于 349 > 341 349>341 349>341,因此先分解 B 1 B_1 B1,增加两个约束条件 x 2 ≤ 2 , x 2 ≥ 3 x_2\le 2,x_2\ge 3 x22,x23,分解为两个子问题 B 3 B_3 B3 B 4 B_4 B4

      4. B 3 B_3 B3解都是整数,因此更新下界 340 ≤ z ∗ ≤ 341 340\le z^*\le 341 340z341 B 4 B_4 B4最优值小于下界,因此进行剪枝

        注:求出一个可行解(满足整数条件)才更新下界

        注:若求出的最优值小于当期下界,则进行剪枝,不再对该问题进行分支

      5. B 2 B_2 B2进行分解得到 B 5 B_5 B5 B 6 B_6 B6,对于 B 5 B_5 B5,最优值小于下界,剪枝; B 6 B_6 B6无可行解

      6. 最终得到最优整数解为 x ∗ = ( 4 , 2 ) T , z ∗ = 340 x^*=(4,2)^T,z^*=340 x=(4,2)T,z=340

      请添加图片描述

    割平面法
    • 割平面的本质是找到一个特殊的约束,以减小原问题的可行域。特殊点:1. g 新 g_新 g像一把刀一样,切下去把一部分非整数解直接排除掉,2. Cannot read property 'type' of undefined解(交点)是整数点

    • e.g. max ⁡ z = x 1 + x 2 ,   s . t . { − x 1 + x 2 ≤ 1 3 x 1 + x 2 ≤ 4 x i ≥ 0 , x i ∈ Z \max z=x_1+x_2 , ~s.t. \left\{\begin{array}{c} -x_1+x_2\le 1\\ 3x_1+x_2\le 4\\ x_i\ge 0,x_i\in Z \end{array}\right. maxz=x1+x2, s.t.x1+x213x1+x24xi0,xiZ

      1. 首先引入松弛变量化成等式约束: max ⁡ z = x 1 + x 2   s . t . { − x 1 + x 2 + x 3 = 1 3 x 1 + x 2 + x 4 = 4 x i ≥ 0 , x i ∈ Z \begin{array}{l}\max z=x_1+x_2 \\~s.t.\left\{\begin{array}{c} -x_1+x_2+x_3= 1\\ 3x_1+x_2+x_4= 4\\ x_i\ge 0,x_i\in Z \end{array}\right.\end{array} maxz=x1+x2 s.t.x1+x2+x3=13x1+x2+x4=4xi0,xiZ
        不考虑整数条件求得最优解 x = ( 3 4 , 7 4 , 0 , 0 ) T , max ⁡ z = 5 2 x=(\frac{3}{4},\frac{7}{4},0,0)^T,\max z=\frac{5}{2} x=(43,47,0,0)T,maxz=25

        请添加图片描述

      2. 在上述单纯形法计算的终表中可以得到相应的表达式
        x 1 − 1 4 x 3 + 1 4 x 4 = 3 4 x 2 + 3 4 x 3 + 1 4 x 4 = 7 4 x_1-\frac{1}{4}x_3+\frac{1}{4}x_4=\frac{3}{4}\\ x_2+\frac{3}{4}x_3+\frac{1}{4}x_4=\frac{7}{4} x141x3+41x4=43x2+43x3+41x4=47

      3. 将系数和常数项都分解成整数和非负真分数(包括0)两部分之和然后整数和分数部分分开
        x 1 − x 3 = 3 4 − ( 3 4 x 3 + 1 4 x 4 ) x 2 − 1 = 3 4 − ( 3 4 x 3 + 1 4 x 4 ) x_1-x_3=\frac{3}{4}-(\frac{3}{4}x_3+\frac{1}{4}x_4)\\ x_2-1=\frac{3}{4}-(\frac{3}{4}x_3+\frac{1}{4}x_4) x1x3=43(43x3+41x4)x21=43(43x3+41x4)

      4. 根据 x 1 x_1 x1 x 2 x_2 x2是整数可以推出 x 3 x_3 x3 x 4 x_4 x4也是整数。上述等式左侧是整数,因此右侧也是整数,于是右侧最大值只能为0,即
        3 4 − ( 3 4 x 3 + 1 4 x 4 ) ≤ 0 \frac{3}{4}-(\frac{3}{4}x_3+\frac{1}{4}x_4)\le 0 43(43x3+41x4)0

