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  • 基于MATLAB的威布尔分布参数估计的图形界面设计
    2021-04-18 16:25:55

    基于 MATLAB 的威布尔分布参数估计的图形界面设计 唐军军, 姜年朝, 宋军, 徐艳楠, 刘达 (总参第六十研究所, 江苏 南京 210016) 摘 要: 基于 MATLAB 平台, 设计了一款集最小二乘法、 相关系数法及超概率权重法的威布尔分布参数估计的图形交互界面 (GUI), 克服了传统的威布尔分布在可靠性工程应用上的求解难度高、 精度低的缺点; 以某型发动机为实例, 快捷地得到了该发动机的 MTBF 分布均值和置信区间, 验证了该界面设计的有效性和准确性。 关键词: 威布尔分布; 可靠性; 图形交互界面; 发动机 中图分类号: TB 115.7 文献标志码: A 文章编号: 1672-5468 (2013) 05-0044-05 doi:10.3969/j.issn.1672-5468.2013.05.011 GUI Design of Weibull Distribution Parameters EstimationBasedonMATLAB TANG Jun-jun, JIANG Nian-zhao, SONG Jun, XU Yan-nan, LIU Da (The Sixtieth Institute of the Headquarters of the General, Nanjing210016, China) Abstract: A Graphics User Interface ( GUI) of Weibull distribution parameters estimation, which is based on MATLAB, containing least square method, correlation coefficient method and Ultra-probability weighting method, is designed to solve difficulties in calculating and accuracy of Weibull distribution in reliability engineering application. MTBF distribution mean and confidence interval of a testing engine are obtained rapidly, proving the effectiveness and accuracy of the GUI. Key words: Weibull Distribution; reliability; GUI; engine 收稿日期: 2013-01-28 作者简介: 唐军军 (1986-), 男, 江苏建湖人, 总参第六十研究所工程师, 主要从事无人机产品系统可靠性工作。 电 子产品可靠性与环境试验 ELECTRONICPRODUCTRELIABILITYANDENVIRONMENTALTESTING 计算机科学与技术 2013年10月第31卷第 5 期 Vol.31No.5Oct., 201 3 0 引言 三参数威布尔分布模型能够较好地拟合各类试验数据, 在元件失效概率、 材料疲劳寿命和强度分布等领域有着极广的应用, 是可靠性学科中最为重要和常用的一种概率分布形式之一 [1]。 由于三参数威布尔概率密度模型中包含尺度参数、 位置参数 和形状参数 3 个待定参数, 相对其它的概率模型,如正态分布模型, 参数的准确估计难度较大。 早期做法是用图估法等, 但存在着主观性

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    MATLAB如何使用wblpdf函数计算韦伯分布的概率密度

    【语法说明】

    Y=wblpdf(X,A,B):计算X中的元素在参数A、B指定的韦伯分布下的概率密度函数值。Y 是与 X、A、B 同型的数组,如果输入参数中有一个为标量,则将其扩展为与其他输入同型的矩阵或数组。

    【功能介绍】计算韦伯分布的概率密度函数值。参数为(a, b)的韦伯分布的概率密度函数为

    ab583ea17e188464014e37f17192c857.png

    其中a>0为尺度参数,b>0为形状参数。韦伯分布与很多分布都有关系,例如,当b=1时,韦伯分布就等于指数分布;当b=2时,韦伯分布等于瑞利分布。

    【实例】验证韦伯分布与指数分布和瑞利分布的关系。

    >> x=0:.1:1

    x =

    0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000

    0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000

    >> y1=wblpdf(x,3,1)

    y1 =

    0.3333 0.3224 0.3118 0.3016 0.2917

    0.2822 0.2729 0.2640 0.2553 0.2469 0.2388

    >> y1=exppdf(x,3)    % 指数分布

    y1 =

    0.3333 0.3224 0.3118 0.3016 0.2917

    0.2822 0.2729 0.2640 0.2553 0.2469 0.2388

    >> y1=wblpdf(x,3,2)

