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  • 随机变量函数的分布

    千次阅读 2021-03-28 20:58:42
    已知离散型随机变量X的分布律P{X=xk}=pkP\{X=x_k\}=p_kP{X=xk​}=pk​,总结求...已知连续型随机变量X的概率密度f(x)f(x)f(x),总结求随机变量Y=g(X)Y=g(X)Y=g(X)的分概率密度函数的步骤方法。 若f(x)f(x)f(x)在区间[a

    已知离散型随机变量X的分布律 P { X = x k } = p k P\{X=x_k\}=p_k P{X=xk}=pk,总结求随机变量 Y = g ( X ) Y=g(X) Y=g(X)的分布律的步骤方法。

    求解 Y = g ( X ) Y = g(X) Y=g(X)的所有取值

    计算出每个随机变量 Y Y Y对应的随机变量 X X X的取值

    分布率对应的取值则是对应 X X X取值下 P x P_x Px之和

    已知连续型随机变量X的概率密度 f ( x ) f(x) f(x),总结求随机变量 Y = g ( X ) Y=g(X) Y=g(X)的分概率密度函数的步骤方法。

    f ( x ) f(x) f(x)在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]外等于 0 0 0,且在区间内恒有 g ′ ( x ) > 0 或 g ′ ( x ) < 0 g'(x) > 0 或 g'(x) < 0 g(x)>0g(x)<0

    f Y ( y ) = { f X [ h ( y ) ] ∣ h ′ ( y ) ∣ , α < y < β 0 , 其 他 f_Y(y) = \left\{\begin{aligned}&f_X[h(y)]|h'(y)| ,\alpha<y<\beta\\&0 \qquad ,其他\end{aligned}\right. fY(y)={fX[h(y)]h(y)α<y<β0,

    其中 α = m i n { g ( a ) , g ( b ) } \alpha = min\{g(a),g(b)\} α=min{g(a),g(b)} β = m a x { g ( a ) , g ( b ) } \beta = max\{g(a),g(b)\} β=max{g(a),g(b)} h ( y ) h(y) h(y) g ( x ) g(x) g(x)的反函数

    正态分布随机变量线性函数服从什么分布

    服从正态分布,证明如下
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  • 连续型随机变量函数的分布

    万次阅读 2018-10-24 20:02:39
    离散型随机变量函数的分布 连续型随机变量函数的分布

    设已知 X X X的分布函数 F X ( x ) F_X(x) FX(x)或概率密度函数 f X ( x ) f_X(x) fX(x),则随机变量函数 Y = g ( X ) Y=g(X) Y=g(X)的分布函数可按如下方法求得: F Y ( y ) = P { Y ⩽ y } = P { g ( X ) ⩽ y } = P { X ⩽ h ( y ) } = F X ( h ( y ) ) \begin{aligned} F_Y(y) &amp; =P\{Y \leqslant y\} \\ &amp; = P\{g(X)\leqslant y\} \\ &amp; = P\{X \leqslant h(y)\} \\ &amp; = F_X(h(y)) \\ \end{aligned} FY(y)=P{Yy}=P{g(X)y}=P{Xh(y)}=FX(h(y))

    公式法求连续型随机变量函数的分布
    设连续型随机变量 X X X的密度函数为 f X ( x ) f_X(x) fX(x),若 y = g ( x ) y=g(x) y=g(x)是处处可导且恒有 g ′ ( x ) &gt; 0 g&#x27;(x) &gt; 0 g(x)>0 g ′ ( x ) &lt; 0 g&#x27;(x) &lt; 0 g(x)<0的函数(即 g ( x ) g(x) g(x)单调),其反函数为 x = h ( y ) x=h(y) x=h(y),则 Y = g ( X ) Y=g(X) Y=g(X)的概率密度函数为 f Y ( y ) = F X ′ ( h ( y ) ) = { f X ( h ( y ) ) h ′ ( y ) , α &lt; y &lt; β 0 , o t h e r w i s e f_Y(y) =F_X&#x27;(h(y))= \begin{cases} f_X(h(y))h&#x27;(y), &amp; \alpha &lt; y &lt; \beta \\ 0, &amp; otherwise \end{cases} fY(y)=FX(h(y))={fX(h(y))h(y),0,α<y<βotherwise
    其中 α = min ⁡ { g ( − ∞ ) , g ( ∞ ) } \alpha = \min\{g(-\infty), g(\infty)\} α=min{g(),g()} β = max ⁡ { g ( − ∞ ) , g ( ∞ ) } \beta = \max\{g(-\infty), g(\infty)\} β=max{g(),g()}

