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  • 向量组的线性相关与线性无关-向量组的线性无关.pdf
  • 线性相关 线性无关

    千次阅读 2020-06-01 22:34:43
    1.线性相关(linearly dependent)与线性无关的(linearly independent)定义 线性相关的定义为: 对于一组向量v1,v2,⋯ ,vnv_1, v_2, \cdots, v_nv1​,v2​,⋯,vn​,如果存在一组不全为0的整数k1,k2,⋯ ,knk_1, k_2,...

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    1.线性相关(linearly dependent)与线性无关的(linearly independent)定义

    线性相关的定义为:
    对于一组向量 v 1 , v 2 , ⋯   , v n v_1, v_2, \cdots, v_n v1,v2,,vn,如果存在一组不全为0的整数 k 1 , k 2 , ⋯   , k n k_1, k_2, \cdots, k_n k1,k2,,kn,使得 k 1 v 1 + k 2 v 2 + ⋯ + k n v n = 0 k_1v_1 + k_2v_2 + \cdots + k_nv_n = 0 k1v1+k2v2++knvn=0成立,那么这组向量是线性相关的。如果只有当 k 1 , k 2 , ⋯   , k n k_1, k_2, \cdots, k_n k1,k2,,kn均为0时等式才成立,该向量组为线性无关的。

    2.简单理解

    上面的定义不是特别好理解,下面我们换一种更容易理解的方式。
    如果有一组不全为0的数,那至少有一个数不为0,假设 k n k_n kn不为0,那么该组向量线性相关。
    k 1 v 1 + k 2 v 2 + ⋯ + k n v n = 0 k_1v_1 + k_2v_2 + \cdots + k_nv_n = 0 k1v1+k2v2++knvn=0
    可以得知
    − k 1 v 1 − k 2 v 2 + − ⋯ − k n − 1 v n − 1 = k n v n -k_1v_1 - k_2v_2 +-\cdots -k_{n-1}v_{n-1} = k_nv_n k1v1k2v2+kn1vn1=knvn

    v n = − k 1 k n v 1 − k 2 k n v 2 − ⋯ − k n − 1 k n v n − 1 v_n = -\frac{k_1}{k_n}v_1-\frac{k_2}{k_n}v_2 - \cdots -\frac{k_{n-1}}{k_n}v_{n-1} vn=knk1v1knk2v2knkn1vn1

    不难看出, v n v_n vn可以由其他向量的线性组合表示,也就是说这个向量组是线性相关的。

    3.实例

    再举两个简单例子, v 1 = ( 1 , 0 ) , v 2 = ( 0 , 1 ) v_1 = (1, 0), v_2 = (0, 1) v1=(1,0),v2=(0,1),这就是我们熟悉的笛卡尔坐标系。如果要使得 k 1 v 1 + k 2 v 2 = 0 k_1v_1 + k_2v_2=0 k1v1+k2v2=0,必有 k 1 = k 2 = 0 k_1=k_2=0 k1=k2=0,因此这组向量线性无关。
    如果 v 1 = ( 1 , 1 ) , v 2 = ( − 1 , − 1 ) v_1 = (1, 1), v_2 = (-1, -1) v1=(1,1),v2=(1,1),很明显 v 1 + v 2 = 0 v_1 + v_2 = 0 v1+v2=0,此时存在 k 1 = k 2 = 1 k_1 = k_2 = 1 k1=k2=1,使得 k 1 v 1 + k 2 v 2 = 0 k_1v_1 + k_2v_2 = 0 k1v1+k2v2=0,因此这组向量是线性相关的。

    4.一些结论

    1.当向量组所含向量的个数与向量的维数相等,该向量组线性无关的充要条件为该向量构成的行列式值不为0。
    2.由该向量组构成的齐次方程组,如果该其次方程组有非零解,则该向量组线性相关。如果该方程组只有零解,则该向量组线性无关。
    3.若向量组的秩等于向量的个数,则该向量组是线性无关。如果秩小于向量的个数,则该向量组线性相关。
    4.若向量组所含向量的个数多于向量的维数,该向量组一定线性相关。

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  • 文章目录1 线性组合2 线性相关3 线性无关4 矩阵的逆和线性相关,线性无关5 直观理解线性相关和线性无关5.1 线性相关5.2 线性无关参考资料 注:转载请标明原文出处链接:...

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    注:转载请标明原文出处链接:https://xiongyiming.blog.csdn.net/article/details/103914822


    1 线性组合

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  • 向量组线性相关及线性无关.doc
  • 向量组的线性相关与线性无关.doc
  • 关于极大线性无关组的计算方法

    极大线性无关组求解步骤:
    1、按列构造矩阵
    2、化为最简矩阵观察主元位置
    3、主元位置在哪些列,那哪列就是极大线性无关组

    就以这一个例子为例分析
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    线性组合与线性表出

    首先讲解关于线性组合和线性表出的概念
    若对于n+1维向量组 α1,α2,α3,…,αn,β;
    存在一组数k1,k2,…,kn,使得
    β=α1+α2+α3+···+αn 成立;
    则可以说:

    • 向量β是向量组α1,α2,…,αn的一个线性组合
    • 向量β可由向量组α1,α2,…,αn的线性表出

    相关例题 ——“xxx能否由xxx线性表出”

    相关例题
    验证某个向量是否为一个向量组的线性组合,或者说验证某个向量能否由一个向量组线性表出的关键,即从定义出发
    尝试找出n个实数,使得 β=α1+α2+α3+···+αn 成立;


    线性相关与线性无关

    定义

    • 线性相关:对于n维向量组 α1,α2,α3,…,αn,若存在一组不全为0的实数 k1,k2,…,kn,使得k1α1+k2α2+k3α3+···+knαn = 0 成立,则n维向量组α1,α2,···,αn是线性相关的。
    • 线性无关:对于n维向量组 α1,α2,α3,…,αn,若不存在一组不全为0的实数k1,k2,…,kn,使得k1α1+k2α2+k3α3+···+knαn = 0 成立,则n维向量组α1,α2,···,αn是线性无关的。

    含义

    *** k1α1+k2α2+k3α3+···+knαn = 0 (*)

    • 只要能找到一组不全为0的实数k1,k2,···,kn,能够满足式子成立,就可以说是线性相关的
    • 言外之意,这样的不全为0的一组实数,可能有多组,即不唯一
    • 如果一组都找不到,那就是线性无关的
    • 线性无关,即只有k1,k2,···,kn全为0时,(*)式 才能成立

    *** 请务必好好理解,记熟线性相关和线性无关的定义和含义!

    相关例题

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    典型例题也是非常基础的题型,即讨论向量组是否线性相关。这种题型把握好线性相关与线性无关的定义和含义即可。
    讲解:如题,k1α1+k2α2+k3α3+k4α4 = 0,我们一定能找到
    k1=k2=k3=k4=0 使得式子成立,即这组实数k1,k2,k3,k4全为0时肯定成立。关键在于,能不能找到一组不全为零的k1,k2,k3,k4也使它成立?
    于是解方程组,k4=0,k2=k3,可令k2=k3=-1可以有一组解为
    k1=2,k2=k3=-1,k4=0
    即我们找出了一组不全为零的实数,使得k1α1+k2α2+k3α3+k4α4 = 0成立,那么根据线性相关的定义,它就是线性相关的。

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  • 矩阵向量组线性无关

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    如果向量组α,β,γ线性无关<=>矩阵A=(αT,βT,γT)满秩<=>|A|≠0

空空如也

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