      5. 将此不等式作为新的约束条件(切割约束、切割方程),并引入松弛变量得到
        − 3 x 3 − x 4 + x 5 = − 3 -3x_3-x_4+x_5=-3 3x3x4+x5=3 请添加图片描述

      6. 使用对偶单纯形法或者人工变量法进行计算

        由于系数列中 x 5 x_5 x5对应的系数 b b b为负数,因此选择 x 5 x_5 x5作为换出变量。由于
        θ = min ⁡ j ( c j − z j a l j ∣ a l j < 0 ) = min ⁡ [ − 1 2 − 3 , − 1 2 − 1 ] = 1 6 \theta=\min\limits_j\left(\frac{c_j-z_j}{a_{lj}}\left|a_{lj}<0\right.\right)=\min\left[\frac{-\frac{1}{2}}{-3},\frac{-\frac{1}{2}}{-1}\right]=\frac{1}{6} θ=jmin(aljcjzjalj<0)=min[321,121]=61
        因此选择 x 3 x_3 x3作为换入变量,使用单纯形法进行迭代

        请添加图片描述

      7. 最终解得最优解 x = ( 1 , 1 , 1 , 0 , 0 ) T x=(1,1,1,0,0)^T x=(1,1,1,0,0)T,最优值 max ⁡ z = 1 × 1 + 1 × 1 + 0 × 1 = 2 \max z=1\times 1+1\times 1+0\times 1=2 maxz=1×1+1×1+0×1=2

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  • 1. 从分支定界(branch and ...分支定界法最终生成一颗树,当整数变量非常多时,求解节点会指数速度增加,因此需要使用一些方法提高求解速度,割平面法便是重要方法之一。分支的过程其实本身就是割平面的过程,floo...

    1. 分支割平面(branch and cut)

    割平面简单来说,就是添加约束条件。在使用分支定界法时,我们一般是首先尝试添加各种割平面后看能不能求出整数解,如果不行再分支。这种方法叫做Branch and Cut
    首先介绍一些基本的cut方法:

    1. rounding:
      比如整数变量 x ≤ 1.5 x\le 1.5 x1.5可以转化为 x ≤ 1 x\le 1 x1
      还有GCD reduction:比如 3 x + 6 y + 9 z ≤ 11 3x+6y+9z \le 11 3x+6y+9z11,同时除以3后有 x + 2 y + 3 z ≤ 3 x+2y+3z\le 3 x+2y+3z3
      Gomory rouding cut:比如 3 x + 3 y + 5 z ≤ 8 3x+3y+5z\le 8 3x+3y+5z8,同时除以3有 x + y + 5 / 3 z ≤ 8 / 3 x+y+5/3z\le 8/3 x+y+5/3z8/3,两边rounding得到 x + y + z ≤ 2 x+y+z\le2 x+y+z2
    2. lifting:
      比如 4 x + y ≥ 2 , x 4x+y\ge 2, x 4x+y2,x binary,x从0提升到1,左边slack为2,x前面的系数可以减去2变为 2 x + y ≥ 2 2x+y\ge 2 2x+y2
    3. disjunction:
      比如 x + y ≥ 3.5 , x , y ≥ 0 , y x+y\ge 3.5,x,y\ge0,y x+y3.5,x,y0,y integer,可以把y拆分为 y ≥ 4 y \ge 4 y4 y ≤ 3 y\le 3 y3两部分。

    2. cut介绍

    剪枝方法分为对约束形式有要求的特殊剪枝以及通用的剪枝:

    • Generic Cuts (valid for any MILP)
      Gomory Mixed Integer
      Mixed Integer Rounding
      Disjunctive cut
    • Special Structures (valid for certain relaxations of MILPs)
      Knapsack / Gub Cover, Pack (many applications)
      Flow Cover / Path (fixed charge network flow, lot-sizing, …)
      Cliques / Odd-Hole (set partitioning, covering, packing)
      Implied Bound (logical implications between binary variables)

    2.1 Disjunctive cut

    在分支定界算法中,添加的x≤floor[xs]和x≥ceil[xs]便是两个用来割平面的约束条件,floor[x]和ceil[x]之间的整个可行域在对x进行分支的过程中被切割掉了,称为disjunctive cuts