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  • 随机变量函数的数学期望

    千次阅读 2020-04-19 09:49:37
    中点坐标

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  • 通过引入辅助随机变量,提出了一种求解连续随机变量函数概率密度的新方法。该方法在计算随机变量函数概率密度时无需要求随机变量函数的反函数存在或分区域反函数存在,亦无需求导。算例分析表明,该解法对少数类型...
  • 对于密度函数为 f(x)f(x) 的一维连续随机变量, 若 y = g(x)y=g(x) 在 (-\infty, + \infty)(−∞,+∞) 上严格单调且可导,那么 Y = g(X)Y=g(X) 的密度函数 f_Y(y)f Y ​ (y)怎么表示? 若 f(x)f(x) 在有限区间 [a...

    概率论知识回顾(十二)

    重点:连续性随机变量函数的密度函数

    知识回顾用于巩固知识和查漏补缺。知识回顾步骤:

    1. 查看知识回顾中的问题,尝试自己解答
    2. 自己解答不出来的可以查看下面的知识解答巩固知识。
    3. 对知识解答有疑问的,说明有关这一点的知识或者公式没有理解透彻或者没有记住,要重新翻看书籍。

    知识回顾

    1. 对于密度函数为 f ( x ) f(x) f(x) 的一维连续随机变量, 若 y = g ( x ) y = g(x) y=g(x) ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty, + \infty) (,+) 上严格单调且可导,那么 Y = g ( X ) Y = g(X) Y=g(X) 的密度函数 f Y ( y ) f_Y(y) fY(y)怎么表示?
    2. f ( x ) f(x) f(x) 在有限区间 [a, b] 以外等于 0, 那么 f Y ( y ) f_Y(y) fY(y) 有什么变化?
    3. 对于随笔变量 X X X 的密度函数 f ( x ) f(x) f(x) 来说,其取值为 (a, b), 若把 (a, b) 分成有限或可数的两两不想交的子区间 < a i , b i a_i, b_i ai,bi>, 使得 y = g ( x ) y = g(x) y=g(x) 在每一个子区间上面严格单调可导,那么 Y = g ( X ) Y = g(X) Y=g(X) 的密度函数怎么表示?
    4. Y = g ( X ) Y = g(X) Y=g(X), X X X 的密度函数为 f ( x ) f(x) f(x), 那么用分布函数法求 f Y ( y ) f_Y(y) fY(y) 该怎么求?

