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  • 线性系统与非线性系统 FesianXu 2021.06.17 at Baidu search team 前言 我们经常在数学和系统论都会谈到线性和非线性这两个概念,那么这俩到底在系统中有什么应用呢?笔者尝试在本博文简单谈谈自己的看法。如有...
    线性系统与非线性系统
    FesianXu 2021.06.17 at Baidu search team

    前言

    我们经常在数学和系统论都会谈到线性非线性这两个概念,那么这俩到底在系统中有什么应用呢?笔者尝试在本博文简单谈谈自己的看法。如有谬误请联系指出,本文遵守 CC 4.0 BY-SA 版权协议,转载请联系作者并注明出处,谢谢

    ∇ \nabla 联系方式:

    e-mail: FesianXu@gmail.com

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    知乎专栏: 计算机视觉/计算机图形理论与应用

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    数学中线性的定义很简单,对于 y n = f ( x n ) y_n=f(x_n) yn=f(xn),其中 y n , f ( ) , x n y_n,f(),x_n yn,f(),xn 分别是第 n n n个输出变量,函数和输入变量,那么对于输入变量 x n x_n xn的线性组合 x = ∑ i = 0 N α i x i x=\sum_{i=0}^{N} \alpha_{i} x_i x=i=0Nαixi有式子(1.1),我们可以发现输入变量的线性叠加会体现到输出变量的线性叠加上,这个性质取决于系统函数 f ( ) f() f()的性质。
    ∑ i = 0 N α i y i = ∑ i = 0 N α i f ( x i ) = f ( ∑ i = 0 N α i x i ) (1.1) \sum_{i=0}^{N} \alpha_{i} y_i = \sum_{i=0}^{N} \alpha_i f(x_i) = f(\sum_{i=0}^{N} \alpha_{i} x_i) \tag{1.1} i=0Nαiyi=i=0Nαif(xi)=f(i=0Nαixi)(1.1)
    如Fig 1.1所示,假如某个系统符合线性性质,那么从理论上只需要测量两个输入变量 x 1 x_1 x1 x 2 x_2 x2以及对应的系统响应 y 1 = f ( x 1 ) , y 2 = f ( x 2 ) y_1=f(x_1),y_2=f(x_2) y1=f(x1),y2=f(x2),那么该系统在所有有效范围内的输入下的响应皆可以通过插值的方法进行预测。如可以采样红色点 x 1 x_1 x1 x 2 x_2 x2,中间的蓝色点 α 1 x 1 + α 2 x 2 \alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2 α1x1+α2x2就是通过采样点进行插值的输入变量,而输出 f ( α 1 x 1 + α 2 x 2 ) = α 1 f ( x 1 ) + α 2 f ( x 2 ) f(\alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2)=\alpha_1 f(x_1)+\alpha_2 f(x_2) f(α1x1+α2x2)=α1f(x1)+α2f(x2)

    linear_sys

    Fig 1.1 系统线性性示意。

    然而,现实生活中真正符合线性性的系统少之又少,而大部分系统都是非线性的,如Fig 1.2所示。为了通过采样有限的观察点(observation)对非线性系统 g ( ) g() g()进行估计,可以用若干个局部线性去组合,去模拟建模非线性系统的响应函数。如果通过这种方式,那么最理想的情况下,我们的采样点应该是每个线性曲面的边界点上,如Fig 1.2虚线框内的红色,蓝色,橙色点。遗憾的是,对于一个未知的非线性系统,你无法具体知道局部线性拟合的方式,因此也无法知道理想的采样方式。通过密集均匀采样,即便在不知道非线性系统相应函数的时候,也可以对系统进行拟合,然而密集均匀采样成本极大,在系统输入是高维数据情况下,更是会出现维度灾难的问题。为了解决这种问题,存在许多更为先进的采样方法。

    local_linear

    Fig 1.2 给定一个未知的非线性系统,可以用局部线性化的方式去对整个非线性系统进行模拟建模。
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  • MATLAB线性系统MATLAB线性系统线性系统分析与设计 MATLAB的控制工具箱是MATLAB最早的工具箱之一,也是控制系统的计算机辅助设计中最为流行的设计工具。控制工具箱适用于线性时不变系统(LTI),可实现线性系统时域或...

