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  • Operator norm - 算子范数

    千次阅读 2020-10-11 14:42:32
    算子范数欢迎使用Markdown编辑器新的改变功能快捷键合理的创建标题,有助于目录的生成如何改变文本的样式插入链接与图片如何插入一段漂亮的代码片生成一个适合你的列表创建一个表格设定内容居中、居左、居右...

    在数学上,算子范数是一种度量某些线性算子"大小"的方法。形式上,它是在两个给定范数向量空间(normed vector spaces)之间的有界线性算子空间(bounded linear operators)上定义的范数。

    介绍和定义

    给定两个范数向量空间V和W(在相同的基(base field)上,实数R或者复数C),一个线性映射A ⇒ \Rightarrow B是连续的当且仅当存在一个实数c使得 ∥ A v ∥ ≤ c ∥ v ∥  for all  v ∈ V \|Av\| \leq c\|v\| \text{ for all } v \in V Avcv for all vV 左边的范数是W中的范数,右边的范数是V中的范数。直观上看来,连续算子(continuous operator)A永远不会将任意向量的长度增加超过c倍。因此,有界集在连续算子下的像(image)也是有界的。因为这个性质,连续线性算子也被称为有界算子( bounded operators)。为了"测量A的大小",似乎很自然的取数字c的下确界(infimum),使得上面的不等式对于所有的V中的v都成立。换句话说,我们通过“最大”情况下它在多大程度上"拉伸"向量的量来来度量A的“大小”。所以我们定义A的范式为 ∥ A ∥ o p = i n f { c ≥ 0 : ∥ A v ∥ ≤ c ∥ V ∥  for all  v ∈ V } \|A\|_{op} =inf\{ c \geq 0 : \|Av\| \leq c\|V\| \text{ for all } v \in V \} Aop=inf{c0:AvcV for all vV}由于所有此类c的集合都是封闭,非空并且从下面限定了边界,因此获得了下确界。
    重要的是要记住,这个算子范数取决于范数向量空间V和W的范数的选择。

    举例

    每一个m x n的实矩阵对应一个从 R n R^n Rn R m R^m Rm的线性映射。适用于实向量空间的(向量)范数过剩的每对推导出一个适用于所有m×n矩阵的算子范数( Each pair of the plethora of (vector) norms applicable to real vector spaces induces an operator norm for all m-by-n matrices of real numbers); 这些推导出的范式构成了矩阵范式(matrix norms)的子集。
    如果我们特别的选择 R n R^n Rn R m R^m Rm的欧几里得范数( Euclidean norm),那么矩阵A的矩阵范数是矩阵 A ∗ A A^{*}A AA最大特征值的平方根(其中 A ∗ A^* A表示A的共轭转置(conjugate transpose))。这相当于给A赋最大的奇异值(singular value)。
    转到一个典型的无限维的例子,考虑序列空间 l 2 l^2 l2定义为: l 2 = { ( a n ) n ≥ 1 : a n ∈ C , ∑ n ∣ a n ∣ 2 < ∞ } l^2 = \{(a_n)_{n \geq 1}:a_n \in \mathcal C ,\sum\limits_{n}|a_n|^2 < \infty\} l2={(an)n1:anC,nan2<}这可以看作欧几里得空间 C n C^n Cn的一个无穷维的模拟。现在取一个有界序列 s = ( s n ) s=(s_n) s=(sn)。这个序列s是空间 l ∞ l^{\infty} l的一个元素,它的范式给定为 ∥ s ∥ ∞ = s u p n ∣ s n ∣ \|s\|_{\infty} = \mathop{sup}\limits_{n}|s_n| s=nsupsn通过简单的乘法定义 T s T_s Ts算子: ( a n ) → T s ( s n ⋅ a n ) (a_n) \mathop\rightarrow \limits^{T_s}(s_n \cdot a_n) (an)Ts(snan)
    算子 T s T_s Ts被算子范数约束 ∥ T s ∥ o p = ∥ s ∥ ∞ \|T_s\|_{op} = \|s\|_{\infty} Tsop=s可以将讨论直接扩展到以下情况: l 2 {l^2} l2被一个一般 L p L^p Lp空间代替(P>1),并且 l ∞ l^{\infty} l L ∞ L^{\infty} L代替。

