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  • 一维随机变量函数的分布和一类不能用还原法解出的二维随机变量函数的分布

    一维随机变量函数的分布和一类不能用换元法解出的二维随机变量函数的分布

    (一维随机变量函数的分布)

    例题:X(1,2)Y=e2X已知X在(1,2)上服从均匀分布,求Y=e^{2X}
    FY(y)=yf(y)dyy,x,x,x=lny2FY(y)=lny2f(x)dx F_Y(y)=\int_{-\infty}^y f(y)dy\\ 对于某个确定的y,则x确定, \Large {反解出x} ,x=\frac{lny}{2}\\ F_Y(y)=\int_{-\infty}^\frac{lny}{2} f(x)dx

    特殊的一类二维的连续型随机变量函数的分布

    “相互独立条件”下的最大值,最小值分布

    最大值:P(A且B小于1)
    P(AB)=P(A)P(B)=FA(1)FB(1) P(AB)=P(A)*P(B)=F_A(1)F_B(1)

    最小值:P(A或B小于1)
    =1P(AB1)1[1FA(1)][1FB(1)] =1-P(A且B大于1)\\ 1- [1-F_A(1)]* [1-F_B(1)]

    最大值:Z=max{ X,Y }
    P(Zz)=P(max{X,Y}z)=P(Xz,Yz)=FX(z)FY(z) P(Z\leq z)=P(max\{ X,Y \}\leq z)=P(X\leq z,Y \leq z)=F_X(z)F_Y(z)

    最小值:Z=min{ X,Y }
    P(Zz)=P(min{X,Y}z)=1P(X>z,Y>z)=1[1FX(z)][1FY(z)] P(Z\leq z)=P(min\{ X,Y \}\leq z)=1-P(X> z,Y > z)= 1- [1-F_X(z)] [1-F_Y(z)]

    fZ(z)=FZ(z)然后f_Z(z)=F'_Z(z)


    例:
    X,YE(1),P{max(X,Y)1}P{max(X,Y)1}=1P{max(X,Y)1}=1P{X1,Y1}=1(1e1)(1e1)=e1+e1e2P{X>1Y>1}=P{X>1}+P{Y>1}P{X>1}P{Y>1}=e1+e1e2 X,Y独 \sim E(1),求P\{ max(X,Y) \geq 1 \} \\ P\{ max(X,Y) \geq 1 \} =1-P\{ max(X,Y) \leq 1 \} =1-P\{ X\leq 1 ,Y \leq 1 \} \\ =1- (1-e^{-1})(1-e^{-1})=e^{-1}+e^{-1}-e^{-2}\\ 或\\ P\{X >1 \cup Y>1 \}=P\{X >1 \}+P\{ Y>1 \}-P\{X >1 \}P\{ Y>1 \}\\ =e^{-1}+e^{-1}-e^{-2}
    E(1)1ex(x>0)E(1)分布函数1-e^{-x}(x>0)

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  • 这里写目录标题2.5随机变量函数的分布 2.5随机变量函数的分布

    2.5随机变量函数的分布

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    离散型

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    连续型

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    Px(h(y)) h’(y)
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    分布密度函数一定是正的,要保证它是正的。
    所以加了绝对值。

    给的是密度函数的表达式。

    两种解法:

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    作业:

    1

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    2

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    这是求连续型随机变量函数的密度的题目,有两种方法:一公式法,二分布函数法
    这是分布函数法。分布函数法要注意的是,要会对变量范围进行讨论

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    公式法
    公式法要注意的有几点,一是范围,Y的密度不为0的范围是函数Y=g(X)的值域,比如这题,因为X的范围是0到1,所以Y对应的范围是1到e
    公式法注意的,二是要验证条件,要求函数Y=g(X)要严格单调,反函数可导
    三是要在Y的密度的表达式中先加绝对值,再根据实际情况去绝对值。因为密度不可能是负的
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    3

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    这题有同学就直接利用结论,写出Y的分布,然后再写出密度
    但题目明简这样出的意思是要你验证结论:正态分布的线性函数仍然是正态分布
    这题也是公式法和分布函数法都可以
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    这是分布函数法,要讨论a的符号,a<0的时候解不等式要变号
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    这是公式法,结论中a要加绝对值
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    4、证明:若X~N(μ,σ2),则Y=(X-μ)/σ~N(0,1).
    这题可以直接用上一题的结论
    有些同学用期望方差来验证,这个在做选择题的时候可以这么做
    利用正态分布的线性函数仍然是正态分布,要得到参数,只需要求出期望μ和方差σ²
    但做简答题,得求出Y的密度,才能证明它是服从标准正态分布
    方法同第3题的方法,或者直接用第3题的结论即可
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    2.6 第二章习题讲解

    2.1节

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    123
    124、134、234
    C32:4号球已经确定了。
    剩下两个从123中取两个,所以是C32

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    2.3节

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    因为是条件概率所以变成了9,8/9

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    2.4节

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    当φ<0.5,则用另外一个公式
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    2.5节

    标准化是什么意思?
    就是让Y-均值/西格玛
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    考点:绝对值,不能忘记,忘记写扣分。