    2.2 Gomory cut

    先介绍Gomory的思想:假设 y + a x = b y+ax= b y+ax=b,则一定有 y + ⌊ a ⌋ x ≤ ⌊ b ⌋ y+\lfloor a\rfloor x\le \lfloor b\rfloor y+axb,然后两者相减,得到: f a x ≥ f b f_ax\ge f_b faxfb;反过来有 y + ⌈ a ⌉ x ≥ ⌈ b ⌉ y+\lceil a\rceil x\ge \lceil b\rceil y+axb,然后两者相减,得到: ( 1 − f a ) x ≥ 1 − f b (1-f_a)x\ge 1-f_b (1fa)x1fb

    Gomory可以与其他方法组合使用。假设整数规划的线性松弛问题求解结果中有一个基变量 y = b y=b y=b不是整数,对应约束: y + Σ a j x j + Σ a k x k = b y+\Sigma a_jx_j+\Sigma a_kx_k=b y+Σajxj+Σakxk=b
    令: y + Σ ⌊ a j ⌋ x j + Σ ⌈ a k ⌉ x k = t y+\Sigma \lfloor a_j\rfloor x_j+\Sigma \lceil a_k\rceil x_k=t y+Σajxj+Σakxk=t(两边取整)
    相减得到: Σ f a j x j − Σ ( 1 − f a k ) x k = b − t \Sigma f_{a_j}x_j-\Sigma (1-f_{a_k})x_k =b-t ΣfajxjΣ(1fak)xk=bt
    disjunction,有
    b − t ≥ 0 = > Σ f a j x j ≥ f b b-t\ge0=>\Sigma f_{a_j}x_j \ge f_b bt0=>Σfajxjfb
    b − t < 0 = > Σ ( 1 − f a k ) x k ≥ 1 − f b b-t<0=>\Sigma (1-f_{a_k})x_k\ge 1-f_b bt<0=>Σ(1fak)xk1fb
    合并得到 Σ f a j x j / f b + Σ ( 1 − f a k ) x k / ( 1 − f b ) ≥ max ⁡ { Σ f a j x j / f b , Σ ( 1 − f a k ) x k / ( 1 − f b ) } ≥ 1 \Sigma f_{a_j}x_j / f_b+\Sigma (1-f_{a_k})x_k/(1-f_b)\ge \max\{\Sigma f_{a_j}x_j / f_b,\Sigma (1-f_{a_k})x_k/(1-f_b)\}\ge1 Σfajxj/fb+Σ(1fak)xk/(1fb)max{Σfajxj/fb,Σ(1fak)xk/(1fb)}1
    我们一般选取 f a j ≤ f b , f a k > f b f_{a_j}\le f_b,f_{a_k}>f_b fajfb,fak>fb,这样系数都小于1,约束比较紧。

    在求解器中,一般只应用于根节点,挑选非整数最严重的一些变量(比如100个)添加gomory割平面到松弛问题上,然后重复两遍。

    2.3 MIR cut

    Mix integer rounding针对的是如下问题:
    y ≤ b + x , y ∈ Z y\le b+x,y\in Z yb+x,yZ,我们可以添加cut:
    y ≤ ⌊ b ⌋ + x / ( 1 − f b ) y\le \lfloor b\rfloor+x/(1-f_b) yb+x/(1fb)
    证明:
    f x + f b < 1 f_x+f_b<1 fx+fb<1,则原约束满足 y ≤ ⌊ b ⌋ + ⌊ x ⌋ ≤ ⌊ b ⌋ + x / ( 1 − f b ) y\le \lfloor b \rfloor+\lfloor x \rfloor\le \lfloor b\rfloor+x/(1-f_b) yb+xb+x/(1fb)
    f x + f b ≥ 1 f_x+f_b\ge1 fx+fb1,则原约束满足 y ≤ ⌊ b ⌋ + 1 + ⌊ x ⌋ ≤ ⌊ b ⌋ + ( f x + ⌊ x ⌋ ) / f x ≤ ⌊ b ⌋ + x / ( 1 − f b ) y\le \lfloor b \rfloor+1+\lfloor x \rfloor\le \lfloor b\rfloor+(f_x+\lfloor x \rfloor)/f_x\le \lfloor b\rfloor+x/(1-f_b) yb+1+xb+(fx+x)/fxb+x/(1fb)

    反过来,我们也有:
    y + x ≥ b , y ∈ Z y+x\ge b,y\in Z y+xb,yZ,我们可以添加cut:
    y + x / f b ≥ ⌈ b ⌉ y+x/f_b\ge \lceil b\rceil y+x/fbb
    如下图:
    在这里插入图片描述