    y1 =

    0 0.0222 0.0442 0.0660 0.0873

    0.1081 0.1281 0.1473 0.1656 0.1828 0.1989

    >> y1=raylpdf(x,3/sqrt(2)) % 瑞利分布

    y1 =

    0 0.0222 0.0442 0.0660 0.0873

    0.1081 0.1281 0.1473 0.1656 0.1828 0.1989

    【实例讲解】b=2时,韦伯分布相当于瑞利分布,但是输入参数需要用系数进行调整才能得出与raylpdf相同的结果。

    展开全文
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    韦伯分布(Weibull)参数矩估计MATLAB实现

    二参数韦伯分布概率密度函数

    f ( x ) = β η ( x η ) β − 1 e − ( x η ) β , β > 0 , η > 0 , x ≥ γ ≥ 0 f(x)=\frac{\beta}{\eta}\left(\frac{x}{\eta}\right)^{\beta-1} e^{-\left(\frac{x}{\eta}\right)^{\beta}}, \beta>0, \eta>0, x \geq \gamma \geq 0 f(x)=ηβ(ηx)β1e(ηx)β,β>0,η>0,xγ0

    其中, β \beta β是形状参数, η \eta η是尺度参数。

    β 和 η \beta和\eta βη的矩估计

    1. Weibull分布的k阶矩:

    μ k = ( 1 η β ) − k β Γ ( 1 + k β ) \mu_{k}=\left(\frac{1}{\eta^{\beta}}\right)^{-\frac{k}{\beta}} \Gamma\left(1+\frac{k}{\beta}\right) μk=(ηβ1)βkΓ(1+βk)

    其中, Γ \Gamma Γ是gamma函数:
    Γ ( s ) = ∫ 0 ∞ x s − 1 e − x d x , ( s > 0 ) \Gamma(s)=\int_{0}^{\infty} x^{s-1} e^{-x} d x,(s>0) Γ(s)=0xs1exdx,(s>0)
    推导过程:
    E X k = ∫ 0 ∞ x k ⋅ β η β x β − 1 e − ( x n ) β d x = ∫ 0 ∞ β η k ( x η ) k + β − 1 e − ( x n ) β d ( x η ) = ∫ 0 ∞ η k ( x η ) k e − ( x n ) β d ( x η ) β = ∫ 0 ∞ η k x k β e − x d x = η k Γ ( k β + 1 ) \begin{array}{l} E X^{k}=\int_{0}^{\infty} x^{k} \cdot \frac{\beta}{\eta^{\beta}} x^{\beta-1} e^{-\left(\frac{x}{n}\right)^{\beta}} d x \\ =\int_{0}^{\infty} \beta \eta^{k}\left(\frac{x}{\eta}\right)^{k+\beta-1} e^{-\left(\frac{x}{n}\right)^{\beta}} d\left(\frac{x}{\eta}\right) \\ =\int_{0}^{\infty} \eta^{k}\left(\frac{x}{\eta}\right)^{k} e^{-\left(\frac{x}{n}\right)^{\beta}} d\left(\frac{x}{\eta}\right)^{\beta} \\ =\int_{0}^{\infty} \eta^{k} x^{\frac{k}{\beta}} e^{-x} d x \\ =\eta^{k} \Gamma\left(\frac{k}{\beta}+1\right) \end{array} EXk=0xkηββxβ1e(nx)βdx=0βηk(ηx)k+β1e(nx)βd(ηx)=0ηk(ηx)ke(nx)βd(ηx)β=0ηkxβkexdx=ηkΓ(βk+1)