    MATLAB线性系统MATLAB线性系统

    线性系统分析与设计 MATLAB的控制工具箱是MATLAB最早的工具箱之一,也是控制系统的计算机辅助设计中最为流行的设计工具。控制工具箱适用于线性时不变系统(LTI),可实现线性系统时域或频域的分析、设计和建模。可处理连续系统,也可处理离散系统;可使用经典或现代的技术。 1. 线性系统的描述MATLAB只处理矩阵这一种数学形式,各种控制系统的描述必须使用矩阵来表达。 1、状态空间描述法 在MATLAB中,这个系统写为A、B、C、D四个矩阵的形式即可,当然矩阵维数要匹配。 也可用SYS = SS(A,B,C,D) 建立ss模型, SYS = SS(A,B,C,D,Ts) 建立离散ss模型。 2、传递函数描述法 传递函数使用分子、分母的多项式表示,即num和den两个向量。 同样可用SYS = TF(NUM,DEN)建立tf模型。 3、零极点描述法 在MATLAB中,这种形式使用增益k、分子零点向量z、分母极点向量p表示。 注意:根据MATLAB的约定,多项式的根(零极点)存在列向量中,行向量中存多项式的系数。这里,除了系数k使用行向量外,z和p使用列向量。 同样可用 SYS = ZPK(Z,P,K)建立zpk模型。 4、部分分式描述法 在传递函数没有相同极点时与部分分式相互转换: [r,p,k]=residue(num,den)     [num,den]=residue(r,p,k) 1.2 闭环系统的表达 以上已经给出开环系统的模型表达。有时需要系统的闭环模型,MATLAB提供了一组这样的函数: feedback 反馈连接  SYS = feedback(SYS1,SYS2,sign) [A,B,C,D]=feedback(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2,sign) [num,den]=feedback(num1,den1,num2,den2,sign) sign=+(-)1反馈极性,缺省-1为负反馈 parallel系统并联 series系统串联 li2.m 1.3 模型之间的转换 一、线性系统模型之间的转换 ss—状态空间、tf—传递函数、zp—零极点: [num,den]=ss2tf(a,b,c,d,iu) 状态空间到传函 [z,p,k]=ss2zp(a,b,c,d,iu) 状态空间到零极 [a,b,c,d]=tf2ss(num,den) 传函到状态空间 [z,p,k]=tf2zp(num,den) 传函到零极 [a,b,c,d]=zp2ss(z,p,k) 零极到状态空间 [num,den]=zp2tf(z,p,k) 零极到传函 [r,p,k]=residue(num,den) 传函到部分分式 [num,den]=(r,p,k) 部分分式到传函 二、线性相似变换 由于状态变量的选择不同,一个给定的定常系统将有不同的状态空间表达式,所选取的状态矢量之间存在着矢量的线性相似变换关系。在控制系统的分析设计中,通常应用线性相似变换把一般形式的状态空间表达式转换为某种特定的标准型,如约旦标准型、能控标准型和能观标准型等。 控制系统工具箱中提供了ss2ss函数完成状态空间表达式的相似变换,其调用格式为: sysT=ss2ss(sys,T) ,或[A2,B2,C2,D2]=ss2ss(A,B,C,D,T),其中T为变换矩阵。 由于在MATLAB中定义与现控理论不同, 系统的状态空间表达式为 2 分析 6. 4.6现代控制理论分析设计 一、状态反馈设计 线性系统模型为: 利用状态反馈U(t)= - KX(t)+r(t) 其中K为状态反馈矩阵, r(t)为参考输入, 几个常用命令 M=ctrb(A,B) 系统的能控矩阵 M=[B AB A2B … An-1B] rank(M) 得到矩阵的秩,M的秩为n,则能控 N=obsv(A,C) 求取系统的能观矩阵 N=[C CA CA2 … CAn-1]T, N的秩为n,则能观 二、单输入系统的极点配置 k=acker(A,B,p) 对于期望极点p,求出系统的状态

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  • 上一章传送门:善道:线性系统控制入门(九)设计状态观测器​zhuanlan.zhihu.com上一章我们讨论了状态观测器的设计,实际上这是在实际操作中很必要的一个设计。因为实际上如果各个状态变量未知,那就无法实现控制律的...