    MIR的一个扩展是:
    对于问题 Σ a j y j + x − z ≤ ⌊ b ⌋ \Sigma a_jy_j+x-z\le \lfloor b\rfloor Σajyj+xzb,我们可以添加cut:
    Σ ( ⌊ a j ⌋ + ( f a j − f b ) + / ( 1 − f b ) ) y j ≤ ⌊ b ⌋ + z / ( 1 − f b ) \Sigma(\lfloor a_j \rfloor+(f_{a_j}-f_b)^+/(1-f_b))y_j\le \lfloor b\rfloor+z/(1-f_b) Σ(aj+(fajfb)+/(1fb))yjb+z/(1fb)
    证明:
    f a j ≥ f b f_{a_j}\ge f_b fajfb,则 ( f a j − f b ) / ( 1 − f b ) ≤ ( f a j − f b f a j ) / ( 1 − f b ) = f a j (f_{a_j}-f_b)/(1-f_b)\le (f_{a_j}-f_bf_{a_j})/(1-f_b)=f_{a_j} (fajfb)/(1fb)(fajfbfaj)/(1fb)=faj
    f a j < f b f_{a_j}< f_b faj<fb,使用rounding,必有 ⌊ a j ⌋ y j ≤ ⌊ b ⌋ \lfloor a_j \rfloor y_j\le \lfloor b\rfloor ajyjb

    2.4 Cover cut

    cover cut有多种,这里介绍knapsack cover cut,针对如下约束:
    Σ a x ≤ b , x \Sigma ax\le b,x Σaxb,x binary
    若集合 C C C满足 Σ C a > b \Sigma_C a > b ΣCa>b,则把 C C C称为一个cover,cover cut为:
    σ C x j ≤ ∣ C ∣ − 1 \sigma_Cx_j\le |C|-1 σCxjC1
    cover cut也可以和其他方法进行结合,如下:
    在这里插入图片描述

    2.5 clique cut

    若一系列binary变量两两互斥,则可以生成clique cut,即:
    x + y ≤ 1 , z + y ≤ 1 , x + z ≤ 1 x+y\le 1,z+y\le 1,x+z\le 1 x+y1,z+y1,x+z1
    x + y + z ≤ 1 x+y+z\le 1 x+y+z1

    3.从User cut到Lasy cut

    无论是普通B&B中的对变量进行切分,还是B&C用约束条件的小数部分形成切分,切分条件对于原问题都是符合的,称为User cut。如果原问题还有一些隐含的额外约束可以作为cut,这些cut称为Lasy cut。
    另外有种情况会使用到lasy cut,那就是有很多约束在最开始的时候是冗余的,这些约束会被放进一个pool中,时不时拿出来检查一下,如果被违反了,就加入约束中;如果有一段时间不违反了,再把它放回pool中。这样可以减少每次迭代的计算量

    4.python代码

    基本框架还是用分支定界法,每次求解完之后添加割平面的约束条件:

    def add_new_restriction(matrix):
        new_column = np.zeros(matrix.shape[0]+1)
        new_line = np.zeros(matrix.shape[1])
        new_column[-1] = -1 
        #这里简单使用第一行约束条件为基础生成新约束条件。
        new_line = matrix[1, :] 
        for index in range(0, len(new_line)):
            number = np.array(new_line[index], dtype=float)
            if number.tolist().is_integer() == False:
                new_line[index] = math.floor(new_line[index])
        matrix = np.insert(matrix, matrix.shape[0], new_line, axis=0)
        matrix = np.insert(matrix, -1, new_column, axis=1)
        return matrix
    
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  • MATLAB实现割平面法 运行效果 代码 A=[-1 3 1 0;7 1 0 1]; b=[6 35]'; c=[7 9 0 0]; [xstar,fxstar,iter] = Gomory(A,b,c) %xstar最优整数解,fxstar最优值,iter迭代次数 function [xstar,fxstar,iter] = Gomory(A...