    等价的定义

    V ≠ { 0 } V \neq \{0\} V={0}时 ,我们可以证明下列的定义是等价的: ∥ A ∥ o p = i n f { c ≥ 0 : ∥ A v ∥ ≤ c ∥ v ∥  for all  v ∈ V } \|A\|_{op} = inf\{c \geq 0:\|Av\| \leq c\|v\| \text{ for all } v \in V\} Aop=inf{c0:Avcv for all vV} = s u p { ∥ A v ∥ : v ∈ V  with  ∥ v ∥ ≤ 1 } =sup\{\|Av\| :v \in V \text{ with } \|v\| \leq 1\} =sup{Av:vV with v1} = s u p { ∥ A v ∥ : v ∈ V  with  ∥ v ∥ = 1 } =sup\{\|Av\| :v \in V \text{ with } \|v\| = 1\} =sup{Av:vV with v=1} = s u p { ∥ A v ∥ ∥ v ∥ : v ∈ V  with  v ≠ 0 } =sup\{\frac{\|Av\|}{\|v\|}:v \in V \text{ with } v \neq 0\} =sup{vAv:vV with v=0} V = { 0 } V = \{0\} V={0}的时候,第三行和第四行是空的。

    属性

    算子范数确实是V和W之间所有有界算子空间上的一个范数。这意味着: ∥ A ∥ o p ≥ 0  and  ∥ A ∥ o p = 0  if and only if  A = 0 , \|A\|_{op} \geq 0 \text{ and } \|A\|_{op} = 0 \text{ if and only if } A = 0 \text{,} Aop0 and Aop=0 if and only if A=0, ∥ a A ∥ o p = ∣ a ∣ ∥ A ∥ o p  for every scalar a , \|aA\|_{op} = |a|\|A\|_{op} \text{ for every scalar a ,} aAop=aAop for every scalar a , ∥ A + B ∥ o p ≤ ∥ A ∥ o p + ∥ B ∥ o p . \|A+B\|_{op} \leq \|A\|_{op}+\|B\|_{op} \text{.} A+BopAop+Bop.下面的不等式是定义的直接结果 ∥ A v ∥ ≤ ∥ A ∥ o p ∥ v ∥  for every  v ∈ V \|Av\| \leq \|A\|_{op}\|v\| \text{ for every } v \in V AvAopv for every vV 算子范数也和算子的复合和乘法相容(The operator norm is also compatible with the composition, or multiplication, of operators):如果V,W和X是在三个同样基底下三个范数空间,并且 A : V → W  和  B : W → X A:V \rightarrow W \text{ 和 } B: W \rightarrow X A:VW  B:WX 是两个有界算子,那么它就是一个次乘范数(sub-multiplicative norm),即: ∥ B A ∥ o p ≤ ∥ B ∥ o p ∥ A ∥ o p \|BA\|_{op} \leq \|B\|_{op} \|A\|_{op} BAopBopAop
    对于V上的有界算子,这意味着算子乘法是联合连续( jointly continuous)的。
    从定义上看来,一个算子序列收敛到算子范数意味着它们在有界集合上均匀收敛(converge uniformly)。