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    考点:填空题,正态分布的密度函数的表达式

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    将a,b带入,Y=ax+b
    得X-μ/西格玛,
    这个就是标准化了,
    所以N(0,1)了
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  • 连续型随机变量函数的分布

    万次阅读 2018-10-24 20:02:39
    离散型随机变量函数的分布 连续型随机变量函数的分布

    设已知XX的分布函数FX(x)F_X(x)或概率密度函数fX(x)f_X(x),则随机变量函数Y=g(X)Y=g(X)的分布函数可按如下方法求得:FY(y)=P{Yy}=P{g(X)y}=P{Xh(y)}=FX(h(y))\begin{aligned} F_Y(y) &amp; =P\{Y \leqslant y\} \\ &amp; = P\{g(X)\leqslant y\} \\ &amp; = P\{X \leqslant h(y)\} \\ &amp; = F_X(h(y)) \\ \end{aligned}

    公式法求连续型随机变量函数的分布
    设连续型随机变量XX的密度函数为fX(x)f_X(x),若y=g(x)y=g(x)是处处可导且恒有g(x)&gt;0g&#x27;(x) &gt; 0g(x)&lt;0g&#x27;(x) &lt; 0的函数(即g(x)g(x)单调),其反函数为x=h(y)x=h(y),则Y=g(X)Y=g(X)的概率密度函数为fY(y)=FX(h(y))={fX(h(y))h(y),α&lt;y&lt;β0,otherwisef_Y(y) =F_X&#x27;(h(y))= \begin{cases} f_X(h(y))h&#x27;(y), &amp; \alpha &lt; y &lt; \beta \\ 0, &amp; otherwise \end{cases}
    其中α=min{g(),g()}\alpha = \min\{g(-\infty), g(\infty)\}β=max{g(),g()}\beta = \max\{g(-\infty), g(\infty)\}

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  • 二元随机变量函数的分布

    千次阅读 2017-04-14 16:38:58
    在前面的文章记录了二元随机变量的定义、离散型二元随机变量的...二元随机变量函数的分布=二元随机变量函数的函数=g(X,Y)的分布。二元离散型随机变量函数的分布  设二元离散型随机变量(X,Y)具有概率分布律P(X=xi,Y

    前面的文章记录了二元随机变量的定义离散型二元随机变量的联合分布律/联合概率密度函数边际分布律/边际概率密度函数条件分布律/条件概率密度 ,以及对应的 联合分布函数边际分布函数条件分布函数。这篇文档介绍二元随机变量函数的分布。
    二元随机变量函数的分布=二元随机变量函数的函数=g(X,Y)的分布。

    二元离散型随机变量函数的分布
     设二元离散型随机变量(X,Y)具有概率分布律P(X=xi,Y=yj),i,j=1,2,3...
     (1)如果U=g(X,Y)U
     (2)如果U=g(X,Y),V=v(X,Y)则(U,V)的分布律是什么?
     对于(1),先确定U的取值ui,i=1,2...,接着找到(U=Ui)=(X,Y)D,从而计算分布律。
     对于(2),先确定(U,V)的取值(ui,vj)i,j=1,2,3...,接着找到(U=ui,V=vj)=(X,Y)D,从而计算分布律。

    二元连续型随机变量函数的分布
     设二元连续型随机变量(X,Y)具有概率分布函数f(x,y),Z是X,Y的函数,Z=g(X,Y)
     (1)Z的分布函数
     (2)Z的概率密度函数
     对于(1),FZ(z)=P(Zz)=P(g(X,Y)z)=g(X,Y)zf(x,y)dxdy
     对于(2),fZ(z)=FZ(z)

    Z=X+Y的分布
     设(X,Y)的概率密度函数为f(x,y),则Z=X+Y的分布函数为FZ(z)=x+yzf(x,y)dxdy,进一步计算得到fZ(z)=+f(zy,y)dy,或者fZ(z)=+f(x,zz)dx。这两个公式称为fX,fY的卷积公式。
     连续型随机变量中
      正态分布:n个独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布。这里写图片描述

      均匀分布:
      指数分布:Γ分布。如果X1,X2,...Xn相互独立,切Xi服从参数为αi,β(i=1,2,3....n)Γ分布,则ni=1Xi,服从参数为ni=1αi,βΓ分布。这一性质称为Γ分布的可加性。
     离散型随机变量中
      二项分布:如果X1,X2,...Xn相互独立,且都服从B(n,p),则X1+X2+...+Xn~B(n,p)。如果X~B(n1,p),Y~B(n2,p),两者相互独立,则X+Y~B(n1+n2,p)
      泊松分布:如果X~π(λ1),Y~π(λ2),两者相互独立,则X+Y~π(λ1+λ2)

    max(X,Y)的分布
     如果X,Y是两个相互独立的随机变量,它们的函数分布分为为FX(x)FY(y),则Fmax(z)=FX(z)FY(z)。 可以扩展到n个相互独立的随机变量。
    min(X,Y)的分布
     如果X,Y是两个相互独立的随机变量,它们的函数分布分为为FX(x)FY(y),则Fmin(z)=1(1FX(z))(1FY(z))。可以扩展到n个相互独立的随机变量。
     