    2. 因此可以计算出一阶矩和二阶矩

    m 1 = μ ^ k = ( 1 η ) 1 β Γ ( 1 + 1 β ) m 2 = μ ^ k 2 + σ ^ k 2 = [ 1 η ] 2 n { Γ ( 1 + 2 β ) − [ Γ ( 1 + 1 β ) ] 2 } \begin{aligned} m_{1} &=\hat{\mu}_{k}=\left(\frac{1}{\eta}\right)^{\frac{1}{\beta}} \Gamma\left(1+\frac{1}{\beta}\right) \\ m_{2}=\hat{\mu}_{k}^{2}+\hat{\sigma}_{k}^{2} &=\left[\frac{1}{\eta}\right]^{\frac{2}{n}}\left\{\Gamma\left(1+\frac{2}{\beta}\right)-\left[\Gamma\left(1+\frac{1}{\beta}\right)\right]^{2}\right\} \end{aligned} m1m2=μ^k2+σ^k2=μ^k=(η1)β1Γ(1+β1)=[η1]n2{Γ(1+β2)[Γ(1+β1)]2}

    让m2除以m1的平方,我们可以得到:
    σ ^ k 2 μ ^ k 2 = Γ ( 1 + 2 β ) − Γ 2 ( 1 + 1 β ) Γ 2 ( 1 + 1 β ) \frac{\hat{\sigma}_{k}^{2}}{\hat{\mu}_{k}^{2}}=\frac{\Gamma\left(1+\frac{2}{\beta}\right)-\Gamma^{2}\left(1+\frac{1}{\beta}\right)}{\Gamma^{2}\left(1+\frac{1}{\beta}\right)} μ^k2σ^k2=Γ2(1+β1)Γ(1+β2)Γ2(1+β1)
    这正好是变异系数的平方,上式开方就是变异系数:
    C V = Γ ( 1 + 2 β ) − Γ 2 ( 1 + 1 β ) Γ ( 1 + 1 β ) C V=\frac{\sqrt{\Gamma\left(1+\frac{2}{\beta}\right)-\Gamma^{2}\left(1+\frac{1}{\beta}\right)}}{\Gamma\left(1+\frac{1}{\beta}\right)} CV=Γ(1+β1)Γ(1+β2)Γ2(1+β1)

    3. 我们可以借助变异系数CV来估计 β \beta β

    1. 首先我们定义一组候选 β \beta β,如 { β ∣ 0.1 < β < 10 } \{\beta|0.1<\beta<10\} {β0.1<β<10}的数组,根据这一系列候选 β \beta β计算出对应的 C V CV CV数组
    2. 然后根据数据的均值和方差计算数据的变异系数 C V ^ \hat{CV} CV^
    3. 找出 C V CV CV数组中和 C V ^ \hat{CV} CV^最接近的值,其对应的 β \beta β就是我们需要的估计值

    4. 尺度参数 η \eta η可以利用下面的公式估计

    η ^ = { x ˉ / Γ [ ( 1 / β ^ ) + 1 ] } \hat{\eta}=\{\bar{x} / \Gamma[(1 / \hat{\beta})+1]\} η^={xˉ/Γ[(1/β^)+1]}

    其中 x ˉ \bar{x} xˉ是数据的均值。
    下方参考文献给出尺度参数的计算公式如下:
    η ^ = { x ˉ / Γ [ ( 1 / β ^ ) + 1 ] } β ˙ \hat{\eta}=\{\bar{x} / \Gamma[(1 / \hat{\beta})+1]\}^{\dot{\beta}} η^={xˉ/Γ[(1/β^)+1]}β˙
    这应该是一种笔误,在实际测试时按照上述公式计算的不对,翻阅其他文献(如这篇)是没有指数项的。

    MATLAB实现

    function [beta,eta]=estimateweibullMOM(vec)
    beta_vec=0.01:0.001:10;
    g1=gamma(1+2./beta_vec);
    g2=gamma(1+1./beta_vec);
    cv=sqrt(g1-g2.^2)./g2;
    mu=mean(vec);
    cv_es=std(vec)/mean(vec);
    [min_difference, array_position] = min(abs(cv - cv_es));
    beta=beta_vec(array_position);
    eta=(mu/gamma(1/beta+1));
    end
    

    代码测试:
    使用MATLAB的wblrnd(η,β,10000,1)产生测试数据,使用上述方法进行参数估计。

    βηβ(估计值)η(估计值)
    423.97102.0077
    131.00403.0231
    0.40.50.41000.5440

    参考文献

    AlFawzan, Ma. Methods for estimating the parameters of the Weibull distribution[J]. Fawzan, 2000(10).