    知识解答

    1. 对于密度函数为 f ( x ) f(x) f(x) 的一维连续随机变量, 若 y = g ( x ) y = g(x) y=g(x) ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty, + \infty) (,+) 上严格单调且可导,那么 Y = g ( X ) Y = g(X) Y=g(X) 的密度函数 f Y ( y ) f_Y(y) fY(y)怎么表示?
      • f Y ( y ) = { f [ h ( y ) ] ∣ h ′ ( y ) ∣ α ≤ x ≤ β 0 o t h e r w i s e f_Y(y) = \begin{cases} f[h(y)]|h&#x27;(y)| &amp; \alpha\le x\le \beta \\ 0 &amp; otherwise \end{cases} fY(y)={f[h(y)]h(y)0αxβotherwise
      • 其中 h ( y ) h(y) h(y) g ( x ) g(x) g(x) 的反函数。 α = min ⁡ ( g ( − ∞ ) , g ( + ∞ ) ) , β = max ⁡ ( g ( − ∞ ) , g ( + ∞ ) ) \alpha = \min(g(-\infty), g(+\infty)), \beta = \max(g(-\infty), g(+\infty)) α=min(g(),g(+)),β=max(g(),g(+))
    2. f ( x ) f(x) f(x) 在有限区间 [a, b] 以外等于 0, 那么 f Y ( y ) f_Y(y) fY(y) 有什么变化?
      • 函数的定义没有什么变化,只是定义域 y 的范围有了变化。即 α = min ⁡ ( g ( a ) , g ( b ) ) , β = max ⁡ ( g ( a ) , g ( b ) ) \alpha = \min(g(a), g(b)), \beta = \max(g(a), g(b)) α=min(g(a),g(b)),β=max(g(a),g(b))
    3. 对于随笔变量 X X X 的密度函数 f ( x ) f(x) f(x) 来说,其取值为 (a, b), 若把 (a, b) 分成有限或可数的两两不想交的子区间 < a i , b i a_i, b_i ai,bi>, 使得 y = g ( x ) y = g(x) y=g(x) 在每一个子区间上面严格单调可导,那么 Y = g ( X ) Y = g(X) Y=g(X) 的密度函数怎么表示?
      • f Y ( y ) = ∑ k ψ k ( y ) , − ∞ &lt; y &lt; + ∞ f_Y(y) = \sum_k\psi_k(y), -\infty &lt; y &lt; + \infty fY(y)=kψk(y),<y<+
      • 其中: ψ k ( y ) = { f [ h k ( y ) ] ∣ h k ′ ( y ) ∣ , α k &lt; y &lt; β k 0 , o t h e r w i s e \psi_k(y) = \begin{cases} f[h_k(y)]|h&#x27;_k(y)| , &amp; \alpha_k &lt; y &lt; \beta_k \\ 0, &amp; otherwise \end{cases} ψk(y)={f[hk(y)]hk(y),0,αk<y<βkotherwise
      • 其中 h k ( y ) h_k(y) hk(y) y = g ( x ) y = g(x) y=g(x) 在 < a k , b k a_k, b_k ak,bk> 上的反函数, α k = min ⁡ ( g ( a k ) , g ( b k ) ) , β k = max ⁡ ( g ( a k ) , g ( b k ) ) \alpha_k = \min(g(a_k), g(b_k)), \beta_k = \max(g(a_k), g(b_k)) αk=min(g(ak),g(bk)),βk=max(g(ak),g(bk))
    4. Y = g ( X ) Y = g(X) Y=g(X), X X X 的密度函数为 f ( x ) f(x) f(x), 那么用分布函数法求 f Y ( y ) f_Y(y) fY(y) 该怎么求?
      F Y ( y ) = P { Y ≤ y } = P { Y ≤ g ( x ) } = P { X ≤ h ( y ) } = F ( h ( x ) ) = ∫ − ∞ h ( y ) f ( x ) d x 所 以 : f Y ( y ) = f [ h ( y ) ] ∣ h ( y ) ∣ \begin{aligned} F_Y(y) &amp;= P\begin{Bmatrix} Y \le y \end{Bmatrix} \\ &amp;= P\begin{Bmatrix} Y \le g(x) \end{Bmatrix} \\ &amp;= P\begin{Bmatrix} X \le h(y) \end{Bmatrix} \\ &amp;= F(h(x)) \\ &amp;= \int_{-\infty}^{h(y)}f(x)dx \\ 所以:f_Y(y) = f[h(y)]|h(y)|\end{aligned} FY(y)fY(y)=f[h(y)]h(y)=P{Yy}=P{Yg(x)}=P{Xh(y)}=F(h(x))=h(y)f(x)dx
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  • 雅克比行列式在连续型随机变量函数分布密度中应用雅克比行列式在连续型随机变量函数分布密度中应用 摘 要:为了使二维随机变量函数概率密度计算公式得到简化,本文首先利用雅克比行列式,应用变量变换定理给出了二维...
  • 随机变量函数的分布及习题