    6ec32233c65f7e5ecb5d57ee2ead319f.png

    上一章传送门:

    善道:线性系统控制入门(九)设计状态观测器​zhuanlan.zhihu.com
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    上一章我们讨论了状态观测器的设计,实际上这是在实际操作中很必要的一个设计。因为实际上如果各个状态变量未知,那就无法实现控制律的状态反馈了。不过之前几章设计状态反馈控制器时,我们一直都只研究了控制里面的一个问题,那就是系统的平衡问题。

    设计反馈控制器的目的,一直都是设法通过系统负反馈来让所有状态变量都处于衰减主导的动态,这样在有限的时间内,系统新动态下的状态变量都会回归到平衡位置。而平衡位置的所在实际上就是由输入变量决定的。

    之前在第五章里,我们使用静态前置滤波器(线下前馈控制,offline Planung)就是使用了恒定的输入来调节输入变量,使得系统最终输出和期望的目标平衡点一样。这样我们其实只考虑了始末位置,并没有考虑中间具体历程。在许多实际应用场合,当我们需要运动轨迹也完全受控时,就要使用轨迹追踪反馈控制(Folgeregelung)。

    轨迹追踪反馈控制有很多实际意义:

    a) 可以主动让一个目标输出轨迹或者说导引信号变得光滑,比如可以让控制输入量减小,没有那么剧烈突变且不需要积分环节;

    b)

    区间里让实际轨迹临摹预设目标轨迹。比如机械制造里的机床切削、焊接过程;

    c)

    区间里实现系统在两个稳定工作点之间的切换

    4f726eddfecbe0242cc034819b1e4407.png
    图10.1 a),b),c)三种情况的对应的轨迹变换

    10.1 对输出轨迹追踪反馈控制

    轨迹追踪控制任务实际上是让输出轨迹

    对一条目标轨迹
    的渐进跟随。

    接下来在线性时不变MIMO系统中继续考察。

    (10.1)

    其中输入控制变量

    ,输出变量
    ,其中

    10.1.1 误差动态和反馈控制律

    至今为止的状态反馈控制器的设计在借助输入输出解耦的方式能够直接扩展到轨迹追踪问题中。这样就有在单独预给的目标轨迹

    和实际输出轨迹
    之间存在的所谓的追踪误差
    抑或是

    (10.2)

    所以任务目标就转化为:让追踪误差的动态渐进稳定到零。对上述系统输入输出解耦

    (10.3)

    其中矩阵

    在之前第七章给出过,它们决定了系统的内动态。类比前面观测器设计时对观测器误差的增益分析,在完全能控的解耦积分链的输入端开始输入,输入的目标轨迹
    形成的状态方程和输出状态
    的状态方程的差值的误差动态要有

    (10.4)

    (10.5)

    两个动态方程相减,得到误差动态方程

    (10.6)

    如果给定误差特征多项式

    (10.7)

    因为最后一行

    才是输入开端,那么决定的误差动态应有

    (10.8)

    所以有追踪误差动态反馈后的新输入

    (10.9)

    如果有恒定的参考输入信号

    ,那么系统总的控制律可以如下表示
    定理10.1 渐进的输出追踪反馈控制
    给定(10.1)所描述的线性系统,且有相对微分度向量
    。还有幅值受限的目标轨迹
    (
    次连续可微),那么对于误差动态可以由输出变量反馈渐进镇定。

    (10.10)

    (10.11)

    (10.12)

    其中耦合矩阵是
    ,反馈增益为
    是期望的特征多项式对应的系数,而零动态渐进稳定,那么状态
    产生的系统内动态会对任意
    的时间区间里受到限制。

    反馈控制律直接来自

    (10.13)

    其中有

    目标轨迹

    的条件必须满足,这样目标轨迹是至少
    次连续可微,如此输入信号
    才可以在时间区间内连续。

    10.1.2 包含积分环节的追踪反馈控制

    如果系统受到了恒定的外界扰动的侵袭,即扰动输入矩阵

    作用在系统上

    (10.14)

    这就导致追踪误差

    不能收敛到零。为了补偿扰动或者说进入控制器参数误差的影响,也可以使用一个类似之前提到过PI控制器设计,即添加一个积分器状态

    (10.15)

    于是可以继续扩展之前的反馈律

    (10.16)

    这样能得到新的误差动态

    (10.17)

    对上式求导,即有需要新给定的扩展一维的特征多项式

    (10.18)

    (10.19)

    把(10.16)代入(10.13)得到最终合成的输入向量

    (10.20)

    其中对积分的反馈增益,

    (10.21)