      

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  • 随机变量函数及分布 一、随机变量函数 定义: 设X为随机变量, g(x)是实函数,令Y=g(X) ,则称Y=g(X)为随机变量X的函数。 注意: (1) Y=g(X)为一维随机变量; (2) Y=g(X)的类型一般与X相同; 二、离散型随机变量...
  • 文章目录未经同意,禁止转载【概率论】随机变量函数的分布一维离散型连续型二维Z = X+Y 分布Z = X/Y 和 Z = XY 分布M = max{X,Y} 和 N = min{X,Y} 分布 【概率论】随机变量函数的分布 一维 离散型 确定变换后的...
  • 本博文源于北京理工大学《概率论与数理统计》,今天主要学习随机变量函数的分布.
  • 一维和二维离散型随机变量函数的分布一维离散型随机变量函数的分布二维离散型随机变量函数的分布 一维离散型随机变量函数的分布 二维离散型随机变量函数的分布
  • 随机变量函数的分布 开篇先引出问题\quad 若要得到一个圆的面积 YYY,总是测量其半径,半径的测量值可看做随机变量 XXX,若 X∼N(μ,σ2)X\sim N(\mu, \sigma^{2})X∼N(μ,σ2),则 Y=πX2Y=\pi X^{2}Y=πX2 的...
  • 在关于离散型随机变量函数的期望的讨论中,我们很容易就得到了如下的等式: 那么推广到连续型随机变量,是否也存在类似的规律呢? 即对于连续型随机变量函数的期望,有: 这里给出一个局部的证明...
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  • 随机变量函数变换 本文介绍一维随机变量函数变换,参考文献:https://wenku.baidu.com/view/619f74ac3186bceb19e8bbd0.html 变换TTT作用于随机变量XXX,产生随机变量YYY. T:X−&gt;Y或者写为y=T(x)T:X-&...
  • 随机变量函数的分布问题引入一般方法定理例3一般的线性函数 问题引入 一般方法 定理 例3 一般的线性函数
  • 随机变量函数的分布

    2021-03-28 20:58:42
    已知离散型随机变量X的分布律P{X=xk}=pkP\{X=x_k\}=p_kP{X=xk​}=pk​,总结求...已知连续型随机变量X的概率密度f(x)f(x)f(x),总结求随机变量Y=g(X)Y=g(X)Y=g(X)的分概率密度函数的步骤方法。 若f(x)f(x)f(x)在区间[a
  • 在讨论连续型随机变量函数的分布时,我们从一般的情况中(讨论正态分布的文章中提及),能够得到简化版模型。 回忆利用分布函数和概率密度的关系求解随机变量函数分布的过程,有Y=g(x),如果g(x)是严格单调的,那么...
  • 联系在离散型随机变量的引入过程,在定义了随机变量X的期望E[X]之后,我们在实际问题中往往还会关注关于X的函数的随机变量E[g(X)],继续类比讨论离散型随机变量函数的期望的结论,我们很容易进行如下的猜想: ...
  • 主要内容连续型随机变量函数的分布1更多系列视频概率微课:第二章(1) 随机变量的定义概率微课:第二章(2) 离散型随机变量概率微课:第二章(3) 两点分布及伯努利试验概率微课:第二章(4) 二项分布1概率微课:第二章(5...
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  • 2. 随机变量函数的期望可通过随机变量的分布及函数表达式进行计算 3.随机变量函数的期望求解示例 4. 懒人定理(The rule of Lazy Statistician) 5. 二元随机变量函数的数学期望 ....
  • 1. 引例 2. 离散型随机变量的函数的概率分布律求解示例 ...3. 连续型随机变量的函数的概率密度函数求解...4.随机变量函数的分布的求解方法 5. 正态分布随机变量的函数的概率密度函数求解示例 ...
  • 二维随机变量函数卷积公式的推导

    万次阅读 多人点赞 2016-11-02 00:59:00
    二维随机变量函数卷积公式的推导@(概率论)给定Z=g(x,y)Z = g(x,y) 通常需要求FZ(z),fZ(z)F_Z(z),f_Z(z)这里是由两个变元依据关系映射到一个变元,因此,求得FZ(z)F_Z(z)后,很容易求得fZ(z)f_Z(z),只是一个求导的...
  • coffee刚开始学习这一部分内容的时候,感到有些吃力,应该是大多数同学都有的感受,不过随着coffee啃教材...这里讨论的多维随机变量,可分为离散型和连续型的,因而其函数就有三种组合:仅有离散型、仅有连续型、离...
  • 雅克比行列式在连续型随机变量函数分布密度中应用雅克比行列式在连续型随机变量函数分布密度中应用 摘 要:为了使二维随机变量函数概率密度计算公式得到简化,本文首先利用雅克比行列式,应用变量变换定理给出了二维...
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  • 概率论与数理统计张宇9讲 第五讲 多维随机变量函数的分布 易错题和难题记录
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  • 概率论与数理统计张宇9讲 第三讲 一维随机变量函数的分布 易错题和难题记录

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随机变量函数