    千次阅读 2020-04-10 15:28:28
    在独立的情况下,泊松分布具有可加性 利用卷积公式求解: 正态分布结论
  • 二元随机变量函数的分布

    千次阅读 2017-04-14 16:38:58
    在前面的文章记录了二元随机变量的定义、离散型二元随机变量的...二元随机变量函数的分布=二元随机变量函数的函数=g(X,Y)的分布。二元离散型随机变量函数的分布  设二元离散型随机变量(X,Y)具有概率分布律P(X=xi,Y
  • 一维随机变量函数的分布
  • 概率统计3.4 二维随机变量函数的分布
  • 文章目录一、离散型随机变量函数的分布1.结论2.例题二、连续性随机变量函数的分布1.Z=X+Y例题1 一、离散型随机变量函数的分布 1.结论 解题思路 这也是对结论的解释。 首先确定由二维随机变量经过函数变化构造出来的...
  • 给出了相互独立的离散型、连续型随机变量的线性运算、除法、乘积的分布,推导出了它们的分布函数、概率密度函数,并举例说明利用此结论计算函数的分布是很好用的.
  • 概率与统计 第二章-3 随机变量函数的分布
  • 使用逆变换技术从概率密度函数 (pdf) 生成随机变量函数 x=PDF2Rand(xPDF,yPDF,N) 输入xPDF:x 概率密度函数值yPDF:y 概率密度函数值N:随机变量的样本数 输出x:生成的随机变量
  • 分析了现有的一个连续随机变量函数定理的优缺点.在此基础上,对该定理进行推广,得到的新定理克服了原定理需要函数是严格单调的这一苛刻条件,推广到逐段单调函数,由此拓广了应用范围.为求解连续随机变量的函数的...
  • 设 (X, Y)(X,Y) 的密度分布是 f(x, y)f(x,y), 那么 Z = X + YZ=X+Y 的分布函数是什么? 密度分布又是什么? 当 X, YX,Y 相互独立的时候,它们的密度分布这么表示? 若 X_i \sim N(\mu_i, \sigma^2)X i ​ ∼N(μ ...
  • 随机变量函数及分布 一、随机变量函数 定义: 设X为随机变量, g(x)是实函数,令Y=g(X) ,则称Y=g(X)为随机变量X的函数。 注意: (1) Y=g(X)为一维随机变量; (2) Y=g(X)的类型一般与X相同; 二、离散型随机变量...
  • 龙源期刊网http://www.qikan.com.cn雅克比行列式在连续型随机变量函数分布密度中的应用作者:赵微来源:《新教育时代》2014年第12期摘要:为了使二维随机变量函数概率密度计算公式得到简化,本文首先利用雅克比行列...
  • 很多的实际应用里面,往往 X 的分布是已知的,实际问题对应的变量是 X 的函数,那么,我们应该如何求 Y 的分布呢?这篇 Blog 将会带给你答案!我们开始吧!
  • 讨论了正态随机变量函数的分布性问题,给出了若干非线性函数,使得复合随机变量仍然服从正态分布。在某些特定条件下,给出了使得复合随机变量服从正态分布的充要或充分条件,对于更一般的情况,提出了若干未解决的问题。
  • R语言:作业七(创建随机变量函数)

    千次阅读 2021-05-08 00:09:40
    用筛选法来模拟如下密度函数随机变量,f(x)是需要模拟的随机变量的密度函数,g(x)是其对应的筛选函数。 (1)f(x)=x(1−x)f(x)=x(1-x)f(x)=x(1−x), g(x)g(x)g(x)为常值函数。 令g(x)=1g(x)=1g(x)=1 ,f(x)g(x)...
  • 06随机变量函数分布.pptx
  • 本文讨论了一离散随机变量与一连续随机变量的和、差、积、商的分布类型,若其为连续随机变量,则求出其密度函数。本文并验证了离散随机变量(或连续随机变量)具有的一些性质混合随机变量同样满足,从而将性质推广。
  • 概率论与数理统计习题,内容覆盖基础知识,全面概括二位随机变量内容
  • 数理统计之多维随机变量函数的分布.pptx
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  • 概率论与数理统计课件随机变量函数的分布PPT学习教案.pptx
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