    式(10.20)的反馈控制律一方面表现了在普通控制律上追踪控制器的扩展,另一方面又兼有了PI控制器的相似性。

    10.2 双自由度反馈控制

    除了输出轨迹追踪控制之外,还有一种替代性的方案来实现渐进的追踪控制,那就是——双自由度反馈控制(Zwei-Freiheitsgrade-Regelung)。如图所示,双自由度系统依靠前馈控制和其从属的反馈控制,实现输入控制变量在导引信号和系统自稳定各自分离,独立完成各自的任务。

    8b54cfc17cfbfb4b8593fc659f6ac1c4.png
    图10.2 线性系统的双自由度反馈控制实现

    在本章开头提到过,最常见的控制任务之一就是两个稳定工作点的切换,即从一个平衡点

    移动到另一个平衡点
    。这意味着两个稳态的系统方程为

    (10.22)

    前馈控制的任务主要就是,在时间区间

    内确定一条合适的导引输入轨迹
    ,来保证系统的状态变量以及输出变量能够沿着额定的目标轨迹
    从稳定的平衡点
    移动到目标平衡点
    。也就是说

    (10.23)

    这样移动时间

    必须要考虑到系统本身的动态,其值的选择必须遵守可能的限制条件。

    而双自由度系统中的反馈控制器也是必要的,如果系统初值有偏差,即

    ,就可以在运动的过程顺便修正这个误差;如果是初值一致
    ,而且在运动过程中没有持续的扰动因素,反馈控制误差
    就会最终消失,此时反馈控制输入量

    10.2.1 平坦输出的定义

    早在九十年代,Michel Filess,Jean Lévine,Philippe Martin以及Pierre Rouchon就已经为非线性系统定义过平坦性(Flachheit)这个特征。而对于线性系统来说,所谓的平坦性的概念也是能够借来使用的,并且与系统的能控性紧密相关。

    当一个系统是平坦的,我们可以说所有的状态变量以及控制变量都可以用一个系统的平坦输出以及它的各阶导数来表示。对于一个这样形式的非线性系统

    (10.24)

    它的状态变量

    ,输入控制变量
    ,输出变量
    。可以给出定义
    定义10.1 平坦输出
    一个(10.24)所描述的非线性系统,可以被称作(微分)平坦,当它有和输入相同维度的虚拟输出
    时。其中虚拟输出应满足以下条件:

    ①变量
    本身是可以由关于状态变量
    以及输入变量
    以及其有限次关于时间导数
    的函数表示。

    (10.25)

    ②反过来,状态变量
    以及输入变量
    也可由
    及其有限次关于时间导数
    的函数表示。

    (10.26)

    (10.27)

    ③所有的
    的导数作为描述参数必须彼此各阶微分线性无关,即不存在这样的微分方程

    (10.28)

    如果上述条件都满足(对非线性系统至少局部满足),那么就称式(10.25)定义的虚拟输出为平坦输出,而对应的系统就是平坦的。

    平坦输出

    允许对所有状态变量
    以及控制变量
    ,也包括输出变量
    使用参数化表示

    (10.29)

    这种情况下,会把这个虚拟输出表示的系统称为逆系统

    (10.30)

    原系统和逆系统的关系可以用下图直观表示

    03c40019a99693d7bd8df595dbf237ba.png
    图10.3 逆系统的直观表达

    例10.1 非线性系统的平坦输出

    (10.31)

    有这样一个SISO的非线性系统,可以选择系统的

    作为平坦输出,显然,其充分性通过两次求导可以得到符合要求的微分独立的平坦输出参数
    。于是有参数化平坦表达。

    (10.32)

    平坦输出对于前馈控制的设计是直接显然的,因为借助定义(10.1)里面(10.25)-(10.29)的关系,能轻松地用微分参数化表达的逆系统下的平坦目标轨迹

    来表示控制、目标轨迹

    (10.33)

    10.2.2 线性系统的平坦输出

    平坦输出经常在物理上更便于解释。而总的来说,非线性系统确认是否平坦以及确定系统的平坦输出都不是平凡的简单工作。而线性系统的话就可以使问题大大简化,只因平坦性和系统的能控性密切联系。

    先考察SISO系统,根据定义(10.1),这个关系和能控标准型一致,于是可以确定平坦输出

    以及和原坐标的变换关系

    (10.34)

    (10.35)

    显然所有状态变量

    以及输入量
    都可以用(10.35)算出且唯一确定。所以我们就知道经过解耦的能控标准型的第一个状态变量
    是平坦输出。
    定理10.2 SISO线性系统的平坦输出
    基于线性系统完全能控的假设,通过变换
    能确定系统的平坦输出。而其中变换向量
    为能控矩阵逆矩阵最后一行元素,平坦输出和其导数的新坐标
    以及
    可以参数化表示原系统