    MATLAB实现整数规划经典方法之割平面法

    割平面法解题步骤

    1、 用单纯或对偶单纯形法求解(IP)对应的松弛问题(LP)
    (1)若(LP)没有可行解,则(IP)也没有可行解,停止计算
    (2)若(LP)有最优解,并符合(IP)的整数条件,则(LP)的最优解即为(IP)的最优解,停止计算。
    (3)若(LP)有最优解,但不符合(IP)的整数条件,转入下一步
    2、 从(LP)的最优解中,选取一个和整数差值最大的x,将最优单纯形表中该行的系数分解为整数部分和小数部分,并以该行为源行,作割平面方程
    3.将所得的割平面方程作为一个新的约束条件置于单纯形表中,用对偶单纯形法求出新的最优解。

    运行效果

    在这里插入图片描述
    此次实验直接使用了之前写过的单纯形法和对偶单纯形法的函数,并增加了两个参数。
    关于单纯形法和对偶单纯形法的讲解可参考之间的讲解。

    链接: https://blog.csdn.net/weixin_46570668/article/details/111636509.

    代码

    A=[-1 3 1 0;7 1 0 1];
    b=[6 35]';
    c=[7 9 0 0];
    [xstar,fxstar,iter] = Gomory(A,b,c)
    
    function [xstar,fxstar,iter] = Gomory(A,b,c)
    format rat
    %UNTITLED 此处显示有关此函数的摘要
    iter=0;%初始化迭代次数
    while true
        [m,n]=size(A);%A矩阵大小
        if min(b)>=0
            [x_opt,fx_opt,CA,Cb,~] = Simplex_eye(A,b,c)
        else
            [x_opt,fx_opt,CA,Cb,~] = DSimplex_eye(A,b,c)
        end
        %判断是否已经解出了整数最优解
        flag_zhengshu=1;%flag_zhengshu初始化为1,只要有一个不是整数,flag_zhengshu赋值0
            for pos_x = 1:m
                if abs(round(x_opt(pos_x))-x_opt(pos_x))>=1e-3%判断整数条件
                    flag_zhengshu=0;
                    break;
                end
            end
            if flag_zhengshu==1%如果解全是整数,满足条件,循环结束
                xstar=x_opt;
                fxstar=fx_opt;
                break;
            end
        iter=iter+1;
        %否则增加约束条件的行
        %找出b中和整数相差最大的数
        %循环遍历
        cha=0;
        row=0;
        for r=1:m
            t=abs(floor(x_opt(r))-x_opt(r));
            if t>cha
                cha=t;
                row=r;%标记当前最大差值的位置
            end
        end
        n=n+1;
        m=m+1;
        iter=iter+1;
        %更新矩阵系数,在原基础上增加一行一列,第(m,n)=1
        tmp_A=zeros(m,n);
        tmp_b=zeros(m,1);
        tmp_c=zeros(1,n);
        for i=1:m-1
            for j=1:n-1
                tmp_A(i,j)=CA(i,j);
            end
            tmp_b(i,1)=Cb(i,1);
        end
        tmp_A(m,n)=1;
        for i =1:n-1
            tmp_c(1,i)=c(i);
        end
        %加上约束条件
        disp(row);
        for i=1:n-1
            if tmp_A(row,i)==0
                tmp_A(m,i)=0;
            else
                tmp_A(m,i)=floor(tmp_A(row,i))-tmp_A(row,i);
            end
        end
        tmp_b(m,1)=floor(Cb(row,1))-Cb(row,1);
        A=tmp_A;
        b=tmp_b;
        val=[A,b];
        disp(val);
        c=tmp_c;
        disp(c);
    end         
    end
    
    %单纯形法
    function [x_opt,fx_opt,CA,Cb,iter] = Simplex_eye(A,b,c)
    %x_opt为最优解,fx_opt为最优函数值,iter为迭代次数
    iter=0;%初始化迭代次数
    [m,n]=size(A);%A矩阵大小
    r=nchoosek(1:n,m);%选择排列
    I=eye(m,m);%设置一个m阶单位矩阵,用于之后计算的比较和计算
    len=length(r);
    for i=1:len %A中寻找一个单位矩阵,也就是基矩阵
        if A(:,[r(i,:)])==I
            bs=r(i,:);
            break;
        end
    end
    s=[1:n];
    t=setdiff(s,bs);%setdiff可以计算出s数组中有,而bs数组中没有的元素
    flag=0;%flag=1唯一最优解,2无穷多最优解,3有无界解
    x=[];%基变量数组
    while flag==0 %开始迭代
        iter=iter+1;%迭代次数加1
        x(t)=0;
        x(bs)=b;
        cb=c(bs);
        c_z=zeros(1,n); %计算检验数cj-zj
        for i=1:n
            z=sum(cb'.*A(:,i));
            c_z(i)=c(:,i)-z;
        end
        %disp("----------------------第"+iter+"次---------------------------");
        All=[cb',bs',b,A];
        %disp(All);
        %disp(c_z);
        if all(c_z <= 0)%最优解
            x_opt=x;
            fx_opt=sum(c.*x_opt);
            if all(c_z(t) < 0)%非基变量都小于0
                flag=1;%唯一最优解
            else
                flag=2;%无穷多最优解
            end
            break;
        end
        