    常用的算子范数

    有些常用的算子范数很容易计算,另外的一些是NP-hard的。除了NP-hard的范数,所有的范数都可以在 N 2 N^2 N2的操作中进行计算(对于N x N 矩阵),这其中不包含 l 2 − l 2 l_2 - l_2 l2l2范数(为了获得准确的答案它需要 N 3 N^3 N3次运算,或者更少如果你使用幂方法或者Lanczos迭代来进行近似.)
    Computability of Operator Norms
    伴随矩阵和转置矩阵可以按照如下方式进行计算。我们有对于任意的p,q,然后 ∥ A ∥ p → q = ∥ A ∗ ∥ q ′ → p ′ \|A\|_{p \rightarrow q} = \|A^*\|_{q^{'} \rightarrow p^{'}} Apq=Aqp,其中 p ′ , q ′ p^{'} , q^{'} p,q是p,q的霍尔德共轭(Hölder conjugate),即, 1 / p + 1 / p ′ = 1 和 1 / q + 1 / q ′ = 1 1/p + 1/p^{'} = 1 \text{和} 1/q+1/q^{'}=1 1/p+1/p=11/q+1/q=1 .

    在希尔伯特空间(Hilbert space)上的算子

    假定H是一个复数或者实数希尔伯特空间。如果A: H → H H \rightarrow H HH是一个有界线性算子,那么我们有 ∥ A ∥ o p = ∥ A ∗ ∥ o p \|A\|_{op}=\|A^*\|_{op} Aop=Aop ∥ A ∗ A ∥ o p = ∥ A ∥ o p 2 \|A^{*}A\|_{op} = \|A\|_{op}^2 AAop=Aop2 其中 A ∗ A^* A表示A的伴随矩阵(在具有标准内积的欧几里得希尔伯特空间,它对应于A的共轭转置)。
    一般的,A的谱半径( spectral radius )被A的算子范数限定(bounded): ρ ( A ) ≤ ∥ A ∥ o p \rho(A) \leq \|A\|_{op} ρ(A)Aop 来明白等式为什么不会总是被满足,考虑在无限维情况下矩阵的约旦标准型(Jordan normal form),因为在超对角线上有非零实体,等式可能会被打破。准幂等算子(quasinilpotent operators)是上面的情况的一类,一个非零的准幂等算子A有谱{o}。所以当 ∥ A ∥ o p > 0 \|A\|_{op} > 0 Aop>0的时候有 ρ ( A ) = o \rho(A) = o ρ(A)=o
    然而,当矩阵N是正规矩阵(normal)时,它的约旦标准型是对角的(up to unitary equivalence)。这是谱定理(spectral theorem)。在这种情况下很容易看出来 ρ ( N ) = ∥ N ∥ o p \rho(N)=\|N\|_{op} ρ(N)=Nop 这个公式在有些时候在给定边界算子A的情况下来计算算子范式:定义厄米算子(Hermitian operator ) B = A ∗ A B = A^*A B=AA ,确定它的谱半径,然后取平方根来获得A的算子范数。
    H上的有界算子的空间,其拓扑(topology)由算子范数导出,是不可分离的。比如说,考虑希尔伯特空间 L 2 [ 0 , 1 ] L^2[0,1] L2[0,1]。对于 0 < t ≤ 1 0 < t \leq 1 0<t1,让 Ω t \Omega_t Ωt [ 0 , t ] [0,t] [0,t]上的特征函数( characteristic function ), P t P_t Pt Ω t \Omega_t Ωt给出的乘法算子(Multiplication operator),即 P t ( f ) = f ⋅ Ω t P_t(f)=f \cdot \Omega_t Pt(f)=fΩt 然后每个 P t P_t Pt是带有算子范数1有界算子,并且 ∥ P t − P s ∥ o p = 1 , for all  t ≠ s \|P_t - P_s\|_{op}=1 \text{, for all } t \neq s PtPsop=1, for all t=s 但是 { P t } \{P_t\} {Pt}是不可数集合,这意味着在 L 2 [ 0 , 1 ] L^2[0,1] L2[0,1]上的有界算子空间在算子范数中是不可分离的。我们可以将这个事实与序列空间 l ∞ l^\infty l是不可分离的事实进行比较。
    在希尔伯特空间所有的有界算子的集合,与算子范数和伴随操作(adjoint operation),产生了 C ∗ − a l g e b r a C^*-algebra Calgebra
    [1]: https://en.wikipedia.org/wiki/Operator_norm