    (10.36)

    再看看MIMO的线性系统,可以类比SISO系统来选择各个解耦积分链子系统的第一个状态

    作为系统的平坦输出。
    定理10.3 MIMO线性系统的平坦输出
    基于线性系统完全能控的假设,通过变换
    能确定系统的平坦输出。而其中变换向量
    为简化能控矩阵逆矩阵第
    行的元素,平坦输出和其导数的新坐标
    以及
    可以参数化表示原系统

    (10.37)

    其中变换矩阵
    以及耦合矩阵
    在之前第五篇中给出过。

    对于MIMO系统的平坦输出,自然也不是唯一的,也可以选取其他坐标。

    10.2.3 基于平坦系统的前馈控制

    之前在10.2.1最后提到,平坦性特别适合设计逆系统来作为双自由度控制的前馈控制。所以现在由此考察一个之前出现过的工作点切换的任务

    SISO系统时,要给出这个前馈控制轨迹,根据定理10.2,需要设计一个

    次连续可微的目标轨迹
    ,需要总共
    个约束条件。

    (10.38)

    在平坦参数化系统中使用多项式形式来设计合适的

    ,可以设计目标轨迹

    (10.39)

    对于平坦的目标轨迹,在边界

    所有导数直到
    阶的
    都应保持一致连续性,这样才能保证连续的控制轨迹

    MIMO系统里,向量型的输入变量

    也可以有类似的平坦输出
    。类似SISO系统,现在需要设计合计
    次连续可微的
    条目标轨迹
    ,于是有约束条件需要满足

    (10.40)

    并且,可以直接类比得出平坦目标输出参数描述的目标轨迹

    (10.41)

    平坦的目标轨迹,在边界

    所有导数直到
    阶的
    都应保持一致连续性,这样才能同样保证连续的控制轨迹

    10.2.4 多项式描述的目标轨迹

    一种惯用的设计目标轨迹的方法,就是运用稳态的约束条件来设计多项式的方法。为了简化问题,现在先只考虑一个标量的平坦输出

    。这样
    阶连续可微的目标轨迹设计
    ,那样在满足所有约束条件下的多项式能这样实现

    (10.42)

    这种特殊结构很明显,在

    处已经实现了。在
    时,剩下的
    个参数
    也能确定,这样最后对系数
    合成的公式系统有解为

    (10.43)

    下面表格罗列了对于微分阶数

    的系数
    ,并且从
    一直到
    。在MIMO系统里,单独的轨迹只需要把微分阶数从
    对应变为

    1402aba7f178015f1761400561e4b022.png
    图10.4 多项式目标轨迹的系数设计

    例10.2 倒立摆系统的多项式轨迹设计

    考察之前的倒立摆系统,设计前馈控制以及目标轨迹,使之在

    内移动
    。即线性化状态变量
    在稳态平衡点之间移动

    (10.44)

    41ecb4100e39de6c40de59f4ea8d9815.png
    图10.5 n=1,...,7之内的多项式目标轨迹

    于是有平坦输出

    (10.45)

    所以目标轨迹

    次连续可微,

    (10.46)

    (10.47)

    所以倒立摆单边的偏移量轨迹经过归一化后的平坦输出为

    (10.48)

    由于

    ,最后摆会平衡在点
    。可见最后摆有一个大约停在
    高度处的平衡位置。

    b7b8a61446067bdfdb8e0f8ded9fffb1.png
    图10.6 基于平坦性的目标轨迹对倒立摆单边偏移的过程

    10.2.5 对追踪轨迹的稳定反馈控制

    在双自由度的控制环结构中,反馈控制是为了实现系统在目标轨迹

    上的稳定以及对系统误差的鲁棒适应。从图10.2中的反馈受控系统结构会得到以下系统方程

    (10.49)

    其中状态跟踪误差为

    ,那么跟随时产生的误差动态

    (10.50)

    所以用来追踪轨迹的反馈控制器矩阵也能使用前面提到的控制器设计方法来设计,最终达成误差动态系统的渐进稳定。而如果遇到了恒定的扰动,则可以替代性使用PI控制器来实现。

    在之前倒立摆小车的案例中,使用LQR控制器得到反馈控制增益,得到反馈控制,再获得双自由度的反馈部分的控制律,使倒立摆会在一个平衡位置处渐近稳定。

    (10.51)