        [~,n1]=max(c_z);%找到最大的检验数所在位置
       
        if all(A(:,n1) <= 0)%判断无界解,否则继续迭代
            x_opt=[];
            flag=3;
            break;
        end
        b1 = b./ A(:,n1);
        b1(b1<=0)=inf;%将小于等于0的数设为无穷大,
        [~,m1]=min(b1);%选出非负中的最小值对应的变量换出
        bs(m1)=n1;%n1对应为换入变量,m1对应换出变量
        t=setdiff(s,bs);
        A(:,t) = inv(A(:,bs))*A(:,t); %基矩阵的逆乘以非基矩阵
        b = inv(A(:,bs))*b;  %基矩阵的逆乘以b
        A(:,bs) = I;  %基矩阵更新为单位矩阵
    end
    if flag==1
        disp('唯一最优解');
        CA=A;
        Cb=b;
        return
    elseif flag==2
        disp('无穷多最优解');
        return
    elseif flag==3
        disp('有无界解');
        fx_opt=inf;
        return
    end
    end
    
    
    %对偶单纯形法
    function [x_opt,fx_opt,CA,Cb,iter] = DSimplex_eye(A,b,c)
    % 输入参数: c为目标函数系数, A为约束方程组系数矩阵, b为约束方程组常数项
    % 输出参数: x_opt最优解, fx_opt最优目标函数值, iter迭代次数
    
    iter=0;%初始化迭代次数
    [m,n]=size(A);%A矩阵大小
    r=nchoosek(1:n,m);%选择排列
    I=eye(m,m);%设置一个m阶单位矩阵,用于之后计算的比较和计算
    len=length(r);
    for i=1:len %A中寻找一个单位矩阵,也就是基矩阵
        flag=is_ones(A(:,[r(i,:)]));%判断是否单位矩阵
        if flag==1
            disp(A(:,[r(i,:)]));
            disp("找到");
            bs=r(i,:);
            break;
        end
    end
    s=[1:n];
    ind_N=setdiff(s,bs);
    
    x=[];%基变量数组
    while true         % 迭代
        x(ind_N)=0;
        x(bs) = b;
        cB = c(bs);                %计算cB
        Sigma = zeros(1,n); %检验数数组
        for i=1:n
            z=sum(cB'.*A(:,i));
            Sigma(i)=c(:,i)-z;
        end
        [~,q] = min(b);               %选出最小的b,换出
        r = bs(q);        
        Theta = Sigma ./ A(q,:);      %计算θ
        Theta(Theta<=0) = inf;
        [~,s] = min(Theta);         %确定进基变量索引s, 主元为A(q,s)
        vals = [cB',bs',b,A];
        vals = [vals; NaN, NaN, NaN, Sigma];
        %disp("-----------------------第"+iter+"次--------------------------")
        %disp(vals);
        if all(b >= 0)         %最优解       
            x_opt = x;
            fx_opt = sum(c .* x_opt);
            CA=A;
            Cb=b;
            return
        end
        iter=iter+1;
        % 换基
        bs(bs == r) = s;      %新的基变量索引
        ind_N = setdiff(1:n, bs); %非基变量索引
        % 更新A和b
        A(:,ind_N) = inv(A(:,bs))* A(:,ind_N);
        b = inv(A(:,bs))* b;
        A(:,bs) = I;
    end
    end
    
    function [flag]=is_ones(a)%判断矩阵是否为单位阵
        flag=1;
        [row_a,col_a]=size(a);
        tmp_a=zeros(row_a);%对应的列只有一个1,其他全是0,否则flag=flase;
        for i1 =1:row_a
            for j1 = 1:col_a
                if a(i1,j1)==1 && tmp_a(j1)==0
                    tmp_a(j1)=1;
                elseif a(i1,j1)==0
                    continue;
                else
                    flag=0;
                    break;
                end
            end
        end
        for i1 =1:row_a
            if tmp_a(i1)==0
                flag=0;
                break;
            end
        end
    end
    
    
    展开全文
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