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    UA MATH567 高维统计III 随机矩阵2 算子范数与Frobenius范数 基于SVD的low-rank approximation


    矩阵的范数

    假设 A A A是从 n n n维欧氏空间到 m m m维欧氏空间的线性算子,称 ∥ A ∥ \left\| A\right\| A是它的算子范数:
    ∥ A ∥ = max ⁡ x ∈ S n − 1 ∥ A x ∥ 2 \left\| A\right\| = \max_{x \in S^{n-1}}\left\| Ax \right\|_2 A=xSn1maxAx2

    其中 S n − 1 S^{n-1} Sn1 n n n维球面,另一种等价定义是
    ∥ A ∥ = max ⁡ x , y ∈ S n − 1 ⟨ A x , y ⟩ = max ⁡ x , y ∈ S n − 1 x T A y \left\| A\right\| = \max_{x,y \in S^{n-1}} \langle Ax,y \rangle = \max_{x,y \in S^{n-1}} x^TAy A=x,ySn1maxAx,y=x,ySn1maxxTAy

    根据Rayleigh定理,
    ∥ A ∥ = s 1 ( A ) \left\| A\right\| = s_1(A) A=s1(A)

    ∥ A ∥ F \left\| A \right\|_F AF A A A的Frobenius范数:
    ∥ A ∥ F = ∑ A i , j 2 = t r ( A T A ) = ∑ i = 1 r s i 2 ( A ) \left\| A \right\|_F = \sqrt{\sum A_{i,j}^2} = \sqrt{tr(A^TA)}=\sqrt{\sum_{i=1}^r s_i^2(A)} AF=Ai,j2 =tr(ATA) =i=1rsi2(A)

    关于这两个范数有如下大小关系:
    ∥ A ∥ ≤ ∥ A ∥ F ≤ r ∥ A ∥ \left\| A\right\| \le \left\| A \right\|_F \le \sqrt{r}\left\| A \right\| AAFr A

    当且仅当只有 s 1 s_1 s1非零时,第一个不等号取等;当且仅当所有奇异值相等时,第二个不等号取等。


    Low-rank approximation

    假设 A A A m × n m \times n m×n的矩阵, r = r a n k ( A ) ≤ min ⁡ ( m , n ) r=rank(A) \le \min(m,n) r=rank(A)min(m,n),我们的目标是找到一个rank为 k k k的矩阵 A k A_k Ak,使得 A − A k A-A_k AAk的范数最小。这个操作在 A A A是高维数据时非常有用,因为它能提供一种数据降维的方法。

    有一种可行的办法是基于矩阵 A A A的SVD寻找它的Low-rank approximation,记它的SVD为
    A = ∑ i = 1 r s i u i v i T A = \sum_{i=1}^rs_iu_iv_i^T A=i=1rsiuiviT

    我们用前 k k k个奇异值与奇异向量构造Low-rank approximation:

    Eckart-Young-Mirsky定理
    假设
    A k = ∑ i = 1 k s i u i v i T A_k = \sum_{i=1}^ks_iu_iv_i^T Ak=i=1ksiuiviT

    则使用算子范数或者Frobenius范数, A − A k A-A_k AAk的范数都是最小的。


    Approximate Isometry
    假设 A A A m × n m \times n m×n的矩阵, m ≥ n m \ge n mn,或者把 A A A理解为从 n n n维欧氏空间到 m m m维欧氏空间的线性算子,奇异值为 s 1 ≥ s 2 ≥ ⋯ ≥ s n s_1 \ge s_2 \ge \cdots \ge s_n s1s2sn,则根据算子范数的定义:
    s n ∥ x ∥ 2 ≤ ∥ A x ∥ 2 ≤ s 1 ∥ x ∥ 2 s_n \left\| x \right\|_2 \le \left\| Ax \right\|_2 \le s_1 \left\| x \right\|_2 snx2Ax2s1x2