    展开全文
  • 转换后的威布尔分布,有时也简称为“3 参数威布尔分布”,是一种参数概率分布。 我们使用也在 doi.org/10.1016/j.coastaleng.2017.03.002 中使用的参数化和变量名称。
  • MATLAB绘制威布尔分布曲线》由会员分享,可在线阅读,更多相关《MATLAB绘制威布尔分布曲线(7页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。1、MATLAB 绘制威布尔分布曲线威布尔分布概率密度函数:1( /)( , )()aax maxf x m ...

    《MATLAB绘制威布尔分布曲线》由会员分享,可在线阅读,更多相关《MATLAB绘制威布尔分布曲线(7页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。

    1、MATLAB 绘制威布尔分布曲线威布尔分布概率密度函数:1( /)( , )()aax maxf x m aem m威布尔分布概率分布函数: ()1amxF xe 其中 m0,是尺度参数也叫比例参数,a0 是形状参数。 X 是随机变量,是未知参数,表示时间延滞。图 1:设定尺度参数 m 值为 1,取五个形状参数 a,自变量 x代码如下: m=1 1 1 1 1,2; a=0.5 1 1.5 2.5 5,5; x=linspace(0,5); linecolor=r,b,g,k,y; for n=1:5y1=m(n)*a(n)*(m(n)*x).(a(n)-1).*(exp(-(m(n)*x).。

    2、a(n); y=1-exp(-(m(n)*x).a(n);subplot(1,2,2)title(图 1:概率分布函数);plot(x,y);hold on;subplot(1,2,1)type=linecolor(n);title(图 1:概率密度函数);plot(x,y1,type);hold on;legend(m=1,a=0.5,m=1,a=1,m=1,a=1.5,m=1,a=2.5,m=1,a=5); end图 2:设定形状参数 a 值为 2,取五个尺度参数 m,自变量 x代码如下: m=0.5 0.75 1 1.5 1.75,2; a=2 2 2 2 2.5; x=linspace。

    3、(0,5); linecolor=r,y,b,g,k;for n=1:5y1=m(n)*a(n)*(m(n)*x).(a(n)-1).*(exp(-(m(n)*x).a(n); y=1-exp(-(m(n)*x).a(n);subplot(1,2,2)title(图 2:概率分布函数);plot(x,y);hold on;subplot(1,2,1)type=linecolor(n);title(图 2:概率密度函数);plot(x,y1,type);hold on; legend(m=0.5,a=2,m=0.75,a=2,m=1,a=2,m=1.5,a=2,m=1.75,a=2); end图。

    4、 3:设定尺度参数 m 值为 1,自变量为 x,a 的三维概率分布图代码如下: m=1; x,a=meshgrid(0:0.05:4,0:0.05:5); fx=m.*a.*(m.*x).(a-1).*(exp(-(m.*x).a); Fx=1-exp(-(m.*x).a); subplot(1,2,1) mesh(x,a,fx); title(图 3:m=1,a,x 三维概率密度分布); subplot(1,2,2) mesh(x,a,Fx); title(图 3:m=1,a,x 三维概率分布图);图 4:设定形状参数 a 值为 2,自变量为 x,m 的三维概率分布图代码如下: a=2; x,m=meshgrid(0:0.05:5,0:0.05:2); fx=m.*a.*(m.*x).(a-1).*(exp(-(m.*x).a); Fx=1-exp(-(m.*x).a); subplot(1,2,1) mesh(x,m,fx);title(图 4:a=2,m,三维概率密度分布); subplot(1,2,2) mesh(x,m,Fx);title(图 4:a=2,m,x 三维概率分布图);。

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