    57648b45769fdab8210c5b57578452c1.png
    10.7 倒立摆在P_{2/3l}处展现的平坦输出

    总结

    至此,轨迹的追踪反馈控制就告一段落了。整个线性系统入门系列也就告一段落了,这个系列是我为了复习整理了现代控制技术理论的讲义,涵盖了线性控制系统的各个方面,林林总总合计十章,让我对状态变量描述的系统有了更深的认识,也希望能带给读者一些新的视角。

    感谢本讲义作者Prof. Dr.-Ing. Knut Graichen以及感谢诸位读者。

    参考文献:

    [1]Regelungstechnik B (Zustandsraummethoden) (WS 2019), Prof. Dr.-Ing. Knut Graichen

    Lehrstuhl für Regelungstechnik, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg

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  • 线性系统 顾名思义,满足线性性质的系统 它有三个特性: 齐次性 可加性 线性性 这里常见在选择题里让你判断 f1(.)f_{1}(.)f1​(.)代表的是激励,系统的响应不仅和它当前的状态相关,还和以前的状态相关的系统被...

    今天我们说一说系统的分类

    线性系统

    顾名思义,满足线性性质的系统
    它有三个特性:

    1. 齐次性
    2. 可加性
    3. 线性性
      这里常见在选择题里让你判断
      在这里插入图片描述
      f 1 ( . ) f_{1}(.) f1(.)代表的是激励,系统的响应不仅和它当前的状态相关,还和以前的状态相关的系统被称为记忆系统,电路与系统就是一家,这类电路通常包含电感与电容,反之则称为即时系统或无记忆系统
      在这里插入图片描述

    全响应:由储能元件的初始储能和独立电源共同引起的响应,称为完全响应,简称全响应。
    零输入响应:在没有外加激励时,仅由t = 0时刻的非零初始状态引起的响应。取决于初始状态和电路特性,这种响应随时间按指数规律衰减。
    零状态响应:就是电路在零初始状态下(动态元件初始储能为零)由外施激励引起的响应

    这三个响应后面会出答题,掌握规律,其实并不难

    那么如何才能判断一个系统是不是线性的呢?
    这就要用到刚才列举的三个响应的式子了

    全响应=零输入+零状态

    y ( t ) = y x ( t ) + y f ( t ) y(t)=y_x(t)+y_f(t) y(t)=yx(t)+yf(t)
    拿到一个式子,首先看能不能把它分解为这两个子式,举个例子:
    在这里插入图片描述
    显而易见, x ( 0 ) f ( t ) x(0)f(t) x(0)f(t)是分不开的,只要分不开,就不满足分解性,它就不是线性的,我们再来看下面几个线性判别依据:
    在这里插入图片描述
    再看一题:
    在这里插入图片描述
    这个我们要用到零状态线性来判断,就是 f ( t ) f(t) f(t)前面有一个系数 a ( a ≠ 0 ) a(a\neq0) a(a=0)但是这里的 f ( t ) f(t) f(t)带了一个绝对值,所以你把a提到外面之后是不能保证a在绝对值符号里面时 f ( t ) f(t) f(t)的值与原来相等,也可以理解看到 ∣ f ( t ) ∣ |f(t)| f(t)这种带了个绝对值它十有八九不满足线性(当然,遇到复杂情况自己演算一下)
    在这里插入图片描述
    最后一题:
    在这里插入图片描述
    判断一个系统是不是线性系统分三步走:
    1.是否满足可分解性?可以看到0输入与0状态响应是分开的,故满足
    2.是否满足0状态线性?
    看是否满足这个条件:
    在这里插入图片描述
    就把前面的 a f 1 ( t ) + b f 2 ( t ) af_1(t)+bf_2(t) af1(t)+bf2(t)带入 f ( x ) f(x) f(x)
    得到
    在这里插入图片描述
    满足了输入的线性组合等于输出的线性组合这一条件,即为满足了0状态线性

    3.零输入线性
    e − t x ( 0 ) e^{-t}x(0) etx(0)这一项代表的是0输入响应,因为它有 x ( 0 ) x(0) x(0),自变量是t,和判断0状态线性一样的道理,把 [ a f 1 ( x ) + b f 2 ( x ) ] [af_1(x)+bf_2(x)] [af1(x)+bf2(x)]代入,得到:
    在这里插入图片描述
    也满足了输入线性组合等于输出线性组合这一条件。综上,这个系统是线性系统

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