    引理 s 1 = s n = 1 ⇔ A T A = I n ⇔ P = A A T s_1=s_n=1 \Leftrightarrow A^TA = I_n \Leftrightarrow P=AA^T s1=sn=1ATA=InP=AAT是一个正交投影矩阵。

    我们称 A T A = I n A^TA=I_n ATA=In的性质为Isometry,也就相当于 A T A A^TA ATA表示一个等距线性算子。那么对一般的矩阵有没有类似Isometry的性质呢?

    引理续 如果 δ > 0 \delta>0 δ>0 ∥ A T A − I n ∥ ≤ max ⁡ ( δ , δ 2 ) \left\| A^TA - I_n\right\| \le \max(\delta,\delta^2) ATAInmax(δ,δ2),这个结论蕴涵 1 − δ ≤ s n ( A ) ≤ s 1 ( A ) ≤ 1 + δ 1-\delta \le s_n(A) \le s_1(A) \le 1+\delta 1δsn(A)s1(A)1+δ

    简单计算一下即可,
    max ⁡ ( δ , δ 2 ) ≥ ∥ A T A − I n ∥ ≥ x T ( A T A − I n ) x , x ∈ S n − 1 = ∣ ∥ A x ∥ 2 2 − ∥ x ∥ 2 2 ∣ = ∣ ∥ A x ∥ 2 2 − 1 ∣ ≥ max ⁡ ( ∣ ∥ A x ∥ 2 − 1 ∣ , ∣ ∥ A x ∥ 2 2 − 1 ∣ ) \max(\delta,\delta^2) \ge \left\| A^TA - I_n\right\| \ge x^T(A^TA-I_n)x,x \in S^{n-1} \\ = |\left\| Ax \right\|_2^2 - \left\| x \right\|_2^2 | = |\left\| Ax \right\|_2^2 - 1 | \\ \ge \max(|\left\| Ax \right\|_2-1|,|\left\| Ax \right\|_2^2 - 1 |) max(δ,δ2)ATAInxT(ATAIn)x,xSn1=Ax22x22=Ax221max(Ax21,Ax221)

    所以
    δ ≥ ∣ ∥ A x ∥ 2 − 1 ∣ \delta \ge |\left\| Ax \right\|_2-1| δAx21

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    一、矩阵算子范数

    1.提出

    在计算中经常出现矩阵和向量的乘积,因此希望矩阵范数和向量范数间有某种协调性,因此提出了矩阵范数和向量范数相容性
    在这里插入图片描述

    • 注意写法:matrix:M,矩阵;vector:V,向量

    上一次提到相容性,是在矩阵范数内部的相容性,是由于矩阵相乘所提出的
    在这里插入图片描述

    2.算子范数

    由关系式:

    定义的矩阵范数 为从属向量范数 的矩阵范数,简称 从属范数/算子范数
    在这里插入图片描述

    • 算子范数为矩阵范数
    • 与向量范数是从属关系

    通过证明,可知算子范数满足:
    1.存在性
    2.是矩阵范数(符合非负性、齐次性、三角不等式)
    3.满足矩阵范数的相容性

    3.具体算子范数

    写法名称解释
    1在这里插入图片描述列和范数元素的模每列相加 → 选最大值
    在这里插入图片描述行和范数元素的模每行相加 →选最大值
    2在这里插入图片描述谱范数λmax为最大特征值

    范数写法区分

    目前已经提到了4种范数,分别为:

    名称写法注意事项
    向量范数//x//在写到p-范数时,给范数加下标p
    向量加权范数在这里插入图片描述//x//的下标为矩阵W
    矩阵范数//A//写到具体的矩阵范数时,下标为 m1,m∞,F
    算子范数在这里插入图片描述算子范数的下标直接为 1,2,∞(区别于矩阵范数,下标没有m)
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